Resumen y ejemplos Tema 6: Integración numérica 1 Fórmulas de

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Octubre 2008, Versión 1.5
Contenido
1. Fórmulas de cuadratura
2. Fórmulas de Newton-Cotes
3. Fórmulas compuestas
1
Fórmulas de cuadratura
• Objetivo
Aproximar la integral
I=
Z
b
f (x) dx
a
usando una combinación lineal de valores de f (x) en puntos del intervalo
[a, b].
Puntos del intervalo (nodos)
a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b.
Aproximación
Z
a
b
f (x) dx ' α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ).
La fórmula de cuadratura es
F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn ).
La notación F (f ) indica que los coeficientes αj y los nodos xj son conocidos;
es la función f la que actúa como variable en la fórmula.
• Error
E (f ) = I − F (f )
Z b
f (x) dx − [α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )] .
=
a
1
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 2
Ejemplo 1.1 Consideramos la integral
Z 1
x sin x dx.
I=
0
1. Aproxima el valor de I con la fórmula de cuadratura
∙
µ
¶
¸
a+b
b−a
F (f ) =
f (a) + 4f
+ f (b)
6
2
[a, b] representa el intervalo de integración [0, 1].
2. Calcula el valor exacto de la integral y el valor del error.
1. Valor aproximado. Tenemos
a = 0,
b = 1,
f (x) = x sin x.
1−0
(0 + 4 · (0.5) sin (0.5) + sin 1) = 0. 30005.
6
2. Valor exacto y error.Calculamos una primitiva de f (x)
F (f ) =
Z
x sin x dx = integramos por partes
µ
u=x
du = dx
dv = sin x dx v = − cos x
Z
0
1
¶ = −x cos x −
= −x cos x +
Z
Z
(− cos x) dx
cos x dx
= −x cos x + sin x + c
x sin x dx = [−x cos x + sin x]x=1
x=0 = − cos 1 + sin 1 = 0. 30117.
Error.
|E (f )| = |I − F (f )| = |0. 30117 − 0. 30005| = 0.00 112.
Vemos que la fórmula de cuadratura ha producido una aproximación de la
integral con 2 decimales exactos. ¤
• Grado de precisión
Dado un intervalo [a, b], una fórmula de cuadratura
F (f ) = α0 f (x0 ) + α1 f (x1 ) + · · · + αn f (xn )
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 3
tiene grado de precisión g si es exacta para todos los polinomios de grado
≤ g (y no lo és para alguno de grado g +1). Es decir, si p(x) es un polinomio
de grado ≤ g, entonces
Z b
p(x) dx = α0 p(x0 ) + α1 p(x1 ) + · · · + αn p(xn ).
a
• Determinación del grado de precisión
Puede demostrarse que la fórmula de cuadratura F (f ) tiene grado de precisión g si es exacta para los polinomios
p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . . , pg (x) = xg
y no lo es para
pg+1 (x) = xg+1 .
Ejemplo 1.2 Consideramos el intervalo [0, 2]. Determina el grado de precisión de la fórmula de cuadratura
F (f ) =
1
[f (0) + 4f (1) + f (2)]
3
Tenemos que verificar la exactitud de F (f ) sobre los monomios
p0 (x) = 1, p1 (x) = x, p2 (x) = x2 , . . .
⎫
Z 2
⎪
⎪
1 dx = [x]20 = 2,
⎪
⎬
0
⇒ F (f ) exacta para p0 (x) = 1.
⎪
⎪
6
⎪
F (1) = 13 (1 + 4 + 1) = = 2. ⎭
3
⎫
∙ 2 ¸2
Z 2
x
⎪
⎪
⎬
x dx =
= 2,
2 0
0
⇒ F (f ) exacta para p1 (x) = x.
⎪
⎪
⎭
F (x) = 13 (0 + 4 · 1 + 2) = 63 = 2.
⎫
∙ 3 ¸2
Z 2
⎪
x
8
⎪
2
⎪
x dx =
= ,
⎪
⎬
3
3
0
0
⇒ F (f ) exacta para p2 (x) = x2
⎪
¡ ¢
⎪
8 ⎪
⎭
F x2 = 13 (0 + 4 · 1 + 4) = . ⎪
3
⎫
∙ 4 ¸2
Z 2
⎪
x
16
⎪
3
⎪
= 4,
x dx =
=
⎪
⎬
4
4
0
0
⇒ F (f ) exacta para p3 (x) = x3 .
