MODELOS DE VOLATILIDAD DEL FUTURO SOBRE EL BONO

MODELOS DE VOLATILIDAD DEL FUTURO SOBRE EL BONO NOCIONAL A
10 AÑOS
Ricardo Gimenoa (Universidad Pontificia Comillas) y
Eduardo Moralesb (Universidad San Pablo CEU)
ABSTRACT
La información proporcionada por los datos de alta frecuencia abre nuevas posibilidades a los
estudios de series temporales financieras. En este nuevo campo dos aspectos adquieren
especial relevancia a la hora de proceder a la elaboración de modelos de volatilidad.
En las series financieras tradicionales el intervalo de tiempo entre observaciones es algo que
viene dado por la propia serie. En series temporales tick-by-tick la agregación temporal es un
parámetro más a considerar, que afecta a los resultados finales. En el presente artículo se
estudia la volatilidad del contrato de futuro sobre el bono nocional a 10 años que cotiza en
MEFF. Se comprueba como afecta al modelo estimado, el hecho de utilizar, bien series
temporales tick-by-tick, bien series temporales agregadas de cinco minutos.
De igual forma los outliers suponen un factor determinante en los resultados obtenidos. Se
comprueba como los modelos presentan varianza integrada si los outliers no son tenidos en
cuenta, mientras que esta varianza integrada desaparece cuando sí se incluyen en el modelo.
a
b
Universidad Pontificia Comillas de Madrid. Alberto Aguilera 23. 28015. [email protected]
Universidad San Pablo CEU, Madrid
1. INTRODUCCIÓN
La introducción de los modelos ARCH por Engle en 1982 y GARCH por Bollerslev en 1986
abrió una línea de investigación que ha contribuido a mejorar considerablemente el
conocimiento de las características estocásticas de determinadas variables financieras de alta
frecuencia; Bollerslev et al. (1992) y, más recientemente, Engle (2001) y Bollerslev (2001)
contienen revisiones de los principales avances tanto teóricos como empíricos en esta área.
Las distintas variantes de modelos que tienen su raíz en los ya citados ARCH tienen por
objetivo explicar el comportamiento de las varianzas de los rendimientos financieros a partir
de una función del pasado de esos rendimientos (bajo el supuesto de que vienen generados
por un proceso ruido blanco de variables incorrelacionadas pero no independientes) o de los
residuos de un modelo ARMA para los mismos; es decir, la modelización de la varianza
condicional, en la práctica, es muy dependiente del modelo que se proponga para los
rendimientos. Este es, precisamente, uno de los puntos sobre los que se hace hincapié en este
trabajo; en concreto se aporta nueva evidencia [véase por ejemplo, Morales (1993) y
Carnero et al. (2001)] que refuerza la influencia que el tratamiento de determinados valores
anómales (outliers) ejerce sobre los parámetros del modelo de la varianza.
Por otra parte, la disponibilidad de datos financieros con una frecuencia más alta incluso que
la diaria posibilita plantearse si los modelos de la varianza condicional se ven afectados por un
problema de agregación temporal como puede ser el pasar de una serie en la que se tiene
información “tick-by-tick” – y, por tanto, habitualmente, disponible a intervalos de tiempo no
constantes- a otra igualmente espaciada en el tiempo.
Para ilustrar estos dos temas se presentan los resultados de una investigación realizada sobre
los precios del contrato de futuros sobre el bono a 10 años negociado en el MEFF.
El resto del documento se organiza de la siguiente manera. En la sección 2 se presentan dos
de los tipos de modelos de la familia ARCH utilizados con más frecuencia en la modelización
de las varianzas condicionales en series financieras, los GARH y su inmediata ampliación M-
GARCH, y los EGARCH. El tercer apartado se destina a explicar en detalle las
características estadísticas de los datos utilizados y el proceso de agregación temporal
seguido.
Del la modelización los rendimientos calculados a partir de los precios de todas las
operaciones cruzadas se desprende que éstos no vienen generados por procesos ruido
blanco; en el epígrafe se presentan los modelos obtenidos para esos rendimientos así como
los correspondientes a las series agregadas temporalmente.
En la sección 5 se incluyen los modelos para las varianzas condicionales y se discute la
importancia que un número reducido de outliers tiene sobre los parámetros de los mismos.
Finalmente, en la última sección, se presentan las principales conclusiones.
2. MODELOS PARA LAS VARIANZAS CONDICIONALES
En este apartado nos concentramos en dos tipos de modelosc -GARCH y EGARCH- que
son los más frecuentemente utilizados para modelizar las varianzas condicionales de variables
financieras. La modelización completa de los rendimientos requiere una ecuación inicial para
las medias condicionales que adopta la forma (1) (con estructura ARMA) y una segunda para
recoger el comportamiento de las varianzas condicionales. Estas últimas aparecen referidas
más abajo como (2a) para los GARCH y (2b) para los EGARCH.
(1 − L ) ln Pt =
ϑ ( L)
εt
Φ ( L)
(1)
q
p
i =1
j =1
σ 2εt = α 0 + ∑ α i ε 2t −i + ∑ β j σ 2εt − j
(2a)
La propuesta de los modelos tipo GARCH, recogida en la ecuación (2a) es que las variables
aleatorias generadoras de los residuos de la primera ecuación tienen distribuciones marginales
c
Una exposición más detallada de los mismos y de algunos otros modelos de la misma familia ARCH se
puede consultar, por ejemplo, en Carnero et al.)
iguales pero los momentos de segundo orden de las distribuciones condicionales son función
de su pasado.
Los coeficientes de esa segunda ecuación tienen que ser positivos para evitar obtener el
resultado absurdo de una varianza negativa. Además se exige a la ecuación que la suma de los
coeficientes α y β debe ser menor que uno para que la varianza no tienda a infinito.
Si en la ecuación de la media se incorpora como variable explicativa la estimación de la
desviación tipica condicional se tienen los GARCH-M [véase Engle et al. (1987)]d; su
inclusión permite recoger la relación entre volatilidad del activo y rendimientos esperados.
La ecuación de la varianza en los modelos EGARCH viene dada en (2b):
 ε
ε
2
2
ln σ 2εt = α 0+ α 1·  t −1 -λ· t −i  + β 1·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
(2b)
Estos modelos EGARCH, al estar definidos sobre el logaritmo de la varianza permiten
prescindir de las restricciones de no negatividad de los coeficientes. Sin embargo subsiste el
posible problema de la integración en la varianza lo que va a exigir que los parámetros β
sumen menos que uno.
