Distancias, áreas y volúmenes

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Unidad
7
Distancias, áreas
y volúmenes
l análisis de los vectores, desde la óptica de su estructura de espacio vectorial (manejando sólo combinaciones lineales), ha permitido establecer las relaciones de dependencia e independencia lineal que han dado lugar a la obtención de las ecuaciones de rectas y
planos en el espacio y sus posiciones relativas.
E
Pero, para analizar el espacio desde un punto de vista métrico, es decir, para poder medir
ángulos, distancias, áreas y volúmenes, son necesarios los productos escalar, vectorial y
mixto, que ya han sido estudiados en la Unidad 5. En esta unidad se verán las aplicaciones
de dichas operaciones en el estudio de la medida en el espacio.
173
07.bach.2 Page 174 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
7.1
Medida de ángulos
El coseno del ángulo que forman dos vectores es el producto escalar de los dos
vectores normalizados (es decir, divididos por sus módulos):
→
→
→
→
u
v
u⋅v
cos α = -------------------→
→- = ---------→ - ⋅ ---------→ u
u
u · v
Ésta es la herramienta que, en general, se utilizará para la medida de ángulos en
el espacio.
A
Ángulo de dos rectas
 A(x 1 , y 1 , z 1 )
 B(x 2 , y 2 , z 2 )
Dadas las rectas r ≡  →
y s ≡ →
, se define el
 u = (u 1 , u 2 , u 3 )
 v = (v 1 , v 2 , v 3 )
ángulo de r y s como el que forman sus vectores directores:
→
→
ur ⋅ vs
→
→
α ( r , s ) = α ( u r , v s ) = arc cos ---------------------→
→ ur ⋅ vs
→
u
r
=
u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
= arc cos ------------------------------------------------------------------------------2
u 1 + u 22 + u 32 ⋅ v 12 + v 22 + v 32
s
→
v
Fig. 7.1
Si las rectas se cortan o son paralelas, el ángulo no necesita mayor comentario.
Pero si las rectas se cruzan, se observa que el ángulo será el formado por una
recta con la proyección de la otra sobre el plano que contiene a la primera y es
paralelo a la segunda (véase la Figura 7.1).
r
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales,
→
→
es decir, si u r ⋅ v s = 0 ⇔ u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = 0 .
Hay que indicar también que en el plano se habla con frecuencia de encontrar la
perpendicular a una recta por un punto, puesto que en el plano, dada una recta,
existe una única dirección perpendicular a ella. Sin embargo, en el espacio, lo
adecuado es decir «una» perpendicular, pues, dada una recta, existirán infinitas
direcciones perpendiculares a ella: todas las contenidas en un plano perpendicular a la recta dada (véase la Figura 7.2).
174
•••••••••••••••••••••
Fig. 7.2
Ejemplo 1
x–1
y+2
z+1
Hallar el ángulo formado por las rectas r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- y
2
–1
–2
x = 2 – λ

s ≡  y = 1 + 2λ

 z = 2λ
Solución
→
→
Los vectores directores de las dos rectas son: u = (2, −1, −2) y v (−1, 2, 2).
Así pues, el ángulo que forman es:
–2–2–4
–8
α = arc cos ---------------------------------------------------------------- = arc cos --------- ≈ 27°16'
9
4+1+4 ⋅ 1+4+4
07.bach.2 Page 175 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
B
Ángulo de dos planos
Dados los planos π 1 ≡ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 y π 2 ≡ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ,
el ángulo formado por ambos es el que forman sus vectores normales:
→
→
→
→
1
n
→
Como n 1 = (a1, b1, c1) y n 2 = (a2, b2, c2), α ( π 1 , π 2 ) = α ( n 1 , n 2 ) =
→
→
→
n2
- .
= arc cos ----------------------------------------------------------------------------a +b +c ⋅ a +b +c n1
n2
= arc cos ----------⋅ ----------→
→
n1
n2
α
a1 a2 + b1 b2 + c1 c2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
α
π1
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales,
→
→
es decir, si · n 1 · n 2 = 0 ⇔ a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0.
π2
Observa que si dos planos son perpendiculares, el vector normal de cada uno de
los planos está contenido en el otro plano.
••••••••••••••
Ejemplo 2
••••••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 3
Hallar el ángulo que forman los planos
π 2 ≡ x + 2y + 5z + 7 = 0 .
π 1 ≡ 2x – 3y + z + 5 = 0
Fig. 7.3
y
Solución
→
→
Los vectores normales de los dos planos son n 1 = (2, −3, 1) y n 2 = (1, 2, 5), y el
2–6+5
ángulo que forman es α = arc cos -------------------------------------------------------------------- = 87° 12' 11,31''
4 + 9 + 1 ⋅ 1 + 4 + 25
Hallar las ecuaciones de una recta que pasa por el punto A(2, 1, 1) y es perx+1
y–2
z+1
pendicular a r ≡ ---------------- = --------------- = --------------- .
2
2
3
Solución
«La inclinación de un plano con respecto a otro plano es el ángulo agudo
comprendido por las rectas trazadas a
un mismo punto formando ángulos
rectos con la sección común en cada
uno de los planos.»
EUCLIDES. Definición 6. Libro XI
El ángulo entre dos planos que define
Euclides se llama ángulo diedro.
Sin otras condiciones, el problema de la obtención de una recta perpendicular
a otra por un punto (como también el de la obtención de un plano perpendicular a otro por un punto) es un problema indeterminado, con 2 grados de libertad.
→
→
El vector director de r es u = (2 , 2 , 3 ) . Cualquier vector v = (v1, v2, v3) que
→
cumpla 2v 1 + 2v 2 + 3v 3 = 0 es ortogonal a u . Pero esta condición supone
una ecuación con tres incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Es decir, existen infinitos vectores (todos ellos coplanarios) que son perpendiculares al
→
vector u .
Así, cualquier recta cuyo vector director cumpla la relación 2v 1 + 2v 2 + 3v 3 = 0
y pase por el punto A(2, 1, 1) será solución del problema.
Actividades
1
Calcula el ángulo que forman las rectas
x–3
y+2
z
r ≡ --------------- = ---------------- = --------1
–1
2
2+x
y–3
z+5
s ≡ ---------------- = --------------- = --------------1
1
2
2
Halla el ángulo que forman los planos
π≡x–y+z–1 = 0
π 1 ≡ 2x – 3y + 4z – 1 = 0
175
07.bach.2 Page 176 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
C
«Cuando desde el extremo de una recta
elevado sobre un plano se traza una perpendicular al plano y se traza otra desde el
punto que resulta hasta el extremo de la
primera recta que está en el plano, el
ángulo comprendido por la recta así trazada y la que está sobre el plano es la inclinación de la recta con respecto al plano.»
Ángulo de recta y plano
 A(x 1 , y 1 , z 1 )
El ángulo de la recta r ≡  →
y el plano π ≡ ax + by + cz + d = 0,
 u = ( u1 , u2 , u3 )
es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r (Fig. 7.4).
Si r es perpendicular a π, su proyección ortogonal sobre π es un punto, pero, en
ese caso, el ángulo que forman r y π es el formado por r con cualquier recta contenida en el plano, que es 90° (Fig. 7.5).
EUCLIDES. Elementos. Libro XI. Def. 5.
r
→
→
n
u
β
r
α
→
r
→
n
u
π
π
Fig. 7.4
Fig. 7.5
De todos los ángulos formados por r con las rectas contenidas en π, el
ángulo α(r, r ) es el menor posible, y por eso se le define como el ángulo formado por la recta y el plano: α(r , π) = α(r , r) .
→
Para obtenerlo, se consideran los vectores normal del plano n = (a, b, c) y direc→
tor de la recta u = (u1, u2, u3) (véase la Figura 7.4). El ángulo β que forman entre
sí estos dos vectores, es el complementario del ángulo α formado por la recta y
el plano, de modo que α + β = 90°. Teniendo en cuenta las relaciones entre las
razones trigonométricas de ángulos complementarios, se tiene:
→
→
au 1 + bu 2 + cu 3
n
u
sen α = cos β = --------→ - ⋅ --------→ - = ------------------------------------------------------------------------------2
n
u
a + b 2 + c 2 ⋅ u 12 + u 22 + u 32
au 1 + bu 2 + cu 3
α = arc sen -------------------------------------------------------------------------------a 2 + b 2 + c 2 ⋅ u 12 + u 22 + u 32
Recuerda
Si α y β son ángulos complementarios,
es decir, su suma es 90°, entonces sus
razones trigonométricas verifican las
relaciones:
• sen α = cos β
• cos α = sen β
Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector
normal del plano tienen la misma dirección, es decir, son proporcionales:
→
→
u1
u3
u2
r ⊥ π ⇔ u 1 = λn ⇔ -------= -------= -------a
b
c
Observa que, en este caso, en la ecuación anterior se tiene:
a(λa) + b(λb) + c(λc)
α = arc sen -------------------------------------------------------------------------------------------------------- =
2
2
a + b + c 2 ⋅ (λa) 2 + (λb) 2 + (λc) 2
λa 2 + λb 2 + λc 2
π
= arc sen ------------------------------------------- = arc sen (1) = ------.
λ(a 2 + b 2 + c 2 )
2
Por tanto, la expresión para el ángulo de recta y plano obtenida es válida también
cuando la recta es perpendicular al plano.
176
07.bach.2 Page 177 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
• ••••••••••••••
Ejemplo 4
Hallar las ecuaciones de una recta que pasa por el punto A(2, 1, 1) y es perpendicular π ≡ 3x – 2y + z + 5 = 0 .
Solución
Las rectas perpendiculares al plano π tienen la dirección de su vector normal
→
→
y, por tanto, la recta pedida tiene como vector director u = n = (3, −2, 1).
x–2
y–1
z–1
Las ecuaciones de la recta son r ≡ --------------- = --------------- = --------------- .
3
–2
1
→
n
→
u
••••••••••••••••••••••
π
Ejemplo 5
Indicar la ecuación de un plano que pasa por el punto A(4, −1, 0) y es perpendicular a los planos π 1 ≡ 3x – 2y + x + 5 = 0 y π 2 ≡ 2x – 3z – 7 = 0.
Solución
El plano que es perpendicular simultáneamente a los dos planos dados, tiene
como vector normal el producto vectorial de los vectores normales de ambos
Recuerda
Siempre que se necesita una dirección
perpendicular simultáneamente a otras
dos, se obtiene efectuando el producto
vectorial de los dos vectores que definen las direcciones dadas.
→
planos:
→
→
→
nπ = nπ × nπ =
1
2
i 3 2
j –2 0
→
k 1 –3
→
→
→
→
→
= 6i + 11j + 4k ⇒ n π = (6 , 11 , 4) .
Como pasa por el punto A(4, −1, 0) su ecuación es: 6(x − 4) + 11(y + 1) + 4z = 0 ⇒
π ≡ 6x + 11y + 4z − 13 = 0.
•••••••••••••••••••••••
Ejemplo 6
 x = 3λ

