Totales Posibles Casos de N A suceso al Favorables Casos de N º º

RESUMEN TEORICO DE PROBABILIDAD CON EJEMPLOS (II).
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Vamos a ver ahora cómo calcular probabilidades. Para ello tenemos dos opciones:
•
•
Calcular la probabilidad real de manera teórica (Regla de Laplace).
Estimar la probabilidad de manera experimental (Frecuencia relativa).
1.- Cálculo de la probabilidad real de manera teórica.
Aplicaremos la Regla de Laplace, cuando tengamos exactamente todos los casos (Resultados)
posibles del experimento aleatorio de que se trate, y siempre que sepamos que estos casos
tienen exactamente la misma probabilidad cada uno.
Ejemplos:
• Tirar una moneda equilibrada y observar si sale cara o sello Sí se puede utilizar
Laplace (los dos casos tienen la misma probabilidad)
• Tirar un dado equilibrado y observar el número que sale Sí se puede utilizar Laplace
(los seis casos tienen la misma probabilidad)
• Tirar una chincheta y observar si cae con el pincho para arriba o para abajo No se
puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad los
dos casos.
• Echar un partido de Ping Pong y observar quien gana No se puede aplicar Laplace,
pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad.
• Tirar dos dados y restar el resultado (mayor – menor) Se puede aplicar Laplace, pero
hay que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma
probabilidad.
• Tirar una moneda y un dado y observar lo que sale Se puede aplicar Laplace, pero hay
que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma
probabilidad
En los casos en que se puede aplicar la regla de Laplace, la regla dice lo siguiente:
P( Suceso “A”)=
N º de Casos Favorables al suceso A
.
N º de Casos Posibles (Totales )
Ejemplos:
• Tirar una moneda equilibrada y observar si sale cara o sello
Suceso A: “ Sale Cara”= {C }; P ( A) =
•
1
=50%
2
Tirar un dado equilibrado y observar el número que sale
Suceso B: “Sale primo” = {2,3,5}; P ( B ) =
•
3
=50%
6
Tirar dos dados y restar el resultado (mayor – menor) Se puede aplicar Laplace, pero
hay que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma
probabilidad.
1
2
3
4
5
6
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
6
5
4
3
2
1
0
Así hay 36 posibilidades con la misma probabilidad (aunque algunas repitan números)
Suceso A:”Sale un número menor que 2”: {0, 1}; P ( A) =
16
=44,4% Los casos Favorables son
36
16 porque aunque el suceso sólo tenga 2 elementos, el 0 y el 1, están repetidos en la tabla
hay 6 ceros y 10 unos.
•
Tirar una moneda y un dado y observar lo que sale
C
X
1
1,C
1,X
2
2,C
2,X
3
3,C
3,X
4
4,C
4,X
5
5,C
5,X
6
6,C
6,X
Suceso A: “Sale cara o número par en el
dado”: A= {(1, C ), (2, C ), (3, C ), (4, C ), (5, C ), (5, C ), (2, X ), (4, X ), (6, X )}; P ( A) =
9
=75%
12
2.- Cálculo de la probabilidad experimentalmente
Hay ocasiones en que no se puede aplicar la regla de Laplace y para poder ESTIMAR la
probabilidad de un determinado suceso, hay que proceder aplicando la Ley de los grandes
Números que dice que si repetimos un experimento aleatorio N veces, y calculamos la
frecuencia relativa de un determinado suceso, está se aproximará a la Probabilidad Real
conforme N se haga cada vez más grande (Más realizaciones del experimento).
Ejemplos:
• Tirar una chincheta y observar si cae con el pincho para arriba o para abajo No se
puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad los
dos casos.
Así que si queremos estimar la probabilidad del suceso, por ejemplo,
A: “Sale el pincho hacia arriba” lo que haremos será realizar el experimento un número
de veces (cuanto más grande mejor) por ejemplo N=1000, y observamos las frecuencias:
Pincho
arriba
Pincho
abajo
totales
Fi
327
FRi
0,327
%
32,7%
673
0,673
67,3%
1000
1
100
Así, utilizamos como estimación de la probabilidad de A P(A)=32,7 %
•
Echar un partido de Ping Pong y observar quien gana No se puede aplicar Laplace,
pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad. Así que si queremos estimar
la probabilidad del suceso A: “Gana Jesús David” lo que haremos será observar el mayor
número de partidos posible anotando quien gana, y hacer el recuento en una tabla de
frecuencias. Por ejemplo, si observamos 20 partidos y obtenemos la tabla siguiente:
Gana Jesús
David
Pierde Jesús
David
totales
Fi
7
FRi
0,35
%
35%
13
0,65
65%
20
1
100
Así, la probabilidad del suceso A será (estimada) P(A) =35%
Ahora vamos a completar el cuadro de ejemplos de sucesos y operaciones con sucesos,
añadiendo la información sobre si la probabilidad es calculable (Experimento regular, se
puede calcular con Laplace) o estimable (Experimento no regular, la probabilidad sólo se
puede estimar con la frecuencia relativa), y en el Caso de que sea Regular indicando la
probabilidad (calculándola por Laplace:
Ejemplos:
EXPERIMENTO
ALEATORIO
Tirar una moneda
y observar lo que
sale
Abrir la ventana y
observar si llueve
Meter 15 bolas de
ping pong
numeradas del 1 al
15 en una urna,
sacar una y
observar el
número
Tirar un dado y
observar el
numero que sale
Tirar un dado y
una moneda y
observar
conjuntamente los
resultados
Espacio
muestral
Regular
Laplace
E = {C, X }
SI
" LLUEVE ", 
E =

