Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Marzo 2008, versión 1.4 Contenido 1. Fórmulas de cuadratura 2. Fórmulas de Newton-Cotes 3. Fórmulas compuestas 1 Fórmulas de cuadratura • Objetivo Aproximar la integral I= Z b f (x) dx a usando una combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo [a, b], a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b, Z a b f (x) dx ' α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ). La fórmula de cuadratura es F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ). • Error E (f ) = I − F (f ) Z b = f (x) dx − [α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )] . a 1 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 2 Ejemplo 1.1 Consideramos la integral Z 1 x sin x dx. I= 0 1. Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura ∙ µ ¶ ¸ a+b b−a f (a) + 4f + f (b) . F (f ) = 6 2 2. Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error. 1. Valor aproximado. Tenemos a = 0, b = 1, f (x) = x sin x, 1−0 F (f ) = (0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005. 6 2. Valor exacto y error. Calculamos una primitiva de f (x) Z x sin x dx = integramos por partes Z µ ¶ = −x cos x − (− cos x) dx Z u=x du = dx = −x cos x + cos x dx dv = sin x dx v = − cos x = −x cos x + sin x + c El valor exacto es Z 1 x sin x dx = [−x cos x + sin x]x=1 x=0 = − cos 1 + sin 1 = 0. 30117. 0 Error |E (f )| = |I − F (f )| = |0. 30117 − 0. 30005| = 0.00 112. La fórmula de cuadratura ha producido una aproximación con 2 decimales exactos. ¤ • Grado de precisión Dado un intervalo [a, b], decimos que una fórmula de cuadratura F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ) tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado ≤ g (y no lo es para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio de grado ≤ g, entonces la fórmula de cuadratura es exacta para p(x) Z b p(x) dx = α0 p(x0 ) + α1 p(x1 ) + · · · + αn p(xn ). a Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 3 • Determinación del grado de precisión Puede demostrarse que la fórmula de cuadratura F (f ) tiene grado de precisión g si es exacta para los polinomios p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . , pg (x) = xg y no lo es para pg+1 (x) = xg+1 . Ejemplo 1.2 Consideramos el intervalo [0, 2]. Determina el grado de precisión de la fórmula de cuadratura F (f ) = 1 [f (0) + 4f (1) + f (2)] . 3 Tenemos que verificar la exactitud de F (f ) sobre p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . ⎫ Z 2 ⎪ 2 ⎪ 1 dx = [x]0 = 2 ⎪ ⎬ 0 ⇒ F (f ) exacta para p0 (x) = 1. ⎪ ⎪ 6 ⎪ F (1) = 13 (1 + 4 + 1) = = 2 ⎭ 3 ⎫ ∙ 2 ¸2 Z 2 x ⎪ ⎪ ⎬ x dx = =2 2 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p1 (x) = x. ⎪ ⎪ ⎭ F (x) = 13 (0 + 4 · 1 + 2) = 63 = 2 ⎫ ∙ 3 ¸2 Z 2 ⎪ x 8 ⎪ ⎪ x2 dx = = ⎪ ⎬ 3 0 3 0 ⇒ F (f ) exacta para p2 (x) = x2 . ⎪ ¡ ¢ ⎪ 8 ⎪ ⎭ F x2 = 13 (0 + 4 · 1 + 4) = ⎪ 3 ⎫ ∙ 4 ¸2 Z 2 ⎪ x 16 ⎪ 3 ⎪ =4 x dx = = ⎪ ⎬ 4 4 0 0 ⇒ F (f ) exacta para p3 (x) = x3 . ⎪ ⎪ ¡ ¢ ⎪ 12 ⎭ F x3 = 13 (0 + 4 · 1 + 8) = =4 ⎪ 3 ⎫ ∙ 5 ¸2 Z 2 ⎪ x 32 ⎪ 4 ⎪ x dx = = ⎪ ⎬ 5 5 0 0 ⇒ F (f )no exacta para p4 (x) = x4 . ⎪ ⎪ ¡ ¢ 20 ⎪ ⎪ ⎭ F