Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Práctica 3. Coeficientes de conductancia
3.1. Objeto de la práctica
El objeto de la práctica consiste en medir los coeficientes de conductancia en un sistema de varios conductores separados por un medio óhmico. Por analogı́a con un sistema de conductores en el vacı́o, se caracterizarán
los coeficientes de capacidad del sistema correspondiente.
Figura 3.1: Dispositivo experimental.
3.2. Fundamento teórico
Dado un medio óhmico, caracterizado por una conductividad uniforme σ, en el cual se encuentran sumergidos varios conductores perfectos con potenciales fijados, se cumple que para corrientes estacionarias (que no
dependen del tiempo)
~ r) = σ E(~
~ r) = −σ∇V (~r)
J(~
(3.1)
siendo:
~ r) = densidad de corriente eléctrica en un cierto punto,
J(~
σ = conductividad del medio,
3-2
~ r) = campo eléctrico en un cierto punto,
E(~
V (~r) = potencial en un cierto punto,
y como a su vez
~ r) = 0
∇ · J(~
(3.2)
∇ · (σ∇V (~r)) = 0
(3.3)
se tiene, sustituyendo,
es decir que si consideramos σ homogéneo (en muchos casos es ası́), se llega a
∇2 V (~r) = 0.
(3.4)
Esto quiere decir que la distribución de potenciales utilizando corrientes estacionarias (corriente continua)
responde a la misma ecuación que la distribución de potenciales electrostáticos en aquellos puntos en los que
no hay carga.
Las condiciones de contorno para el potencial consisten en que sobre la superficies de los conductores su
valor está fijados, mientras que en el borde exterior del material óhmico, dada la imposibilidad de la corriente
de salir de él, la condición es la anulación de la componente normal de la densidad de corriente.
En el estado estacionario la corriente que fluye por el medio, desde un conductor a otro, debe ser aportada
por los generadores que fijan los potenciales. Sea Ii la corriente que llega al conductor i desde su generador.
Debido a la linealidad de la ecuación de Laplace, esta corriente verifica
Ii =
X
Gij Vj
j
donde Vj es la tensión a la que se encuentran el conductor j. Los coeficientes Gij reciben el nombre de coeficientes de conductancia. El coeficiente Gij puede determinarse midiendo la corriente que llega al conductor i
cuando el conductor j está a potencial unidad y los demás se encuentran a potencial cero. La unidad de estos
coeficientes es el Siemens (S).
Esta relación presenta numerosas analogı́as con la que define los coeficientes de capacidad en un sistema
de conductores. Numerosas propiedades (simetrı́a, signos de los coeficientes, situaciones de influencia total,
anulación de determinados coeficientes) son validas tanto para los Gij como para los Cij .
3.2.1.
Dispositivo experimental
Para realizar este modelado del sistema emplearemos el llamado papel Teledeltos, que posee una baja
conductividad. Sobre este papel se traza diversas figuras con una pintura altamente conductora. Estas figuras
pueden ser conectadas a fuentes de potencial que fijan su voltaje. La alta conductividad de la pintura hace que las
figuras puedan considerarse equipotenciales, mientras que el papel representa el espacio entre los conductores,
ya que, según se ha visto, en él se verifica la ecuación de Laplace en dos dimensiones.
3.2.2.
Sistema de cuatro conductores
Para modelar un sistema de cuatro conductores (mas una tierra) que se extienden indefinidamente en la
dirección z se han trazado curvas sobre el papel óhmico.
Se tratará de determinar los coeficientes de conductancia Gij fijando sucesivamente cada uno de los conductores a una cierta tensión y los restantes a tierra y midiendo la corriente que llega a cada conductor. Dividiendo
por la tensión aplicada se obtendrá cada uno de los coeficientes buscados.
3.3 Descripción de los aparatos
3-3
Figura 3.2: Sistema de conductores.
Una vez hallados los coeficientes, podrá predecirse (y comprobarse experimentalmente), la corriente que
llegará a cada uno cuando las tensiones aplicadas sean diferentes, de acuerdo con la relación matricial
G11
I1
 I2   G21
 =
 I3   G31
G41
I4



