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Análisis III B - Turno mañana - Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Definición
Sea f ∈ L1 (R), se define la Transformada de Fourier de f a la función
Z+∞
F[f ](w) =
f (x) e−iwx dx
−∞
Notación
A veces se utiliza el sı́mbolo “ b ” en lugar de “ F ”, es decir, fb(w) = F[f ](w).
F transforma una función f en una nueva función F[f ]. Usaremos x como variable
de f y w como variable de F[f ].
Propiedades (Son todas ejercicios)
• Linealidad: f, g ∈ L1 (R) y α, β ∈ R
F[α f +β g](w) = α F[f ](w) + β F[g](w)
ó
α\
f +β g (w) = α fb(w) + β b
g (w)
• Corrimiento respecto a la variable x: Si x0 es un número real fijo
F[f (x−x0)](w) = e−iwx0 F[f ](w)
ó
\0)(w) = e−iwx0 fb(w)
f (x−x
• Corrimiento respecto a la variable w: Si w0 es un número real fijo
F[e−iw0 x f (x)] = F[f ](w−w0)
\
b
0 x f (x)(w) = f(w−w
e−iw
0)
ó
• Cambio de escala respecto a la variable x: Si a 6= 0
F[f (a x)](w) =
w
1
F[f ]
|a|
a
ó
1 b w
f\
(a x)(w) =
f
|a|
a
• Cambio de escala respecto a la variable w: Si a 6= 0
F[f ](a w) =
1 h xi
Ff
(w)
|a|
a
ó
• Simetrı́a:
F[F[f ]](w) = 2 πf (−w)
ó
x
1 d
fb(a w) =
f
(w)
|a|
a
d
fb (w) = 2 πf (−w)
2
Análisis III B - Turno mañana - Transformada de Fourier
• Modulación: Si w0 es un número real
1
F[f ](w+w0)+F[f ](w−w0)
2
1
F[f (x)sen(w0 x)](w) = F[f ](w+w0 )−F[f ](w−w0)
2
F[f (x) cos(w0x)](w) =
1
f (x)\
cos(w0 x)(w) = fb(w+w0)+fb(w−w0)
2
\ 0x)(w) = 1 fb(w+w0)−f(w−w
b
ó f (x)sen(w
0)
2
ó
• Diferenciación con respecto a la variable x:
Si f es derivable en R y f 0 ∈ L1(R)
F[f 0 ](w) = i w F[f ](w)
ó
b
fb0 (w) = i wf(w)
ó
(n) (w) = (i w)n fb(w)
fd
Si f es n–veces derivable en R y f (n) ∈ L1(R)
F[f (n) ](w) = (i w)n F[f ](w)
Si f ∈ L1 (R), f continua salvo en finitos puntos {x1, ..., xM } que son discontinuidades
de salto, f 0 continua a trozos
F[f 0 ](w) = i wF[f ](w) −
M
X
−ix w
−
j
f (x+
j )−f (xj ) e
j=1
• Diferenciación con respecto a la variable w:
f continua a trozos y xn f ∈ L1 (R), n ∈ N
F[xn f (x)](w) = in
dn
F[f ](w)
dwn
dn b
n f (x)(w) = in
f (w)
x\
dwn
ó
en particular
F[xf (x)](w) = i
d b
f (w)(w)
dw
F[x2f (x)](w) = −
y
d2 b
f (w)
dw2
• Transformada de una integral:
g (0) = 0
g continua a trozos, g ∈ L1 (R) y sup. que b

 x
Z
1
g (w)
b
F g(τ ) dτ (w) =
iw
−∞
• Convolución en la variable x:
F[f ∗g](w) = F[f ](w) F[g](w)
ó
fd
∗g(w) = fb(w) b
g (w)
ó
f\
(t)g(t)(w) =
• Convolución en la variable w:
F[f (t)g(t)](w) =
1
(F[f ]∗F[g]) (w)
2π
1 b f ∗b
g (w)
2π
Análisis III B - Turno mañana - Transformada de Fourier
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Definición
Sea f ∈ L1 (R), se define la Antitransformada de Fourier de f a la función
Z+∞
f (w) eixw dw
1
F [f ](x) =
2π
−1
−∞
Propiedad
Si f ∈ L1(R)∩L2 (R), entonces la integral de Fourier de f representa a f en c.t.x, i.e.
Z+∞
fb(w) eixw dw
1
f (x) =
2π
−∞
equivalentemente
f (x) = F−1 F[f ] (x)
Transformadas de Fourier en senos y cosenos
Definición
Sea f ∈ L1 ([0, +∞)), se definen la Transformada de Fourier en cosenos de f y la
Transformada de Fourier en senos de f respectivamente, a las funciones
Z+∞
FC [f ](w) =
f (x) cos(wx) dx
0
y
Z+∞
FS [f ](w) =
f (x) sen(wx) dx
0
Notación
Se puede utilizar el sı́mbolo “ fbC ” en vez de “ FC ”, y “ fbS ” en vez de “ FS ”.
Propiedades (Son todas ejercicios)
• Linealidad: f, g ∈ L1 ([0, +∞)) y α, β ∈ R
FC [α f +β g](w) = α FC [f ](w) + β FC [g](w)
y
FS [α f +β g](w) = α FS [f ](w) + β FS [g](w)
• Diferenciación con respecto a la variable x:
f y f 0 continuas, f 00 continua a trozos, f, f 0 y f 00 ∈ L1 ([0, +∞))
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Análisis III B - Turno mañana - Transformada de Fourier
FC [f 00](w) = −w2FC [f ](w) − f 0 (0)
y
FS [f 00](w) = −w2FS [f ](w) − wf(0)
Definición
Sea f ∈ L1 ([0, +∞)), se definen la Antitransformada de Fourier en cosenos de f y la
Antitransformada de Fourier en senos de f respectivamente, a las funciones
2
FC−1 [f ](x) =
π
Z+∞
f (w) cos(xw) dw
0
y
2
FS−1 [f ](x) =
π
Z+∞
f (w) sen(xw) dw
0