cálculo del comportamiento de campos magnéticos, bajo

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA
CD. MENDOZA, VER.
“CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO
CONDICIONES BALANCEADAS Y DESBALANCEADAS”
TRABAJO PARA ACREDITAR LA EXPERIENCIA RECEPCIONAL
DEL PROGRAMA EDUCATIVO DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
MODALIDAD: TESIS
ALUMNO: ANAID AURORA FIGUEROA HERNÁNDEZ
ASESOR:
DR. RUBÉN VILLAFUERTE DÍAZ
CD.MENDOZA.,VER.
FECHA:___AGOSTO___
DEDICATORIA
Dedico esta tesis a mis padres, por haberme brindado su comprensión, y apoyo
incondicional durante toda mi carrera, por sus consejos que me orientaron a tomar
las mejores decisiones y por creer en mí. A mi padre, por siempre tener las palabras
que necesitaba para seguir adelante. A mi madre, por ser, antes que madre, amiga,
por escuchar siempre lo que tenia que decir.
A mi hija, que llego en el momento indicado, quien fue el impulso que necesite
durante este proceso, quien es la luz que guía mi camino, y por quien quiero ser
mejor persona.
A mi tío, quien siempre ha estado ahí para apoyarme, escucharme, y dándome lo
mejor de él.
A mi hermana, por su amistad y comprensión.
A mis maestros, quienes me brindaron un poco de todo el conocimiento que tienen, y
a los que en algún momento, me dieron consejos, ayudándome a enderezar mi
rumbo.
Gracias a cada uno de ustedes, por formar parte de mi vida, porque sin ustedes no
sería lo que soy.
ii
INDICE
RESUMEN .................................................................................................................... i
INTRODUCCION ........................................................................................................ 1
CAPITULO I: INDUCCION ELECTROMAGNETICA
1.1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA ............................................................... 4
1.2 AUTOINDUCTANCIA O COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN. ..................... 9
1.3 INDUCTANCIA MUTUA O COEFICIENTE DE INDUCCIÓN MUTUA. ............ 12
1.4 LA FÓRMULA DE NEUMANN. ........................................................................ 15
1.5 INDUCTANCIAS EN SERIE Y EN PARALELO ............................................... 17
CAPITULO II: INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE LAS MAQUINAS
2.1 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE
POTENCIA ............................................................................................................ 21
2.2 EL CAMPO MAGNETICO................................................................................ 31
2.3 LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO MAGNÉTICO
VARIABLE. ............................................................................................................ 50
2.4 PRODUCCIÓN DE FUERZA INDUCIDA EN UN ALAMBRE........................... 55
2.5 VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE SE MUEVE EN UN CAMPO
MAGNÉTICO ......................................................................................................... 57
2.6 MATERIALES MAGNÉTICOS Y SUS PROPIEDADES................................... 58
CAPITULO III: PRINCIPIOS BASICOS DE LAS MAQUINAS DE CORRIENTE
ALTERNA
3.1 VOLTAJE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CA ................................................ 62
3.2 PAR INDUCIDO EN UNA MÁQUINA DE CA ................................................... 70
3.3 AISLAMIENTO DEL DEVANADO EN UNA MÁQUINA DE CA........................ 77
3.4 FLUJO DE POTENCIA Y PÉRDIDAS EN MÁQUINAS DE CA........................ 78
3.5 CONSTRUCCIÓN DE GENERADORES SÍNCRONOS .................................. 83
3.6 LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DE UN GENERADOR SÍNCRONO ............ 88
3.7 EL VOLTAJE INTERNO GENERADO POR UN GENERADOR SÍNCRONO .. 89
3.8 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA OPERACIÓN DE LOS MOTORES ................ 90
CAPITULO IV: SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE CAMPOS MAGNETICOS
4.1 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UN CONDUCTOR RECTILINEO. ...... 95
ii
4.2 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA BOBINA O SOLENOIDE. .......... 97
4.3 ARREGLOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES ................................. 100
CONCLUSIONES.................................................................................................... 106
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 110
INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Bobina toroidal. ........................................................................................ 10
Figura 1.2 Conexión en serie de dos inductores. ...................................................... 17
Figura 1.3 Conexión en paralelo de dos inductores .................................................. 19
Figura 2.1 a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por un eje de
rotación 𝜏 = 0. ........................................................................................................... 26
b) Una fuerza aplicada a un cilindro de manera que su linea de acción no pase por
eje de rotación . Aquí 𝜏 va en sentido opuesto a las manecillas del reloj. ................. 26
Figura 2.2 Obtención de la ecuación del par en un objeto. ....................................... 28
Figura 2.3 Un núcleo magnético sencillo. .................................................................. 33
Figura 2.4 a) Circuito eléctrico sencillo. b) Circuito magnético análogo para el núcleo
del transformador. ..................................................................................................... 37
Figura 2.5 Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza magnetomotriz en
un circuito magnético. ............................................................................................... 39
Figura 2.6 Efecto marginal de un campo magnético en un entrehierro.. ................... 41
Figura 2.7 a) Curva de magnetización con cc para un núcleo ferromágnetico. b)
Curva de magnetización en términos de densidad de flujo e intensidad de campo
magnético. c) Curva de magnetización detallada para una pieza típica de acero. .... 45
Figura 2.8 Curva o lazo de histéresis por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la
corriente 𝑖𝑡. ............................................................................................................... 46
Figura 2.9 a) Dominios magnéticos orientados al azar. b) Dominios magnéticos
alineados en presencia de un campo magnético externo. ........................................ 48
Figura 2.10 Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotriz en la
magnitud de las pérdidas por histéresis. ................................................................... 50
Figura 2.11 Significado de la ley de Lenz. a) Una bobina encierra un flujo magnético
creciente. b) Determinación de la polaridad del voltaje resultante. ........................... 53
Figura 2.12 Un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético. 56
Figura 2.13 Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético. ..... 58
Figura 3.1 b) Vectores de densidad de flujo magnético y de velocidad a los lados de
la bobina. Las velocidades se muestran desde un marco de referencia en el cual el
2T
2T
iii
campo magnético es estacionario. c) Distribución de densidad de flujo en el
entrehierro. ................................................................................................................ 66
Figura 3.2 Producción de voltajes trifásicos con bobinas espaciadas 120°. ............. 69
Figura 3.3 Máquina ac simplificada con distribución sinusoidal del flujo del estator y
una bobina sencilla de alambre montada en el rotor. ................................................ 72
Figura 3.4 Campo magnético en una espira del rotor. .............................................. 73
Figura 3.5 Máquina síncrona simplificada que muestra los campos magnéticos del
rotor y el estator. ....................................................................................................... 76
Figura 3.6 a) Diagramas de flujo de potencia en un generador ca trifásico. b)
Diagrama de flujo de potencia en un generador ca trifásico...................................... 82
Figura 3.7 Rotor de polos no salientes en una máquina sincrónica. ......................... 84
Figura 3.8 Rotor de seis polos salientes en máquina sincrónica. .............................. 84
Figura 3.9 Circuito excitador sin escobillas.. ............................................................. 87
Figura 3.10 Gráfica del flujo contra la corriente de campo para un generador
síncrono. b) Curva de magnetización del generador síncrono. ................................. 90
Figura 3.11 Motor síncrono de dos polos. ................................................................. 91
Figura 3.12 a) Circuito equivalente completo de un motor síncrono trifásico. b)
Circuito equivalente por fase. .................................................................................... 93
Figura 3.13 a) Diagrama fasorial de un generador síncrono que opera a factor de
potencia en atraso. b) Diagrama de campo magnético. ............................................ 94
Fig. 4.1a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 10
Amperes. ................................................................................................................... 96
Fig. 4.1b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor. ................. 96
Fig. 4.2a Distribución del campo magnético en la cercanía de un conductor con 5
Amperes. ................................................................................................................... 97
Fig. 4.2b Magnitud de la densidad de flujo con la distancia al conductor. ................. 97
Fig.4.3a Distribución de la densidad de campo ......................................................... 98
Fig.4.3b Magnitud de la densidad de flujo en el centro de bobina............................. 98
Fig.4.3c Magnitud de la densidad de flujo en función de la distancia a la bobina que
transporta corriente. .................................................................................................. 98
Fig.4.4a Distribución de la densidad del campo magnético en un solenoide. ........... 99
Fig.4.4.b Magnitud de la densidad de flujo ................................................................ 99
Fig.4.5 Distribución de la densidad del campo magnético en una red cuatro bobinas.