x4 = 13 (0 + 4 · 1 + 16) = 3 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 4 La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas las integrales Z 2 p(x) dx 0 con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos p(x) = x3 − x, ¸2 ∙ 4 Z 2 ¢ ¡ 3 x2 x 16 4 − − = 4 − 2 = 2, = x − x dx = 4 2 4 2 0 0 6 1 F (p) = [0 + 4· (1 − 1) + (8 − 2)] = = 2. ¤ | {z } | {z } 3 3 p(1) 2 p(2) Fórmulas de Newton-Cotes Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpolador construido con nodos igualmente espaciados. • Estrategia 1. Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud h= b−a , n los puntos de división son de la forma x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, .. . xj = a + jh, .. . xn = a + nh = b. Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 5 2. Calculamos el polinomio pn (x) que interpola f (x) en los nodos x0 , x1 , x2 , . . . , xn . 3. Tomamos Z a 2.1 b f (x) dx ' Z b pn (x) dx. a Fórmula del trapecio y de Simpson • Fórmula del Trapecio Es la fórmula de Newton-Cotes de 2 puntos. Z b p1 (x) dx = a f (a) + f (b) (b − a) . 2 b−a [f (a) + f (b)] . 2 FT (f ) = Si tomamos h = b − a h [f (x0 ) + f (x1 )] , 2 x0 = a, x1 = a + h, h = b − a. FT (f ) = • Fórmula de Simpson Es la fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos. h= x0 = a, b−a , 2 x1 = a + h, x2 = a + 2h = b. Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 6 Puede demostrarse que Z b p2 (x) dx = a = ∙ µ ¶ ¸ a+b b−a f (a) + 4f + f (b) 6 2 h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] . 3 h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] , 3 x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, b−a h= . 2 FS (f ) = Ejemplo 2.1 Consideramos la integral Z 2 1 dx I= 1 x 1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio. 2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson. 3. Calcula los errores. 1. Aproximación por trapecio. Tenemos a = 1, 1 b = 2, f (x) = , x µ ¶ 1 1 3 3 2−1 FT (f ) = 1+ = · = = 0.75. 2 2 2 2 4 2. Aproximación por Simpson. Tenemos 2−1 = 0.5, h= 2 x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2, µ ¶ 1 1 0.5 1+4 + = 0. 69444. FS (f ) = 3 1.5 2 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 7 3. Valor exacto y errores. Z 2 1 dx = [ln x]21 = ln 2 = 0. 69315, 1 x |ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 69315 − 0.75| = 0.0 5685, |ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 69315 − 0. 69444| = 0.00 129. Con la fórmula Simpson, hemos obtenido 2 decimales exactos. ¤ 2.2 Errores • Fórmula del trapecio Sea f (x) de clase C 2 [a, b], x0 = a, x1 = b, h = b − a. Se cumple I= Z b f (x) dx = a h h3 [f (x0 ) + f (x1 )] − f (2) (t) , 2 12 t ∈ (a, b) . Valor absoluto del error |ET (f )| = |I − FT (f )| = Cota superior de error |ET (f )| ≤ t ∈ (a, b) . ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . h3 M2 , 12 x∈[a,b] • Fórmula de Simpson Sea f (x) de clase C 4 [a, b], x0 = a, h3 ¯¯ (2) ¯¯ ¯f (t)¯ , 12 x1 = a + h, x2 = b, h= b−a . 2 Se cumple Z b h h5 I= f (x) dx = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f (4) (t) , 3 90 a Valor absoluto del error |ES (f )| = |I − FS (f )| = Cota superior de error |ES (f )| ≤ h5 M4 , 90 h5 ¯¯ (4) ¯¯ ¯f (t)¯ , 90 t ∈ (a, b) . ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . x∈[a,b] t ∈ (a, b) . Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 8 Ejemplo 2.2 Consideramos la integral Z 2 x ln x dx. I= 1 1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio; calcula una cota superior de error. 2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson; calcula una cota superior de error. 3. Calcula el valor exacto de la integral y verifica los resultados. 1. Aproximación trapecio. Tenemos a = 1, b = 2, FT (f ) = h = 2 − 1 = 1, f (x) = x ln x, 1 (1 ln 1 + 2 ln 2) = ln 2 = 0. 69315. 2 Cota de error |ET (f )| ≤ h3 M2 , 12 Calculamos las derivadas ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈[1,2] f 0 (x) = ln x + 1, 1 , x f 00 (x) es positiva si x ∈ [1, 2]. La función objetivo es ¯ ¯ 1 ¯ ¯ g(x) = ¯f (2) (x)¯ = , x f 00 (x) = −1 , x2 la derivada g 0 (x) es negativa, por lo tanto g(x) es decreciente en el intervalo y resulta ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ = g(1) = 1. g 0 (x) = x∈[1,2] La cota de error es |ET (f )| ≤ h3 1 M2 = = 0.083333. 12 12 2. Aproximación por Simpson. Tenemos h= 2−1 = 0.5, 2 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 9 x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2. Valor de la aproximación, FS (f ) = 0.5 (1 ln 1 + 4 · 1.5 ln (1.5) + 2 ln 2) = 0. 63651. 3 Cota de error, |Es (f )| ≤ h5 M4 , 90 ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . x∈[1,2] Empezamos por determinar M4 . Calculamos las derivadas f 000 (x) = − f (4) (x) = 1 , x2 2 . x3 La derivada f (4) (x) es positiva si x ∈ [1, 2], por lo tanto, la función objetivo es ¯ ¯ 2 ¯ ¯ g(x) = ¯f (4) (x)¯ = 3 . x Calculamos la derivada de la función objetivo g 0 (x) = −6 , x4 vemos que g 0 (x) es negativa y, en consecuencia, la función objetivo g(x) es decreciente ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ = g(1) = 2. x∈[1,2] Cota de error para la aproximación mediante la fórmula de Simpson |ES (f )| ≤ h5 (0.5)5 M4 = 2 = 0.0006 9444. 90 90 Vemos que, en este caso, podemos asegurar 2 decimales exactos. 3. Valor exacto y errores. Calculamos una primitiva de f (x) Z x ln x dx = integramos por partes. Z 2 x2 x 1 dx ⎞ = ln x − ⎛ 1 2 2 x u = ln x, du = dx. Z ⎟ x2 ⎜ x ⎠ = ln x − 1 x dx ⎝ 2 x 2 2 dv = x dx, v = . 2 x2 x2 = ln x − + c. 2 4 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 10 El valor exacto, con cinco decimales, es ¸x=2 ¶ ∙ 2 µ Z 2 x2 1 x 1 ln x − ln 1 − x ln x dx = = (2 ln 2 − 1) − 2 4 x=1 2 4 1 = 2 ln 2 − 1 + 1/4 = 0. 63629. Error trapecio |ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 63629 − 0. 69315| = 0.0 5686, cota error trapecio Error Simpson |ET (f )| ≤ 0.083333. |ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 63629 − 0. 63651| = 0.000 22, cota error Simpson |ES (f )| ≤ 0.0006 94. Observamos que los errores son inferiores a las cotas de error correspondientes. ¤ 3 Fórmulas compuestas 3.1 Trapecio compuesto • Estrategia 1. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud b−a , n h= y obtenemos n + 1 puntos x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + nh = b. Los n subintervalos son A1 = [x0 , x1 ], A2 = [x1 , x2 ] , . . . , Aj = [xj−1 , xj ] , . . . , An = [xn−1 , xn ] . 2. Aplicamos la fórmula del trapecio a cada subintervalo A1 = [x0 , x1 ] Aj = [xj−1 , xj ] An = [xn−1 , xn ] ⇒ (1) = (j) = (n) = FT .. . ⇒ ⇒ FT .. . FT h [f (x0 ) + f (x1 )] , 2 .. . h [f (xj−1 ) + f (xj )] , 2 .. . h [f (xn−1 ) + f (xn )] . 2 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 11 3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones sobre los subintervalos (n) (1) (2) (j) (n) FT C = FT + FT + · · · + FT + · · · + FT . • Fórmula de trapecio compuesto (n) FT C = h= h [f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xj ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn )] , 2 b−a . n Si agrupamos términos, obtenemos n−1 (n) FT C X h = [f (x0 ) + f (xn )] + h f (xj ) , 2 j=1 h= b−a . n • Cota de error Si f (x) es de clase C 2 [a, b], se cumple ¯ ¯ ¯Z ¯ (n) ¯ ¯¯ ¯ET C ¯ = ¯ b f (x)dx a ¯ (n) ¯ − FT C ¯¯ ≤ b−a 2 h M2 , 12 ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈[a,b] • Demostración de la cota de error h= b−a . n Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 12 Dividimos el intervalo en n subintervalos y aplicamos las propiedades de las integrales Z b Z x1 Z x2 Z xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx, x0 x1 xn−1 a Z Z Z = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx, A1 A2 An = I1 + I2 + · · · + In . Definimos (n) (1) (2) (n) FT C = FT + FT + · · · + FT , (j) donde FT es el valor de la fórmula simple del trapecio sobre el intervalo Aj = [xj−1 , xj ] . Entonces se cumple ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n) ¯ (n) ¯¯ ¯ f (x) dx − FT C ¯ ¯ET C ¯ = ¯ ¯ a ³ ´¯ ¯ (1) (2) (n) ¯ = ¯(I1 + I2 + · · · + In ) − FT + FT + · · · + FT ¯ ¯³ ´ ³ ´ ³ ´¯ ¯ (1) (2) (n) ¯ + I2 − FT + · · · + In − FT ¯ = ¯ I1 − FT ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ (2) ¯ (n) ¯ ≤ ¯I1 − FT ¯ + ¯I2 − FT ¯ + · · · + ¯In − FT ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯ ¯ (n) ¯ ≤ ¯ET ¯ + ¯ET ¯ + · · · + ¯ET ¯ , ¯ ¯ ¯ (j) ¯ donde ¯ET ¯ representa el error del trapecio simple en el intervalo Aj . Podemos acotar el error en cada subintervalo como sigue ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) ¯ h3 (j) ¯ ¯ (j) ¯ET ¯ ≤ M2 , M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈A 12 j Entonces, resulta la siguiente cota para el error global ¯ ¯ h3 (n) ¯ (n) ¯ h3 (1) h3 (2) ¯ET C ¯ ≤ M2 + M2 + · · · + M2 . 12 12 12 Si tomamos ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ , x∈[a,b] se cumple para todos los intervalos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) M2 = max ¯f (2) (x)¯ ≤ max ¯f (2) (x)¯ = M2 , x∈Aj por lo tanto ¯ ¯ ¯ (n) ¯ ¯ET C ¯ ≤ ≤ x∈[a,b] h3 h3 h3 h3 b − a h2 M2 + M2 + · · · + M2 = n M2 = n M2 12 12 12 12 n 12 b−a 2 h M2 . ¤ 12 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 13 Ejemplo 3.1 Calcula Z 2 x ln x dx 1 con 2 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto. 1. Cálculo del número de intervalos. a = 1, b = 2, f (x) = x ln x. Tenemos la acotación ¯ ¯ b−a ¯ (n) ¯ b − a 2 h M2 , h = , ¯ET C ¯ ≤ 12 n ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ . x∈[1,2] Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que ¯ ¯ ¯ ¯ M2 = max ¯f (2) (x)¯ = 1, x∈[1,2] entonces ¯ ¯ 1 ¯ (n) ¯ ¯ET C ¯ ≤ h2 . 