Hallar las ecuaciones de la recta que es perpendicular a s ≡  y = – 1 – λ , es

 z = 2 – 2λ
paralela al plano π ≡ 2x − 2y + 3z + 5 = 0 y pasa por el punto A(2, −3, 1).
Solución
La recta que se pide tiene la dirección perpendicular simultáneamente a la recta s
→
→
→
→
y al vector normal del plano: u r = u s × n π =
i 3 2
→
→
→
j – 1 – 2 = = – 7i – 13j – 4k .
→
k –2 3
→
x–2
y+3
z–1
Por tanto, las ecuaciones de la recta pedida son r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- .
7
13
4
Actividades
3
Calcula el ángulo que forman la recta
x–3
y
z–2
r ≡ --------------- = --------- = --------------- y el plano
7
–1
3
π ≡ x + 3y – z + 1 = 0 .
4
Halla las ecuaciones de la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π, siendo r
y π la recta y el plano de la Actividad 3, respectivamente.
177
07.bach.2 Page 178 Wednesday, February 18, 2004 2:03 AM
7.2
Medida de distancias
Entre los distintos elementos del espacio, se consideran las distancias puntopunto, punto-recta y punto-plano; recta-recta y recta-plano, y plano-plano.
La distancia entre dos puntos ya se ha comentado en la Unidad 5. A continuación, se tratará el resto de distancias.
Recuerda
La distancia entre los puntos A(x1, y1, z1)
dada por el móy B(x2, y2, z2) viene
−−→
dulo del vector AB , es decir,
−−→
d(A, B) = |AB| =
=
(x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 + (z 2 – z 1 ) 2 .
A
Distancia de un punto a una recta
 A(x 1 , y 1 , z 1 )
Dados un punto P(x0, y0, z0) y una recta r ≡  →
, la distancia
 u = (u 1 , u 2 , u 3 )
desde P a r es el mínimo del conjunto de distancias desde P a los infinitos
puntos de r:
d ( P , r ) = Mín { d ( P , x ) x ∈ r }
Este mínimo es único y corresponde a la perpendicular trazada desde P
hasta r.
Para obtener la distancia de un punto a una recta se puede operar de varias
maneras. A continuación se explicarán dos de ellas.
Primer método
r
E
D
 x = 2 + 3λ

Sean el punto P(1, 3, −2) y la recta r ≡  y = – 1 + λ

 z = 1 – 2λ
M
C
El plano perpendicular a r que pasa por P tiene ecuación:
π ≡ 3(x − 1) + (y − 3) − 2(z + 2) = 0. Es decir:
B
P
A
π
Fig. 7.6
Consiste en obtener las coordenadas del punto M, que es la proyección ortogonal de P sobre r. Para ello, se calcula la ecuación del plano perpendicular a r
que pasa por P, teniendo en cuenta que su vector normal es el director de r. A
continuación se obtiene el punto de corte de la recta y dicho plano (Fig. 7.6).
π ≡ 3x + y – 2z – 10 = 0
La intersección de r y π se obtiene sustituyendo las ecuaciones paramétricas de r
en la ecuación general de π:
1
3(2 + 3λ) + (−1 + λ) − 2(1 − 2λ) −10 = 0 ⇒ 14λ − 7 = 0 ⇒ λ = -----2
Para obtener M, se sustituye el valor de λ obtenido en las ecuaciones paramétri
3
7
- = ----- x = 2 + ----2
2


1
7 –1
1
cas de r :  y = – 1 + ------ = – ------ ⇒ M ------ , ------ , 0
2
2 2
2


1
 z = 1 – 2 ------ = 0
2

Y la distancia de P a r será la misma que la distancia de P a M :
-----72- – 1 + – -----12- – 3
2
d (P, r ) = d (P, M ) =
178
2
25
49
3 10
+ (0 + 2) 2 = --------- + ---------- + 4 = ------------------4
4
2
07.bach.2 Page 179 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
Segundo método
En este procedimiento, se obtiene la distancia del punto P a la recta r directamente, sin necesidad de calcular las coordenadas de M. Para −−ello,
se considera
−→
el paralelogramo formado por el vector director de r y el vector AP , con origen en
un punto A de la recta r y extremo en el propio punto P.
Por un−−−→lado, el área de −−
ese
paralelogramo es el módulo del producto vectorial de
−→
→
→
u r y AP : A Par = u r × AP . Y, por otro lado, es el producto de la base por la
→
altura, siendo la base el módulo del vector director u r y la altura es la distancia
→
desde P hasta r : APar = u r · d(P, r ).
P
Igualando estas dos expresiones y despejando la distancia, se tiene:
→
d (P, r )
−−−→
u r × AP
d(P , r) = -------------------------→
ur
r
→
r
A
u
M
Fig. 7.7
••••••••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 7
 x = 2 + 3λ

Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta r ≡  y = – 1 + λ .

 z = 1 – 2λ
Solución
−−−→
Se obtiene, en primer lugar, el vector AP = (1 − 2, 3 − (−1), −2 −1) = (−1, 4, −3).
→
→
−−−→
Después, el producto vectorial de u r × AP =
→
−−−→
su módulo: u r × AP =
i 3 –1
→
→
→
j 1 4 = 5i + 11j + 13k , y
→
k –2 –3
→
25 + 121 + 169 = 3 35 .
Por último, la distancia será el cociente entre este módulo y el del vector direc3 35
3 35
3 10
tor de la recta: d(P, r ) = ---------------------------- = ------------------- = ------------------- .
2
9+1+4
14
Actividades
5
Calcula la distancia desde el punto P(2, −3, 2)
x+2
y–2
z+1
a la recta r ≡ ---------------- = --------------- = ---------------:
3
4
12
a) Determinando previamente la proyección
ortogonal del punto P sobre la recta r.
b) Hallando el área del paralelogramo
for−−−→
→
mado por los vectores AP y u r .
6
Dado el triángulo de vértices A(0, 3, 2),
B(−1, 5, −3) y C(4, −4, 1), halla la longitud
de la altura sobre el lado AB, y el área del
triángulo.
7
Halla la distancia desde el punto de corte de
las rectas
x
y–1
r ≡ ------ = --------------- = 2 – z y
2
3
 x + y + z = –5
s≡
 2x + z = – 4
 5x + 12y – 8z = 9
a la recta t ≡ 
 3x – 4y – 8z = 15
179
07.bach.2 Page 180 Thursday, February 19, 2004 1:09 AM
B
Dados un punto P(x0, y0, z0) y un plano π ≡ ax + by + cz + d = 0, la distancia de
P a π es el mínimo del conjunto de distancias desde P a los distintos puntos
de π, mínimo que coincide con la perpendicular trazada desde P a π.
P
→
d(P, π)
xp
→
n
π
Distancia de un punto a un plano
X(x, y, z)
M
π: ax + by + cz + d = 0
La distancia desde P hasta cualquier otro punto del plano π que no sea M, es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es PM. Por tanto,
PM será menor que cualquier otra distancia desde P hasta un punto de π, constituyendo el mínimo de las distancias desde P hasta π, y por eso se denomina distancia del punto al plano.
Para obtener la distancia desde el punto hasta el plano, se puede operar de dos
maneras.
Fig. 7.8
Primer método
Consiste en obtener las coordenadas del punto M(xm, ym, zm), para lo cual se
traza la recta perpendicular a π que pasa por P, teniendo en cuenta que su vector
director coincide con el normal del plano π.
A continuación se calcula la intersección del plano con la recta obtenida.
Sean el punto P(3, 3, −2) y el plano π ≡ x + 2y − 2z − 4 = 0.
Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P y es perpendicular a π
x = 3 + λ

son p ≡  y = 3 + 2λ .