⎪
⎪
¡ ¢
⎪
12
⎭
F x3 = 13 (0 + 4 · 1 + 8) =
= 4. ⎪
3
Resumen y ejemplos
Z
∙
2
x5
x4 dx =
5
0
¸2
0
Tema 6: Integración numérica. 4
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
32
= ,
5
⇒ F (f )no exacta para p4 (x) = x4
⎪
¡ ¢
⎪
20 ⎪
⎭
F x4 = 13 (0 + 4 · 1 + 16) = . ⎪
3
La fórmula de cuadratura tiene grado de precisión 3, y es exacta para todas
las integrales
Z
2
p(x) dx
0
con p(x) polinomio de grado ≤ 3. Por ejemplo, tomemos
Z
0
p(x) = x3 − x,
¸2
∙ 4
¢
x
x2
16 4
x3 − x dx =
−
− = 4 − 2 = 2,
=
4
2 0
4
2
2¡
1
6
F (p) = [0 + 4· (1 − 1) + (8 − 2)] = = 2. ¤
|
|
{z
}
{z
}
3
3
p(1)
2
p(2)
Fórmulas de Newton-Cotes
Las fórmulas de Newton-Cotes se obtienen integrando el polinomio interpolador construido con nodos igualmente espaciados.
• Estrategia
1. Dividimos [a, b] en n subintervalos de longitud
h=
b−a
,
n
los puntos de división son de la forma
x0 = a,
x1 = a + h,
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 5
x2 = a + 2h,
..
.
xj = a + jh,
..
.
xn = a + nh = b.
2. Calculamos el polinomio pn (x) que interpola f (x) en los nodos
x0 , x1 , x2 , . . . , xn .
3. Tomamos
Z
a
2.1
b
f (x) dx '
Z
b
pn (x) dx.
a
Fórmula del trapecio y de Simpson
• Fórmula del Trapecio
Es la fórmula de Newton-Cotes de 2 puntos
Z
b
p1 (x) dx =
a
f (a) + f (b)
(b − a) .
2
La fórmula del trapecio es
FT (f ) =
b−a
[f (a) + f (b)] .
2
Si tomamos h = b − a, obtenemos la siguiente expresión
h
[f (x0 ) + f (x1 )] ,
2
x0 = a, x1 = a + h,
h = b − a.
FT (f ) =
• Fórmula de Simpson
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 6
Es la fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos
h=
x0 = a,
b−a
,
2
x1 = a + h,
x2 = a + 2h = b.
Puede demostrarse que
Z
b
p2 (x) dx =
a
=
∙
µ
¶
¸
a+b
b−a
f (a) + 4f
+ f (b)
6
2
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] .
3
La fórmula de Simpson es
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] ,
3
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h,
b−a
.
h=
2
FS (f ) =
Ejemplo 2.1 Consideramos la integral
Z 2
1
dx.
I=
x
1
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio.
2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.
3. Calcula los errores.
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 7
1. Aproximación con la fórmula del trapecio. Tenemos
a = 1,
2−1
FT (f ) =
2
b = 2,
f (x) =
1
,
x
µ
¶
1
1 3
3
1+
= · = = 0.75.
2
2 2
4
2. Aproximación con la fórmula de Simpson. Tenemos
h=
2−1
= 0.5,
2
x0 = 1, x1 = 1.5,
µ
1
0.5
1+4
+
FS (f ) =
3
1.5
x2 = 2,
¶
1
= 0. 69444.
2
3. Valor exacto y errores. Calculamos la integral exacta
Z 2
1
dx = [ln x]21 = ln 2 = 0. 69315.
x
1
Error para la fórmula del trapecio
|ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 69315 − 0.75| = 0.0 5685.
Error para la fórmula de Simpson
|ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 69315 − 0. 69444| = 0.00 129.