12 Exigimos ¯ ¯ 1 ¯ (n) ¯ E ¯ T C ¯ ≤ h2 ≤ 0.5 × 10−2 12 y resulta ¡ ¢ h2 ≤ 12 · 0.5 × 10−2 = 0.0 6, √ h ≤ 0.0 6 = 0. 24495. Como h= 1 2−1 = , n n resulta 1 ≤ 0. 24495 n Necesitamos 5 subintervalos. 1 = 4. 0825. 0. 24495 ⇒ n≥ h= 1 = 0.2. 5 2. Valor de la aproximación. Con n = 5, el valor del step es Obtenemos los nodos x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6, x4 = 1.8, x5 = 2. Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 14 La fórmula del trapecio compuesto con 5 subintervalos es 4 (5) FT C = X h [f (x0 ) + f (x5 )] + h f (xj ) , 2 j=1 en nuestro caso resulta (5) FT C 0.2 (1 ln 1 + 2 ln 2) + (0.2) (1.2 ln 1.2 + 1.4 ln 1.4 + 1.6 ln 1.6 + 1.8 ln 1.8) 2 = 0. 13863 + 0. 49997 = 0. 63860. = 3. Error exacto. Valor exacto con 5 decimales Z I= 2 x ln x dx = 0. 63629. 1 Error 3.2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (5) ¯ ¯ (5) ¯ ¯ET C ¯ = ¯I − FT C ¯ = |0. 63629 − 0. 63860| = 0.00 231. ¤ Fórmula de Simpson compuesto • Estrategia La idea es dividir el intervalo [a, b] en m subintervalos de igual longitud A1 , A2 , . . . , Am y aplicar la regla simple de Simpson a cada subintervalo. Para centrar ideas, expondremos el caso m = 3. 1. Para aplicar la regla de Simpson, debemos tomar el punto medio de cada intervalo. Por lo tanto, la distancia entre nodos (step) es h= b−a . 2m Los nodos son x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + 2mh = b. Si m = 3, la distancia entre nodos será h= y tendremos 2m + 1 = 7 nodos b−a 6 Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 15 en este caso, los intervalos son A1 = [x0 , x2 ], punto medio x1 . A2 = [x2 , x4 ], punto medio x3 . A3 = [x4 , x6 ], punto medio x5 . 2. Aplicamos la fórmula de Simpson a cada subintervalo (1) = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] . 3 (2) = h [f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 )] . 3 (3) = h [f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )] . 3 A1 = [x0 , x2 ] ⇒ FS A2 = [x2 , x4 ] ⇒ FS A3 = [x4 , x6 ], ⇒ FS 3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones sobre los subintervalos (m) (1) (2) (m) FSC = FS + FS + · · · + FS . En el caso m = 3 (3) FSC = h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )] . 3 Podemos reordenar y agrupar los valores como sigue. (3) FSC = h {f (x0 ) + f (x6 ) +2 [f (x2 ) + f (x4 )] +4 [f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 )]}. | | {z } {z } {z } 3 | nodos extremos nodos pares interiores nodos impares • Fórmula de Simpson compuesto (m) FSC ⎡ ⎤ m−1 m X X h⎣ = f (x2j ) + 4 f (x2j−1 )⎦ , f (x0 ) + f (x2m ) + 2 3 j=1 j=1 h= b−a . 2m Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 16 • Cota de error Si f (x) es de clase C 4 [a, b], se cumple ¯ ¯ ¯Z ¯ (m) ¯ ¯¯ ¯ESC ¯ = ¯ b ¯ (m) ¯ − FSC ¯¯ b−a 4 h M4 , 180 ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . f (x)dx a ≤ h= b−a . 