3. DATOS
Las nuevas tecnologías incorporadas por los mercados financieros han permitido almacenar
datos cada vez más pormenorizados. De las ya clásicas cotizaciones diarias se ha pasado al
conocimiento del tick-by-tick. Existen distintos tipos de información tick-by-tick que van
desde el registro de las operaciones cruzadas en el mercado al registro de cualquier cambio en
las ofertas y demandas de acciones.
d
En este caso la ecuación (1) adopta la forma: (1-L)·ln Pt
= δ 0·σεt +[ϑ(L)/Φ (L)] ε t
El mercado español de derivados financieros MEFF registra en su base de datos MEFF
Tick Data todas las operaciones cruzadas dentro y fuera de mercado. Cada registro incluye
el precio de la operación, el número de contratos intercambiados y la fecha y la hora a la que
se produjo la operación.
En el presente trabajo se ha estudiado la evolución de los precios del contrato de futuro sobre
el Bono Nocional a 10 años a lo largo de 1998 a partir de los datos proporcionados por
MEFF Tick Data. Este contrato de futuro es el de mayor volumen de negociación de los
derivados de renta fija española. Tiene cuatro vencimientos al año: marzo, junio, septiembre y
diciembre. Los modelos que se presentan en los siguientes apartados se referirán al último de
estos contratos, pudiendo encontrarse en el apéndice los resultados para los otros
vencimientos.
Figura 1: Evolución de los precios operación a operación (tick-by-tick) del contrato de futuro sobre el
Bono Nocional a 10 años.
Se ha seguido la evolución del precio de cada vencimiento durante los meses en los que ha
sido el contrato más negociado. Dicha condición coincide con la de ser el contrato más
cercano a la fecha de vencimiento. La evolución de los precios puede seguirse en las gráficas
de la figura 1. Debe tenerse en cuenta que al proceder los datos de series obtenidas con las
operaciones cruzadas, dichos datos no van a estar regularmente espaciados en el tiempo.
La agregación temporal llevada a cabo ha consistido en obtener series temporales que sí
estén regularmente espaciadas en el tiempo, para lo que resulta prioritario definir dicho
intervalo temporal. Dada la frecuencia con la que se cruzan operaciones en MEFF para el
contrato analizado, el intervalo más corto de tiempo en el que podemos agregar la serie es
cada cinco minutos.
Figura 2: Evolución de los precios a intervalos regulares (cinco minutos) del contrato de futuro sobre el
Bono Nocional a 10 años.
El método de agregación temporal utilizado ha consistido en dividir el tiempo total en el que
funciona el mercado en intervalos de cinco minutos. De entre las operaciones que se han
producido en cada intervalo, se escoge la última de todas. Esta operación se toma como
representativa de ese periodo de cinco minutos. Los resultados de esta agregación temporal
son los que se observan en la figura 2.
Tanto para las series que están regularmente espaciadas en el tiempo como para las que no, la
evolución de los precios puede representarse matemáticamente mediante la ecuación (4).
Pt +∆t = Pt· ert · ∆t
(4)
En la ecuación (4) además del precio P se incluye una nueva variable, r, que representa los
rendimientos del activo. Podemos definir los rendimientos a partir de la ecuación (5) cuando el
intervalo de tiempo entre observaciones es constante, por ejemplo cinco minutos, o de la
ecuación (6) cuando dicho intervalo no es constante, como es el caso de las observaciones
tick-by-tick.
∆ log Pt = r (t ) ∆t
(5)
log Pt 2 − log Pt 1 = r (t )·( t 2 − t1 )
(6)
En la figura 3 se observa el comportamiento de las series de rendimientos de cinco minutos del
contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años en 1998. Estas gráficas presentan dos
características muy marcadas: a) por una parte, periodos de volatilidad alta seguidos de
periodos de volatilidad baja, lo que sería una señal de que la varianza no es constante y que
por tanto podría considerarse interesante la modelización mediante modelos GARCH; y, b)
por otra, se detectan un número alto de valores extremos que los modelos propuestos no son
capaces de tratar sino se incorporan como outliers a través del análisis de intervención.
0.006
0.003
d log(Junio 98)
dlog(Marzo 98)
0.002
0.004
0.001
0.002
0.000
0.000
-0.001
-0.002
-0.002
-0.004
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.006
-0.003
1000
2000
3000
4000
5000
6000
5000
6000
0.010
d log(Diciembre 98)
d log(Septiembre 98)
0.004
0.005
0.002
0.000
0.000
-0.005
-0.002
-0.010
-0.004
-0.015
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1000
2000
3000
4000
Figura 3: Rendimientos de cinco minutos del contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años.
En las figuras 4 y 5 se representan, respectivamente, los histogramas y las estadísticas básicas
de las series temporales de rendimientos tanto de cinco minutos como de tick-by-tick.
3000
4000
Series:Marzo 98
Sample 2 5100
Observations 5099
2500
2000
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
1500
1000
500
7.11E-06
0.000000
0.004618
-0.002882
0.000264
2.094568
47.77264
Series: Junio 98
Sample 2 6100
Observations 6099
3000
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
2000
1000
Jarque-Bera429620.1
Probability 0.000000
0
1.29E-06
0.000000
0.002745
-0.002017
0.000204
0.770647
23.43035
Jarque-Bera106675.2
Probability 0.000000
0
-0.0025
0.0000
0.0025
-0.002
4000
-0.001
0.000
0.001
0.002
4000
Series: Septiembre 98
Sample 2 6600
Observations 6599
3000
Series:Diciembre 98
Sample 2 6100
Observations 6099
3000
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
2000
1000
5.29E-06
0.000000
0.004710
-0.003914
0.000239
0.845946
52.45212
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
2000
1000
Jarque-Bera673201.0
Probability 0.000000
0
3.81E-06
0.000000
0.009246
-0.011913
0.000412
-2.738162
195.5692
Jarque-Bera 9431315.
Probability 0.000000
0
-0.0025
0.0000
0.0025
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
Figura 4: Histogramas y estadísticos de las series de rendimientos cada cinco minutos del contrato de
futuros sobre el Bono Nocional a 10 años.
Entre los rasgos comunes a ambos tipos de series, se observa en todas ellas que es aceptable
la hipótesis de que los rendimientos tienen media cero. De igual forma el contraste de JarqueBera rechaza en todos los casos la hipótesis de normalidad. La principal diferencia entre las
series se encuentra en la forma de los histogramas. En las series tick-by-tick los valores se
concentran más alrededor de la media, mientras que con el proceso de agregación temporal
aumenta la dispersión.