G12
G22
G32
G42
G13
G23
G33
G43
V1
G14
 V2 
G24 
 
G34   V3 
V4
G44


Resistencia de una configuración
Si en un sistema de conductores entra corriente por un punto y sale por otro, se puede definir la resistencia
del sistema completa como el cociente entre el voltaje y la intensidad
V = RI
(3.5)
Sin embargo, el valor de la resistencia depende de en que punto se hagan las conexiones de entrada y salida,
ası́ como de las conexiones internas en el sistema. Si la corriente entra por el conductor 1 y sale por la tierra,
el valor de la resistencia no es el mismo si el resto de conductores se dejan flotantes o se conectan entre sı́.
Mediremos la resistencia con dos serie de conexiones distintas y comprobaremos este efecto.
3.3. Descripción de los aparatos
Para la realización de la práctica son necesarios los siguientes elementos:
Fuente de tensión continua regulable
Papel grafitado óhmico.
Amperı́metro
Voltı́metro
Bases y cables de conexión.
3-4
Figura 3.3: Conexión de los conductores a la base
3.4. Realización de la práctica
3.4.1.
Medida de coeficientes de conductancia
1. Monta el sistema de conductores indicado en la figura 3.1. Conecta el conductor exterior (“0”) a tierra.
Esta conexión no debe modificarse durante la realización de esta parte de la práctica.
2. Conecta el generador a una tensión V0 = 10 V. Esta tensión no debe modificarse durante la realización
de las medidas.
3. Conecta el conductor 1 a esta tensión y los conductores 2, 3 y 4 a tierra. En la figura 3.3 se muestra como
hacer las conexiones a la base en este caso.
4. Mide la corriente que llega al conductor 1. Para ello quita el puente que corresponde a este conductor e
intercala en su lugar el amperı́metro.. Para obtener el signo correcto, la borna etiquetada como “COM”
en el amperı́metro debe estar en el lado del conductor.
5. Mide la corriente que llega a los conductores 2, 3 y 4 usando la misma técnica, siempre con “COM” del
lado del conductor.
6. Repite el proceso situando el conductor 2 a 10 V y el 1, 3 y 4 a tierra.
7. Vuelve a medir situando ahora el conductor 3 a 10 V y el 1, 2 y 4 a tierra.
8. Vuelve a medir situando ahora el conductor 4 a 10 V y el 1, 2 y 3 a tierra.
9. A partir de las medidas de los puntos 4 a 8, calcula la matriz de coeficientes de conductancia.
3.4 Realización de la práctica
3-5
Simulación numérica
1. Abre el fichero “practica3.pde”, de forma que se ejecute la aplicación FlexPDE.
2. En el editor del programa, ajusta los valores de los voltajes para que V1 = 1, V2 = V3 = V4 = 0.
3. Ejecuta el programa y toma nota de los valores de las Ii .
4. Repite el proceso fijando V2 = 1, V1 = V3 = V4 = 0.
5. Repite el proceso fijando V3 = 1, V1 = V2 = V4 = 0.
6. Repite el proceso fijando V4 = 1, V1 = V2 = V3 = 0.
7. Calcula la matriz de coeficientes de conductancia numérica a partir de estos valores.
Nota: Los resultados numéricos deben ser redondeados para quedarse con cuatro cifras significativas.
8. La matriz de coeficientes experimental y la numérica deben ser proporcionales entre sı́. La constante de
proporcionalidad debe ser una constante dimensional G0 de forma que
Gij (exp) = G0 Gij (num)
Para verificar que se cumple la proporcionalidad, calcula la recta de mı́nimos cuadrados que se obtiene
emparejando cada valor de Gij numérico (que hará el papel de x) con su correspondiente valor experimental (que será la y). El valor de G0 corresponde a la pendiente esta recta, mientras que la ordenada en
origen debe ser prácticamente nula. No es necesario hacer la gráfica de esta recta.
Se considera que los valores numéricos no tienen dimensiones. Por tanto las unidades de la constante son
las de los coeficientes Gij .
Caso práctico
1. Sitúa los conductores 1 y 3 a 5 V, el conductor 4 a 10 V y el 2 a tierra. Mide la corriente que llega a cada
conductor.
2. Ejecuta el programa FlexPDE, poniendo los valores V1 = 5 V, V2 = 0, V3 = 5 V, V4 = 10 V. Anota los
valores de las corrientes.
3. Conocida la matriz experimental de coeficientes de conductancia, calcula las corrientes para V1 = V3 =
5 V, V2 = 0 V. V4 = 10 V. Compara el resultado con el medido experimentalmente en el punto 1.
4. Haz lo mismo con la matriz obtenida por métodos numéricos. Recuerda que debes usar la constante G0
para escalar los valores numéricos. Considera sólo el error de G0 y de los valores de voltaje en estos
cálculos.
3-6
3.4.2.
Resistencia de dos configuraciones internas distintas
1. En este montaje vamos a medir la resistencia del sistema cuando la corriente entra por el conductor 1 y
sale por el conductor de tierra. Lo haremos con dos configuraciones distintas para las conexiones de los
conductores interiores.
2. Conecta el conductor 1 a la fuente de potencial y deja el resto de conductores flotantes.
3. Varı́a el voltaje de la fuente entre 0 y 10 V, en intervalos de 1 V. Mide la corriente que circula por el
conductor 1 en cada caso.
4. Haz lo mismo, pero ahora conectando entre sı́ los conductores 2, 3, y 4.
5. Representa gráficamente V frente a I para las dos series de medidas. A partir de la recta de mejor ajuste
y de la expresión (3.5) determina la resistencia de cada configuración. ¿Son iguales?
6. Gráficas
Recta de regresión V frente a I.
En la misma gráfica que la anterior, recta de regresión V frente a I ′ .