( ),( qq )
Anuncio
21
&21752/12/,1($/
&$3,78/2,,
$1$/,6,6'(6,67(0$6'(6(*81'225'(1
Sea un sistema autónomo de segundo orden:
Ñ [1 = I 1 [1 [ 2
Ò
[ = I
2 [1 [ 2
Ó 2
&
&
( , )
( , )
(2.1)
'HILQLFLyQ
.
Para los sistemas de segundo orden, el plano con coordenadas rectangulares x1 y x2 se denomina
SODQRGHIDVH o SODQRGHHVWDGR, siendo x1 y x2 las variables de estado del sistema.
Î [ (W ) Þ
Sea [ (W ) = Ï 1 ß la solución que empieza en la condición inicial [ [ .
[ (W )
à
Ð 2
'HILQLFLyQ
.
El lugar de [ (W ) en el plano de fase que pasa por [ es una WUD\HFWRULD u RUELWD.
'HILQLFLyQ
.
Una familia de trayectorias de evolución del sistema se denomina
GLDJUDPD GHSODQRGHHVWDGRR5HWUDWRGHIDVH.
GLDJUDPD GH SODQR GH IDVH
,
En notación vectorial: [& = I ( [)
( [) Þ
el vector tangente a la curva [ (W ) en el plano de fase; I ( [ ) es por tanto, un
ß
I ( [)
Ð 2
à
FDPSRGHYHFWRUHVRYHFWRULDOen el plano de fase; a cada punto [ del plano de fase se puede
asignar un vector I ( [ ) ; para facilitar la visualización, se representa a I ( [ ) como un vector basado
en [ esto es, cada [ tendrá asociado un segmento de línea dirigido desde [ hasta ( [ + I ( [ )) como se
muestra en la Fig. 2.1.
siendo
I
Î I1
( [) = Ï
Fig. 2.1. Representación del campo vectorial.
22
(MHPSOR
Para el sistema:
Î
& = I ( [) = Ï
[
Ð
2 [12 Þ
[
ß
2 à
, tomando
[ =
ÎÞ
Ï ß
Ðà
se tiene el vector
[ + I
Î1Þ
Î2Þ
Î 3Þ
( [ ) = Ï ß + Ï ß = Ï ß , mostrado en la
Ð1à
Ð1 à
Ð 2à
Fig. 2.1.
Al realizar la construcción de vectores para diferentes puntos del plano de fase, se obtiene el
GLDJUDPDGHFDPSRYHFWRULDO mostrado en la Fig. 2.2.
Fig. 2.2. Diagrama de campo vectorial.
El retrato de fase se puede obtener, trazando para varias condiciones iniciales, las trayectorias
tangentes al campo vectorial; también se puede utilizar otro método gráfico llamado de las
,VRFOLQDV.
Para el sistema (2.1) se define la pendiente de una trayectoria en un punto dado, [:
I ( [)
2
6 ( [) =
I ( [)
1
La ecuación: 6 [ = F trazada en el plano de estado, genera la curva isoclina, en ella, todas las
trayectorias que la toquen tendrán
la pendiente F; con c = constante, se trazan pequeños segmentos
paralelos de pendiente WDQ F sobre la isoclina, con dirección determinada por los signos de
I ( [ ) y I ( [ ) en [, como se muestra en la Fig. 2.2.
1
2
Fig. 2.2. Isoclina con los segmentos.
23
Al variar el valor de la constante c se puede construir un conjunto de isoclinas con los segmentos
respectivos; a partir de este gráfico, se puede obtener fácilmente el diagrama del plano de fase.
(MHPSOR
Se considera la ecuación de estado del péndulo sin fricción:
[
&1
= [
[
= - VHQ[
&2
2
1
Para la construcción del diagrama del plano de fase se considera:
6
( [) =
- VHQ[
1
[
= F
2
[
Luego las isoclinas quedan determinadas por:
2 = -
1
F
VHQ[
1
Se trazan las isoclinas para diferentes valores de c y se determinan los segmentos como
cada una de las isoclinas.