200000
Series: Marzo 98
Sample 2 206448
Observations 206447
150000
200000
Series: Junio 98
Sample 2 177308
Observations 177307
150000
Mean
1.76E-07
Median
0.000000
Maximum 0.004618
Minimum -0.002882
Std. Dev. 5.67E-05
Skewness 5.729341
Kurtosis
529.9036
100000
50000
Mean
4.43E-08
Median
0.000000
Maximum 0.002745
Minimum -0.002017
Std. Dev. 5.06E-05
Skewness 1.842083
Kurtosis
174.7991
100000
50000
Jarque-Bera 2.39E+09
Probability 0.000000
Jarque-Bera2.18E+08
Probability 0.000000
0
0
-0.0025
0.0000
0.0025
-0.002
160000
-0.001
0.000
0.001
0.002
160000
Series: Septiembre 98
Sample 2 159440
Observations 159439
120000
Series: Diciembre 98
Sample 2 167795
Observations 167794
120000
Mean
2.19E-07
Median
0.000000
Maximum 0.004710
Minimum -0.002311
Std. Dev. 5.91E-05
Skewness 4.733701
Kurtosis
429.8889
80000
40000
Mean
1.38E-07
Median
0.000000
Maximum 0.009246
Minimum -0.011913
Std. Dev. 8.60E-05
Skewness -7.460422
Kurtosis
3225.984
80000
40000
Jarque-Bera 1.21E+09
Probability 0.000000
0
-0.0025
Jarque-Bera7.26E+10
Probability 0.000000
0
0.0000
0.0025
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
Figura 5: Histogramas y estadísticos de las series de rendimientos tick-by-tick del contrato de futuros
sobre el Bono Nocional a 10 años.
4. MODELOS PARA LOS RENDIMIENTOS DEL FUTURO A 10 AÑOS
Para el análisis del comportamiento de los rendimientos partimos de la expresión general de
los modelos ARIMA (Ecuación (7)).
(1 − L) d rt =
ϑ ( L)
εt
Φ( L )
(7)
En el caso de las series de rendimientos tick-by-tick se ha procedido a identificar el orden de
los polinomios a partir del estudio de los correlogramas que se incluyen en el apéndice. En
estos se observa una clara ley de formación tanto en el correlograma simple como en el
correlograma parcial, lo que nos inclina a proponer un modelo ARMA (1,1), cuya estimación
para el vencimiento de diciembre 98 es el que se presenta en la ecuación (8).
(1-0.42662 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49219 L) εt
(0.02665)
(0.02565)
(8)
Los valores obtenidos para los coeficientes MA y AR son próximos, pero decidimos
mantenerlos porque el correlograma de los rendimientos no es el que cabría esperar de un
ruido blanco. El correlograma de los residuos de este modelo sí que permite afirmar que
recoge las correlaciones lineales presentes en la serie. La existencia de un modelo lineal para
las series de rendimientos, implica que existe dependencia entre los rendimientos de un
momento del tiempo y los rendimientos de momentos anteriores, en contra de la hipótesis de
mercado eficiente de Fama (1965).
En las series de rendimientos de cinco minutos los correlogramas no permiten una clara
identificación de los órdenes de las partes autorregresiva y de medias móviles, por lo que el
criterio utilizado para su identificación ha sido el criterio de información de Schwarz [8].
Siguiendo dicho criterio, el mejor modelo es un ARMA(2,4), cuya estimación se presenta en
la ecuación (9).
(1+0.1905 L+0.9664·L2)(1-L) Log(Pt)=(1+0.2535 L+1.0395·L2+0.0829·L3+0.0889·L4) εt
(0.0096) (0.0093)
(0.0158)
(0.0158) (0.0133) (0.0130)
(9)
El resultado obtenido en la ecuación (9) es de un orden superior al de los otros vencimientos,
incluidos en el apéndice, en los que se ha procedido a la agregación temporal, en los que se
obtenían modelos AR(1) o incluso ruidos blancos. Una posible causa de la selección de dicho
modelo puede ser que, como se observa en las figuras 1 y 2, entre los días 8 y 9 de octubre
de 1998 se produce una caída del mercado (figura 6) de 29 veces la desviación típica de la
serie de rendimientos, debido a inestabilidades en el gobierno norteamericano.
Figura 6: Evolución del precio del Bono Nocional a 10 años los días 8 y 9 de octubre de 1998.
El cambio en los precios del día 9 de octubre no es atribuible a la dinámica interna del
mercado, por lo que difícilmente el modelo ARIMA puede recogerlo. Lo que sí provoca es
un aumento artificial del número de parámetros necesarios para explicarlo mediante este tipo
de modelos. Por tanto, se ha decidido considerarlo un valor anómalo que puede modelizarse
mediante la incorporación al modelo de una variable artificial de tipo escalón, que toma valor
cero para las fechas anteriores al 9 de octubre de 1998, y uno a partir de entonces. El modelo
definitivo siguiendo el criterio de Schwarz sería el de la ecuación (10), en el que sólo hay un
MA(1), modelo mucho más razonable que el ARMA(2,4) de la ecuación (9).
(1-L) Log(Pt)=-0.01229·(1-L)S 9-10-98 + (1+0.0438 L) εt
(0.000382)
(0.0128)
(10)
El correlograma de los residuos, tanto del modelo (10) como del modelo (8) para la serie
tick-by-tick, se presentan en el apéndice y permiten afirmar que los modelos considerados
recogen las correlaciones lineales de ambas series de rendimientos. Una vez modelizado el
comportamiento de la media de los rendimientos, es necesario estudiar el comportamiento de
la varianza de la serie, puesto que al representar gráficamente los rendimientos habíamos
detectado que posiblemente la varianza no fuera constante.
5. MODELOS PARA LA VOLATILIDAD DE LOS FUTUROS DEL BONO A 10
AÑOS
Analizando los correlogramas de los residuos de los modelos ARIMA no es posible afirmar
que vengan generados por variables independientes entre sí. De la observación de los
correlogramas de los residuos al cuadrado (en el apéndice) y en valor absoluto, se puede
confirmar que existen dependencias en los momentos de segundo orden, que pueden ser
recogidas mediante modelos de tipo GARCH como los presentados en el segundo apartado
del presente estudio.
Dadas las estructuras de los correlogramas de los residuos al cuadrado de los modelos
obtenidos en el apartado anterior, se ha procedido a estimar modelos GARCH(1,1) para la
varianza tanto para las series tick-by-tick (ecuación 11) como para las series de cinco
minutos (ecuación 12).
