olimpiada matemáticas nivel iii - geometría

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Olimpiada Matemáticas Nivel III (3º ‐ 4º ESO)
OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (3º - 4º ESO)
16. Encima de un triángulo equilátero de lado 3 cm, colocamos un
círculo de 1 cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambas
figuras. ¿Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante?
A) 2 π
B) 6 + π
C) 9
D) 3 π
E) 9 + 2 π
Solución:
Se ve una parte de la circunferencia que equivale a 180º, es
2 1

decir, un perímetro
2
Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide 1 cm.
La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de 2 cm.
El borde de la figura resultante es de 6 + π cm
17. El punto O es el centro de un círculo de radio 1, OA y OC son
radios y OABC es un cuadrado. ¿Cuál es el área, en unidades
cuadradas, de la región sombreada?
A) 1 -
π
4
B) 1 -
π
2
C)
1-π
4
Solución:
1
D) 2 -
π
2
E) 2 -
π
4
Área región sombreada: A 
1 
Áreacuadrado  Áreacirculo 
4
Área región sombreada: A 
1 2

2   . 12   1 


4
4
18. Cada uno de los lados de este octógono regular mide 2 cm.
¿Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada y el
área de la región sin sombrear?
A) 2 2
C)
B) 2
3
2
D) 1
E) 0
Solución:
Los triángulos rectángulos isósceles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8) son
iguales. Los rectángulos A, B, C y D son iguales.
En consecuencia, la región sombreada y no sombreada son iguales
y tienen el mismo área.
La diferencia entre las dos áreas es 0
19. P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado de
perímetro 4 cm. El área del rectángulo sombreado de la figura,
está comprendida entre:
A)
1
5
y
4
16
B)
5
3
y
16
8
C)
3
7
y
8
16
2
D)
7
1
y
16
2
E) Más de
1
2
Solución:
Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar la
diferencia entre el área del cuadrado y el área de los cuatro
rectángulos (iguales dos a dos).
El triángulo grande y pequeño son semejantes por tener sus
ángulos iguales.
2
La hipotenusa del triángulo grande QBC; BQ 
5
1
1  
cm
2
2
Para hallar AP se establece una relación de equivalencia:
con lo que, AP 
1
5
En consecuencia, AB 
2
1  1 
 
  
 2   5 
1 1
 
4 5
1
1
1
1
.
.

cm2
2 2 5
20
5
El área del triángulo grande BCQ :
1
1 1
. 1 .  cm2
2
2 4
 1
1
El área del rectángulo: 1  2 
  12
 20 4 

BP
AP

1
1

cm (mitad de AP )
20 2 5
El área del triángulo pequeño BPA:
2 6, 4

5 16
BC

1
2  2
1
AP
cm .
2
Siendo
BQ
5
6 
6
4 2

 cm2
  1
20
10
10
5
 
3
2
7


8
5
16
20. El diámetro del semicírculo grande y el radio del cuadrante
miden ambos 2 cm. ¿Cuál es, en cm, el radio del semicírculo
pequeño?
3
A)
2

B)
7
10
C)
2
3
D)

2
E)
2
2
Solución:
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el
segmento que une sus centros, formando el triángulo rectángulo
CBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las tres
circunferencias.
CA  x  1
AB  1
BC  2  x
Aplicando el teorema de Pitágoras:
(1  x)2  12  (2  x)2

1  x 2  2 x  1  4  x2  4 x

x
2
3
21. En la figura se muestra un cuadrado de lado 1 y cuatro
semicírculos iguales mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área de la parte
rayada?
A)

2
B) 1 

4
C) 4  
D)
2

2 2
E) Ninguno
Solución:
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el
segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.
Todos los vértices son centros de circunferencias.
El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias:
2
d
2
1 1
    
2 2
1 1
 
4 4
1
1

2
2
4
El radio de una semicircunferencia: r 
1
2 2
El área de la zona rayada se obtendrá restando al área del círculo el área de dos círculos, es
decir:
2
 1 
1