 z = – 2 – 2λ
→
Observa que se usa como vector director de p el normal de π, n = (1, 2, −2).
Para hallar el punto de corte entre p y π, se sustituyen las ecuaciones paramétricas de p en la ecuación general de π:
(3 + λ) + 2(3 + 2λ) – 2( – 2 – 2λ) – 4 = 0
9 + 9λ = 0
λ = –1
Sustituyendo el valor de λ obtenido en las ecuaciones paramétricas de p, se tienen las coordenadas de M, que son M(2, 1, 0).
La distancia entre P y π es la misma que entre P y M :
d (P, π) = d (P, M) =
A
Fig. 7.9
180
π
•••••••••••••••••••
M
(3 – 2) 2 + (3 – 1) 2 + ( – 2 – 0) 2 = 3
Ejemplo 8
Hallar la proyección ortogonal del punto A(1, 3, 2) sobre el plano
π ≡ x + 2y + 3z + 1 = 0 y la distancia de A a π.
Solución
x = 1 + λ

La recta perpendicular a π que pasa por A es p ≡  y = 3 + 2λ y su intersec
 z = 2 + 3λ
ción con π es: 1 + λ + 2(3 + 2λ) + 3(2 + 3λ) + 1 = 0 ⇒ λ = −1 ⇒ M (0, 1, −1).
La distancia de A a π es la distancia de A a M y, por tanto:
d(A , π) = d(A , M) =
12 + 22 + 32 =
14
07.bach.2 Page 181 Sunday, February 29, 2004 11:46 AM
Segundo método
En este procedimiento no hace falta calcular las coordenadas de M, sino que se
razona a partir de un punto cualquiera del plano, X(x, y, z). En la Figura
7.8 se
−−−→
puede apreciar que la distancia de P a π es la proyección del vector XP sobre la
→
dirección del vector normal del plano, n :
−−−→
→
−−−→
XP ⋅ n
d (P, π) = Proy n XP = ----------------------→
n
→
−−−→
→
Como XP = (x0 − x, y0 − y, z0 − z) y n = (a, b, c):
ax 0 + by 0 + cz 0 – ax – by – cz
a(x 0 – x) + b(y 0 – y) + c(z 0 – z)
d (P, π) = ------------------------------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------------------------------2
2
2
a2 + b2 + c2
a +b +c
Ahora bien, dado que X(x, y, z) es un punto del plano π, sus coordenadas cumplen la ecuación, de modo que − ax − by − cz = d. Por tanto:
ax 0 + by 0 + cz 0 + d
d(P , π) = -------------------------------------------------------a2 + b2 + c2
•••••••••••••••
Ejemplo 9
Hallar la distancia desde el punto P(3, 3, −2) al plano π ≡ x + 2y − 2z − 4 = 0.
Recuerda
La distancia de un punto a una recta en
la geometría en el plano es
A(x0, y0)
r = Ax + By + C = 0
A x0 + B y0 + C
d ( A , r ) = ------------------------------------A2 + B2
La expresión que hemos obtenido para
la distancia de un punto a un plano en
el espacio es totalmente análoga. Simplemente, hay una coordenada más.
Solución
Se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación general del plano,
obteniéndose el valor absoluto del resultado, el cual se divide por el módulo
del vector normal:
9
3 + 2 ⋅ 3 – 2 ⋅ ( – 2) – 4
d(P, π) = --------------------------------------------------------------- = ------ = 3 .
3
1 2 + 2 2 + ( – 2) 2
Actividades
Calcula la distancia del punto P(5, −1, 6) a la
 x = 1 – 2λ

recta r ≡  y = – λ

z = 5 + λ
13
Calcula la distancia
x–1
la recta r ≡ --------------- =
–2
14
Determina la ecuación del plano cuyo punto
más próximo al origen es P (−1, 2, 3).
9
Hallla la distancia del punto P (3, 1, 7) al
plano π ≡ x – 3y + 5z – 1 = 0.
15
Calcula la distancia del punto P (3, 4, 1) a
x = 0
r≡
 y – 4z = 0
10
Calcula la distancia del punto P (1, 2, 3) al
plano π ≡ 2x + 3y − z = 0.
16
Halla las ecuaciones de la recta que pasa
por P(1, 0, 2) y corta perpendicularmente a
8
11
12
Determina el punto simétrico de P (1, 2, 0)
respecto del plano π ≡ 2x − y − 3z + 5 = 0.
Halla la longitud de la proyección del segmento de extremos A(2, 5, 3) y B(3, 4, 2) sobre el plano de ecuación π ≡ 2x + y − 2z = 0.
del punto P (2, −3, 4) a
y
z+2
------ = ---------------.
1
2
x + y – z + 1 = 0
la recta r ≡ 
z + 2 = 0
17
Dados el plano π ≡ 3x + by − z + 2 = 0 y la recta
x = – 1 + λ

