Tarea 1 - U

Probabilidades y Procesos Estocasticos
Profesor Catedra
: Fernando Lema
Profesores Auxiliares : Victor Carmi
: Constanza Paredes
TAREA 1
ENTREGA: 18 de Agosto de 2007
1. Considere un mazo de naipes.
a)
Se extraen 4 cartas al azar con reemplazo. Calcule la probabilidad de que:
1) Las 4 sean, rojas o pares
2) Las 4 sean rojas, o las 4 sean pares.
b)
Se extraen 6 cartas sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que:
1) Al menos 4 sean, rojas o pares.
2) Al menos 4 sean rojas, o al menos 4 sean pares
2. En una determinada region, 7 radioemisoras transmiten de jueves a domingo entre las 21:00 y 22:00 horas, cada una un programa distinto (5 transmiten noticias
los jueves, 4 los viernes, 3 los sabados y 2 los domingos). Si usted escucha radio:
a)
>Cuantas secuencias de programas, solo de noticias, puede or de jueves a
domingo?
b ) >Cuntas secuencias de programas, con al menos dos de noticias puede or?
c ) Usted dispone de cinta y tiempo para grabar en dos de los cuatro das, tres
programas simultaneamente. >Cuantas conguraciones puede grabar?
d ) Si la eleccion de radios es al azar, calcule:
1) La probabilidad que escuche radios distintas.
2) La probabilidad que escuche la misma radio.
3. La restriccion vehicular normal consiste en la designacion de dos dgitos (ultimo
dgito en patentes de vehculos) que no pueden circular un da determinado de la
semana.
a)
>De cuantas maneras se podra programar la restriccion vehicular para una
semana? Plantee el espacio muestral.
2
b)
Si la restriccion es programada al azar, >Cul es la probabilidad que el da
lunes queden dgitos consecutivos?, >Cual es la probabilidad que todos los
das queden con dgitos consecutivos?
c ) Si usted tiene 5 vehculos con dgitos distintos (por ejemplo 1,2,3,4,5), calcule
la probabilidad que todos los das quede uno de sus vehculos con restriccion.
4. Suponga que una persona esta situada a N cuadras al sur , y a M cuadras al oeste
de la esquina a la cual quiere llegar.
a)
>Cuantos caminos inteligentes existen entre ambos puntos? (Camino inteligente se entendera por aquel que solo consta de desplazamientos que
acercan al destino, es decir, unitarios de una cuadra tanto en direccion norte
como este)
b)
Considere M=N. Fijandose que para llegar a destino en este caso, el camino
elegido debe pasar por alguna interseccion de las que forman la diagonal
secundaria del cuadriculado; calcule la suma de los cuadrados de los coecientes binomiales sobre N.
Nota: En todo el problema, considere que las calles no terminan dentro del cuadriculado,
o sea, todo camino inteligente es susceptible de ser realizado.
5. En el ascensor de un edicio de pisos hay personas. Suponiendo que las
personas se bajan en cualquier piso con igual probabilidad y sin importar lo que
haga el resto de los pasajeros, calcule la probabilidad que:
n
a)
m
de personas se bajen en el primer piso, 2 enPel segundo, ..., n en el
n-esimo piso, donde i 0,1,...,m i 1,...,n y ni=1 i = .
b ) Todas las personas se bajen en pisos diferentes.
c ) Determine el n
umero de formas en que se pueden bajar las m personas si:
m1
m
m
2
8
2
m
m
m
i) Las personas son distinguibles.
ii) Las personas son indistinguibles (clones).
6. Suponga que usted posee un mazo de cartas inglesas sin comodines, y escoge
cinco cartas del mazo al azar. Calcule la probabilidad que:
a)
b)
Obtenga cuatro cartas con el mismo numero.
Obtenga las cinco cartas consecutivas ( ie, una escala. La escala 10,J,Q,K,
As no es permitida).
c ) Obtenga las cinco cartas de la misma pinta (ie, obtenga color).
d ) Obtenga una escalera como en b), pero con las cinco cartas de la misma
pinta como en c) (ie, obtenga una escalera de color)
3
7. Una caja contiene 2 helados, de los cuales son de naranja y el resto de frutilla.
De un grupo de 2 personas preeren el helado de naranja (0
), s
preeren el de frutilla (0
) y el resto no tiene preferencia. Encuentre la
probabilidad de que se respeten las preferencias de todos si los helados se distribuyen al azar entre las 2 personas.
n
n
n
m
< m < n
< s < n
n
8. En la mesa redonda del rey Arturo estan sentados 12 caballeros, cada uno de
ellos enemistado con sus 2 vecinos inmediatos. El rey desea escoger un grupo de
cinco caballeros para rescatar una princesa de la cueva de un dragon.
a)
>De cuantas maneras se puede elegir el grupo de modo que no haya enemigos
en el?
b ) >Con que probabilidad no hay enemigos en un grupo de cinco caballeros
elegidos al azar?
9.
a)
Considere , espacio Tmuestral. Dos eventos
se dicen independientes si y solo si P(
) = P( ) P( ). Demuestre que:
A; B A
B
A
B
c
c
1)
son independientes
son independientes.
2) son independientes a todos los eventos.
3) Si
son independientes T
y
P ( ) = 1 o P( ) = 0
T )=0
4) Si es independiente de
y P( ) 1, P(
A; B
) A ;B
;;
A; B
B A )
A
b)
A
B
A
A
<
B
)
A
B
Considere un conjunto 1 2 1000 equiprobable. Se dira que un numero
es coprimo con otro ssi no tienen divisores comunes excepto el 1. >Cual es
la probabilidad de que al elegir un numero al azar, este sea coprimo con 6?
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g