................................................................................................................................ 100
Fig.4.6. Distribución del campo magnético. ............................................................. 101
Fig. 4.7a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 102
Fig. 4.7 b Distribución del campo magnético. .......................................................... 102
Fig. 4.8a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 103
Fig. 4.8b Distribución del campo magnético. ........................................................... 103
Fig. 4.9a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ....... 104
Fig. 4.9b Distribución del campo magnético. ........................................................... 104
iv
Fig. 4.9.a Distribución de una red de 4 bobinas, con un magneto en el centro. ...... 105
Fig. 4.8 b Distribución del campo magnético. .......................................................... 105
Figura A. Motor construido. ..................................................................................... 107
Figura B. Programa Vizimag. .................................................................................. 108
Figura C. Simulación del campo magnético de un solenoide. ................................. 108
INDICE DE TABLAS
Tabla 2.1. Permeabilidades relativas de algunos materiales diamagnéticos. ........... 59
Tabla 2.2. Permeabilidades relativas de algunos materiales paramagnéticos…..…..60
v
RESUMEN
Los campos magnéticos y el electromagnetismo en la construcción de máquinas
eléctricas con el paso de una corriente eléctrica inducen una magnitud llamada flujo
magnético, que es la cantidad de líneas de inducción magnética que atraviesan una
superficie.
Para estudiar y entender el comportamiento de estas fuerzas magnéticas que no se
pueden ver físicamente, a se utiliza en el presente trabajo el programa Vizimag que
es una aplicación que es de gran ayuda para la visualización, simulación y
modelización de campos magnéticos, con esta herramienta será posible el análisis y
simulación de líneas de campo magnético tanto como la densidad de flujo, y se
podrá medir y trazar.
En este trabajo y para que esta investigación se acercara a la realidad, se construyo
un motor trifásico de corriente alterna, con el cual se podrá observar el
comportamiento en estado permanente del movimiento del rotor, cuando se le aplica
un excitación trifásica balanceada.
Con el uso de Vizimag se realizan simulaciones de lo más simple a lo más complejo,
iniciando con la simulación de la corriente de un conductor rectilíneo, se observa que
el campo magnético alrededor de un conductor largo y recto es de forma circular,
siendo este mayor lo mas próximo al conductor y disminuyendo conforme aumenta la
distancia concéntrica a este.
i
Al llevar a cabo la simulación con una bobina se obtuvo el comportamiento del
campo magnético en la vecindad de esta, y su distribución cuando se cambia el
borne de la corriente de entrada. Se hicieron diferentes arreglos para que la forma
del campo magnético se aproximara a la situación real que existe en el estator del
motor construido, un ejemplo de ellos fue, la simulación y análisis de la interacción
de cuatro bobinas separadas uniformemente.
Se colocó en el interior de cuatro bobinas que simulan cuatro magnetos, un arreglo
propio del programa Vizimag que simula un magneto que produce una cantidad
determinada de flujo magnético, el cual se hizo girar en cuatro posiciones diferentes.
Para observar el comportamiento del magneto interior, se calcula la fuerza resultante
y su ángulo para hacer notar la forma en la cual tiende a girar éste.
Esto ejemplifica el funcionamiento de un motor de corriente alterna, como es que la
inducción que produce el magneto gire y cambie su polaridad conforme éste lo va
haciendo. Lo más importante es que se pueden visualizar con la simulación digital las
líneas del campo magnético que producen que la rotación sea posible.
ii
INTRODUCCION
Las magnitudes características de los imanes se denominan fuerzas magnéticas. El
desarrollo de la física amplió el conocimiento sobre el tipo de objetos que sufren y
ejercen fuerzas magnéticas. Las corrientes eléctricas y, en general, las cargas
magnéticas en movimiento se comportan como imanes, es decir, producen campos
magnéticos. Siendo las cargas móviles las últimas en llegar al panorama del
magnetismo y estas sin embargo han permitido, explicar el comportamiento de los
imanes, esos primeros objetos magnéticos conocidos desde la antigüedad.
Los fenómenos magnéticos habían permanecido durante mucho tiempo en la historia
de la ciencia como independientes de los fenómenos eléctricos. Pero el avance de la
electricidad por un lado y del magnetismo por otro, preparó la síntesis de ambas
partes de la física en una sola, el electromagnetismo, que reúne las relaciones
mutuas existentes entre los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. James
Clark Maxwell fue el científico que cerró ese sistema de relaciones al elaborar su
teoría electromagnética, una de las más bellas construcciones conceptuales de la
física clásica.
El funcionamiento de los motores de corriente alterna establece que si un conductor
por el que circula una corriente eléctrica se encuentra dentro de la acción de un
campo magnético, éste tiende a desplazarse perpendicularmente a las líneas de
acción del campo magnético.
El conductor tiende a funcionar como un electroimán debido a la corriente eléctrica
que circula por el mismo adquiriendo de esta manera propiedades magnéticas, que
provocan, debido a la interacción con los polos ubicados en el estator, el movimiento
circular que se observa en el rotor del motor.
1
En este trabajo de investigación se estudia desde principios básicos hasta el
comportamiento del campo magnético, mediante simulaciones, para comprender
como se produce el giro en un motor trifásico de corriente alterna, dividiéndolo el
estudio en cuatro capítulos.
El primer capitulo trata del estudio de las corrientes eléctricas producidas mediante
campos magnéticos a las que Michael Faraday las llamó corrientes inducidas. Desde
entonces al fenómeno consistente en generar campos eléctricos a partir de campos
magnéticos variables que se denomina inducción electromagnética. La inducción
electromagnética constituye una pieza destacada en ese sistema de relaciones
mutuas entre electricidad y magnetismo que se conoce con el nombre de
electromagnetismo.
El capitulo dos contiene un breve repaso de los conceptos de distancia, velocidad,
aceleración, ley de Newton y potencia, los cuales son aplicados a las maquinas
rotatorias para usos prácticos en la aplicación de las maquinas eléctricas que
cumplen funciones especificas. Como la producción del campo magnético, leyes
importantes, formulas que nos ayudan ala determinación de la fuerza inducida, como
el voltaje que se necesita para estas máquinas, y materiales magnéticos que por sus
propiedades ayudan a obtener una mayor concentración en el campo magnético.
El capítulo tres, contempla lo necesario para la construcción de un motor de corriente
alterna, las formulas que requerimos para los cálculos, el voltaje necesario, el par
que produce, la potencia requerida para que gire el motor y las pérdidas que se
producen en este tipo de maquinas y que debemos considerar así como el principio
básico del funcionamiento de estas.
2
En el capitulo cuarto se realizan las simulaciones de las bobinas que conducen el
campo magnético, contemplando desde la corriente que pasa por un conductor
rectilíneo hasta las corrientes que provocan el giro de un motor para su
funcionamiento.
3
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
CAPITULO I
INDUCCION ELECTROMAGNETICA
La inducción de una fuerza electromotriz al cambiar el flujo magnético se observó por
primera vez por Faraday y Henry a principios del siglo XIX. A partir de sus
experimentos
iniciadores
se
han
creado
los
generadores
modernos,
los
transformadores, etc. Este capítulo trata primordialmente la formulación matemática
de la ley de la inducción electromagnética, y su aprovechamiento en casos simples.
1.1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Los resultados de un gran número de experimentos pueden resumirse asociando una
fem
𝜀=−
𝑑Φ
𝑑𝑡
(1.1)
Con un cambio en el flujo magnético que pasa por un circuito. Este resultado, que se
conoce por la ley de Faraday de la inducción electromagnética, se ve que es
independiente de la forma en la que se cambia el flujo (el circuito puede
distorsionarse o moverse, o el valor de B en varios puntos interiores al circuito puede
cambiarse). Es muy importante darse cuenta de que la ecuación (1.1) representa una
ley experimental independiente (no puede deducirse de otras leyes experimentales y
efectivamente no es, como se dice a veces, una consecuencia de la conservación de
la energía aplicada al equilibrio de energía de corrientes en campos magnéticos.
4
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Como por definición:
(1.2)
𝜀 = � 𝐄 ∙ 𝑑𝐥
Y
Φ = � 𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑎,
(1.3)
𝑠
La ecuación (1.1) puede escribirse como:
� 𝐄 ∙ 𝑑𝐥 = −
𝑑
� 𝐁 ∙ 𝐧 𝑑𝑎.