WDQ
F
para
Estos métodos gráficos son poco precisos y dispendiosos; en la práctica se usa la simulación digital
para obtener los retratos de fase.
(MHPSOR
Sea el siguiente sistema:
El sistema tiene un solo pde en
[
[
&1
= -[
[
= -[
&2
= Ñ I [ = - [
Ò
Ó
1 + [2
1
(1 + [1 )
(1 + [1 )
:
+ [
I [ = - [ - [
+ [ [
= = À
Ñ [
= [
= Ò
Ó
Para la construcción del diagrama del plano de fase se puede utilizar la herramienta pplane de
Matlab. La Fig. 2.3 muestra el diagrama del plano de fase para el sistema no-lineal cerca del punto
de equilibrio.
24
x1 ’ = - x1 + x2 (1 + x1)
x2 ’ = - x1 (1 + x1)
Sistema no-lineal
2
1
0
x2 -1
-2
-3
-4
-2
-1
0
1
x1
2
3
4
Fig. 2.3. Diagrama del plano de fase del sistema no-lineal dado.
Si se requiere conocer las direcciones de las trayectorias en retrato de fase dado, basta tantear unos
cuantos puntos, evaluándolos en las ecuaciones del sistema, para el ejemplo anterior, con
&1 > 0, [& 2 = 0 lo que indica que la trayectoria se desplaza hacia la derecha,
[ = 0, [ > 0 se tiene [
1
2
como lo muestra la flecha en la figura anterior; a partir de esta dirección se puede obtener la de las
demás trayectorias pues al ser I ( [ ) diferenciable, no pueden existir cambios bruscos de dirección.
&203257$0,(172&8$/,7$7,92'(6,67(0$6/,1($/(6
El comportamiento de los sistemas lineales, se puede clasificar por el tipo de punto de equilibrio,
donde éste depende a su vez de los valores propios de la matriz de estado $. Al hacer la
correspondencia entre el análisis de sistemas lineales con la función de transferencia y el espacio
de estado, se estudian todas las ubicaciones posibles de los valores propios en el plano complejo.
Sea un sistema lineal autónomo, invariante en el tiempo:
[ = $[
&
donde
[³ 5
2
,
[
0
– vector de estado, A2x2 – matriz de estado real.
La solución de la ecuación dada se puede expresar en la forma:
[W = 0H
siendo - – forma de Jordan real de $
0
[
25
-
= 0
$0
con 0 – matriz de transformación
La Matriz de Jordan de una matriz $ es la matriz cuyos elementos de su diagonal son los valores
propios de la matriz $. Los valores propios de una matriz $ se calculan resolviendo: l , - $ = 0 ,
siendo , – matriz de identidad.
Con $ no-singular, dependiendo de los valores propios de $ la matriz real de Jordan puede tomar
la forma:
Îl 1
1.
-
=
2.
-
=
3.
-
= Ï
Ï
Ð
0
Îa
Ï
Ðb
Îl
Ð
R
l
Þ
- bÞ
a
N Þ
l
ß
à
ß
à
l
,
ß
2à
,
l
con
1 l2
0 (valores propios reales distintos)
1, 2 = a Mb
Ñ
N = Ò
Ó
,
l
(valores propios complejos conjugados)
1 = l2 = l
(valores propios múltiples diferentes de cero)
Adicionalmente, si l = 0 , uno o ambos valores propios son cero, el origen no es un punto de
equilibrio aislado y el comportamiento cualitativo del sistema será muy diferente al de los otros
casos.
&ODVLILFDFLyQGHORV3XQWRVGH(TXLOLEULR
El diagrama de plano de fase de un sistema lineal autónomo, es una familia de trayectorias que no
se cruzan y que describen la respuesta del sistema a todas las condiciones iniciales posibles.
Considerando un sistema de segundo orden con $ no singular, se dan los seis casos siguientes,
donde de acuerdo con la naturaleza de las respuestas correspondientes a cada caso, se clasifican los
puntos de equilibrio en:
\ l
I.