r ≡  y = 2 + 2λ , halla b sabiendo que r y π

 z = 7λ
son paralelos, y calcula la distancia de r a π.
181
07.bach.2 Page 182 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
C
Significado del signo de la distancia de un punto a un plano
Al sustituir las coordenadas de un punto en el primer miembro de la ecuación
general de un plano, se puede obtener un número positivo o un número negativo
(si el número obtenido es 0, significa que el punto pertenece al plano). En el epígrafe anterior, se ha indicado que, para obtener la distancia del punto al plano, se
calcula el valor absoluto de ese número y se divide por el módulo del vector normal del plano (si se entiende que la distancia entre un punto y un plano ha de ser
un número positivo).
Historia y Matemáticas
Aunque los inicios del estudio de la
geometría del espacio con coordenadas hay que buscarlos en los trabajos
de Fermat, Descartes y La Hire, durante el s. XVII, su desarrollo efectivo se
produjo durante el s. XVIII.
Jean Bernouilli, en una carta a Leibniz
en 1715, introduce los planos de tres
coordenadas que utilizamos hoy en día.
Las aportaciones de Antoine Parent
(1666-1716), Alexis Claude Clairnet
(1713-1765) y Jacob Hermann (16781733) fueron fundamentales en el
conocimiento de curvas y superficies
en el espacio.
Los trabajos posteriores de Euler,
Lagrange y Gaspar Monge (1746-1815),
hicieron de la geometría analítica una
rama de las matemáticas independiente
y, según Morris Kline, acabada.
Sin embargo, si se analiza el proceso de obtención de la expresión que da la distancia, se puede encontrar un significado geométrico al signo −−−→
de la misma. Y es
que, puesto que se ha obtenido como proyección del vector XP sobre la direc→
ción de n , el signo indica si el vector proyección tiene o no el mismo sentido que
→
el vector n . Es decir, si el punto P se encuentra o no en el mismo semiespacio
hacia el que apunta el vector normal del plano que se está considerando.
−−−→
→
−−−→
XP ⋅ n
XP ⋅ cos α , dependiendo de que α sea
Como d(P, π) = Proy n XP = -------------→ - =
n
menor o mayor que 90°, la distancia resulta positiva o negativa, respectivamente.
−−−→
→
En la Figura 7.10, el punto P se encuentra en
el mismo semiespacio al que
−−−→
→
apunta el vector normal, y el ángulo que forma XP con n es agudo, su coseno es
positivo y, en consecuencia, la distancia es positiva.
Sin embargo, en la Figura 7.11, el punto P se encuentra en el semiespacio
opuesto al que apunta el vector normal, de modo que el ángulo α es obtuso, su
coseno negativo y la distancia resulta negativa.
P
→
→
n
n d(P, π)
α
M
π: ax + by + cz + d = 0
α
X(x, y, z)
X(x, y, z)
M
π: ax + by + cz + d = 0
P
Fig. 7.10
••••••••••••••••••••
182
Fig. 7.11
Ejemplo 10
Determina si el plano π ≡ 2x + 3y − 2z − 4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2, 1, 3) y B(3, 2, 1).
Solución
Si las distancias desde los extremos del segmento al plano tienen el mismo
signo, el plano no corta al segmento, haciéndolo en caso contrario:
–3
2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + ( – 2) ⋅ 3 – 4
Como d(A, π) = ------------------------------------------------------------------- = ------------ < 0
17
2 2 + 3 2 + ( – 2) 2
6
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + ( – 2) ⋅ 1 – 4
y d(B, π) = ------------------------------------------------------------------- = ------------ > 0, el plano corta al segmento.
2
2
2
17
2 + 3 + ( – 2)
07.bach.2 Page 183 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
D
Distancia entre planos paralelos
Aunque se puede obtener la distancia entre dos planos paralelos calculando la
distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro, también se puede hacer
mediante la diferencia de las distancias orientadas de un punto cualquiera, por
ejemplo, el origen, a cada uno de los planos.
Dados dos planos paralelos, se pueden obtener sus ecuaciones generales con
el mismo vector normal, π 1 ≡ ax + by + cz + d1 = 0 y π 2 ≡ ax + by + cz + d2 = 0.
z
d(π1, π2) = d(O , π 2 ) – d(O , π 1 ) =
d2 – d1
a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c ⋅ 0 + d2
a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c ⋅ 0 + d1
= -------------------------------------------------------------= ---------------------------------- – ------------------------------------------------------------2
2
2
2
2
2
2
a + b2 + c2
a +b +c
a +b +c
d2 – d1
d ( π 1 , π 2 ) = ------------------------------------a2 + b2 + c2
y
x
•••••••••••••••••••••••
Ejemplo 11
Fig. 7.12
Calcular la distancia entre π1 ≡ 2x − y − 2z + 5 = 0 y π2 ≡ 4x − 2y − 4z + 15 = 0.
Solución
Los planos π1 y π2 son paralelos, pero las ecuaciones generales que nos proporcionan no corresponden al mismo vector normal. En primer lugar, se han
de escribir ambas ecuaciones correspondientes al mismo vector normal, de
15
modo que se divide la segunda ecuación por 2: π 2 ≡ 2x – y – 2z + ---------- = 0 .
2
Ahora se puede calcular la distancia entre los dos planos restando los términos independientes y dividiendo por el módulo del vector normal común:
15
---------- – 5
2
5
d(π1, π2) = ---------------------------- = ------ .
6
4+1+4
Actividades
18
19
Determina si los puntos P(3, −1, 5) y Q(1, 0, 7)
están a un mismo lado del plano
π ≡ 2x − y + z = 0 o en semiespacios opuestos.
Averigua, en cada uno de los casos siguientes, si los puntos M(2, −1, 1) y N(1, 2, −3)
están en un mismo ángulo diedro, en ángulos diedros adyacentes o en ángulos diedros opuestos, de los formados por los dos
planos.
a) π 1 ≡ 3x − y + 2z − 3 = 0,
π 2 ≡ x − 2y − z + 4 = 0
b) π 1 ≡ 2x − y + 5z − 1 = 0,
π 2 ≡ 3x − 2y + 6z − 1 = 0
20
Determina la distancia entre los planos paralelos que contienen a las rectas
x = 3
a) r ≡ 
y = 2
 x = –1
y s≡
z = 2
 2x – y = 0
b) r ≡ 
 y+z = 0
21
 x – 2y = 1
y s≡
 2y + 3z = 2
Estudia la posición relativa de la recta
x
y–1
z
r ≡ ------ = --------------- = ------ y el plano
2
–1
3
π ≡ 3x + 3y − z − 5 = 0, y calcula la distancia
de r a π.
183
07.bach.2 Page 184 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
E
La distancia entre dos rectas sólo tiene interés cuando éstas son paralelas o se
cruzan.
r
→
A u
Distancia entre dos rectas
d
s
■ Rectas paralelas
 A(x 1 , y 1 , z 1 )
 B(x 2 , y 2 , z 2 )
Sean r ≡  →
y s ≡ →
dos rectas paralelas. La dis u = ( u1 , u2 , u3 )
 u = ( u1 , u2 , u3 )
tancia de r a s es la distancia desde un punto cualquiera de r a s, o desde un
punto cualquiera de s a r:
→
u
B
Fig. 1.13
→
−−−→
u × AB
d(r, s) = d(A, s) = d(B, r ) = ----------------------→
u
•••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 12
x+1
y
x–3
Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones r ≡ ---------------- = ------ = --------------- y
2
3
4
x–2
y +1
z–5
s ≡ --------------- = ---------------- = --------------- .
2
3
4
Solución
Conocidos un punto de la recta r, A(−1, 0, 3) y un punto de la recta s, B(2 , −1, 5),
→
así como el vector director de ambas, u = (2, 3, 4), se calcula el vector
−−−→
→
−−−→
AB = (3, −1, 2) y el producto vectorial de u × AB = (10, 8, −11), siendo la
distancia entre las rectas el cociente entre los módulos de los vectores
→
−−−→
→
u × AB y u :
100 + 64 + 121
285
d(r, s) = --------------------------------------------- = --------------4 + 9 + 16
29
■ Rectas que se cruzan
La distancia entre dos rectas que se cruzan es la mínima entre un punto de una
de las rectas y un punto de la otra. Es decir, entre todas las posibles distancias
desde un punto de r hasta un punto de s, la más pequeña. Ésta corresponde al
segmento perpendicular común entre ambas.
→
P ur
r
Para obtener la distancia entre dos rectas que se cruzan existen varios procedimientos. A continuación se verá alguno de ellos.
d(r, s)
Q v→
s
Fig. 7.14
s
Primer método
Si dos rectas se cruzan, existen dos planos paralelos tales que cada uno de ellos
contiene a cada una de las rectas (véase la Figura 7.14). La distancia entre esos
dos planos es la distancia entre las dos rectas.
d(r, s) = d(π1, π2)
184
07.bach.2 Page 185 Thursday, February 19, 2004 1:12 AM
• •••••••••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 13
x = 1 – λ

x–1
z–2
Calcular la distancia entre r ≡ --------------- = y + 1 = --------------- y s ≡  y = 3λ
.
2
–1

 z = – 3 + 2λ
r
P
Solución
Se obtienen las ecuaciones de los planos paralelos entre sí que contienen a
cada una de las rectas.
π1
d (π1, π2)
d (r, s)
→
→
→
→
El vector normal de ambos es n = u r × v s =
i 2 –1
j 1 3
→
k –1 2
→
→
→
→
= 5i – 3j + 7k .
π2
Q
s
Fig. 7.15
Las ecuaciones de los planos son:
π 1 ≡ 5 ( x – 1 ) – 3 ( y + 1 ) + 7 ( z – 2 ) = 0 ⇒ 5x – 3y + 7z – 22 = 0
π 2 ≡ 5 ( x – 1 ) – 3y + 7 ( z + 3 ) = 0 ⇒ 5x – 3y + 7z + 16 = 0
Como los planos no son coincidentes, las rectas se cruzan, y la distancia
16 – ( – 22)
38
38 83
entre ellas es d(r, s) = d(π1, π2) = ----------------------------------- = ------------- = --------------------- .
83
25 + 9 + 49
83
Segundo método
La distancia entre las rectas r y s de la Figura 7.15 coincide con la distancia entre
los puntos P y Q, que son las intersecciones de r y s con su perpendicular
común.
d (r, s) = d (P, Q)
Responde
¿Por qué no se puede hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan calculando la distancia de un punto de
una recta a la otra?
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •
Ejemplo 14
x = 1 – λ

x–1
z–2
Calcular la distancia entre r ≡ --------------- = y + 1 = --------------- y s ≡  y = 3λ
.
2
–1

 z = – 3 + 2λ
Solución
Para calcular las coordenadas de los puntos P y Q, se consideran
X(1 + 2µ, − 1 + µ, 2 − µ) e Y(1 − λ, 3λ, −3 + 2λ), puntos genéricos de r y s, res−−−→
pectivamente. Con ellos se obtiene el vector XY = (− λ − 2µ, 3λ − µ + 1, 2λ + µ − 5)
−−−→
→
→
y se plantea que XY sea ortogonal simultáneamente a u r y v s:
−−−→
→
−−−→
→
XY · u r = 0 ⇒ − 2λ − 4µ + 3λ − µ + 1 − 2λ − µ + 5 = 0 ⇒ λ + 6µ = 6
XY · v s = 0 ⇒ λ + 2µ + 9λ − 3µ + 3 + 4λ + 2µ – 10 = 0 ⇒ 14λ + µ = 7
77
36
La solución de este sistema es λ = ---------- y µ = ---------- , por lo que los puntos son:
83
83
237 – 6 89
47 108 – 177
P ------------- , ---------- , ---------- y Q ---------- , ------------- , ---------------- , siendo la distancia entre r y s:
83
83
83 83
83
83
d(r, s) = d(P, Q) =
237
47
–6
108
89
– 177
- – ---------- + ---------- – ------------- + ---------- – ---------------- -----------83
83
83
83
83
83
2
2
2
=
38 83
= ----------------------83
185
07.bach.2 Page 186 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
Tercer método
→
→
u ×v
→
v
B
d(r, s)
r
A
P
s
Observa que en la Figura 7.16 están
dibujadas las dos rectas que se cruzan, sus
−−−→
vectores directores y el vector AB , con origen en un punto A, de r, y extremo en
un punto B, de s. Se han representado los tres vectores con origen en el mismo
punto P de la recta r, de modo que forman un paralelepípedo. La distancia entre
las dos rectas es, precisamente, la altura de dicho paralelepípedo, que se
puede calcular teniendo en cuenta el volumen de la figura: V = Ab × h.
→
→
−−−→
u
→
→
[ AB , u , v ]
V
d(r, s) = h = ------ = -------------------------------→
→
Ab
u×v
Fig. 7.16
••••••••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 15
x = 1 – λ