𝑑𝑡 𝑠
(1.4)
Si el circuito es un circuito rígido estacionario, la derivada respecto al tiempo puede
ponerse dentro de la integral, donde se convierte en una derivada parcial respecto al
tiempo. Además, el teorema de Stokes puede usarse para transformar la integral de
línea de E a la integral de superficie de rot E. El resultado de estas transformaciones
es:
� 𝐫𝐨𝐭 𝐄 ∙ 𝐧 𝑑𝑎 = − �
𝑠
𝑠
𝜕𝐁
∙ 𝐧 𝑑𝑎.
𝜕𝑡
(1.5)
Como esto debe verificarse para todas las superficies S, se sigue que:
𝐫𝐨𝐭 𝐄 = −
𝜕𝐁
𝜕𝑡
(1.6)
5
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Que es la forma diferencial de la ley de Faraday. Medios móviles y otras condiciones
sutiles requieren un tratamiento más cuidadoso, que está más allá del alcance de
este texto.
El signo negativo en la ley de Lenz indica, como se puede demostrar fácilmente, que
el sentido de la fem inducida es tal que tiende a oponerse al cambio que la produce.
Así, si intentamos aumentar el flujo que pasa por un circuito, la fem inducida tiende a
crear corrientes en tal sentido que disminuya el flujo. Si intentamos introducir un polo
de un imán en una bobina, las corrientes originadas por la fem inducida forman un
campo magnético que tiende a repeler el polo. Todos estos fenómenos están
comprendidos en la ley de Lenz, que puede enunciarse como sigue:
En caso de que haya un cambio en un sistema magnético, sucede algo que tiende a
oponerse al cambio.
Es claro que esto tiene en cuenta el sentido de la corriente y el sentido de la fuerza
electromotriz de los ejemplos dados anteriormente. La utilidad de la ley de Lenz no
debe menospreciarse. En muchos casos representa la forma más rápida, si no la
única, de obtener información acerca de reacciones electromagnéticas. Aun si se
dispone de otros métodos, permite una comprobación valiosa.
Hay un caso especial de la ley de Faraday en la que la fem puede deducirse de la
fuerza de Lorentz y de la conservación de la energía.
6
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Supongamos que un conductor recto se desliza sobre un par de rieles horizontales
separados una distancia l. Supongamos que hay un campo magnético B
perpendicular al plano de los rieles y que una fuente de fem 𝜀0 , , se conecta entre
dos rieles.
Debido a la intensidad, I, de la corriente, el conductor experimenta una fuerza de
magnitud 𝐹 = 𝐵𝐼𝑙 hacia la derecha. Por esta fuerza, se acelera hacia la derecha y se
mueve en un instante particular, con una velocidad v; por tanto el trabajo se está
efectuando a una razón 𝐹𝑣. La fem 𝜀0 está suministrando potencia a la razón 𝜀0 𝑰. Por
tanto,
𝜀0 𝑰 = 𝑰𝟐 𝑹 + 𝑭𝑣
(1.7)
Como resultado, 𝐼 es menos que el valor original, 𝜀0 /𝑅 , y, en consecuencia, la
fuerza magnética es distinta. Para evitar esta dificultad, se añade una fem 𝜀´ variable,
adicional, en serie con 𝜀0 , de tal magnitud (variable) que mantenga 𝐼 constante.
Entonces, en lugar de (1.7), tenemos:
(𝜀0 + 𝜀´)𝐼 = 𝐼 2 𝑅 + 𝐹𝑣
(1.8)
𝜀´𝐈 = 𝐁𝐈𝑙𝑣
(1.9)
Por la elección de 𝜀´, 𝜀0 𝐼 = 𝐼 2 𝑅, de donde:
Eliminando las 𝐼 se tiene:
𝜀´ = 𝐵𝑙𝑣 =
𝑑Φ
;
𝑑𝑡
(1.10)
7
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Sin embargo, 𝜀´ no es la fem inducida, es el negativo de ella, esto es, la fem que
debe añadirse a 𝜀0 para mantener constante la corriente. Por tanto,
𝜀=−
𝑑Φ
;
𝑑𝑡
(1.11)
En concordancia con la ecuación (1.1). la ecuación:
𝜀 = −𝐁𝑙𝑣
(1.12)
Puede generalizarse escribiéndola en notación vectorial. Si v se orienta
arbitrariamente con respecto
a 𝑙, entonces la única componente de v que es
perpendicular a 𝑙 contribuye a 𝜀 . Por tanto, 𝜀
es proporcional a 𝒍 × 𝒗. Para B
arbitrariamente, únicamente la componente perpendicular al plano de 𝑙
contribuye a 𝜀 . Como 𝑙 × 𝑣 es perpendicular al plano 𝑙, 𝑣, 𝜀 puede escribirse:
𝜀 =𝐁∙𝒍 ×𝒗
y 𝑣
(1.13)
Excepto posiblemente por un signo menos. Nuevamente debe observarse que la
ecuación (1.13) es solo un caso especial de la ecuación (1.1). La deducción de la
ecuación (1.13) no demuestra la ecuación (1.1), puesto que la única clase de cambio
que se ha considerado es el cambio en el área del circuito. La fem es (1.13) se llama
fem por movimiento.
8
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
1.2 AUTOINDUCTANCIA O COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN.
En este artículo se estudiara la relación que hay entre el flujo y la intensidad de
corriente asociada con un circuito aislado y se aprovechara con el fin de introducir el
parámetro práctico de un circuito: la autoinductancia.
𝐵(𝑟2 ) =
𝜇0
𝑑𝑙1 × (𝑟2 − 𝑟1 )
𝐼1 �
|𝑟2 − 𝑟1 |3
4𝜋
1
(1.13)
El flujo magnético que atraviesa un circuito aislado depende de la forma geométrica
del circuito y, según la ecuación (1.13), es linealmente dependiente de la intensidad
de la corriente en el circuito. Por tanto, para un circuito estacionario, rígido, los únicos
cambios en flujo resultan de los cambios de corriente. Esto es:
𝑑Φ 𝑑Φ 𝑑𝐼
=
,
𝑑𝑡
𝑑𝐼 𝑑𝑡
(1.14)
Que es válida aun cuando la ecuación (1.13.1) no lo sea; el único requisito es que 𝜑
dependa solo de la corriente. No obstante, si la ecuación (1.13.1) es válida o, con
mayor generalidad, si Φ es directamente proporcional a la intensidad de la corriente,
entonces 𝑑Φ/𝑑𝐼 es una constante, igual a Φ/𝐼. En cualquier caso, la inductancia o
coeficiente de inducción, L, se define por:
𝐿=
𝑑Φ
.
𝑑𝑡
(1.15)
Cuando es esencial diferenciar entre esta y Φ/𝐼, 𝑑Φ/𝑑𝐼 se llama inductancia
incremental; a menos que se indique en otra forma es más seguro asociar la
palabras inductancia con la ecuación (1.15). De las ecuaciones (1.14), (1.15) y (1.1)
9
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
se sigue que la expresión de la fem inducida, es una ecuación de importancia
práctica considerable.
𝜀 = −𝐿
𝑑𝐼
,
𝑑𝑡
(1.16)
Figura 1.1 Bobina toroidal.
Como ilustración de empleo de la ecuación (1.15) para el cálculo de la inductancia,
se calculara la autoinductancia de una bobina toroidal. Dicha bobina se representa
en la figura 1.1 la ecuación (1.15) se aplica a un circuito completo, esto es, no solo a
la bobina toroidal de la figura 1.1, sino también al circuito externo conectado a las
terminales 1 y 2.
Utilizando conductores torcidos o un cable coaxial, que no producen esencialmente
campo magnético externo, la proporción productora del campo del circuito externo
puede suprimirse a una distancia suficientemente grande de modo que no contribuya
al flujo en el toroide. Si se hace esto y se entiende por fem la fem entre las terminales
1 y 2, entonces la ecuación (1.15) puede utilizarse para obtener la inductancia de la
10
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
bobina toroidal. De la ley circuital de Ampere, la inducción magnética en el interior de
una bobina toroidal es:
𝐵=
Donde:
𝜇0 𝐍𝐈
,
𝑙
(1.17)
N= Número de vueltas
𝑙= Longitud media
𝐼= Intensidad de la corriente en el enrollamiento.
Las ecuaciones (1.17) y (1.18) implican la aproximación de despreciar la variación de
la inducción magnética sobre el área de la sección transversal. El flujo que atraviesa
cada vuelta es entonces:
Φ1 =
𝜇0 𝐍𝐈𝐀
,
𝑙
(1.18)
y el flujo total que pasa por las N vueltas es:
𝜇0 𝑵𝟐 𝐀
Φ=
𝐼.