Foco estable: l 1
II.
Foco inestable: l 1
III.
Nodo estable: l 1
IV.
Nodo inestable: l 1
V.
Centro: l 1
VI.
Silla: l 1
\ l
\ l
2
2
2
son complejas conjugadas y están en el semiplano izquierdo.
\ l
\ l
2
2
\ l
son complejas conjugadas y están en el semiplano derecho.
son reales y están en el semiplano izquierdo.
2
son reales y están en el semiplano derecho.
son complejas conjugadas y están sobre el eje MZ.
son reales;
l
1
en el semiplano izquierdo y
l
2
en el semiplano derecho.
Los diagramas de plano de fase de cada uno de los seis casos, aparecen en la Fig. 2.4 en la que se
indican los pde asociados. Si el pde es una silla, hay trayectorias particulares que entran al mismo
y separan el plano de fase en regiones de movimiento distinto. Esas trayectorias se denominan
Separatrices. Se pueden trazar las trayectorias de la Fig. 2.4 fácilmente por el método de las
isoclinas. Los diagramas de planos de fase muestran claramente el tipo de respuesta del sistema,
una vez dada la condición inicial.
26
Fig. 2.4. Clasificación de los puntos de equilibrio.
Si $ es singular, uno o los dos valores propios son cero; en este caso el sistema tiene un subespacio
de equilibrio y no un punto de equilibrio aislado. Si solo existe un valor propio nulo (un
integrador), las trayectorias convergen o divergen del subespacio de equilibrio si el otro modo es
estable o inestable, respectivamente; si ambos valores propios son nulos (doble integrador), las
27
trayectorias en el plano de fase que empiezan fuera del subespacio de equilibro se moverán
paralelas a él.
(MHPSOR
Calcular el tipo de punto de equilibrio para el sistema lineal:
&1 Þ Î - 4 2Þ Î [1 Þ
Î[
=
Ï
& ß ÏÐ - 1 3ßà ÏÐ [ 2 ßà
[
Ð 2à
l, - $ =
Îl
Ï
Ð
0
0Þ
ß
là
-
Î-
Ï
Ð-
4 2Þ
1 3ßà
=
l +
4
1
-
2
l -3
=
0 , de donde:
l
1 = -
l
2 =
3.7016
2.7016
Para obtener el resultado en Matlab se realiza el siguiente procedimiento:
» a=[-4 2;-1 3]
a=
-4 2
-1 3
» eig(a)
ans =
-3.7016
2.7016
Los valores propios resultantes implican un punto silla, que se muestra en la Fig. 2.5.
x1 ’ = - 4 x1 + 2 x2
x2 ’ = - x1 + 3 x2
2
1
0
x2 -1
-2
-3
-4
-2
-1
0
1
x1
2
3
Fig. 2.5. Diagrama del plano de fase del ejemplo 2.4.
4
28
&203257$0,(172&8$/,7$7,92'(/266,67(0$612/,1($/(6&(5&$
$/26381726'((48,/,%5,2
El comportamiento local de un snl cerca de un pde se puede determinar vía OLQHDOL]DFLyQ del
sistema en ese punto. La validez del análisis depende de la robustez del sistema linealizado, con
respecto a las alinealidades.
Los pde hiperbólicos tales como nodo, foco, silla, son estructuralmente robustos; sin embargo, los
modos en el eje complejo que corresponden a los centros, no tienen esa robustez; por ejemplo, un
centro:
$ =
Þ
Î ß
à
Ï
Ð- con una perturbación puede convertirse en:
$ =
Î e
Ï
Ð- Þ
, con e un real pequeño
ß
eà
el sistema perturbado puede ser un foco estable o inestable, dependiendo de si
positivo, respectivamente.
e
es negativo o
Con los pde hiperbólicos -a diferencia del centro- se puede proceder el análisis por la vía de
linealización. La condición que garantiza que el pde es hiperbólico es que §H{l } 0 .