x–1
z–2
Calcular la distancia entre r ≡ --------------- = y + 1 = --------------- y s ≡  y = 3λ
.
2
–1

 z = – 3 + 2λ
Solución
−−−→
Se calcula el vector AB = (0, 1, −5), y el valor absoluto del producto mixto es:
−−−→
→
→
[ AB , u , v ] =
0 2 –1
–1 1 3
5 –1 2
= – 1 + 30 + 5 + 4 = 38
Después, se calcula el producto vectorial de los dos vectores directores y su
módulo:
→
→
→
→
u × v = (5 , – 3 , 7) ⇒ u × v =
25 + 9 + 49 =
−−−→
→
83
→
[ AB , u , v ]
38
38 83
La distancia entre las rectas es d(r, s) = -------------------------------- = ------------ = ----------------------- .
→
→
83
u×v
83
Actividades
22
Determina la distancia entre las rectas
x–2
y+1
z+3
r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- y
3
4
–2
x–4
y+6
z
s ≡ --------------- = ---------------- = --------- .
3
4
–2
23
Calcula la distancia entre la recta
x–2
y–1
z+1
r ≡ --------------- = ------------ = --------------- y el plano
3
4
–2
π ≡ 2x − y − z + 6 = 0.
24
186
→
Como
el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los vectores u , v y
−−−→
AB, y el área de la base es el módulo del producto vectorial de los vectores
→
→
directores de las dos rectas u y v :
Determina la distancia entre las rectas
x–1
y+2
z–1
r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- y
2
3
2
x+2
z+5
y–2
s ≡ ---------------- = --------------- = ---------------.
–5
4
–3
25
Halla la distancia entre las rectas
 x = 9 + 6λ

y
r ≡  y = – 2λ

z = 2 – λ
x+5
y+5
z–1
s ≡ ---------------- = ---------------- = --------------- .
3
2
–2
26
Determina la distancia mínima entre las rec x – 2z = 1
x – 2 = 0
tas r ≡ 
y s≡
.
y
+
3
=
0

y + z = 3
27
Halla la distancia de la recta
x+3
y–5
z+3
r ≡ ---------------- = --------------- = --------------- al plano
–4
2
0
π ≡ 2x + 4y − 2z = 0.
07.bach.2 Page 187 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
7.3
Recta perpendicular común
a otras dos
Dadas dos rectas que se cruzan, existen infinitas rectas que son perpendiculares a ambas, pero sólo una que las corta. A dicha recta se le llama perpendicular común.
•
Si las rectas se cortan, la perpendicular común es la recta perpendicular al
plano que determinan las dos rectas y que pasa por su punto de intersección.
•
Si las rectas son paralelas o coincidentes, no existe una única perpendicular
común, y el problema carece de interés.
p
r
P
 A(x 1 , y 1 , z 1 )
 B(x 2 , y 2 , z 2 )
Sean las rectas r ≡  →
y s ≡ →
, que se cortan o cruzan.
 u = ( u1 , u2 , u3 )
 v = ( v1 , v2 , v3 )
En primer lugar, se calcula el producto vectorial de sus vectores directores:
→
→
→
→
p = u×v =
i u1 v1
→
j u 2 v 2 = (p1, p2, p3).
→
k u3 v3
π1
Q
π2
s
Fig. 7.17
La recta perpendicular común, p, se obtiene como intersección de los planos π1
→
→
(determinado por r y p ) y π2 (determinado por s y p ).




r
π ≡
 π1 ≡

1
→


p


p≡
⇒ p≡


s
 π2 ≡  →

 π2 ≡

p



x – x1 u1 p1
y – y1 u2 p2
z – z1 u3 p3
= 0
x – x2 v1 p1
y – y2 v2 p2
z – z2 v3 p3
= 0
•••••••••••••••••••••••••••••••
Ejemplo 16
Hallar la perpendicular común a
x = 1 – λ