Con la fórmula Simpson, hemos obtenido 2 decimales exactos. ¤
2.2
Errores
• Fórmula del trapecio
Sea f (x) de clase C 2 [a, b]
x0 = a,
x1 = b,
h = b − a,
se cumple
I=
Z
FT (f )
b
a
z
}|
{
h
h3
f (x) dx = [f (x0 ) + f (x1 )] − f (2) (t) ,
2
12
t ∈ (a, b) .
Valor absoluto del error
|ET (f )| = |I − FT (f )| =
h3 ¯¯ (2) ¯¯
¯f (t)¯ ,
12
t ∈ (a, b) .
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 8
Cota superior de error
¯
¯
M2 = max ¯f (2) (x)¯ .
h3
M2 ,
12
|ET (f )| ≤
x∈[a,b]
• Fórmula de Simpson
Sea f (x) de clase C 4 [a, b]
x0 = a,
x1 = a + h,
x2 = b,
h=
b−a
,
2
se cumple
FS (f )
z
}|
{
b
h5
h
I=
f (x) dx = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f (4) (t) ,
3
90
a
Z
t ∈ (a, b) .
Valor absoluto del error
|ES (f )| = |I − FS (f )| =
Cota superior de error
|ES (f )| ≤
h5 ¯¯ (4) ¯¯
¯f (t)¯ ,
90
t ∈ (a, b) .
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ .
h5
M4 ,
90
x∈[a,b]
Ejemplo 2.2 Consideramos la integral
Z 2
x ln x dx.
I=
1
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio; calcula una
cota superior de error.
2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson; calcula una
cota superior de error.
3. Calcula el valor exacto de la integral y verifica los resultados.
1. Aproximación trapecio. Tenemos
a = 1,
b = 2,
h = 2 − 1 = 1,
f (x) = x ln x,
Valor de la aproximación
FT (f ) =
1
(1 ln 1 + 2 ln 2) = ln 2 = 0. 69315.
2
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 9
La cota de error es
|ET (f )| ≤
h3
M2 ,
12
¯
¯
M2 = max ¯f (2) (x)¯ .
x∈[1,2]
Calculamos las derivadas para determinar M2 .
f 0 (x) = ln x + 1,
1
.
x
Observamos que f 00 (x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo en el
cálculo de M2 es
¯
¯ 1
¯
¯
g(x) = ¯f (2) (x)¯ = ,
x
−1
g 0 (x) = 2 .
x
0
Vemos que g (x) es negativa, por lo tanto g es decreciente en el intervalo y
resulta
¯
¯
¯
¯
M2 = max ¯f (2) (x)¯ = g(1) = 1.
f 00 (x) =
x∈[1,2]
Finalmente, obtenemos la cota de error
h3
1
M2 =
= 0.083333.
12
12
|ET (f )| ≤
2. Aproximación por Simpson. Tenemos
2−1
= 0.5,
2
h=
x0 = 1,
x1 = 1.5,
x2 = 2.
Valor de la aproximación
FS (f ) =
0.5
(1 ln 1 + 4 · 1.5 ln (1.5) + 2 ln 2) = 0. 63651.
3
La cota de error es
|Es (f )| ≤
h5
M4 ,
90
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ .
x∈[1,2]
Calculamos las derivadas para determinar M4 .
f 000 (x) = −
f (4) (x) =
1
,
x2
2
.
x3
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 10
Vemos que f (4) (x) es positiva si x ∈ [1, 2], la función objetivo es
¯
¯
2
¯
¯
g(x) = ¯f (4) (x)¯ = 3 ,
x
−6
.
x4
La derivada g 0 (x) es negativa, por lo tanto g es decreciente y resulta
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ = g(1) = 2.
g 0 (x) =
x∈[1,2]
Finalmente, obtenemos la cota de error
|ES (f )| ≤
h5
(0.5)5
M4 =
2 = 0.0006 9444.
90
90
Por lo tanto, podemos asegurar que el valor obtenido usando la fórmula de
Simpson aproxima el valor de la integral con (al menos) 2 decimales exactos.
3. Valor exacto y errores. Calculamos una primitiva de f (x)
Z
x ln x dx = integramos por partes
Z 2
x2
x 1
dx
⎞ = ln x −
⎛
1
2
2 x
u = ln x
du = dx
Z
⎟ x2
⎜
x
⎠ = ln x − 1 x dx
⎝
2
x
2
2
dv = x dx v =
2
2
x
x2
= ln x − + c.