(1-0.24889·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.39599·L) εt
(0.00924)
(0.00861)
σ 2εt =9.12470e-010 + 0.12880· ε t2−1 + 0.72776· σ 2εt −1
(0.00000)
(1.25574e-4)
(11)
(2.01349e-4)
Se puede observar en el modelo estimado para las series tick-by-tick que los coeficientes de
la parte GARCH son significativos y que suman 0.85656 lo que significa que se cumple la
condición requerida por estos modelos de que α + β < 1.
(1-L) Log(Pt)=-0.015·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt
(1.4711e-4)
(0.0116)
σ 2εt = 6.5243e-9+ 0.2207· ε t2−1 + 0.7793· σ 2εt −1
(12)
(1.0162e-10) (2.4901e-3) (2.0446e-3)
Sin embargo, tras la agregación temporal en series de cinco minutos, el modelo estimado es un
IGARCH, esto es, α + β = 1, por lo que decimos que el proceso es integrado en varianza.
La persistencia en la varianza es una característica que no se encontraba en la serie tick-bytick y que es, por tanto, resultado de la agregación temporal. La representación gráfica de la
serie de rendimientos pone en duda la validez de dicho resultados. Las gráficas de
rendimientos no presentan persistencia en la varianza, pero sí destaca la presencia de valores
anómalos. Se comprueba si la presencia de estos outliers es justificación suficiente de la
aparición de modelos IGARCH. Si se incluyen variables artificiales para los outliers en la
ecuación de la media de rendimientos, entonces la ecuación estimada de la varianza se
corresponderá la ecuación (13).
σ 2εt = 5.9044e-9+ 0.1981· ε t2−1 + 0.7679· σ 2εt −1
(1.5213e-10) (0.00530)
(13)
(0.00448)
La ecuación de la media se encuentra en el apéndice. En ella se incluyen trece variables
impulso referidas a trece valores anómalos de la serie. La identificación de los outliers se ha
hecho señalando los rendimientos que superen siete veces la desviación típica de la serie. A
este nivel, el coeficiente media móvil que tenía el modelo ya no es significativo y se ha
eliminado. Descontando el efecto de los outliers, puede considerarse que los rendimientos de
cinco minutos son independientes.
De igual forma, la inclusión de outliers, reduce la persistencia en la varianza, por lo que puede
considerarse que esta característica que se encuentra con la agregación temporal es solo el
resultado de no tratar adecuadamente los outliers.
Los resultados obtenidos son los mismos si sustituimos los modelos GARCH por GARCHM. En las series tick-by-tick los coeficientes suman menos que uno (ecuación 14), pero si
procedemos a la agregación temporal en series de cinco minutos, aparece de nuevo la
varianza integrada (ecuación 15), que puede evitarse si incluimos outliers (ecuación 16).
(1-0.25370·L)(1-L) Log(Pt)= 0.01216·σεt + (1- 0.40159·L) εt
(0.00903)
(5.90851e-4)
(0.00836)
σ 2εt = 8.99021e-10 + 0.12841· ε t2−1 + 0.73064· σ 2εt −1
(0.00000)
(1.39677e-4)
(2.47990e-4)
(14)
(1-L) Log(Pt)= 0.091·σεt -0.0089·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt
(7.1233e-3) (1.2414e-4)
(0.0116)
σ 2εt = 6.5347e-9 + 0.2215· ε t2−1 + 0.7785· σ 2εt −1
(15)
(1.9177e-9) (1.5116e-3) (6.9851e-3)
σ 2εt = 6.2260e-9+ 0.1887· ε t2−1 + 0.7697· σ 2εt −1
(1.7506e-10) (0.00546)
(16)
(0.00477)
Se puede comprobar, también que la desviación típica es una variable significativa del
comportamiento de la media de los rendimientos. De esta forma, se puede afirmar que a
mayor volatilidad del contrato de futuro, mayor será la rentabilidad esperada. Estos resultados
se confirman mediante contrastes de razón de verosimilitud incluidos en el apéndice.
Por último se comprueba que con los modelos EGARCH también se reduce la persistencia de
la varianza cuando se incorporan a la ecuación de la media los outliers correspondientes.
(1+0.9760·L)(1-L) Log(Pt) = (1+0.9802·L) εt
(4.3809e-4)
(3.8406e-4)
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.4494·
+0.9973·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε =-0.0309+0.0529· 
2
t
(9.1028e-5) (5.6744e-5)
(1.5922e-3)
[17]
(5.3828e-6)
En la ecuación (17) se presenta la estimación del modelo EGARCH para las series tick-bytick. Los resultados tras la agregación temporal son los de la ecuación (18).
(1-L) Log(Pt)= -0.0158·(1-L)S9-10-98 + (1+0.0353 L) εt
(1.5317e-4)
(0.0102)
 ε t −1
ε t −i
2
2
+0.3348·
+0.9417·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε =-0.8777+0.3704· 
2
t
(0.0267) (0.00218)
(0.00725)
[18]
(0.00166)
Tras la inclusión de los outliers identificados, la ecuación (19) es el resultado de estimar el
comportamiento de la varianza del modelo EGARCH sobre la serie agregada. En ella se
observa que el coeficiente beta pasa de 0.94 a 0.89 al incluir outliers.
 ε t −1
ε t −i
2
2
+0.3585·
 +0.8983·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε =-1.6344+0.2553· 
2
t
(0.0343) (0.0057) (0.0160)
[19]
(0.0021)
En conjunto, los resultados son los mismos, independientemente del modelo que usemos para
explicar el comportamiento de la varianza de los rendimientos.
6. CONCLUSIONES
A modo de resumen de los resultados obtenidos se pueden sacar las siguientes conclusiones:
El mercado constituido por el contrato de futuro sobre el Bono Nocional a 10 años negociado
en MEFF no fue eficiente durante el año 1998 considerando las series tick-by-tick en la que
los intervalos de tiempo no son constantes. Tras la agregación temporal en series de cinco
minutos, hay vencimientos en los que sí es eficiente y vencimientos en los que no.
En todas las series tick-by-tick estudiadas se puede afirmar que la volatilidad es una variable
que influye de forma positiva sobre el valor de los rendimientos medios. En las series de cinco
minutos, tras la agregación temporal, sólo el vencimiento de diciembre de 1998 mantiene a la
volatilidad como variable significativa para explicar el valor esperado de los rendimientos.
La agregación temporal de la serie supone la aparición de persistencia en la varianza que no se
encontraba en las series tick-by-tick. Dicha persistencia llega a suponer la integración de la
varianza en los vencimientos de septiembre y diciembre de 1998. Se comprueba que dicha
persistencia surgida con la agregación temporal es debida a la presencia de outliers en la serie
que no han sido tratados adecuadamente.