2m x∈[a,b] • Demostración de la cota de error El procedimiento es muy parecido al empleado en la demostración de la cota de error para la fórmula del trapecio compuesto. Tenemos Z b Z Z Z f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx A1 a A2 Am = I1 + I2 + · · · + Im . (m) (j) (1) (2) (m) FSC = FS + FS + · · · + FS , donde FS es el valor de la fórmula simple de Simpson sobre el intervalo Aj = [x2j−2 , x2j ] . Entonces ¯Z b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (m) ¯ (m) f (x) dx − FSC ¯¯ ¯ESC ¯ = ¯¯ ¯ a ´¯ ³ ¯ (1) (2) (m) ¯ = ¯(I1 + I2 + · · · + Im ) − FS + FS + · · · + FS ¯ ¯³ ´ ³ ´ ³ ´¯ ¯ (1) (2) (m) ¯ = ¯ I1 − FS + I2 − FS + · · · + Im − FS ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (1) ¯ (2) ¯ (m) ¯ ≤ ¯I1 − FS ¯ + ¯I2 − FS ¯ + · · · + ¯Im − FS ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (m) ¯ ¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯ ≤ ¯ES ¯ + ¯ES ¯ + · · · + ¯ES ¯ , ¯ ¯ ¯ (j) ¯ donde ¯ES ¯ representa el error de Simpson simple en el intervalo Aj . Sabemos que se cumple ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) ¯ h5 (j) ¯ ¯ (j) ¯ES ¯ ≤ M4 , M4 = max ¯f (4) (x)¯ , x∈Aj 90 entonces Si tomamos ¯ ¯ h5 (m) ¯ (m) ¯ h5 (1) h5 (2) ¯ESC ¯ ≤ M4 + M4 + · · · + M4 . 90 90 90 ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ , x∈[a,b] se cumple para todos los intervalos ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (j) M4 = max ¯f (4) (x)¯ ≤ max ¯f (4) (x)¯ = M4 , x∈Aj x∈[a,b] Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 17 por lo tanto ¯ ¯ ¯ (m) ¯ ¯ESC ¯ ≤ h5 h5 h5 M4 + M4 + · · · + M4 90 90 90 h5 b − a h4 M4 ≤ m M4 = m 90 2m 90 b−a 4 h M4 . ¤ ≤ 180 Ejemplo 3.2 Calcula Z 2 x ln x dx 1 con 4 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto. 1. Cálculo del número de intervalos. a = 1, b = 2, f (x) = x ln x. Tenemos la acotación ¯ ¯ b−a ¯ (m) ¯ b − a 4 h M4 , h = , ¯ESC ¯ ≤ 180 2m ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ . x∈[a,b] Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que ¯ ¯ ¯ ¯ M4 = max ¯f (4) (x)¯ = 2, x∈[1,2] entonces Exigimos ¯ ¯ 1 4 ¯ (m) ¯ h · 2. ¯ESC ¯ ≤ 180 1 4 h · 2 ≤ 0.5 × 10−4 , 180 ¡ ¢ 180 · 0.5 × 10−4 4 = 0.00 45, h ≤ 2 √ 4 h ≤ 0.0 045 = 0. 259. Como h= resulta 1 2−1 = , 2m 2m 1 1 ≤ 0. 259 ⇒ m ≥ = 1. 9305. 2m 2 · 0. 259 Necesitamos tomar m = 2. Se trata de Simpson doble, con 2m = 4 subintervalos. Francisco Palacios Tema 3: Integración Numérica 18 2. Valor de la aproximación. Con m = 2, resulta h= 1 = 0.25. 4 Los nodos son x0 = 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2. La fórmula de Simpson doble es ⎡ ⎤ 1 2 X X h⎣ (2) FSC = f (x0 ) + f (x4 ) + 2 f (x2j ) + 4 f (x2j−1 )⎦ 3 j=1 = j=1 h {f (x0 ) + f (x4 ) + 2f (x2 ) + 4 [f (x1 ) + f (x3 )]} , 3 en concreto (2) FSC = = 0.25 [(1 ln 1 + 2 ln 2) + 2 (1.5 ln 1.5) + 4 (1.25 ln 1.25 + 1.75 ln 1.75)] 3 0.25 7. 63571 8 = 0. 63630 98. 3 3. Error exacto. I= Z 2 x ln x dx = 0. 63629 44. 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (2) ¯ ¯ (2) ¯ ¯ESC ¯ = ¯I − FSC ¯ = |0. 63629 44 − 0. 63630 98| = 0.154 × 10−4 . ¤