2
4
Z
¸x=2
¶
µ
x2
1
x2
1
ln x −
ln 1 −
x ln x dx =
= (2 ln 2 − 1) −
2
4 x=1
2
4
1
= 2 ln 2 − 1 + 1/4 = 0. 63629.
∙
2
Error trapecio.
|ET (f )| = |I − FT (f )| = |0. 63629 − 0. 69315| = 0.0 5686,
cota calculada para el error trapecio
|ET (f )| ≤ 0.083333.
Error Simpson
|ES (f )| = |I − FS (f )| = |0. 63629 − 0. 63651| = 0.000 22,
cota error Simpson
|ES (f )| ≤ 0.0006 94.
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 11
Vemos que, en ambos casos, los errores son inferiores a las cotas calculadas. También observamos que con la fórmula Simpson hemos obtenido 3
decimales exactos. ¤
Importante: recuerda que la distancia entre nodos es
• h = b − a para la fórmula del trapecio,
b−a
para la fórmula de Simpson.
•h=
2
3
Fórmulas compuestas
Las fórmulas compuestas permiten obtener mejores aproximaciones dividiendo el intervalo de integración en varios tramos y aplicando una fórmula
simple a cada uno de los tramos.
3.1
Trapecio compuesto
• Estrategia
1. Dividimos el intervalo [a, b] en n tramos de longitud
b−a
,
n
h=
obtenemos n + 1 puntos
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + nh = b,
los n tramos son
A1 = [x0 , x1 ], A2 = [x1 , x2 ] , . . . , Aj = [xj−1 , xj ] , . . . , An = [xn−1 , xn ] .
2. Aplicamos la fórmula del trapecio a cada tramo
A1 = [x0 , x1 ]
Aj = [xj−1 , xj ]
⇒
⇒
An = [xn−1 , xn ]
(1)
=
(j)
=
(n)
=
FT
..
.
FT
..
.
⇒
FT
h
[f (x0 ) + f (x1 )] ,
2
..
.
h
[f (xj−1 ) + f (xj )] ,
2
..
.
h
[f (xn−1 ) + f (xn )] .
2
3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones
sobre los tramos
(n)
(1)
(2)
(j)
(n)
FT C = FT + FT + · · · + FT + · · · + FT .
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 12
• Fórmula de trapecio compuesto con n tramos.
(n)
FT C =
h=
h
[f (x0 ) + 2f (x1 ) + · · · + 2f (xj ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (xn )] ,
2
b−a
.
n
Si agrupamos términos, obtenemos
n−1
(n)
FT C
X
h
= [f (x0 ) + f (xn )] + h
f (xj ) ,
2
j=1
h=
b−a
.
n
• Cota de error
Si f (x) es de clase C 2 [a, b], se cumple
donde
¯
¯ ¯Z
¯ (n) ¯ ¯¯
¯ET C ¯ = ¯
b
a
¯
(n) ¯
f (x)dx − FT C ¯¯
≤
b−a 2
h M2 ,
12
h=
b−a
n
¯
¯
¯
¯
M2 = max ¯f (2) (x)¯ .
x∈[a,b]
• Demostración de la cota de error
Tenemos
Z b
Z x1
Z x2
Z xn
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx + · · · +
f (x) dx
x0
x1
xn−1
a
Z
Z
Z
=
f (x) dx +
f (x) dx + · · · +
f (x) dx
A1
A2
= I1 + I2 + · · · + In .