x–1
z–2
r ≡ --------------- = y + 1 = --------------- y s ≡  y = 3λ
.
2
–1

 z = – 3 + 2λ
Responde
Solución
→
→
→
→
→
→
¿La perpendicular común de dos rectas
→
→
que se cruzan, r ( A , u ) y s ( B , v ) es la
→
→
recta p ( A , u × v )? ¿Por qué?
El vector director de p es p = u × v = 5i – 3j + 7k .
x–1 2 5
π1 ≡ y + 1 1 –3
z – 2 –1 7
π2 ≡
x – 1 –1 5
y
3 –3
z+3 2 7
= 0 ⇒ 4x – 19y – 11z – 1 = 0
= 0 ⇒ 27x + 17y – 12z – 63 = 0
 4x – 19y – 11z – 1 = 0
La recta es, por tanto, p ≡ 
 27x + 17y – 12z – 63 = 0
187
07.bach.2 Page 188 Wednesday, February 18, 2004 11:14 PM
7.4
Lugares geométricos
Se llama lugar geométrico de puntos del espacio a cualquier conjunto de
puntos que tengan una característica común. La expresión matemática de
dicha característica recibe el nombre de ecuación del lugar geométrico.
Por ejemplo, el conjunto de todos los puntos del espacio que están alineados con
P(1, 1, 1) y Q(2, 3, −1) forman un lugar geométrico (evidentemente una recta),
cuyas ecuaciones son
−−−→
−−−→
x–1
y–1
z–1
X ∈r ⇔ PX = λ ⋅ PQ ⇔ --------------- = --------------- = --------------1
2
–2
Del mismo modo, el conjunto de todos los puntos del espacio cuya distancia al
origen es 3 unidades forman un lugar geométrico, una superficie esférica, cuya
ecuación es:
X ∈ E ⇔ d ( X , O ) = 3 ⇔ 3(x − 0) 2 + (y – 0) 2 + (z – 0) 2 = 3 ⇔
⇔ x2 + y2 + z2 – 9 = 0
Existen dos lugares geométricos elementales: el plano mediador de un segmento y los planos bisectores de un ángulo diedro.
A
Plano mediador de un segmento
Se llama plano mediador del segmento de extremos A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2),
al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de A y de B.
Para obtener su ecuación sólo hay que aplicar esta definición:
X ∈πm ⇔ d ( X , A ) = d ( X , B ) ⇔
Q
P
M
⇔ (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 + (z – z 1 ) 2 =
= (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2 + (z – z 2 ) 2
Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación y reduciendo términos
semejantes, se obtiene:
2(x 2 – x 1 )x + 2(y 2 – y 1 ) y + 2(z 2 – z 1 )z – (x 22 – x 12 ) – (y 22 – y 21) – (z 22 – z 12 ) = 0
Y dividiendo por 2:
Fig. 7.18
x 22 – x 12
y 22 – y 12
z 22 – z 12
π m ≡ (x 2 – x 1 )x + (y 2 – y 1 ) y + (z 2 – z 1 )z – ------------------- + ------------------- + ------------------2
2
2
−−−→
El vector normal del plano es PQ = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) , es decir, el plano es
perpendicular al segmento PQ. Además, el punto medio del segmento,
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
M ------------------- , -------------------- , ------------------- , pertenece al plano, ya que verifica la ecuación.
2
2
2
Por tanto, el plano mediador de un segmento es el plano perpendicular al mismo
por su punto medio.
•••••••••••• •
188
Ejemplo 17
Hallar el plano mediador del segmento de extremos A (2, −3, 2) y B (0, 3, 4).
Solución
Un punto X(x, y, z) pertenece al plano mediador si d (X, A) = d (X, B ).
π ≡ (x – 2) 2 + (y + 3) 2 + (z – 2) 2 =
π ≡ x – 3y – z + 2 = 0
(x) 2 + (y – 3) 2 + (z – 4) 2
07.bach.2 Page 189 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
B
Planos bisectores de un ángulo diedro
Como ya se ha comentado, un ángulo diedro es el formado por dos planos
secantes. Los planos bisectores del diedro constituyen el lugar geométrico
de los puntos del espacio que equidistan de las caras del diedro.
b1
Sean π1 ≡ a1x + b1y + c1z + d1 = 0 y π2 ≡ a2x + b2 y + c2z + d2 = 0 dos planos secantes.
Un punto X(x, y, z) pertenece a alguno de los planos bisectores si, y sólo si,
d(X, π1) = d(X, π2), es decir, si:
b2
a1 x + b1 y + c1 z + d1
a2 x + b2 y + c2 z + d2
-------------------------------------------------------- = -------------------------------------------------------2
2
2
a 1 + b 1 + c1
a 22 + b 22 + c 22
Para que el valor absoluto de dos números coincida hay dos posibilidades: que
los números sean iguales o que sean opuestos. Existen, por tanto, dos planos
bisectores:
a1 x + b1 y + c1 z + d1
a2 x + b2 y + c2 z + d2
β 1 ≡ ----------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------2
2
2
a 1 + b 1 + c1
a 22 + b 22 + c 22
π1
π2
Fig. 7.19
a2 x + b2 y + c2 z + d2
a1 x + b1 y + c1 z + d1
β 2 ≡ ----------------------------------------------------- = – ----------------------------------------------------2
2
2
a 22 + b 22 + c 22
a 1 + b 1 + c1
••••••••••••••••
Ejemplo 18
Hallar los planos bisectores del diedro cuyas caras son los planos
π 1 ≡ x − 2y + z − 4 = 0 y π 2 ≡ 2x − y − z = 0.
Solución
x – 2y + z – 4
2x – y – z
β 1 ≡ ------------------------------------- = --------------------------- ⇒ x + y – 2z + 4 = 0
6
6
2x – y – z
x – 2y + z – 4
β 2 ≡ ------------------------------------- = – --------------------------- ⇒ 3x – 3 y – 4 = 0
6
6
Actividades
Determina algunas ecuaciones paramétricas
de la recta perpendicular común a las rectas
x–2
y+1
z+3
r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- y
3
1
–2
x–4
y+6
z
s ≡ --------------- = ---------------- = ---------.
1
–1
–2
31
29
Halla los planos bisectores de los planos
π 1 ≡ x + 2y − 2z − 5 = 0 y
π 2 ≡ 3x + 4y + 3z − 13 = 0.
32
30
Determina la posición relativa de las rectas
x
y–3
z–1
r ≡ ------ = --------------- = --------------- y
2
1
3
x –1
y–1
z
s ≡ --------------- = --------------- = ------ y halla las ecua1
1
2
ciones de su perpendicular común.
Calcula las coordenadas de los puntos de la
x –2
y+1
z–2
recta r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- que equi2
3
2
distan de los planos π 1 ≡ 3x + 4y − 1= 0 y
π 2 ≡ 4x − 3z + 1 = 0.
33
Halla la ecuación del plano mediador del segmento de extremos A(−2, −1, −1) y B(−1, 4, −2).
28
Determina los puntos de la recta
x – y + z = 0
r≡
que equidistan de los
 3y + z – 1 = 0
planos π 1 ≡ x + y = 1 y π 2 ≡ x – z = – 1
189
07.bach.2 Page 190 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
7.5
A
Cálculo de áreas y volúmenes
Áreas de figuras planas
Como ya se ha expuesto, el área de un paralelogramo es el módulo del pro→
→
ducto vectorial de los vectores que definen el paralelogramo: A Par = u × v .
De esta fórmula se deduce una expresión para el área de un triángulo. Si los vértices del triángulo son A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3), entonces su área es:
1 −−−→ −−−→
A Par = ------ AB × AC
2
Recuerda
El área de un triángulo es la mitad del
área del paralelogramo formado por
dos cualesquiera de sus lados.
Una vez conocida el área de un triángulo, se puede obtener el área de cualquier
polígono plano por triangulación.
En el caso de que la figura esté limitada por alguna línea curva, a no ser que se
conozca la expresión de su área en función de las distancias implicadas en ella,
como ocurre con el círculo o con las figuras planas relacionadas con él, habrá que
recurrir al cálculo integral, pero este supuesto no se estudiará en esta unidad.
B
D
y
C
A
x
Fig. 7.20
190
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
z
Ejemplo 19
Probar que los puntos A(1, 3, −2), B(1, 2, 4), C(4, −2, 1) y D(3, −1, 4) forman
el cuadrilátero ABDC y calcular su área.
Solución
Para que A, B, C y D formen un cuadrilátero, deben ser coplanarios, es decir,
−−−→
−−−→
−−−→
los vectores AB = (0 , – 1 , 6 ) , AC = (3 , – 5 , 3) y AD = (2 , – 4 , 6) han de ser
linealmente dependientes. Esto exige que su determinante valga 0, como
ocurre en este caso:
0 3 2
–1 –5 –4
6 3 6
= 0
El área del cuadrilátero ABDC se obtiene calculando las áreas de los triángulos ABC y BCD y sumándolas.
→
A ABC
−−−→
−−−→
1 −−−→ −−−→
= ------ AB × AC ; AB × AC =
2
1
Por tanto, A ABC = -----2
i 0 3
→
→
→
j – 1 – 5 = 27i + 18j + 3k
→
k 6 3
→
3 118
27 2 + 18 2 + 3 2 = ----------------------2
→
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
1
A BCD = ------ BC × BD ; BC × BD =
2
i 3 2
→
→ →
j – 4 – 3 = – 9i – 6j – k
→
k –3 0
→
1
118
Y el área del triángulo es A BCD = ------ ( – 9) 2 + ( – 6) 2 + ( – 1) 2 = -------------2
2
En consecuencia, el área del cuadrilátero es:
3 118
118
A ABCD = A ABC + A BCD = ----------------------- + --------------- = 2 118 u 2
2
2
07.bach.2 Page 191 Wednesday, February 18, 2004 11:19 PM
B
Volúmenes de cuerpos geométricos
En la Unidad 5 se ha visto que el volumen de un paralelepípedo es el valor
absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo definen.
Del mismo modo que, al trazar la diagonal de un paralelogramo, éste queda dividido en dos triángulos iguales, al trazar el plano diagonal de un paralelepípedo,
éste se divide en dos prismas triangulares iguales, por lo que el volumen de cada
uno de los prismas es la mitad del volumen del paralelepípedo.
Pero como cada prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros del
mismo volumen, cada tetraedro tendrá un volumen igual a la tercera parte del volumen del prisma triangular correspondiente, es decir, igual a la sexta parte del
1
volumen del paralelepípedo correspondiente: V Tetraedro = ------ V Paralelepípedo .
6
D
Recuerda
La doble línea que aparece en la fórmula del volumen no tiene ningún significado especial. La línea interna es la
del determinante, y la externa es la
correspondiente al valor absoluto.
C
A
B
Fig. 7.21
Por tanto, si los puntos A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3) y D(x4, y4, z4) no son
coplanarios, entonces forman un tetraedro, cuyo volumen es.
x2 – x1 x3 – x1 x4 – x1
1
V = ------ y 2 – y 1 y 3 – y 1 y 4 – y 1
6
z2 – z1 z3 – z1 z4 – z1
1 1 1 1
1 x1 x2 x3 x4
= -----6 y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
Respecto del concepto de volumen, y para terminar, hay que indicar que así como
en el plano es posible descomponer un polígono cualquiera en triángulos y con ellos
reconstruir otro polígono cualquiera con su misma área, M. Dehn discípulo de Hilbert, demostró en 1900 que en el espacio es imposible descomponer un cubo en
tetraedros y con ellos reconstruir un tetraedro regular del mismo volumen.
Actividades
34
Calcula el área del paralelogramo formado
→
→
por los vectores u = (0, 0, 1) y v = (1, 1, 1).
35
Halla el área del triángulo de vértices
A(−1, 2, 3), B(2, 0, 4) y C(−10, 5, 0).
36
Determina el volumen del paralelepípedo de
→
→
−→
aristas u = (1, 2, 1), v = (3, 1, −2) y w = (4, −1, 0).
37
Calcula el volumen del tetraedro de vértices
A(−7, −2, 5), B(0, 2, 0), C(− 9, 3, 8) y D(−7, 5, 9).
38
El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo
A (3, 0, −1), B (6, − 4, 5) y C (5, 3, z). Calcula
el valor de z y halla el área del triángulo.
39
Sean A (−1, 2, 3), B (0, 1, λ), C (5, 0, −1) y
D(0, µ, 4) los vértices de un tetraedro. Halla
λ y µ sabiendo que la cara ABC es un triángulo isósceles, de lados iguales AB y BC, y
que la cara ACD es un triángulo rectángulo,
con ángulo recto en A. Calcula el volumen
del tetraedro, así como su superficie, para
los valores hallados.
191
07.bach.2 Page 192 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
Ejercicios
1
Halla el ángulo de la recta
x–3
y+1
z–1
r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- y el plano
2
5
–1
π ≡ 2x − 5y + 7z − 11 = 0.
10
Halla la distancia desde el punto P(1, −1 ,3) a
la recta que pasa por los puntos Q(1, 2, 1) y
R(1, 0, −1). Determina también el área del
triángulo de vértices P, Q y R.
2
Calcula el ángulo que forman los planos
π 1 ≡ x − y = 0 y π 2 ≡ 2x + 3z = 0.
11
Calcula la distancia entre los planos
π ≡ x − 5y + z + 2 = 0 y π ≡ 2x + 3z − 4 = 0.
3
Calcula el ángulo que forman las rectas
12
 x = – 1 + 2λ
 x + 3z – 7 = 0