Sea un sistema no-lineal:
[ = I
&
( [ ) con pde en
I [ = Si I[ es analítica (tiene una representación
en series de Taylor convergente), existe la expansión
de I[ en la serie de Taylor alrededor de [ :
[ = I
&
([* ) +
I
[ [
*
([ -
[
*
H = [ - [
Cambiando las coordenadas:
) + 726 ( [ -
[
*
)=
I
[ [
*
([ -
[
*
) + 726 ( [ -
[
*
)
*
H = [
&
&
se tiene:
H = [ =
&
&
I
[ [ = [
*
H +2 H
Al evaluar 2H cerca al pde [ , se puede considerar que
( )
( ) = 0 y H& 2 H
-H
.
Así, resulta que para linealizar un sistema alrededor de un pde, se necesita evaluar el Jacobiano
- =
I
[
en el pde dado. Es razonable esperar que las trayectorias del snl en cercanías del pde, estén
muy cercanas a las trayectorias del sistema linealizado; en efecto, se ha demostrado, que si
continuas en la vecindad del punto, se cumple lo siguiente:
I
[
son
29
Si el origen de la ecuación de estado linealizada es:
a) Un nodo estable(inestable) con valores propios reales GLVWLQWRV.
b) Un foco estable(inestable) – los valores propios de Jacobiano son complejos con
§H{l
}
0.
c) Una silla – valores propios reales y algunos están en el semiplano derecho.
Entonces, en la vecindad del pde, las trayectorias de la ecuación de estado no-lineal se
comportarán como:
a) Un nodo estable(inestable).
b) Un foco estable(inestable).
c) Una Silla.
Respectivamente.
(MHPSOR
Ecuación de estado del péndulo FRQJO
&1 = [ 2
[
0
Î
I
;
=
Ï
& 2 = - VHQ[1 - 0.5 [ 2
- cos [
[
[
1
Ð
Los pde son:
Î
0
Ð- 1
-
1 = Ï
-
2 = Ï
Î
0
Ð
1
[
=
*1
1 Þ
,
ß
- 0.5à
Þ
1
-
0.5
ß
à
,
(0,0), [ *2
l
l
1, 2 = -
1= -
=
y NP
1 Þ
ß
- 0.5
à
, es:
(p ,0) ; en estos puntos los Jacobianos son:
0.25 M 0.97 , el pde
1.28,
l
2=
[
0.78 , el pde
*1
=
[
(0,0), es un foco estable
*2
=
(p ,0) , es un punto silla.
El retrato de fase del snl muestra como efectivamente en cercanías de los pde se tienen focos
estables o puntos silla.
Fig. 2.6. Retrato de fase del péndulo.
30
1RWD
Si el sistema linealizado tiene valores propios con §H{l } = 0 , no se puede predecir el
comportamiento del sistema no-lineal cerca del pde, el cual puede ser muy distinto.
(MHPSOR
Consideremos el sistema:
[
&1
= -[
[
= [
[
*
(
2
2
1 - m [ 2 [1 + [ 2
&2
el cual tiene el punto de equilibrio:
2
2
2 - m [1 [1 + [ 2
=
(
)
)
(0,0), el sistema linealizado es:
Î [1 Þ
&
&
Ï
ß
[
Ð 2à
=
Î
Ï
Ð
-
1Þ Î [1 Þ
,
0 ßà ÏÐ [ 2 ßà
0
1
el cual tiene valores propios l 1, 2 = M , luego el origen del sl es un centro; el sistema no lineal
tiene solución en coordenadas polares; con:
[
= U FRVq
[
= UVHQq
U =
!
WDQq =
U = -m U
&
&
q =1
se obtiene:
[
+ [!
!
[!