An
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 13
La fórmula de trapecio compuesto se obtiene sumando el valor del trapecio
simple en cada uno de los tramos, es decir
(n)
(1)
(2)
(n)
FT C = FT + FT + · · · + FT ,
(j)
donde FT es el valor de la fórmula simple del trapecio sobre el tramo
Aj = [xj−1 , xj ] . Entonces
¯Z b
¯
¯
¯
¯
¯ (n) ¯
(n) ¯¯
¯
f (x) dx − FT C ¯
¯ET C ¯ = ¯
a
¯
´¯
³
¯
(1)
(2)
(n) ¯
= ¯(I1 + I2 + · · · + In ) − FT + FT + · · · + FT ¯
¯³
´ ³
´
³
´¯
¯
(1)
(2)
(n) ¯
+ I2 − FT
+ · · · + In − FT ¯
= ¯ I1 − FT
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯
(1) ¯
(2) ¯
(n) ¯
≤ ¯I1 − FT ¯ + ¯I2 − FT ¯ + · · · + ¯In − FT ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯
¯ (n) ¯
≤ ¯ET ¯ + ¯ET ¯ + · · · + ¯ET ¯
¯
¯
¯ (j) ¯
donde ¯ET ¯ representa el error del trapecio simple en el tramo Aj . Sabemos
que se cumple
¯
¯
¯ (j) ¯ h3 (j)
¯ET ¯ ≤ M2 ,
12
entonces
¯
¯
¯
¯
(j)
M2 = max ¯f (2) (x)¯ ,
x∈Aj
¯
¯
h3 (n)
¯ (n) ¯ h3 (1) h3 (2)
¯ET C ¯ ≤ M2 + M2 + · · · + M2 .
12
12
12
¯
¯
¯
¯
M2 = max ¯f (2) (x)¯ ,
Si tomamos
x∈[a,b]
se cumple para todos los tramos
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(j)
M2 = max ¯f (2) (x)¯ ≤ max ¯f (2) (x)¯ = M2 ,
x∈Aj
x∈[a,b]
por lo tanto
¯
¯
¯ (n) ¯
¯ET C ¯ ≤
≤
h3
h3
h3
h3
b − a h2
M2 + M2 + · · · + M2 = n M2 = n
M2
12
12
12
12
n 12
b−a 2
h M2 . ¤
12
Ejemplo 3.1 Calcula el valor de la integral
Z 2
x ln x dx
1
con 2 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 14
1. Cálculo del número de tramos. Tenemos
a = 1, b = 2, f (x) = x ln x,
la cota de error es
¯
¯
¯ (n) ¯ b − a 2
E
h M2 ,
¯ TC¯ ≤
12
donde
h=
b−a
,
n
¯
¯
¯
¯ (2)
M2 = max ¯f (x)¯ .
x∈[a,b]
En el Ejemplo 2.2 hemos obtenido el valor de la cota de la derivada
¯
¯
¯
¯ (2)
M2 = max ¯f (x)¯ = 1,
x∈[1,2]
entonces la cota de error toma la forma
¯
¯
1
¯ (n) ¯
¯ET C ¯ ≤ h2 .
12
Exigimos
1 2
h ≤ 0.5 × 10−2
12
y determinamos h
¡
¢
h2 ≤ 12 · 0.5 × 10−2 = 0.0 6,
√
h ≤ 0.0 6 = 0. 24495.
Finalmente, como
h=
2−1
1
= ,
n
n
resulta
1
1
≤ 0. 24495 ⇒ n ≥
= 4. 0825.
n
0. 24495
Es decir, para garantizar 2 decimales exactos en la aproximación, necesitamos n = 5 tramos.
2. Valor de la aproximación. Con n = 5, resulta
h=
1
= 0.2,
5
los nodos son
x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6, x4 = 1.8, x5 = 2.
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 15
La fórmula del trapecio con 5 tramos es
4
(5)
FT C =
X
h
[f (x0 ) + f (x5 )] + h
f (xj ) ,
2
j=1
en concreto
(5)
FT C
0.2
(1 ln 1 + 2 ln 2) + (0.2) (1.2 ln 1.2 + 1.4 ln 1.4 + 1.6 ln 1.6 + 1.8 ln 1.8)
2
= 0. 13863 + 0. 49997 = 0. 63860.
=
3. Error exacto. El valor de la integral es
Z 2
I=
x ln x dx = 0. 63629,
1
de donde resulta el error
¯
¯ ¯
¯
¯ (5) ¯ ¯
(5) ¯
¯ET C ¯ = ¯I − FT C ¯ = |0. 63629 − 0. 63860| = 0.00 231.
Vemos que, efectivamente, la fórmula de trapecio compuesta con 5 tramos
aproxima el valor de la integral con 2 decimales exactos. ¤
3.2
Fórmula de Simpson compuesto
• Estrategia
La idea es dividir el intervalo [a, b] en m tramos de igual longitud
A1 , A2 , . . . , Am
y aplicar la regla simple de Simpson a cada tramo. Para centrar ideas,
expondremos el caso m = 3.