 12. .  1
1  2.  . 
8
4
 2 2 
22. Muchas catedrales góticas tienen ventanas como la de la
figura: varios círculos iguales, tangentes dos a dos y un círculo
grande tangente exterior a todos. En la figura hay cuatro círculos
pequeños. ¿Cuál es el cociente entre la suma de las áreas de los
cuatro pequeños y el área del grande?
A) 3  2 2
B) 2 
C) 4 3  2 2 


2
D)
1
3
2
2

E) 2 2  2
Solución:
Para calcular el radio del círculo grande, partimos del supuesto que
el radio de cada círculo pequeño es 1.
El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en el
segmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.
la hipotenusa del triángulo rectángulo formado mide 2 y cada cateto mide 1  x , por el
teorema de Pitágoras se tiene:
22  (1  x)2  (1  x)2

4  2(1  x)2
El radio de la circunferencia grande:

2  (1  x)2
2 12 
2

x
2 1
Área del círculo grande: 1 

2    1  2  2 2    3  2 2  





Área de 4 círculos pequeños:
4 . 12 .   4 2
5
2 1
El cociente solicitado:
4 3  2 2 
4 3  2 2 


  4 3  2 2 


 


98
3  2 2   3  2 2 3  2 2  3  2 2 

 



4
4
23. Si el hexágono de la figura tiene 2 dm de lado, ¿cuál es, en
dm2, el área de la estrella central?
A) 3 3  
B) 6 3  2 
D) 3  18   


C) 2 6  
E) 6 2 3   


Solución:
Los ángulos de un hexágono suman 720º, por tanto, los seis
sectores circulares blancos forman dos circunferencias de radio 1
dm. En consecuencia, el área de la estrella central es el área del
hexágono regular de 2 dm de lado menos el área de dos círculos de
radio 1 dm.
Área hexágono (6 triángulos equiláteros): 6 .
2
3
2
 6 3 dm2
Área dos círculos: 2 12    2  dm2
Área estrella: 6 3  2  dm2
24. La proporción entre las áreas de un hexágono regular inscrito y
uno circunscrito a una misma circunferencia es:
A) 3 : 4
B) 4 : 5
C) 5 : 6
6
D) 2 3 : 4
E) 3 : 5
Solución:
La proporción entre las áreas es igual a la proporción entre los
cuadrados de sus lados. En este sentido, bastará calcular cuánto
valen los lados de los hexágonos.
Como herramienta auxiliar se traza la circunferencia exterior, la que circunscribe al
hexágono mayor. Se puede suponer que el radio de la circunferencia pequeña es 1, con lo cual
el lado del hexágono pequeño también mide 1.
Denotando por x el lado del hexágono mayor, se aplica el teorema de Pitágoras:
2
x
1     x2
2
2

1
x2
 x2
4

1
3 x2
4

x
2
3
La proporción entre las áreas será la proporción entre los cuadrados de sus lados (inscrito y
circunscrito):
2
 2 
4 3
 1: 
12 : 
 3
3 4


25. Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que ABCD es un
cuadrado de lado 1 y los triángulos ACE y ACF son equiláteros.
A)
3
B) 2 3  1
C)
3 1
Solución:
7
D)
3 1
E) 2
Diagonal del cuadrado: AC 
Semidiagonal: AH 
Como los triángulos ACE y ACF son equiláteros, el lado es
La altura HF 
2


 2   2  
 
 2 
2
2
2

4
12  12 
2
2
2
2
6
3

4
2
El área de cada uno de los triángulos: Área 
base x altura 1

2
2
2
3
2

3
2
El área de la zona sombreada es el área de los dos triángulos menos el área del cuadrado:
Áreasombreada  2 x
3
2
 12 
3 1
26. En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC,
sabemos la medida de los siguientes segmentos:
AB  8
AC  18
AE  16 y
AF  6
¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado?
A) 38
B) 24
C) 42
Solución:
8
D) 20
E) 34
Trazando DH y DG se forman triángulos rectángulos semejantes.