r≡
y s ≡ y = 0
y = 0

z = λ – 3
Calcula la distancia entre los planos
π ≡ x − 5y + 2z + 5 = 0 y π ≡ 2x − 10y + 4z = 0.
13
4
5
6
Halla el ángulo que forman la recta
x = – 1 – λ

r ≡  y = –λ
y el plano π ≡ 2x − 3y + z + 1= 0

 z = 2λ
y las ecuaciones de la proyección ortogonal de r
sobre π.
x–1
2x + 1
Dada la recta r ≡ --------------- = ------------------- = z + 1, ha2
3
lla las ecuaciones de:
14
Halla la proyección ortogonal del punto A(5, 2, −1)
sobre el plano π ≡ 2x − y + 3z + 23 = 0.
16
Determina si el plano π ≡ 2x − 5y − 3z + 4 = 0
corta a los segmentos cuyos extremos son:
a) Una recta paralela.
a) A(1, 3, 2) y B(2, −1, 3)
b) Una recta perpendicular y secante.
b) A(1, 0, 2) y B(3, 2, 0)
c) Un plano paralelo.
c) A(2, 2, 0) y B(3, 1, 2)
d) Un plano perpendicular.
d) A(2, 0, −3) y B(4, 1, 1)
Dado el plano π ≡ 2x − 3y + 5 = 0, calcula las
ecuaciones de:
17
c) Un plano paralelo.
d) Un plano perpendicular.
7
Calcula la distancia desde el origen hasta la recta
x+2
y–1
z+1
de ecuaciones r ≡ ---------------- = --------------- = --------------- .
2
2
3
8
Calcula a para que la distancia entre los puntos
P(a, 3, 5) y Q(7, 4, 1) sea 8.
Halla la ecuación del plano que corta a los tres
ejes coordenados en los semiejes positivos, en
puntos situados a distancia a del origen de coordenadas, y calcula la distancia desde el origen hasta dicho plano.
Halla la distancia de P(0, 7, 0) a
 x = – 5 + 4λ

r ≡ y = 5 + λ

 z = – 10 + 3λ
b) Una recta perpendicular.
192
x+5
y+1
z–2
Halla la distancia de r ≡ ---------------- = ---------------- = --------------2
–1
3
a π ≡ x − 3y + 4z − 11 = 0.
15
a) Una recta paralela.
9
x+3
y–5
z+3
Halla la distancia de r ≡ ---------------- = --------------- = --------------–4
2
0
a π ≡ 2x + 4y − 2z = 0.
18
Calcula la distancia mínima entre las rectas
x+5
y+4
r ≡ ---------------- = ---------------- =
3
2
x–7
y+5
s ≡ --------------- = ---------------- =
6
–5
19
z+1
--------------- y
–1
z–2
--------------–2
Halla las ecuaciones de la perpendicular común a
x
y+4
z–1
r ≡ ------ = ---------------- = --------------- y
2
–1
3
x–1
y–1
z
s ≡ --------------- = --------------- = -----4
5
2
07.bach.2 Page 193 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
x – y + z = 0
Determina los puntos de r ≡ 
 3y + z – 1 = 0
que equidistan de los planos π 1 ≡ x = 0 y
π2 ≡ y = 0.
28
Determina los parámetros a y b para que las
 2x – y = 0
 x + by = 3
rectas r ≡ 
y s≡
se
 ax – z = 0
y + z = 3
corten ortogonalmente.
21
Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q(−4, −11, −8).
Halla el plano π, perpendicular al segmento PQ
por su punto medio.
29
22
Demuestra que los puntos del plano z = 0 equidistan de las rectas r ≡ x = y = z y s ≡ x = y = −z.
¿Existe algún punto con z ≠ 0 que equidiste de r
y s?
Halla un punto de la recta
x–1
y+1
z
r ≡ --------------- = ---------------- = ------ que equidiste de los
2
1
3
x = – 3 + λ

planos π 1 ≡ x + y + z = – 3 y π 2 ≡  y = – λ + µ

z = – 6 – µ
30
Halla la distancia entre las rectas
x
z
y–1
z+4
r ≡ x = y = ------ y s ≡ ------ = --------------- = ---------------, y
2
4
3
–1
las ecuaciones de su perpendicular común.
31
Halla las ecuaciones de la recta que corta a las
20
23
x = 1 – λ

Dadas las rectas r ≡  y = 3 + λ y

z = 1 + λ
x–4
y–4
z–2
s ≡ --------------- = --------------- = --------------- , halla las ecuacio2
4
1
nes de la recta que las corta perpendicularmente.
24
Determina la posición relativa de las rectas
 x – 2y + 1 = 0
 x – 2z = 5
y s≡
, la disr≡
y – z – 1 = 0
x – y – z = 1
tancia entre ambas y el plano que las contiene,
si existe.
25
Halla
el
punto
de
corte
de
las
27
32
Obtén los puntos de la recta
x + y – z = 1
r≡
 2x – y + 2z = 0
que equidistan de los planos π ≡ x = 1 y σ ≡ y = 3.
33
Halla el punto de la recta r ≡ x = −2y = −2z,
cuya distancia al origen es el doble que su dis-
rectas
x = 3 + λ
x = µ


r ≡  y = –λ
y s ≡  y = 2µ
y las ecua

z = – 2 + λ
z = – 5 + µ
ciones de su perpendicular común.
26
x = 1
x = 0
rectas r ≡ 
y r≡
y es paralela a la
y = 1
z = 1
recta t ≡ x = y = z.
Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al origen es el triple que su
x – y = 0
distancia a la recta r ≡ 
.
z = 2
 x = –2
Dadas las rectas r ≡ 
,
y – z = 0
x – z = 0
 2x + z = – 2
s≡
y t≡
, halla las co y + z = –1
x + y = 0
ordenadas de un punto P que está en la recta t
y que determina con la recta s un plano que
contiene a r.
x + y = 0
tancia a la recta s ≡ 
.
z = 3
34
Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que determinan con A(1, 0, 0), B(0, 1, 0)
1
y C(0, 0, 1) un tetraedro de volumen ------ .
6
35
Demuestra que, para todo número real λ, todos los
tetraedros con los vértices en A(λ, 1 + λ, 1 − 2λ),
B(1 + λ, λ, 1 −2λ), C(1 + λ, 1 + λ, − 2λ) y un punto
x – y = 0
D de la recta r ≡ 
tienen el mismo
 2y + z = 0
volumen.
193
07.bach.2 Page 194 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
Problemas
1
Un rayo luminoso cuyo foco es el punto A(−2, −3, 5)
Los puntos que equidistan de π 1 y π 2 pertenecen a uno de estos dos planos, b1 o b2. Como se
piden los puntos de la recta r que equidistan de
los planos π 1 y π 2 , las soluciones serán las intersecciones de la recta dada, r, con cada uno
de los planos b1 y b2. Para obtener estas intersecciones, se escriben las ecuaciones paramé-
x + y + z = 0
y con la dirección de la recta r ≡ 
,
 2x – y + z = 0
se refleja en el plano π ≡ 2x + y + z − 1 = 0.
Averigua si el rayo reflejado ilumina al punto
P(2, 8, −14).
2
Determina la ecuación del plano cuyo punto
más próximo al origen es P(−1, 2, 3).
3
Halla la ecuación de la perpendicular común a
x = 4 + λ

r ≡  y = 3 – 2λ y

 z = 5 + 2λ
 x = 2 + 2λ

tricas de la recta r ≡  y = – 1 + 3λ . Se sustitu
 z = 2 + 2λ
yen estas ecuaciones en las ecuaciones
generales de los planos b1 y b2, de donde se
despejan los valores de λ que corresponden a
los puntos buscados:
1
2 + 2λ − 4(−1 + 3λ ) − 3(2 + 2λ ) + 2 = 0 ⇒ λ = -----8
x–4
y–6
z + 10
s ≡ --------------- = --------------- = ------------------- .
1
1
–4
4
x – 2 = 0
Se consideran las rectas r ≡ 
y + 3 = 0
–1
7(2 + 2λ ) + 4(−1 + 3λ) − 3(2 + 2λ ) = 0 ⇒ λ = --------5
y
Por tanto, los dos puntos que cumplen el enun-
5
Calcula las coordenadas de los puntos de
x–2
y+1
z–2
r ≡ --------------- = ---------------- = --------------- que equidistan de
2
3
2
los planos π 1 ≡ 3x + 4y − 1 = 0 y π 2 ≡ 4x − 3z + 1 = 0.
6
Solución
Se obtienen, en primer lugar, las ecuaciones de
los planos bisectores del ángulo diedro formado
por los planos π 1 y π 2 . Para ello se igualan las
distancias de un punto genérico X a π 1 y π 2 :
7
d(X, π1) = d(X, π2) ⇒
3x + 4y – 1
4x – 3z + 1
------------------------------------ = ----------------------------------- ⇒
2
2
3 +4
4 2 + ( – 3) 2
3x + 4y – 1
4x – 3z + 1
 b 1 ≡ ------------------------------- = -------------------------------
5
5
⇒
⇒
4x
–
3z + 1
3x + 4y – 1
 b ≡ ------------------------------= – -------------------------------2