1. Para aplicar la regla de Simpson, debemos tomar el punto medio de
cada tramo. Por lo tanto, tendremos una distancia entre nodos
h=
b−a
.
2m
Los nodos son
x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . , xn = a + 2mh = b.
Si m = 3, la distancia entre nodos será
h=
y tendremos 2m + 1 = 7 nodos
b−a
6
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 16
en este caso, los tramos son
A1 = [x0 , x2 ],
punto medio x1,
A2 = [x2 , x4 ],
punto medio x3 ,
A3 = [x4 , x6 ],
punto medio x5 .
2. Aplicamos la fórmula de Simpson simple a cada tramo
(1)
=
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] ,
3
(2)
=
h
[f (x2 ) + 4f (x3 ) + f (x4 )] ,
3
(3)
=
h
[f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )] .
3
A1 = [x0 , x2 ]
⇒
FS
A2 = [x2 , x4 ]
⇒
FS
A3 = [x4 , x6 ],
⇒
FS
3. Tomamos como aproximación global la suma de las aproximaciones
sobre los tramos
(m)
(1)
(2)
(m)
FSC = FS + FS + · · · + FS ,
en el caso m = 3
(3)
FSC =
h
[f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + 4f (x5 ) + f (x6 )]
3
La fórmula puede reorganizarse como sigue:
(3)
FSC =
h
{f (x0 ) + f (x6 ) +2 [f (x2 ) + f (x4 )] +4 [f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 )]}
|
|
{z
}
{z
}
{z
}
3 |
nodos extremos
nodos pares interiores
nodos impares
• Fórmula de Simpson compuesto
La expresión general para la fórmula de Simpson compuesta con m tramos
es
⎡
⎤
m−1
m
X
X
h
b−a
(m)
.
FSC = ⎣f (x0 ) + f (x2m ) + 2
f (x2j ) + 4
f (x2j−1 )⎦ , h =
3
2m
j=1
j=1
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 17
• Cota de error
Si f (x) es de clase C 4 [a, b], se cumple
¯
¯
¯ ¯Z b
b−a 4
¯ (m) ¯ ¯¯
(m) ¯¯
h M4 ,
f (x)dx − FSC ¯ ≤
¯ESC ¯ = ¯
180
a
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ .
h=
b−a
.
2m
x∈[a,b]
• Demostración de la cota de error
Tenemos
Z b
Z
Z
Z
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx + · · · +
A1
a
A2
f (x) dx
Am
= I1 + I2 + · · · + Im .
La fórmula de Simpson compuesta de m tramos es
(m)
(1)
(2)
(m)
FSC = FS + FS + · · · + FS
(j)
donde FS es el valor de la fórmula simple de Simpson sobre el tramo Aj =
[x2j−2 , x2j ] . Entonces, el error global no supera la suma de los errores en los
tramos, en efecto
¯Z b
¯
¯
¯
¯
¯ (m) ¯
(m) ¯¯
¯
f (x) dx − FSC ¯
¯ESC ¯ = ¯
¯ a
´¯
³
¯
(1)
(2)
(m) ¯
= ¯(I1 + I2 + · · · + Im ) − FS + FS + · · · + FS
¯
¯³
´ ³
´
³
´¯
¯
(1)
(2)
(m) ¯
= ¯ I1 − FS
+ I2 − FS
+ · · · + Im − FS
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯
¯
¯
(1) ¯
(2) ¯
(m) ¯
≤ ¯I1 − FS ¯ + ¯I2 − FS ¯ + · · · + ¯Im − FS ¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯ (m) ¯
¯ (1) ¯ ¯ (2) ¯
≤ ¯ES ¯ + ¯ES ¯ + · · · + ¯ES ¯ ,
¯
¯
¯ (j) ¯
donde ¯ES ¯ representa el error de Simpson simple en el tramo Aj . Para
cada tramo, sabemos que se cumple
¯
¯
¯
¯
¯ (j) ¯ h5 (j)
¯
¯
(j)
¯ES ¯ ≤ M4 , M4 = max ¯f (4) (x)¯ ,
x∈Aj
90
entonces
¯
¯
h5 (m)
¯ (m) ¯ h5 (1) h5 (2)
¯ESC ¯ ≤ M4 + M4 + · · · + M4 .