El triángulo EAB es semejante al triángulo DGB, estableciendo la relación:
AE
AB


GD
GB

16 6  y

8
x

16 x  8(6  y)

2x  6  y

y  6  2x
El triángulo CAF es semejante al triángulo DHF, estableciendo la relación:
AC
AF

HD
HF

18 8  x

6
y

18 y  6(8  x)


y
1
(8  x)
3
5 x  10

 x  2

 y  2
3y  8  x
y  6  2x 
1

Resolviendo el sistema:
 6  2 x  (8  x)
1
3
y  (8  x) 
3


El área del cuadrilátero ABDF será la suma de las áreas de los triángulos DGB y DHF y el
rectángulo AGDH:
x (6  y) 2 . 4

4
Área del triángulo DGB 
2
2
Área del triángulo DHF 
y (8  x) 2 . 6

6
2
2
Área del rectángulo AGDH  (8  x) (6  y)  6 . 4  24
Área del cuadrilátero ABDF  4  6  24  34
9
27. En el dibujo de la figura, que no está hecho a escala, O es el
centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo a?
A) 89º
B) 90º
C) 91º
D) 92º
E) 93º
Solución:

Los ángulos A y B son iguales ya que abarcan el mismo arco AC
(propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia).
 
Sabiendo que A  B  59º . La suma de los ángulos del triángulo
BED suman 180º, con lo cual:
a  180º 59º 32º  89º
28.
En el rectángulo ABCD con AB  8 y BC  9 , tomamos los
puntos H y E en los lados AB y DA respectivamente, siendo BH  6
y DE  4 . Las rectas AH y BC se cortan en G y GF es
perpendicular al lado AD. ¿Cuál es la longitud del segmento GF?
A) 16
B) 20
C) 24
Solución:
10
D) 28
E) 30

Los triángulos GFE y GJC son semejantes, luego sus lados son proporcionales:
GF
FE


GJ
JC
8x x

4y y

8x 4 y

x
y

Los triángulos GFA y GJH son semejantes, luego sus lados son proporcionales:
GF
FA

GJ
JH
8x
x

9 y 3 y

8x 9 y

x
3 y

Resolviendo el sistema
8  x 4  y


y
 x

8  x 9  y


3 y
 x
sustituyendo en

4y 9y

y
3 y
8x 4y

x
y


(4  y) (3  y)  y (9  y)
8  x 10

x
6


2 y  12

x  12
El segmento GF  FJ  JF  8  12  20
29.
El área del triángulo equilátero ABC de la figura es
3 . Si doblamos la figura por el segmento BC, el vértice
A coincide con el centro del cuadrado MNPQ. ¿Cuál es el
área del rectángulo BNPC?
A) 3 3
B)
5
2
3
C) 6  3  1


Solución:
11
D) 2  3  1


E) 6
y6
Para calcular el área del rectángulo hay que calcular la base y la altura. La altura del
rectángulo coincide con el lado del triángulo equilátero, cuestión que será nuestro primer
objetivo.
2
Aplicando el teorema de Pitágoras: h 
Como el área del triángulo equilátero es
3
base x altura l x 2 l
Área 


2
2
3 l2
4
La base del rectángulo BN  ED  DR 
l2 
l2

4
l2  4

l 
l   
2 
2
3
3 l2

l
4
2
3 , se tiene:
3


l2

h
3
2
l
3  DR
El problema dice que D coincidía con el centro del cuadrado, luego DR es la mitad del
cuadrado, por tanto DR  1 
BN  ED  DR 
3 1
El área del rectángulo BNPC  BC x BN  2  3  1


30. En una circunferencia hay inscrito un cuadrado de lado "a" y
sobre sus lados hemos dibujado semicircunferencias como indica la
figura. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?
A)
 a2
4
B)
 a2
2
C)
a2
8
Solución:
12
D) a2
E)
a2
2
3
Cada una de las zonas sombreadas tiene un área igual a:
1
a
1
área círculo de radio

(área círculo de radio la semidiagonal - área cuadrado)
2
2
4
d

Semidiagonal del cuadrado:
2
2
2
a
a
    
2 
2 
2 a2
a

4
2
2
Área cuadrado: a
2
a a
a2
Área círculo de radio r  :    

2 2 
4
2
 a 
a2
 
Área círculo de radio la semidiagonal: 

2
 2 
Área una zona sombreada:
 a2
1 a2
1  a2
  x    a2  
x
2
4
4 2
 4
Área de las cuatro zonas sombreadas: 4 x
a2
4
 a2
13