𝑙
(1.19)
La inductancia es, entonces, simplemente:
𝑑Φ 𝜇0 𝑵𝟐 𝐀
𝐿=
=
.
𝑑𝐼
𝑙
(1.20)
La unidad práctica de inductancia es el Henry que, de la ecuación (1.15), es igual a
un volt-segundo/ampere. La ecuación (1.20) indica que las dimensiones de 𝜇0 , que
11
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
se han dado anteriormente como weber/ampere-metro, pueden darse en alternativa
como henries/metro.
1.3 INDUCTANCIA MUTUA O COEFICIENTE DE INDUCCIÓN MUTUA.
En el artículo anterior solo se consideraron circuitos aislados, de modo que todo el
flujo que atravesaba el circuito se debió a la corriente en el circuito mismo. Esta
restricción puede eliminarse si se supone que hay 𝑛 circuitos, etiquetados 1,2,….. El
flujo que atraviesa uno de estos circuitos, digamos, el etiquetado 𝑖, puede expresarse
por:
𝑛
Φ𝑖 = Φ𝑖1 + Φ𝑖2 + ⋯ + Φ𝑖𝑖 + ⋯ + Φ𝑖𝑛 = � Φ𝑖𝑗 .
(1.21)
𝑗=1
Esto es, puede escribirse como una suma de los flujos debidos a cada uno de los 𝑛
circuitos, siento Φ𝑖1 el flujo que pasa por el i-ésimo circuito debido al circuito 1, etc.
La fem inducida en el i-ésimo circuito, 𝜀𝑖 , puede escribirse como:
𝑛
𝑑Φ𝑖𝑗
𝑑Φ𝑖
𝑑Φ𝑖1
𝑑Φ𝑖𝑖
𝑑Φ𝑖𝑛
𝜀𝑖 = −
= −�
+ ⋯+
+ ⋯+
� = −�
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.22)
𝑗=1
Si cada uno de estos circuitos es uno estacionario, rígido, los únicos cambios en los
Φ𝑖𝑗 son los que resultan de los cambios en las intensidades de las corrientes. Por
tanto:
12
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝑑Φ𝑖𝑗 𝑑Φ𝑖𝑗 𝑑𝐼𝑗
=
.
𝑑𝑡
𝑑𝐼𝑗 𝑑𝑡
(1.23)
Los coeficientes 𝑑Φ𝑖𝑗 /𝑑𝐼𝑗 son constantes, independientes de la corriente, si es
adecuada la ecuación (1.13). Si no son constantes, pueden depender de la
intensidad de la corriente, debido a la no linealidad de los medios magnéticos
asociados con la configuración del circuito. De cualquier modo,
𝑀𝑖𝑗 =
𝑑Φ𝑖𝑗
;
𝑑𝐼𝐽
𝑖≠𝑗
(1.24)
Se define como la inductancia mutua entre el circuito 𝑖 y el circuito 𝑗. Se verá
posteriormente que 𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑗𝑖 y, en consecuencia, no hay posibilidad de ambigüedad
en los subíndices. Por supuesto, 𝑑Φ𝑖𝑗 /𝑑𝐼𝑗 es la autoinductancia del i-ésimo circuito,
para el cual se expresa 𝐿𝑖 𝑜 𝑀𝑖𝑖. Las unidades de la inductancia mutua son las
mismas que las de la autoinductancia, es decir, Henries.
Como ejemplo de cálculo para la inductancia mutua, consideremos la configuración
de la figura 1.1 con un segundo enrollado toroidal de 𝑁2 vueltas añadidas. Para esta
situación, una corriente de intensidad 𝐼1 en el primer enrollado produce una inducción
magnética.
𝐵=
y, en consecuencia, flujos
Φ11 =
𝜇0 𝑁1 𝐼1
,
𝑙
𝜇0 𝑁12 𝐴𝐼1
𝑙
13
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
y
Φ21 =
𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴𝐼1
.
𝑙
que
como antes, y
𝜇0 𝑁12 𝐴
𝐿1 =
𝑙
𝑀21 =
𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴
𝑙
(1.25)
(1.26)
Invirtiendo el procedimiento y considerando una corriente 𝐼2 , se tiene
𝜇0 𝑁22 𝐴
𝐿2 =
,
𝑙
(1.27)
𝜇0 𝑁1 𝑁2 𝐴
,
𝑙
(1.28)
𝑀2 =
Demostrando así que para este caso 𝑀12 = 𝑀21. Además, las ecuaciones (1.25),
(1.26) y (1.27) pueden combinarse para dar:
14
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝑀12 = �𝐿1 𝐿2 .
(1.29)
La ecuación (1.29) representa un límite que se impone sobre la inductancia mutua
entre dos circuitos, es decir, siempre es menor o igual que la raíz cuadrada del
producto de las autoinductancias de los dos circuitos. En vista de este límite, a
menudo se introduce un coeficiente 𝑘 de acoplamiento y se define por:
|𝑘| ≤ 1.
𝑀 = 𝑘�𝐿1 𝐿2 ,
(1.30)
1.4 LA FÓRMULA DE NEUMANN.
Para dos circuitos rígidos, estacionarios en un medio lineal (vacío por el momento), la
inductancia mutua es:
𝑀21 =
Φ21
.
𝐼1
(1.31)
Esto es válido simplemente porque Φ21 es proporcional a 𝐼1 , haciendo que Φ21 /𝐼1 y
𝑑Φ21 /𝑑𝐼1 sean iguales. En este caso, la ecuación (1.13.1) puede usarse para calcular
𝑀21 . El flujo está dado por:
Φ21 =
𝜇0
𝑑𝐼1 × (𝑟2 − 𝑟1
𝐼1 � ��
� ∙ 𝑛 𝑑𝑎2 .
|𝑟2 − 𝑟1 |3
4𝜋
𝑆2
𝐶1
(1.32)
15
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
�
𝑐1
Por tanto,
𝑀21 =
𝑑𝐼1 × (𝑟2 − 𝑟1 )
𝑑𝐼1
=
𝑟𝑜𝑡
�
;
2
|𝑟2 − 𝑟1 |3
𝑐1 |𝑟2 − 𝑟1 |
Φ21 𝜇0
𝑑𝐼1
=
� 𝑟𝑜𝑡2 ��
;� ∙ 𝑛 𝑑𝑎2 .
𝐼1
4𝜋 𝑠2
𝑐1 |𝑟2 − 𝑟1 |
(1.33)
(1.34)
Utilizando el teorema de Stokes para transformar la integral de superficie se tiene
que se conoce como la fórmula de Neumann para la inductancia mutua. La simetría
aludida anteriormente se evidencia en la ecuación (1.35).
𝑀21 =
𝜇0
𝑑𝐼1 ∙ 𝑑𝐼2
� �
,
4𝜋 𝐶2 𝐶1 |𝑟2 − 𝑟1 |
(1.35)
La fórmula de Neumann es igualmente aplicable a la autoinductancia, en cuyo caso
se expresa como:
𝐿 =
𝜇0
𝑑𝐼1 ∙ 𝑑𝐼´1
� �
,
4𝜋 𝐶1 𝐶1 |𝑟2 − 𝑟´1 |
(1.36)
Debe tenerse cuidado al aplicar la ecuación (1.36), debido a la singularidad para en
cálculo de la inductancia, excepto para circuitos en los que su forma geométrica sea
simple. Pero la ecuación (1.35) en particular es muy importante en el estudio de
fuerzas y momentos ejercidos por un circuito sobre otro.
16
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
1.5 INDUCTANCIAS EN SERIE Y EN PARALELO
Las inductancias se conectan a menudo en serie y en paralelo, y, como son
resistores y condensadores, es importante conocer el resultado de dichas
conexiones. Podríamos proceder con una deducción basada simplemente en
𝜀 = −𝐿(𝑑𝐼/𝑑𝑡) y obtener fórmulas para la inductancia efectiva de dos inductancias en
serie o en paralelo; sin embargo, hacer esto sería ignorar el hecho práctico de que un
inductor siempre tiene alguna resistencia interna. Una inductancia perfecta es más
fácil de realizar que una capacidad perfecta o una resistencia perfecta. Por este
motivo, las combinaciones en serie y en paralelo de este artículo contendrán siempre
resistencias e inductancias.
Figura 1.2 Conexión en serie de dos inductores.