90
90
90
¯
¯ (4)
¯
¯
Obviamente, el valor máximo de f (x) sobre cualquiera de los tramos
(j)
M4 no puede superar al valor máximo sobre el intervalo completo [a, b]; es
decir, si tomamos
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ ,
x∈[a,b]
Resumen y ejemplos
Tema 6: Integración numérica. 18
se cumple para todos los tramos
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(j)
M4 = max ¯f (4) (x)¯ ≤ max ¯f (4) (x)¯ = M4 .
x∈Aj
x∈[a,b]
por lo tanto
¯
¯
¯ (m) ¯
¯ESC ¯ ≤
h5 (1) h5 (2)
h5 (m)
M4 + M4 + · · · + M4
90
90
90
5
5
5
h
h
h
M4 + M4 + · · · + M4
≤
90
90
90
5
4
h
h
b − a h4
M4
≤ m M4 = mh M4 = m
90
90
2m 90
b−a 4
h M4 . ¤
≤
180
Ejemplo 3.2 Calcula el valor de la integral
Z 2
x ln x dx
1
con 4 decimales exactos usando la fórmula de Simpson compuesto.
1. Cálculo del número de intervalos. Tenemos
a = 1, b = 2, f (x) = x ln x,
la cota de error para la fórmula de Simpson con m tramos es
¯
¯
b−a
¯ (m) ¯ b − a 4
h M4 , h =
,
¯ESC ¯ ≤
180
2m
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ .
x∈[a,b]
Hemos visto en el Ejemplo 2.2 que
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯ = 2,
x∈[1,2]
entonces resulta la cota de error.
¯
¯
1 4
¯ (m) ¯
h · 2.
¯ESC ¯ ≤
180
Exigimos
1 4
h · 2 ≤ 0.5 × 10−4
180
Resumen y ejemplos
y determinamos h
Tema 6: Integración numérica. 19
¡
¢
180 · 0.5 × 10−4
= 0.00 45,
h ≤
2
√
4
h ≤ 0.0 045 = 0. 259.
4
Finalmente, como
h=
1
2−1
=
,
2m
2m
resulta
1
1
≤ 0. 259 ⇒ m ≥
= 1. 9305.
2m
2 · 0. 259
Necesitamos tomar m = 2. Se trata de Simpson doble. Observa que, como
cada Simpson simple contiene dos subintervalos, el número de subintervalos
es 2m = 4.
2. Valor de la aproximación. Con m = 2, la distancia entre nodos es
1
h = = 0.25,
4
nodos
x0 = 1, x1 = 1.25, x2 = 1.5, x3 = 1.75, x4 = 2.
La fórmula compuesta de Simpson con 2 tramos tiene la siguiente forma
⎡
⎤
1
2
X
X
h
(2)
⎣f (x0 ) + f (x4 ) + 2
FSC =
f (x2j ) + 4
f (x2j−1 )⎦
3
j=1
j=1
h
{f (x0 ) + f (x4 ) + 2f (x2 ) + 4 [f (x1 ) + f (x3 )]} .
3
Sustituyendo, obtenemos el valor de la aproximación
0.25
(2)
FSC =
[(1 ln 1 + 2 ln 2) + 2 (1.5 ln 1.5) + 4 (1.25 ln 1.25 + 1.75 ln 1.75)]
3
0.25
=
7. 635718 = 0. 6363098.
3
3. Error exacto. Podemos tomar como valor exacto de la integral
Z 2
I=
x ln x dx = 0. 63629 44,
=
1
el error es
¯
¯ ¯
¯
¯ (2) ¯ ¯
(2) ¯
¯ESC ¯ = ¯I − FSC ¯ = |0. 63629 44 − 0. 63630 98| = 0.154 × 10−4 . ¤
Importante: recuerda que la distancia entre nodos es
b−a
para la fórmula compuesta del trapecio con n tramos,
•h=
n
b−a
para la fórmula compuesta de Simpson con m tramos.
•h=
2m