5
5
 b 1 ≡ x – 4y – 3z + 2 = 0
⇒
 b 2 ≡ 7x + 4y – 3z = 0
194
9 –5 9
ciado del problema son: P ------ , --------- , -----4
8
4
3 –8 3
Q ------ , --------- , ------ .
5
5
5
 x – 2z = 1
. Estudia su posición relativa, las
s≡
y + z = 3
ecuaciones de su perpendicular común y la distancia mínima entre ellas.
8
y
Calcula el volumen del cubo, una
ras tiene por aristas a las rectas
x

x+1
y–1
z
r ≡ ---------------- = --------------- = ------ y s ≡  y
1
2
3

z
de cuyas ca= 2–λ
= 1 – 2λ .
= 1 – 3λ
Halla la ecuación de un plano que pase por el
punto P(−2, 2, 3), sabiendo que la proyección
ortogonal del origen sobre dicho plano es el
punto O(3, 1, 2).
x – y + 1 = 0
Se consideran la recta r ≡ 
y el
x + y = z
plano π ≡ x + y + z = 2.
Calcula:
a) Una recta s contenida en π y que corte a r
con un ángulo de 90°.
b) Una recta t contenida en π y que corte a r
con el menor ángulo posible. ¿Cuál es el coseno de dicho ángulo?
07.bach.2 Page 195 Tuesday, April 15, 2003 5:51 PM
9
10
11
Sean P(1, 1, 0), Q(0, 1, 1) y R un punto arbitrario de la recta r ≡ x − 2 = y − 1 = z − 2, respectivamente. De todos los triángulos que se pueden
obtener con P, Q y R, determina si hay alguno
rectángulo y halla el que tiene el área mínima.
18
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano π 1 ≡ x = y que distan 1
unidad del plano π 2 ≡ 2x − y + 2z = 2.
19
Determina las ecuaciones de la recta que pasa
por el punto A(1, 0, 2) y es perpendicular al
plano determinado por el origen de coordena x = 2z – 1
das y la recta de ecuaciones r ≡ 
.
y = z – 2
20
Halla el volumen del tetraedro determinado por
el origen de coordenadas y las intersecciones
del plano π ≡ 20x + 12y + 15z − 60 = 0 con los
ejes de coordenadas.
Halla el punto del plano π ≡ 2x + y − z = 0 que
está a la distancia mínima del punto A(1, 1, −1).
 2x + y + z = 3
Determina el punto de r ≡ 
que
y – z = 0
se encuentra a la distancia mínima de la recta
 x – y = –1
s≡
.
 2y + z = 2
12
Halla un punto A que se encuentre sobre la
y = 1 + x
recta r ≡ 
, que diste doble del punto
 z = 1 + 2x
B(1, 0, 1) que de C(0, 0, 0) y que esté por debajo del plano XY.
13
14
15
17
22
Halla el plano mediador del segmento de extremos A(4, 5, 8) y B(−6, −9, −4), calcula su distancia al origen y el volumen del tetraedro que
determina dicho plano con los ejes de coordenadas y con el origen.
23
Halla la ecuación de un plano paralelo a
π ≡ x − 2y + 3z + 6 = 0 y que dista 12 unidades del origen de coordenadas.
24
Halla las ecuaciones de los planos que contienen al
eje OX y distan 4 unidades del punto P(0, 5, 0).
25
Halla las ecuaciones de la recta simétrica de
la recta r ≡ x = y = z respecto del plano
π ≡ x − 2y + z − 1 = 0.
26
Calcula el volumen de la pirámide cuya base es
el cuadrilátero de vértices A(1, 2, 0), B(2, 4, 0),
C(5, 1, 0) y D(6, 3, 0) y cuya cúspide es el punto
V(3, 3, 5).
27
Un tetraedro tiene los vértices A(2, 1, 0), B(3, 4, 0)
y C(5, 1, 0) en el plano XY, estando el
cuarto vértice sobre la recta de ecuación
r ≡ (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(−1, 1, 1). Determina las coordenadas de D para que el volumen del tetraedro sea de 6 unidades cúbicas.
Comprueba que, para todo valor de λ, los puntos A(1, λ, 0), B(1, 1, λ − 2) y C(1, −1, λ) no están alineados, y halla el área del triángulo que
determinan.
Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) y C(1, 3, 3) son
tres vértices consecutivos de un paralelogramo.
Halla las coordenadas del cuarto vértice, D, y
calcula el área y el perímetro de dicho paralelogramo.
Determina la posición relativa de las rectas
 x – 2y – 6z = 1
x
y–1
r≡
y s ≡ ------ = --------------- = z en
2
a
x + y = 0
función de los valores del parámetro a, y calcula
la distancia entre ambas cuando a = − 2.
16
21
Encuentra, en la recta que pasa por A(−1, 0, 1)
y B(1, 2, 3), un punto que verifique que su distancia a C(2, −1, 1) sea 3 unidades.
Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos π 1 ≡ x − y + 4 = 0,
π 2 ≡ x − y − 2 = 0 y π 3 ≡ x − 4y + z = 0.
 x = 3λ

Determina el punto de la recta r ≡  y = 5λ – 7

 z = 2λ + 2
que está más próximo al punto P(2, −1, 3) y calcula esa distancia.
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07.bach.2 Page 196 Wednesday, February 18, 2004 11:23 PM
Problema
En un círculo se colocan dos círculos iguales y, después,
otros dos de menor tamaño, como se indica en la Figura
7.22, siendo los círculos pequeños tangentes al círculo
grande y a los dos círculos medianos, los cuales, a su
vez, son tangentes entre sí y tangentes al círculo grande.
Si el área de la región azul vale 5π cm2, ¿cuánto vale el
área amarilla? ¿Y la verde?
Fig. 7.22
El Islam y las Matemáticas
Euclides, Arquímedes, Eratóstenes,
Apolonio, Herón,… y otros muchos
matemáticos formaron parte de la
Escuela de Alejandría, que fue el
centro del mundo científico durante
toda la época clásica.
La biblioteca de dicha ciudad, Alejandría, se mantuvo activa desde su
fundación, alrededor del año 300
a.C., hasta su clausura por los cristianos en el año 529, debido al elevado número de «obras paganas»
que poseía. Finalmente, fue incendiada y destruida por los árabes en
el año 641; en este incendio, aunque
se pudo salvar gran parte de sus
documentos, muchos de ellos se
perdieron definitivamente.
El foco de la actividad matemática,
centrado durante tanto tiempo en
Alejandría, se desplazó entonces al
mundo árabe, de modo que, entre
los siglos VIII al XIII, los matemáticos
árabes no sólo fueron los guardianes de la ciencia del mundo clásico,
sino que también se convirtieron en
auténticos innovadores de la matemática.
Con la extensión del Islam desde la
India (a través de Persia y el Medio
Oriente) a lo largo de todo el norte
de África, y su llegada a la Península Ibérica, los científicos islámicos asimilaron los conocimientos de
196
Se observa que esta declaración
contrasta con la afirmación del parisino Michel de Montaigne, ocho
siglos después:
Cajón
de sastre
«He nacido y crecido en los campos
de labranza; tengo negocios y casa
desde que los que me precedieron
en la posesión de los bienes que
disfruto, me cedieron el sitio. Aun
así, no sé contar ni con fichas ni a
pluma».
M. DE MONTAIGNE, Ensayos, Libro II
(1580)
las numerosas civilizaciones con
las que entraron en contacto. Así,
conocieron y difundieron el sistema
de numeración hindú, que es nuestro actual sistema de numeración
decimal:
«Este sistema es el método más
conciso y más expeditivo, el más fácil de captar y el más sencillo de
aprender. Demuestra el espíritu penetrante de los hindúes, su magnífico talento creativo y su superioridad
de discernimiento y genio inventivo».
AUTOR ÁRABE (siglo VIII)