Para dos inductores en serie, el circuito de la figura 1.2 es el adecuado. Al sumar las
caídas de voltaje en el circuito, es importante observar que M puede ser positiva o
negativa [cambiando el sentido en que 𝑐1o 𝑐2 se describen, se invierte el signo de M
en la ecuación (1.35)]. Teniendo esto en cuenta, se ve que la suma de las caídas de
voltaje del circuito de la figura 1.3 es:
∇𝑈 + 𝜀1 + 𝜀2 = 𝑅1 𝐼 + 𝑅2 𝐼,
17
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
O
∆𝑈 = 𝑅1 𝐼 + 𝐿1
Esto es equivalente a:
𝑑𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝐼
+ 𝑀 + 𝑅2 𝐼 + 𝐿2 + 𝑀 .
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
∆𝑈 = (𝑅1 + 𝑅2 )𝐼 + (𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀)
𝑑𝐼
.
𝑑𝑡
(1.37)
(1.38)
El circuito se parece entonces a un resistor de resistencia𝑅1 + 𝑅2 en serie con una
inductancia 𝐿1 + 𝐿2 + 2𝑀. La magnitud de la inductancia es 𝐿1 + 𝐿2 + |2𝑀| para el
acoplamiento positivo (esto es, para fluidos debidos a 𝐼1 y a 𝐼2 en el mismo sentido en
cada bobina), y es 𝐿1 + 𝐿2 − 2|𝑀| para el acoplamiento negativo. Una descripción en
alternativa de la inductancia mutua es :
𝑀 = 𝑘�𝐿1 𝐿2 ,
− 1 ≤ 𝑘 ≤ 1.
(1.39)
La inductancia efectiva del circuito en serie es entonces:
𝐿𝑒𝑓 = 𝐿1 + 2𝑘 �𝐿1 𝐿2 + 𝐿2 .
(1.40)
Si se puede variar 𝑘, entonces puede construirse una inductancia variable. (En los
primeros días de la radio esta fue una forma popular para sintonizar circuitos
resonantes).
18
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 1.3 Conexión en paralelo de dos inductores.
La conexión en paralelo mostrada en la figura 1.3 no es tan simple como la del
circuito en serie. De hecho, el circuito representado no se comporta como un circuito
L-R en serie, simple. Por tanto, no es posible decir que la inductancia efectiva y la
resistencia efectiva son ciertas funciones de 𝐿1 , 𝐿2 , 𝑅1 𝑦 𝑅2 . Sin embargo 𝑅1 𝑦 𝑅2 son
despreciables, entonces:
∆𝑈 = 𝐿1
𝑑𝐼1
𝑑𝐼2
+𝑀
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
∆𝑈 = 𝐿2
𝑑𝐼2
𝑑𝐼1
+𝑀
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1.41)
Si primero se elimina 𝑑𝐼1 /𝑑𝑡 y luego 𝑑𝐼2 /𝑑𝑡 de las ecuaciones (1.41), se tienes como
resultado:
∆𝑈 = (𝐿2 − 𝑀) = (𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 )
𝑑𝐼1
,
𝑑𝑡
(1.42)
19
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
∆𝑈 = (𝐿1 − 𝑀) = (𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 )
Sumando éstas se tiene:
∆𝑈 =
𝑑𝐼2
.
𝑑𝑡
𝐿1 𝐿2 − 𝑀2 𝑑𝐼
.
𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀 𝑑𝑡
Por tanto, la inductancia efectiva de dos inductores en paralelo es:
𝐿𝑒𝑓
𝐿1 𝐿2 − 𝑀2
=
,
𝐿1 + 𝐿2 − 2𝑀
(1.44)
Donde nuevamente el signo M depende de la forma en que los inductores se
conecten.
El uso más importante de las inductancias es en circuitos de corriente alterna. Para
un circuito que funciona a una sola frecuencia, puede obtenerse un circuito
equivalente en serie para la figura 1.3; sin embargo, ambos, el equivalente de
resistencia y el equivalente de inductancia dependen de la frecuencia. Esta
dependencia de la frecuencia es la raíz de la dificultad que se encontró antes.
20
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
CAPITULO II
INTRODUCCION A LOS PRINCIPIOS DE LAS MAQUINAS
2.1 MOVIMIENTO ROTATORIO, LEY DE NEWTON Y RELACIONES DE
POTENCIA
Casi todas las maquinas eléctricas rotan sobre un eje llamado flecha. Debido a la
naturaleza rotatoria de la maquina es importante tener un conocimiento básico del
movimiento rotatorio. Esta sección contiene un breve repaso de los conceptos de
distancia, velocidad, aceleración, ley de Newton y potencia, los cuales son aplicados
a las maquinas rotatorias.
En general, se requiere un vector tridimensional para describir la rotación de un
objeto en el espacio. Sin embargo, dado que las maquinas giran sobre un eje fijo, su
rotación queda restringida a una dimensión angular. Con relación a un extremo del
eje de la máquina, la dirección de rotación puede ser descrita ya sea en el sentido de
las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario al de las manecillas del reloj
(SCMR). Para los propósitos de este volumen, un ángulo de rotación en sentido
contrario al de las manecillas del reloj será positivo y en el sentido de las manecillas
del reloj será negativo. En cuanto a la rotación sobre un eje fijo, todos los conceptos
de esta sección se reducen a magnitudes escalares.
Enseguida se definen los conceptos importantes del movimiento rotatorio y se
establece la relación que tienen con los conceptos correspondientes del movimiento
rectilíneo.
21
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Posición angular (θ)
La posición angular θ de un objeto es el ángulo en que se sitúa, medido desde algún
punto de referencia arbitrario. La posición angular se mide en radianes o grados, lo
cual es equivalente al concepto de distancia en el movimiento rectilíneo.
Velocidad angular (ω)
La velocidad angular es la tasa de cambio en la posición angular con respecto al
tiempo. Se supone que es positiva si la rotación es en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. En el movimiento giratorio la velocidad angular es el concepto
análogo al concepto de velocidad lineal. La velocidad lineal unidimensional se define
como la tasa de cambio o razón de cambio en el desplazamiento sobre la línea (r)
con respecto al tiempo.
𝑣=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
(2.1)
De manera similar, la velocidad angular ω se define como la tasa o razón de cambio
de desplazamiento angular θ con respecto al tiempo.
𝜔=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
(2.2)
Si las unidades de la posición angular están en radianes, la velocidad angular se
mide en radianes por segundo.
22
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Tratándose de máquinas eléctricas normales, los ingenieros utilizan con frecuencia
unidades diferentes a los radianes por segundo para describir la velocidad del eje.
Frecuentemente la velocidad, angular se expresa en revoluciones por segundo o
revoluciones por minuto. Puesto que la velocidad angulares un concepto importante
en el estudio de las maquinas, se acostumbra utilizar diferentes símbolos para
representar la velocidad cuando se expresa en unidades diferentes, lo cual permite
minimizar cualquier posible confusión en cuanto a las unidades. Se utilizan los
siguientes símbolos para describir la velocidad angular:
𝜔𝑚= Velocidad angular expresada en radianes por segundo
𝑓𝑚 = Velocidad angular expresada en revoluciones por segundo
𝑛𝑚 = Velocidad angular expresada en revoluciones por minuto
En estos símbolos el subíndice 𝑚 indica una cantidad mecánica en contraposición a
una cantidad eléctrica. Si no existe posibilidad alguna de confusión entre las
cantidades mecánica y eléctrica, se omite el subíndice.
Estas medidas de velocidad del eje se relacionan entre si mediante las siguientes
ecuaciones:
𝑛𝑚 = 60 𝑓𝑚
𝑓𝑚 =
𝜔𝑚
2𝜋
(2.3a)
(2.3b)
23
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Aceleración angular (α)
La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al
tiempo. Es positiva si la velocidad angular se incrementa en sentido algebraico. La
aceleración angular corresponde a la aceleración en el movimiento rectilíneo. Así
como la aceleración lineal unidimensional se define con la ecuación:
𝑎=
𝛼=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑡
(2.4)
(2.5)
Si las unidades de la velocidad angular están en radianes por segundo, la
aceleración angular se mide en radianes por segundo al cuadrado.
Par (𝝉)
En el movimiento rectilíneo una fuerza aplicada sobre un objeto ocasiona un cambio
de velocidad en éste. Si no ejerce una fuerza neta sobre el objeto, su velocidad
permanece constante. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada al objeto, más
rápidamente cambiará su velocidad.