[
3
Integrando se obtiene:
( )=
U W
2
( ) = q0
q W
2
0
2
m U
0 W +
U
1
+W
de estas ecuaciones se observa que las trayectorias del snl se parecen a un foco estable si
un foco inestable si m <0 y no a un centro como se comporta el sistema linealizado.
m
>0 o a
1RWD
Observe que el caso a) de la discusión anterior excluye los sistemas linealizados con valores
propios reales iguales. Sin embargo, si I[ es analítica en la vecindad del pde, y si el origen del
pde del sistema linealizado es un nodo estable (inestable), entonces las trayectorias en la vecindad
del pde para el snl se comportarán como un nodo estable (inestable), independientemente de que
los valores propios sean iguales o no. Si I[ no es analítica, no se puede extrapolar el análisis del
sistema linealizado al sistema no lineal. Un ejemplo ilustra este aspecto.
(MHPSOR
El sistema no-lineal:
&1
= I
[
= I
[
&2
1 [1 [ 2
( ,
) = - [1 -
2 [1 [ 2
( ,
) = - [2
[
ln
2
2
2
[ + [
1
2
[
+
1
ln
2
2
[ + [
1
2
31
tiene un punto de equilibrio en el origen del plano de estado. El sistema linealizado es de la forma:
& = $\ , donde la matriz $ es:
\
Î I 1
I
[
[
I
I
Ï
$ = Ï
Ï
1
2
Ï [
1
Ð
1 Þ
ß
ß
2
=
2 ß
[
ß
2 à#
*
ÎÏ
Ð
0Þ
ß
- 1à
1
0
" 0
la cual tiene los valores propios l 1, 2 = -1 ; esto significa que el origen del sistema linealizado es un
QRGRHVWDEOH como se muestra en la Figura:
y1 ’ = - y1
y2 ’ = - y2
Sistema linealizado en (0,0)
2
1
0
y2 -1
-2
-3
-4
-2
-1
0
1
y1
2
3
4
Fig. 2.7. El diagrama del plano de fase del sistema linealizado.
El sistema no lineal tiene solución analítica en coordenadas polares:
Derivando con respecto al tiempo:
U =
&
U =
[%
1Ë
2
$
+ [$
$
1 2
U Í
ln U
- [
.
q =
&
1
Ë
Ì- [ [ +
=
1 2
2 Ì
[
1 Í
2
2
2
Ë [ + [ Û
1
1
2
Ì
Ü =
2 Ì
Ü
[
Í
= UVHQq
Ý
ln U
1
2
[
1 U
[!
[ [ Û
2
2 1
Ü = -U
2 +
Para obtener la expresión para q& se deriva con respecto al tiempo
1 & [& 2 [1 - [&1 [ 2
q =
2
cos 2 q
[
1
= U FRVq
, se tiene: 2UU& = 2 [1 [&1 + 2 [ 2 [& 2
[ [
Ì - [1 -
[
ln U
Ý
2
1
[
ln U
1
ln U
WDQq =
+ [ [
2 1 +
['
[&
[
:
2
Û
2
Ü
ln U ÜÝ
U =
;
[
WDQq =
!
+ [!
[!
[
!
32
En coordenadas polares resulta el sistema:
U = -U
&
q =
&
Cuya solución será:
U W = U( H
1
ln U
) *
q W = - OQOQU( H
) *
+ q (
Se trata por tanto, de una espiral logarítmica decreciente, lo que corresponde a un
para el sistema no-lineal como lo muestra la Fig. 2.8.
x1 ’ = - x1 - x2/log(sqrt(x1
x2 ’ = - x2 + x1/log(s qrt(x1
2
2
+ x2 2))
+ x2 2))
IRFR HVWDEOH
Sistem a no-lin eal
2
1
0
x2 -1
-2
-3
-4
-2
-1
0
1
x1
2
3
4
Fig. 2.8. El diagrama del plano de fase del sistema no-lineal.
En resumen, solo los sistemas no-lineales que al linealizarse alrededor de los puntos de equilibrio,
presenten pde hiperbólicos o bien reales repetidos con I[ analítica en la vecindad del pde, pueden
analizarse vía linealización, en cercanías del pde.
(MHUFLFLRV
1.13 y1.14; 1.17 a 1.24 de Khalil.