Para la corrección del problema de la persistencia en dichos modelos se propone la siguiente
estrategia:
1. Estimar el modelo ARIMA que mejor recoja las correlaciones lineales detectadas en la
media de los rendimientos.
2. Identificar e incluir en el modelo de la media de rendimientos los outliers.
3. Estimar el modelo GARCH para la volatilidad sobre los residuos del paso anterior para
evitar la aparición errónea de persistencia en la varianza.
7. REFERENCIAS
Bollerslev, T., 1986, “Generalized autoregressive conditional heterokedasticity”, Journal of
Econometrics, vol. 31, p. 307-327.
Bollerslev, T., 2001, "Financial Econometrics: Pst Developments and Future Challenges",
Journal of Econometrics, 100, p. 41-51.
Bollerslev, T., Chou, R.Y. y Kroner, K.F., 1992, “ARCH Modeling in Finance: A Review
of the Theory and Empirical Evidence”, Journal of Econometrics, vol. 52, p. 498-505.
Carnero, M.A., Peña, D. y Ruiz, E., 2001, "Outliers and conditional autorregresive
heterocedasticity in time series", Working Paper 01-07, Statistics and Econometrics
Series 04, febrero 2001, Departamento de Estadística y Econometría, Universidad Carlos
III de Madrid.
Engle, R.F., 1982, “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the
variance of United Kingdom inflation”, Econometrica, vol. 50. nº 4, p. 987-1007.
Engle, R.F., 2001, "Financial Econometrics - A New Discipline with New Methods",
Journal of Econometrics, 100, p. 53-56.
Engle, R.F., Lilien, D.M. y Robins, R.P., 1987, “Estimating time varying risk premia in the
term structure: the ARCH-M model”, Econometrica, vol. 55, nº 2, p. 391-407.
Fama, E, 1965, "The Behavior of Stock Market Prices", Journal of Business, Vol. 38, p.
34-105.
Nelson, D.B., 1991, “Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach”,
Econometrica, vol. 59, nº 2, p. 347-370.
Morales, E., 1993, Modelos de predicción y adopción de decisiones: El caso de los tipos
de cambio diarios de la peseta, Tesis Doctoral, Universidad Complutense de Madrid,
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.
Schwarz, G., 1978, "Estimating the dimension of a model", Annals of Statistics, Vol. 6,
p.461-464.
ANEXO 1: CORRELOGRAMAS
,25
,25
,20
,20
,15
,15
,10
,10
,05
,05
,00
,00
-,05
-,05
-,10
-,10
-,15
-,15
-,20
-,20
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3
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7
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13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Correlograma y correlograma parcial de la serie de rendimientos tick-by-tick. Vencimiento diciembre 98.
,10
,10
,05
,05
0,00
0,00
-,05
-,05
-,10
-,10
1
3
5
7
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39
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Correlograma y correlograma parcial de los residuos del modelo ARMA de la serie de rendimientos tickby-tick. Vencimiento diciembre 98.
,5
,5
,4
,4
,3
,3
,2
,2
,1
,1
,0
,0
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-,5
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3
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23
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27
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31
33
35
37
39
Correlograma y correlograma parcial de la serie de rendimientos de cinco minutos. Vencimiento diciembre
98.
,5
,5
,4
,4
,3
,3
,2
,2
,1
,1
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,0
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-,1
-,2
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-,5
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3
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17
19
21
23
25
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31
33
35
37
39
Correlograma y correlograma parcial de los residuos del modelo ARMA de la serie de rendimientos de
cinco minutos. Vencimiento diciembre 98.
,10
,10
,05
,05
0,00
0,00
-,05
-,05
-,10
-,10
1
3
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31
33
35
37
39
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Correlograma y correlograma parcial de los residuos al cuadrado(tick-by-tick). Vencimiento diciembre 98.
,5
,5
,4
,4
,3
,3
,2
,2
,1
,1
,0
,0
-,1
-,1
-,2
-,2
-,3
-,3
-,4
-,4
-,5
-,5
1
3
5
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9
11
13
15
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21
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27
29
31
33
35
37
39
1
3
5
7
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11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