En el movimiento rotatorio existe un concepto similar. Cuando un objeto rota, su
velocidad permanece constante a menos que se ejerza un par sobre él. Cuanto
mayor sea el par aplicado al objeto, más rápidamente cambiará su velocidad angular.
24
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
¿Qué es par? Se le puede llamar, aunque no con mucha exactitud, la “fuerza de
torsión” aplicada a un objeto. Este concepto es fácil de entender. Imagine un cilindro
que rota libremente alrededor de su eje. Si se le aplica una fuerza al cilindro, de
manera que la línea de acción pase por el eje del mismo figura 2.1a, el cilindro no
rotará. Sin embargo, si se aplica la misma fuerza de modo que su línea de acción
pase a la derecha del eje del cilindro figura 2.1b, éste tenderá a rotar en dirección
contraria a la de las manecillas del reloj. El par o acción de torsión sobre el cilindro
depende de: 1) la magnitud de la fuerza aplicada y 2) de la distancia entre el eje de
rotación y la línea de acción de la fuerza.
El par sobre un objeto se define como el producto de la fuerza aplicada al objeto y la
distancia más corta entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del
objeto. Si r es un vector que apunta desde el eje de rotación hasta el punto de
aplicación de la fuerza y si F es la fuerza aplicada, el par puede describirse como:
𝜏 =(Fuerza aplicada)(Distancia perpendicular)
= (𝐹)(𝑅 sen 𝜃)
= 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
Donde θ es el ángulo entre el vector r y el vector F. La dirección del par será en el
sentido de las manecillas del reloj si tiende a causar la rotación en el sentido de las
manecillas del reloj y en sentido contrario al de las manecillas del reloj si tiende a
causar la rotación en este sentido figura 2.2 .
Las unidades del par son newton-metro en las unidades del SI y libra-pie para el
sistema inglés.
25
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Ley de rotación de newton
La ley de Newton, en cuanto a objetos que se mueven en línea recta, describe la
relación entre la fuerza aplicada a un objeto y su aceleración. Esta relación está dada
por la ecuación:
𝐹 = 𝑚𝑎
(2.7)
Figura 2.1 a) Una fuerza aplicada a un cilindro de modo que pase por un eje de rotación 𝜏 = 0.
b) Una fuerza aplicada a un cilindro de manera que su linea de acción no pase por eje de rotación .
Aquí 𝜏 va en sentido opuesto a las manecillas del reloj.
26
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Donde:
𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
En unidades SI, la fuerza se mide en newtons, la masa en kilogramos y la
aceleración en metros por segundo al cuadrado. En el sistema inglés, la fuerza se
mide en libras, la masa en slugs, y la aceleración en pies por segundo al cuadrado.
Una ecuación semejante describe la relación entre el par aplicado a un objeto y su
aceleración angular resultante. Esta relación, llamada ley de rotación de Newton,
está dada por la ecuación:
𝜏 = 𝐽𝛼
(2.8)
Donde 𝜏 es el par neto aplicado, expresado en newton-metro o libra-pie, y α es la
aceleración resultante expresada en radianes por segundo al cuadrado. El término J
cumple con el mismo propósito que el de la masa de un objeto en el movimiento
lineal. Al cual se le llama momento de inercia del objeto y se mide en kilogramosmetro cuadrado o slugs-pie cuadrado.
27
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 2.2 Obtención de la ecuación del par en un objeto.
Trabajo (W)
En el movimiento rectilíneo el trabajo se define como la aplicación de una fuerza a lo
largo de una distancia, y se expresa mediante la ecuación:
𝑤 = � 𝐹𝑑𝑟
(2.9)
Donde se supone que la fuerza es colineal con la dirección del movimiento. Para el
caso especial de una fuerza constante aplicada en forma colineal con la dirección del
movimiento, esta ecuación se transforma en:
28
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝑤 = 𝐹𝑟
(2.10)
En el SI, la unidad de medida del trabajo es el joule, y en el sistema inglés la librapie.
En el movimiento rotatorio trabajo es la aplicación de un par a lo largo de un ángulo.
En este caso la ecuación es:
𝑊 = � 𝜏𝑑𝜃
(2.11)
𝑊 = 𝜏𝜃
(2.12)
Y si el par es constante
Potencia (P)
La potencia es la tasa a la cual se realiza trabajo o el incremento en el trabajo por
unidad de tiempo. La ecuación de potencia es:
𝑃=
𝑑𝑊
𝑑𝑡
(2.13)
Generalmente se mide en joules por segundo (watts). Pero también se puede medir
en pie-libra por segundo o en caballos de fuerza (hp).
𝑃=
𝑑𝑊
𝑑
𝑑𝑟
= (𝐹𝑟) = 𝐹 � � = 𝐹𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(2.14)
29
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Así mismo, si el par es constante, en el movimiento rotatorio la potencia está dada
por:
𝑃=
𝑑𝑊
𝑑
𝑑𝜃
= (𝜏𝜃) = 𝐹 � � = 𝜏𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(2.15)
𝑃 = 𝜏𝜔
La ecuación (2.15) es muy importante es el estudio de las máquinas eléctricas,
porque describe la potencia mecánica aplicada al eje de un motor o de un generador.
La ecuación (2.15) es la relación correcta entre la potencia, el par y la velocidad si la
potencia se mide en watts, el par en newton-metro y la velocidad en radianes por
segundo. Si se utilizan otras unidades para medir cualquiera de las cantidades
indicadas, se debe de introducir una constante en la ecuación como factor de
conversión. Aún es común en Estados Unidos medir el par en libra-pie, la velocidad
en revoluciones por minuto y la potencia en watts (W) o caballos de fuerza (hp). Si se
emplean los factores de conversión adecuados en cada término, la ecuación (2.15)
se convierte en:
𝑃(𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠) =
𝜏(𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠)𝑛(𝑟/𝑚𝑖𝑛)
7.04
𝑃(𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) =
𝜏(𝑙𝑏 − 𝑝𝑖𝑒𝑠)𝑛(𝑟/𝑚𝑖𝑛)
5252
(2.16)
(2.17)
Donde el par se mide en libra/pie y la velocidad en revoluciones por minuto.
30
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
2.2 EL CAMPO MAGNETICO
Como se indicó antes, los campos magnéticos son el mecanismo fundamental para
convertir la energía de una forma a otra en motores, generadores y transformadores.
Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos
magnéticos en estos aparatos:
1. Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor.
2. Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje en una bobina de
alambre si pasa a través de ella (este principio es la base del funcionamiento del
transformador).
3. Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético
experimenta una fuerza inducida sobre él (esta es la base del funcionamiento del
motor).
4. Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un campo magnético tendrá
un voltaje inducido en él (esta es la base del funcionamiento del generador).
La presente sección describe y trata sobre la producción de un campo magnético por
medio de un conductor que porta corriente, mientras que las siguientes secciones de
este capítulo explican los otros tres principios.
Producción de un campo magnético
La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por medio de una
corriente es la ley de Ampere:
31
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
� 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐼𝑛𝑒𝑡
(2.18)
Donde H es la intensidad del campo magnético producida por la corriente 𝐼𝑛𝑒𝑡 , y 𝑑𝑙
es el elemento diferencial a lo largo de la trayectoria de integración. En unidades del
SI, 𝐼 se mide en amperes y H en amperes-vuelta por metro. Para entender mejor el
significado de esta ecuación, es de gran ayuda aplicar al sencillo ejemplo de la figura
2.3, que muestra un núcleo rectangular con un devanado de N vueltas de alambre
enrollado sobre una de las piernas o columnas del núcleo. Si el núcleo es de hierro o
de ciertos metales similares (llamados materiales ferromagnéticos), casi todo el
campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de
modo que el cambio de integración especificado en la ley de Ampere es la longitud
media del núcleo 𝐼𝑛 . La corriente que pasa por el camino de integración 𝐼𝑛𝑒𝑡𝑎 es
entonces 𝑁𝑖, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras
pasa la corriente 𝑖. La ley de Ampere se expresa entonces como:
𝐻𝑙𝑛 = 𝑁𝑖
(2.19)
Donde H es la magnitud del vector de intensidad del campo magnético H. De esta
manera, la magnitud de intensidad del campo magnético en el núcleo debido a la
corriente aplicada es:
𝐻=
𝑁𝑖
𝑙𝑛
(2.20)
La intensidad del campo magnético H es, de alguna manera, una medida del
“esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del
campo magnético producido en el núcleo depende también del material de que está
32
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
hecho. La relación entre la intensidad de campo magnético H y la densidad del flujo
magnético resultante B producida dentro del material está dada por:
𝐵 = 𝜇𝐻
(2.21)
Figura 2.3 Un núcleo magnético sencillo.