" NO LLUEVE "
E = {1,2,3,4,..., ,15}
E = {1,2,...,6}
(C,1), (C,2),(C,3), 


, (C,4 ),(C,5), (C,6),
E =

, (X,1), (X,1), (X,1), 
 X,1 , X,1 , X,1 
(
)
(
)
(
)


NO
SI
SI
Sucesos A
Sale Cara
A = {C}
Si salgo me mojo
A = {" llueve"}
Múltiplo de 4
A = {4,8,12}
Sale par
A = {2,4,6}
P(A)
Sucesos B
P(B)
A∪ B
P(AUB)
A∩ B
½=
50%
Sale Cruz
½=
50%
Sale cara ó cruz
2/2=
100%
Sale cara y cruz
¿?
3/15
= 20%
3/6=
50%
SI
Abro la ventana
B=E
Múltiplo de 3
B = {3,6,9,12,15}
Sale menor que 5
B = {1,2,3,4}
¿?
5/15=
33,3%
6/12=
50%
(C,1), (C,3) 


B = (C,5), (X,1) 


(X,2), (X,3)
A∪ B = E
O me mojo o
abro la ventana
4/6=
66,6%
6/12=
50%
100%
A∪ B = E
Múltiplo de 4 o
múltiplo de 3
 3,4,6,8,9,
A∪ B = 

,12,15 
Par o menor
que 5
Sale Impar
Sale cara
(C,1), (C,2) 


A = (C,3), (C,4 )


(C,5), (C,6)
B = {X }
A∪ B =
{1,2,3,4,6}
Sala Cara o
Impar
(C,1),(C,2) 


(C,3),(C,4)


A ∪ B = (C,5),(C,6)


(X,1),(X,3)

(X,5)
A∩ B = ∅
Me mojo y abro
la ventana
P(A ∩ B)
0%
Ac
No sale cara
Ac = B
P(Ac)
50%
Si salgo
no me mojo
¿?
A∩ B = A
Ac =
{nollueve}
¿?
No múltiplo
de 4
7/15=
46,6%
5/6 =
83,3%
9/12=
75%
Múltiplo a la vez
de 3 y de 4
A ∩ B = {12}
Par y menor que 5
A ∩ B = {2,4}
Sale Cara e
Impar a la vez
(C,1), (C,3),
A∩ B = 


(C,5)
1/15=
6,66%
2/6=
33,3%
3/12=
25%
1,2,3,5 


,6,7,9, 
A=

,10,11, 
13,14,15
No es par
(es impar)
c
A = {1,3,5}
No sale cara
(sale Cruz)
(X,1), (X,2) 


A c = (X,3), (X,4 )


(X,5), (X,6)
12/15
=
80%
3/6=
50%
6/12=
50%