Correlograma y correlograma parcial de los residuos al cuadrado(cinco minutos).
Vencimiento diciembre 98.
33
35
37
39
ANEXO 2: MODELOS
Modelos ARIMA estimados sobre series de operación a operación
(1-φ L)(1-L) Log(Pt)=(1-θ L) εt
Bono Marzo 98
(1-0.32878 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49525 L) εt
(0.01046)
(0.00962)
Bono Junio 98
(1-0.30093 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.46112 L) εt
(0.01218)
(0.01134)
Bono Septiembre 98
(1-0.22489 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.36569 L) εt
(0.01591)
(0.01519)
Bono Diciembre 98
(1-0.42662 L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49219 L) εt
(0.02665)
(0.02565)
Modelos ARIMA estimados sobre series de cinco minutos
Φ p ( L)(1 − L) log( Pt ) = Θ q ( L)ε t
Bono Marzo 98
(1+0.055347 L)(1-L) Log(Pt)= εt
(0.013985)
Bono Junio 98
(1-L) Log(Pt)= εt
Bono Septiembre 98
(1-L) Log(Pt)= εt
Bono Diciembre 98
(1+0.1905 L+0.9664·L2)(1-L) Log(Pt)=(1+0.2535 L+1.0395·L2+0.0829·L3+0.0889·L4) εt
(0.0096) (0.0093)
(0.0158)
(0.0158) (0.0133) (0.0130)
Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de operación a operación
(1-θ L)(1-L) Log(Pt)=(1-φ L)εt
σ 2εt = α 0 + α1ε t2−1 + β1 σ 2εt −1
Bono Marzo 98
(1-0.28962·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49952 L) εt
(0.00799)
(0.00717)
σ 2εt =4.29670e-10+0.04452· ε t2−1 +0.81900· σ 2εt −1
(1.74634e-12)
Bono Junio 98
(1.82621e-4) (6.68304e-4)
(1-0.29038·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.49025·L) εt
(0.00808)
(0.00709)
σ 2εt =1.81967e-10 +0.04610· ε t2−1 +0.88490· σ 2εt −1
(0.00000) (1.66956e-4) (4.40610e-4)
Bono Septiembre 98
(1-0.35677·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.48695·L) εt
(0.01066)
(0.01038)
σ 2εt =6.08034e-11+0.04489· ε t2−1 +0.94382· σ 2εt −1
(0.00000) (1.10201e-4)
Bono Diciembre 98
(9.44670e-5)
(1-0.24889·L)(1-L) Log(Pt)=(1-0.39599·L) εt
(0.00924)
(0.00861)
σ 2εt =9.12470e-010 + 0.12880· ε t2−1 + 0.72776· σ 2εt −1
(0.00000)
(1.25574e-4)
(2.01349e-4)
Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de cinco minutos
Φ p ( L)(1 − L) log( Pt ) = Θ q ( L)ε t
σ 2εt = α 0 + α1ε t2−1 + β1 σ 2εt −1
Bono Marzo 98
(1+0.0388 L)(1-L) Log(Pt)= εt
(0.016)
σ 2εt = 1.4178e-8+0.4484· ε t2−1 +0.5244· σ 2εt −1
(2.6667e-10) (0.0118)
Bono Junio 98
(6.6466e-3)
(1-L) Log(Pt)= εt
σ 2εt =5.71992e-9+0.30337· ε t2−1 +0.63272· σ 2εt −1
(1.90239e-10) (0.00892)
Bono Septiembre 98
(0.00994)
(1-L) Log(Pt)= εt
σ 2εt =1.24850e-9+0.31904· ε t2−1 +0.68096· σ 2εt −1
(4.15802e-11) (0.00683) (0.00330)
Bono Diciembre 98
(1-L) Log(Pt)=-0.015·(1-L)S9-10-98 +(1+0.0288 L) εt
(1.4711e-4)
(0.0116)
σ 2εt = 6.5243e-9+ 0.2207· ε t2−1 + 0.7793· σ 2εt −1
(1.0162e-10) (2.4901e-3) (2.0446e-3)
Modelos GARCH(1,1) estimados sobre series de cinco minutos con intervenciones
Φ p ( L)(1 − L) log( Pt ) = Θ q ( L)ε t
σ 2εt = α 0 + α1ε t2−1 + β1 σ 2εt −1
Bono Marzo 98
(1-L) Log(Pt)= 0.00484·(1-L)S101 +0.00184·(1-L)S201 +
(0.00013)
(0.00069)
+0.00290·(1-L)S501 -0.00344·(1-L)S701 +
(0.00074)
(0.00015)
+0.00279·(1-L)S1301 -0.00259·(1-L)S1501 +
(0.0294)
(0.00301)
+0.00206·(1-L)S1901 -0.00205·(1-L)S2401 +
(0.00013)
(0.5179)
+0.00194·(1-L)S2701 +0.00279·(1-L)S3102 +
(0.00069)
(0.00005)
+0.00388·(1-L)S3501 +0.00234·(1-L)S3801 +
(0.00089)
(0.00102)
+0.00194·(1-L)S4601 +0.00197·(1-L)S4701 +
(0.00072)
(0.00092)
+ εt
σ 2εt = 3.249e-9+0.1701· ε t2−1 +0.7789· σ 2εt −1
(1.3606e-10) (0.00742) (0.0076)
Bono Junio 98
(1-L) Log(Pt)= 0.00275·(1-L)S1301 +0.00156·(1-L)S1801 +
(5.026)
(0.0444)
-0.00187·(1-L)S2301 -0.00199·(1-L)S3001 +
(0.00009)
(0.00091)
-0.00571·(1-L)S3069 +0.00218·(1-L)S3101 +
(0.00011)
(0.00006)
+0.00175·(1-L)S3201 -0.00141·(1-L)S3701 +
(0.0933)
(0.00003)
+0.00208·(1-L)S3801 +0.00185·(1-L)S3901 +
(0.00007)
(0.00009)
+0.00175·(1-L)S4701 +0.00181·(1-L)S5801 +
(0.00006)
(0.00018)
+ εt
σ 2εt =2.6164e-9+0.2913· ε t2−1 +0.686· σ 2εt −1
(1.116e-10) (0.0096)
(0.00748)
Bono Septiembre 98
(1-L) Log(Xt) =-0.00164·(1-L)S302 +0.00272·(1-L)S501 +
(0.0172)
(0.00032)
-0.00137·(1-L)S1101 -0.00173·(1-L)S2401 +
(0.00006)
(0.0121)
-0.00179·(1-L)S4201 +0.00154·(1-L)S4301 +
(0.8795)
(0.00013)
+0.00296·(1-L)S4501 +0.00529·(1-L)S4901 +
(0.0113)
(0.00010)
-0.0144·(1-L)S5202 +0.00251·(1-L)S5401 +
(0.00015)
(0.00016)
-0.00225·(1-L)S5422 -0.00146·(1-L)S5436 +
(0.00010)
(0.00143)
+0.00217·(1-L)S5601 -0.00146·(1-L)S6001 +
(0.00007)
(0.00016)
+0.00128·(1-L)S6401 -0.00174·(1-L)S6501 +
(0.00008)
(0.00067)
+ εt
σ 2εt = 2.055e-9+0.2650· ε t2−1 +0.7348· σ 2εt −1