Donde:
H= intensidad del campo magnético
µ= permeabilidad magnética del material
B= densidad de flujo magnético resultante
33
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
La densidad de flujo magnético real producida en una sección del material está dada
entonces por el producto de dos términos:
H, que representa el esfuerzo de la corriente por establecer un campo magnético
µ, que representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un
material dado
La intensidad del campo magnético se mide en ampere-vueltas por metro, la
permeabilidad en henrys por metro y la densidad de flujo resultante en webers por
metro cuadrado, conocido como teslas (T).
La permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se
denomina permeabilidad relativa:
𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇0
(2.23)
La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de
magnetización de los materiales. Por ejemplo:, los aceros que se utilizan en las
máquinas modernas tienen permeabilidades relativas de 2000 a 6000 o más. Esto
significa que, para una cantidad de corriente dada, en la sección de acero habrá
entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente de aire. (La
permeabilidad del aire es la misma que la del espacio libre.) Los metales que forman
los núcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema
importancia para incrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato.
34
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor
parte del flujo es un núcleo de hierro, como el que parece en la figura 2.3, permanece
dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante, cuya permeabilidad
es mucho más baja. La pequeña cantidad de flujo disperso que abandona el núcleo
de hierro es muy importante para determinar el enlace de flujo entre las bobinas y las
autoinductancias de las bobinas en transformadores y motores.
En un núcleo como el que se muestra en la figura 2.3, la magnitud de la densidad de
flujo está dada por:
𝐵 = 𝜇𝐻 =
Y el flujo total en cierta área está dado por:
𝜇𝑁𝑖
𝑙𝑛
𝜙 = � 𝐵 ∙ 𝑑𝐴
(2.24)
(2.25a)
𝐴
Donde:
Da= Diferencial del área.
Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A y si la
densidad de flujo es constante en toda el área, la ecuación se reduce a:
𝜙 = 𝐵𝐴
(2.25b)
De esta forma, el flujo total en el núcleo de la figura 1.3, producido por la corriente
𝑖 en el devanado, es:
𝜙 = 𝐵𝐴 =
𝜇𝑁𝑖𝐴
𝑙𝑛
(2.26)
35
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Donde:
A= Área de la sección transversal del núcleo.
Circuitos magnéticos
En la ecuación (2.26) se observa que la corriente
en una bobina de alambre
conductor enrollado alrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. Esto
en cierta forma es análogo al voltaje que produce en el circuito eléctrico. Es posible
definir un “circuito magnético” cuyo comportamiento está determinado por
ecuaciones análogas a aquellas establecidas para un circuito eléctrico. Con
frecuencia, el modelo de circuito del comportamiento magnético se utiliza en el
diseño de máquinas y transformadores eléctricos para simplificar el proceso de
diseño, que de otro modo sería muy complejo.
En un circuito eléctrico sencillo como el de la figura 2.4a, la fuente de voltaje V
genera una corriente 𝐼 a lo largo de la resistencia R. La relación entre estas
cantidades está dada por la ley de Ohm;
𝑉 = 𝐼𝑅
En el circuito eléctrico el voltaje o fuerza electromotriz genera el flujo de corriente.
Por analogía, la cantidad correspondiente en el circuito magnético se denomina
fuerza magnetomotriz (fmm). La fuerza magnetomotriz de un circuito magnético es
igual al flujo efectivo de corriente aplicado al núcleo
F = 𝑁𝑖
(2.27)
36
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Donde F es el símbolo de la fuerza magnetomotriz, medida en amperes-vueltas.
En el circuito magnético, al igual que la fuente de voltaje en el circuito eléctrico, la
fuerza magnetomotriz tiene una polaridad asociada a ella. El terminal positivo de la
fuente fmm es el terminal de donde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal
por donde el flujo retorna a la fuente. La polaridad de la fuerza magnetomotriz de una
bobina de alambre puede determinarse mediante la modificación de la regla de la
mano derecha: si la curvatura de los dedos de la mano derecha apunta en la
dirección del flujo de corriente de la bobina, el dedo pulgar apuntará en la dirección
positiva de la fmm (figura 2.5).
Figura 2.4 a) Circuito eléctrico sencillo. b) Circuito magnético análogo para el núcleo del
transformador.
En un circuito eléctrico, el voltaje aplicado ocasiona un flujo de corriente 𝐼. En forma
similar, en un circuito magnético, la fuerza magnetomotriz aplicada ocasiona un flujo
de 𝜙. La relación entre voltaje y corriente en un circuito eléctrico está dada por la ley
de Ohm (V=IR); en forma semejante, la relación entre la fuerza magnetomotriz y el
flujo es:
37
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
F =𝜙r
(2.28)
Donde:
F = fuerza magnetomotriz del circuito
𝜙 = flujo del circuito
R= reluctancia del circuito
La reluctancia de un circuito magnético es el homólogo de la resistencia del circuito
eléctrico y se mide en amperes-vueltas por weber.
Existe también un análogo magnético de la conductancia. Así como la conductancia
en el circuito eléctrico es el inverso de su resistencia, la permeancia P de un circuito
magnético es el inverso de su reluctancia:
P =1/R
(2.29)
La relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo se puede expresar como:
𝜙 =R F
(2.30)
En ciertas circunstancias, es más fácil trabajar con la permanencia del circuito
magnético que con su reluctancia.
38
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 2.5 Determinación de la polaridad de una fuente de fuerza magnetomotriz en un circuito
magnético.
¿Cuál es la reluctancia en el núcleo de la figura 2.3? En este núcleo está dado por la
ecuación (2.26):
𝜙 = 𝐵𝐴 =
𝜇𝑁𝑖𝐴
𝑙𝑛
(2.26)
𝜇𝐴
(2.31)
𝜇𝐴
= 𝑁𝑖 � �
𝑙𝑛
𝜙 = F �𝑙 �
𝑛
39
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Si se conoce la ecuación (2.31) con la ecuación (2.28), se observa que la reluctancia
del núcleo es:
R=
𝑙𝑛
(2.32)
𝜇𝐴
En un circuito magnético las reluctancias obedecen las mismas reglas que las
resistencias en un circuito eléctrico. La reluctancia equivalente de un número de
reluctancias en serie es la suma de las reluctancias individuales:
R eq = R 1 + R 2 +R 3 +…
(2.33)
De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan de acuerdo con la
ecuación:
1/R eq =1/R 1 +1/ R 2 +1/R 3 +…
Las
(2.34)
permeancias en serie y en paralelo obedecen las mismas reglas que las
conductancias eléctricas. Los cálculos de flujo en el núcleo, que se obtienen
utilizando los conceptos del circuito magnético, siempre son aproximaciones (en el
mejor de los casos su aproximación está a ± 5 % del valor real). Existe un buen
número de razones para que ocurra esta inexactitud inherente:
1. El concepto del circuito magnético supone que el flujo está confinado dentro
del núcleo, lo cual no es cierto. La permeabilidad de un núcleo ferromagnético
es de 2000 a 6000 veces la del aire, pero una pequeña fracción del flujo
escapa del núcleo al aire circundante que es de baja permeabilidad. Este flujo
40
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
que sale del núcleo se denomina flujo disperso y es de gran importancia en el
diseño de las máquinas eléctricas.
2. En el cálculo de la reluctancia se supone cierta longitud media y una sección
transversal del núcleo. Esta suposición no es muy adecuada, especialmente
en los ángulos de los núcleos.
3. En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad varía con la cantidad de
flujo que existe desde antes en el material. Este efecto no lineal, que se
describe con detalle más adelante, añade otra fuente de error al análisis del
circuito magnético, puesto que las reluctancias utilizadas en el cálculo del
circuito magnético dependen de la permeabilidad del material.
4. En el supuesto de que el recorrido del flujo en el núcleo existan entrehierros la
sección transversal efectiva del entrehierro será mayor que la del núcleo en
cada lado del entrehierro. La sección extra efectiva se debe al “efecto
marginal” del campo magnético en el entrehierro figura 2.6
Figura 2.6 Efecto marginal de un campo magnético en un entrehierro. Nótese el incremento de la
sección transversal del entrehierro comparada con la sección transversal del metal.