(7.8331e-11) (0.0089)
Bono Diciembre 98
(0.0066)
(1-L) Log(Pt)= 0.00332·(1-L)S401 -0.00565·(1-L)S501 +
(0.00025)
(0.00007)
+0.00489·(1-L)S1201 -0.00219·(1-L)S1601 +
(0.00238)
(0.00007)
-0.00358·(1-L)S1760 -0.0110·(1-L)S1801 +
(41.6558)
(0.00044)
-0.00879·(1-L)S1802 -0.00148·(1-L)S1803 +
(0.00035)
(0.0003)
+0.00297·(1-L)S1807 +0.00823·(1-L)S1913 +
(0.00128)
(0.00024)
+0.00411·(1-L)S2201 -0.00363·(1-L)S3301 +
(0.00007)
(0.00017)
+0.00507·(1-L)S5501 + εt
(0.00007)
σ 2εt = 5.9044e-9+ 0.1981· ε t2−1 + 0.7679· σ 2εt −1
(1.5213e-10) (0.00530) (0.00448)
Modelos GARCH-M (1,1) estimados sobre series de operación a operación
(1-θ L)(1-L) Log(Pt)= δ0·σεt + (1-φ L)εt
σ 2εt = α 0 + α1ε t2−1 + β1 σ 2εt −1
Bono Marzo 98
(1-0.30339·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00569·σεt + (1-0.50517·L) εt
(0.00725)
(6.95618e-4)
(0.00688)
σ 2εt =1.04052e-10+0.03313· ε t2−1 +0.93744· σ 2εt −1
(0.00000) (9.65349e-5) (1.66618e-4)
Bono Junio 98
(1-0.29046·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00285·σεt + (1-0.49039·L) εt
(0.00807)
(8.91897e-4)
(0.00708)
σ 2εt =1.82752e-10+0.04628· ε t2−1 +0.88442· σ 2εt −1
(0.000)
Bono Septiembre 98
(1.68416e-4)
(4.42004e-4)
(1-0.35762·L)(1-L) Log(Pt)= 0.00377·σεt + (1-0.48786·L) εt
(0.01076)
(7.35650e-4)
(0.01056)
σ 2εt =6.08072e-11+0.04490· ε t2−1 +0.94381· σ 2εt −1
(0.000) (1.13409e-4) (9.58521e-5)
Bono Diciembre 98
(1-0.25370·L)(1-L) Log(Pt)= 0.01216·σεt + (1- 0.40159·L) εt
(0.00903)
(5.90851e-4)
(0.00836)
σ 2εt = 8.99021e-10 + 0.12841· ε t2−1 + 0.73064· σ 2εt −1
(0.00000)
(1.39677e-4)
(2.47990e-4)
Modelos GARCH-M (1,1) estimados sobre series de cinco minutos
Φp(L)(1-L) Log(Pt)= δ0·σεt + Θq(L) εt
σ 2εt = α 0 + α1ε t2−1 + β1 σ 2εt −1
Bono Marzo 98
(1-L) Log(Pt)= 0.00267·σεt +
(0.0139)
0.00484·(1-L)S101 +0.00195·(1-L)S201 +
(0.00013)
(0.00816)
+0.00301·(1-L)S501 -0.00342·(1-L)S701 +
(0.00039)
(0.00016)
+0.00278·(1-L)S1301 -0.00262·(1-L)S1501 +
(0.0660)
(0.00919)
+0.00205·(1-L)S1901 -0.00205·(1-L)S2401 +
(0.00013)
(0.00482)
+0.00194·(1-L)S2701 +0.00239·(1-L)S3102 +
(0.0585)
(0.00022)
+0.00385·(1-L)S3501 +0.00239·(1-L)S3801 +
(0.1670)
(0.00121)
+0.00201·(1-L)S4601 +0.00186·(1-L)S4701 +
(0.0218)
(0.00028)
+ εt
σ 2εt = 3.1367e-9+0.1706· ε t2−1 +0.7809· σ 2εt −1
(1.3039e-10) (0.0075)
Bono Junio 98
(0.0076)
(1-L) Log(Pt)= 0.00137·σεt +
(0.0101)
0.00274·(1-L)S1301 +0.00155·(1-L)S1801 +
(0.0498)
(0.2711)
-0.00187·(1-L)S2301 -0.00197·(1-L)S3001 +
(0.00009)
(0.00109)
-0.00567·(1-L)S3069 +0.00218·(1-L)S3101 +
(0.00012)
(0.00006)
+0.00174·(1-L)S3201 -0.00141·(1-L)S3701 +
(0.0305)
(0.00003)
+0.00207·(1-L)S3801 +0.00185·(1-L)S3901 +
(0.00007)
(0.00008)
+0.00175·(1-L)S4701 +0.00180·(1-L)S5801 +
(0.00006)
(0.00017)
+ εt
σ 2εt =2.5965e-9+0.2924· ε t2−1 +0.6862· σ 2εt −1
(1.1155e-10) (0.00963)
(0.00749)
Bono Septiembre 98
(1-L) Log(Pt) =0.00261·σεt +
(0.00998)
-0.00166·(1-L)S302 +0.00273·(1-L)S501 +
(2.4119)
(0.00038)
-0.00138·(1-L)S1101 -0.00173·(1-L)S2401 +
(0.00006)
(0.0207)
-0.00179·(1-L)S4201 +0.00186·(1-L)S4301 +
(0.00559)
(0.00014)
+0.00295·(1-L)S4501 +0.00532·(1-L)S4901 +
(0.0136)
(0.00011)
-0.0142·(1-L)S5202 +0.00250·(1-L)S5401 +
(0.00015)
(0.00015)
-0.00227·(1-L)S5422 -0.00148·(1-L)S5436 +
(0.00010)
(0.00169)
+0.00216·(1-L)S5601 -0.00147·(1-L)S6001 +
(0.00007)
(0.00016)
+0.00139·(1-L)S6401 -0.00155·(1-L)S6501 +
(0.00009)
(0.00039)
+ εt
σ 2εt =1.8668e-9+0.2554· ε t2−1 +0.7441· σ 2εt −1
(7.234e-11) (0.00845) (0.00636)
Bono Diciembre 98
(1-L) Log(Pt) = 0.0426·σεt +
(0.0102)
+0.00353·(1-L)S401 -0.00565·(1-L)S501 +
(0.00068)
(0.00007)
+0.00468·(1-L)S1201 -0.00220·(1-L)S1601 +
(0.00115)
(0.00007)
-0.00363·(1-L)S1760 -0.0321·(1-L)S1801 +
(15.9145)
(0.00010)
-0.00768·(1-L)S1802 -0.00323·(1-L)S1803 +
(0.2444)
(0.2176)
+0.00360·(1-L)S1807 +0.00820·(1-L)S1913 +
(0.0321)
(0.00024)
+0.00410·(1-L)S2201 -0.00321·(1-L)S3301 +
(0.00007)
(0.00010)
+0.00506·(1-L)S5501 + εt
(0.00007)
σ 2εt = 6.2260e-9+ 0.1887· ε t2−1 + 0.7697· σ 2εt −1
(1.7506e-10) (0.00546) (0.00477)
Modelos EGARCH (1,1) estimados sobre series operación a operación
Φp(L)(1-L) Log(Pt)= Θq(L) εt
 ε t −1
ε t −i
2
2
-λ·
 + β1·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε = α0+ α1· 
2
t
Bono Marzo 98
(1-0.27064·L)(1-L) Log(Pt) = (1-0.46480·L) εt
(0.00549)
(0.00473)
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.3910·
+ 0.9750·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε = -0.4700+ 0.0659· 
2
t
(0.00168) (0.00016)
(0.00212)
(0.00008)
(1-0.31502·L)(1-L) Log(Pt) = (1-0.50453·L) εt
(0.00691)
(0.00591)
Bono Junio 98
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.1638·
 +0.9538·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε =-0.8924+0.0771· 
2
t
(0.00321) (0.00018)
(0.00239)
(0.00016)
(1-0.26809·L)(1-L) Log(Pt) = (1-0.39398·L) εt
(0.00867)
(0.00821)
Bono Septiembre 98
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.0831·
+0.9778·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε =-0.4052+0.0895· 
2
t
(0.00106) (0.00013)
(0.00183)
(0.00005)
(1+0.9760·L)(1-L) Log(Pt) = (1+0.9802·L) εt
(4.3809e-4)
(3.8406e-4)
Bono Diciembre 98
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.4494·
 +0.9973·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε =-0.0309+0.0529· 
2
t
(9.1028e-5) (5.6744e-5) (1.5922e-3)
(5.3828e-6)
Modelos EGARCH (1,1) estimados sobre series de cinco minutos
Φp(L)(1-L) Log(Pt)= Θq(L) εt
 ε t −1
ε t −i
2
2
-λ·
 + β1·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε = α0+ α1· 
2
t
Bono Marzo 98
(1-L) Log(Pt)= 0.00481·(1-L)S101 +0.00202·(1-L)S201 +
(0.00016)
(0.00697)
+0.00264·(1-L)S501 -0.00333·(1-L)S701 +
(0.00055)
(0.00012)
+0.00271·(1-L)S1301 -0.00534·(1-L)S1501 +
(0.00115)
(0.00003)
+0.00275·(1-L)S1901 -0.00205·(1-L)S2401 +
(0.00011)
(0.00054)
+0.00194·(1-L)S2701 +0.00230·(1-L)S3102 +
(0.00080)
(0.00039)
+0.00386·(1-L)S3501 +0.00240·(1-L)S3801 +
(0.00084)
(0.00111)
+0.00202·(1-L)S4601 +0.00202·(1-L)S4701 +
(0.00078)
(0.00060)
+ εt
 ε t −1
ε t −i
2
2
- 0.1851·
+ 0.8520·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε = -2.4814+ 0.2994· 
2
t
(0.1005) (0.0114)
Bono Junio 98
(0.0267)
(0.0059)
(1-L) Log(Pt)= 0.00187·(1-L)S1301 +0.00155·(1-L)S1801 +
(0.00006)
(0.00079)
-0.00184·(1-L)S2301 -0.00213·(1-L)S3001 +
(0.00008)
(0.00033)
+0.00174·(1-L)S3069 +0.00218·(1-L)S3101 +
(0.00197)
(0.00007)
+0.00176·(1-L)S3201 -0.00191·(1-L)S3701 +
(0.00058)
(0.00002)
+0.00185·(1-L)S3801 +0.00151·(1-L)S3901 +
(0.00012)
(0.00005)
+0.00122·(1-L)S4701 +0.00186·(1-L)S5801 +
(0.00007)
(0.00025)
εt
 ε t −1
ε t −i
2
2
-0.09409·
 +0.8945·ln σ εt −1
σ
π
 σε t −1
ε t −i
ln σ ε =-1.7856+0.4042· 
2
t
(0.0653) (0.0102)
(0.0142)
(0.0037)
Bono Septiembre 98
(1-L) Log(Pt)=-0.00165·(1-L)S302 +0.00272·(1-L)S501 +
(0.00101)
(0.00028)
-0.00186·(1-L)S1101 -0.00173·(1-L)S2401 +
(0.00008)
(0.00078)
-0.00179·(1-L)S4201 +0.00184·(1-L)S4301 +
(0.00584)
(0.00019)
+0.00295·(1-L)S4501 +0.00535·(1-L)S4901 +
(0.00082)
(0.00009)
-0.00465·(1-L)S5202 +0.00158·(1-L)S5401 +
(0.00030)
(0.00012)
-0.00150·(1-L)S5422 -0.00133·(1-L)S5436 +
(0.00013)
(0.00045)
+0.00161·(1-L)S5601 -0.00151·(1-L)S6001 +
(0.00009)
(0.00022)
+0.00109·(1-L)S6401 -0.00012·(1-L)S6501 +
(0.00075)
(0.00039)
+ εt
 ε t −1
ε t −i
2
2
+0.0146·
+0.9150·ln σ ε

t −1
σε t −i π 
 σε t −1
ln σ ε =-1.4175+0.3837· 
2
t
(0.0507) (0.0091)
Bono Diciembre 98
(0.0138)
(0.0029)
(1-L) Log(Pt)= 0.00354·(1-L)S401 -0.00345·(1-L)S501 +
(0.00043)
(0.00007)
+0.00502·(1-L)S1201 -0.00227·(1-L)S1601 +
(0.00042)
(0.00009)
-0.00464·(1-L)S1760 -0.00089·(1-L)S1801 +
(0.00077)
(0.00013)
-0.00757·(1-L)S1802 -0.00386·(1-L)S1803 +
(0.53122)
(0.6342)
+0.00622·(1-L)S1807 +0.00858·(1-L)S1913 +
(0.00192)
(0.00041)
+0.00326·(1-L)S2201 -0.00362·(1-L)S3301 +
(0.00012)
(0.00018)
+0.00346·(1-L)S5501 + εt
(0.00011)
 ε t −1
ε t −i
2
2
+0.3585·
 +0.8983·ln σ εt −1
σ
σ
π
 ε t −1
ε t −i

ln σ ε =-1.6344+0.2553· 
2
t
(0.0343) (0.0057)
(0.0160)
(0.0021)
ANEXO 3: TABLAS
Tabla 1: Número de casos que superan en n-veces la desviación típica de la serie de rendimientos
(cinco minutos)
Marzo
Junio
Septiembre
Diciembre
s*1
1093
851
1149
685
s*2
178
243
240
146
s*3
57
104
91
75
s*4
32
55
61
48
s*5
19
26
30
31
s*6
15
19
18
20
s*7
14
12
16
13
s*8
9
10
6
11
s*9
8
5
4
8
s*10
5
1
4
6
s*11
2
1
4
4
s*12
2
1
3
3
s*13
2
1
2
3
s*14
2
0
2
3
s*15
1
0
2
3
Tabla 2: Contraste de razón de verosimilitud del modelo Garch-m sobre el modelo Garch para la serie de
rendimientos del futuro sobre el bono a 10 años, operación a operación.
Marzo
Junio
Septiembre Diciembre
Logaritmo de la
Garch
1.732.443 1.509.072
1.339.901 1.350.497
función de
verosimilitud
Garch-M
1.733.545 1.509.075
1.339.905 1.350.523
Contraste de Razón de verosimilitud 2205,2985
5,5974
8,8584
52,1595
Probabilidad
0
0,01799
0,00292
0
Tabla 3: Coeficientes de la ecuación de la varianza en los modelos de volatilidad estimados para el
vencimiento de diciembre del 98.
tick-by-tick
cinco minutos
cinco minutos
(sin intervención) (con intervención)
GARCH (α+ β)
0.85656
1
0.9660
GARCH-M (α+ β)
0.85905
1
0.9584
EGARCH (β)
0.99730
0.9417
0.8983