41
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Es posible eliminar parcialmente estas fuentes internas de error si se utilizan una
longitud de recorrido media y una sección transversal “corregidas” o “efectivas”, en
lugar de la longitud física y el área reales obtenidas en los cálculos.
Aunque existen muchas limitaciones inherentes al concepto de circuito magnético,
éste es aún la herramienta más útil disponible para el cálculo de los flujos en el
diseño práctico de las máquinas. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones
de Maxwell es muy difícil, y no es necesario puesto que con el método aproximado
se obtienen resultados satisfactorios.
Comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos
Se indicó que la permeabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy
alta, hasta 6000 veces la permeabilidad del espacio libre, se supuso que la
permeabilidad es constante, independiente de la fuerza magnetomotriz aplicada al
material. Aunque la permeabilidad es constante en el espacio libre, no lo es en el
hierro y en otros materiales ferromagnéticos.
Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material
ferromagnético se aplica una corriente directa al núcleo que se muestra en la figura
2.3, comenzando con cero amperes e incrementándola lentamente hasta la máxima
corriente posible. Cuando se gráfica el flujo producido en el núcleo contra la fuerza
magnetomotriz que lo produce, se obtiene una gráfica como la de la figura 2.7a, la
cual se denomina curva de saturación o curva de magnetización. Al comienzo, un
pequeño incremento en la fuerza magnetomotriz produce un gran aumento en el
flujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza
magnetomotriz, los aumentos en el flujo serán cada vez más pequeños. Finalmente,
42
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
el incremento de la fuerza magnetomotriz casi no produce cambios en el flujo. La
región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama región de saturación, y
se dice que el núcleo está saturado. La región de transición entre las regiones no
saturada y saturada se denomina a veces “rodilla” de la curva. Note que el flujo
producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza magnetomotriz aplicada en la
región no saturada y se aproxima a un valor constante, independiente de la fuerza
magnetomotriz en la región saturada.
Otro diagrama estrechamente relacionado con lo anterior se muestra en la figura
2.7b. Esta figura representa la densidad del flujo magnético B frente a la intensidad
de campo magnético H, y corresponde a las ecuaciones (2.20) y (2.25b),
𝐻=
𝑁𝑖
𝑙𝑛
= F / 𝑙𝑛
𝜙 = 𝐵𝐴
(2.20)
(2.25b)
Es fácil deducir que para un núcleo dado la intensidad del campo magnético es
directamente proporcional a la fuerza magnetomotriz, y que la densidad de flujo
magnético es directamente al flujo. Por tanto, la relación entre B y H es semejante a
la relación entre flujo y la fuerza magnetomotriz. La pendiente de la curva de
densidad de flujo contra la intensidad del campo magnético para cualquier valor de
H, en la figura 2.7b, es por definición la permeabilidad del núcleo a dicha intensidad
del campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es grande y
relativamente constante en la región no saturada, y decrece de manera gradual hasta
un valor muy bajo cuando el núcleo se encuentra muy saturado.
En la figura 2.7c se puede ver con más detalle la curva de magnetización de una
típica pieza de acero, y cuya intensidad del campo magnético está dada en una
43
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
escala logarítmica. La región de saturación de la curva puede detallarse en la gráfica
sólo cuando la intensidad del campo magnético se expresa con logaritmos.
La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético es máquinas eléctricas y
transformadores radica en que al aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene
un flujo mayor que el obtenido en el aire. Sin embargo, si el flujo resultante debe ser
proporcional o aproximadamente proporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada, el
núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de
magnetización.
Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo magnético para
producir el voltaje y el par, se diseñan para producir el máximo flujo posible. Como
resultado, la mayoría de las máquinas reales operan cerca del punto de rodilla de la
curva de magnetización, y en núcleos el flujo no está linealmente relacionado con la
fuerza magnetomotriz que lo produce.
44
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 2.7 a) Curva de magnetización con cc para un núcleo ferromágnetico. b) Curva de
magnetización en términos de densidad de flujo e intensidad de campo magnético. c) Curva de
magnetización detallada para una pieza típica de acero.
Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético
En vez de aplicar una corriente continua a los devanados dispuestos sobre el núcleo,
se aplica una corriente alterna para observar qué ocurre. Dicha corriente se muestra
en la figura 2.8a, suponga que el flujo inicial en el núcleo es cero. Cuando se
incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo sigue la trayectoria ab,
dibujada en la figura 2.8b. Ésta es básicamente la curva de saturación que se
muestra en la figura 2.7. Sin embargo, cuando la corriente decrece, el flujo
45
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
representado en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida cuando la
corriente iba en aumento. Cuando la corriente decrece, el flujo en el núcleo sigue la
trayectoria bcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa de nuevo, el flujo
sigue la trayectoria deb. Nótese que la cantidad de flujo presenta en el núcleo
depende no solo de la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo,
sino también de la historia previa del flujo presente en el núcleo. Esta dependencia
de la historia previa del flujo y el seguir una trayectoria diferente en la curva se
denomina histéresis. La trayectoria bcdeb descrita en la figura 2.8b, que representa
la variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de histéresis.
Figura 2.8 Curva o lazo de histéresis por el flujo en un núcleo cuando se le aplica la corriente 𝑖(𝑡).
46
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Nótese que si primero se aplica al núcleo una fuerza magnetomotriz intensa y luego
se deja de aplicar, la trayectoria del flujo en el núcleo será abc. Cuando se suspende
la fuerza magnetomotriz, el flujo no llega a cero, ya que permanece cierto flujo en el
núcleo, denominado flujo residual (o flujo remanente), el cual es la causa de los
imanes permanentes. Para que el flujo llegue a cero, se debe aplicar al núcleo, en
dirección opuesta, cierta fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz
coercitiva F c.
¿Por qué ocurre la histéresis? Para entender el comportamiento de los materiales
ferromagnéticos es necesario conocer algo acerca de su estructura. Los átomos del
hierro y los de los materiales similares (cobalto, níquel y algunas de sus aleaciones)
tienden a tener sus campos magnéticos fuertemente alineados entre sí. Dentro del
metal hay unas pequeñas regiones llamadas dominios, en las que todos los átomos
se alinean con sus campos magnéticos apuntando en una misma dirección, de modo
que el dominio actúa dentro del material como un pequeño imán permanente. Una
pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida porque los dominios se
encuentran dispuestos al azar en la estructura del material. La figura 2.9 representa
un ejemplo de la estructura de los dominios en un trozo de hierro.
Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de hierro, los dominios
orientados en la dirección del campo exterior crecen a expensas de los dominios
orientados en otras direcciones, debido a que los átomos adyacentes cambian
físicamente su orientación con el campo magnético aplicado. Los átomos
adicionales, alineados con el campo, incrementan el flujo magnético en el hierro, lo
cual causa el alineamiento de más átomos que incrementan la intensidad del campo
magnético. Este efecto de retroalimentación positiva es la causa de que el hierro
adquiera una permeabilidad mayor que el aire.
47
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
A medida que el campo magnético externo se fortalece, dominios completos
alineados en otras direcciones se orientan como una unidad para alinearse con el
campo.
Figura 2.9 a) Dominios magnéticos orientados al azar. b) Dominios magnéticos alineados en
presencia de un campo magnético externo.
Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el hierro se han alineado con
el campo externo, el incremento de la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan
sólo un aumento de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (es decir, cuando
todos los dominios se encuentran alineados, ya no habrá más retroalimentación para
reforzar el campo). En este momento, el hierro estará saturado con el flujo. Ésta es la
situación que se muestra en la región saturada de la curva de magnetización de la
figura 2.7.
La histéresis se produce cuando el campo magnético exterior se suprime, los
dominios no se ubican
de nuevo al azar. ¿Por qué los dominios permanecen
48
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
alineados? Porque los átomos requieren energía para recuperar su posición anterior.
La energía para el alineamiento original la proveyó el campo magnético exterior;
cuando el campo magnético exterior se suprime, no hay una fuente que ayude a que
los dominios regresen a sus posiciones. El trozo de hierro es ahora un imán
permanente.
Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos permanecerán en esa
posición hasta que se les aplique una fuente de energía externa para cambiar su
orientación. Otros ejemplos de fuentes externas de energía que pueden cambiar los
límites entre los dominios o su alineamiento son la fuerza magnetomotriz aplicada en
otras direcciones, un choque mecánico fuerte y el calor. Cualquiera de estos eventos
puede suministrar energía a los dominios para cambiar su alineación (por esta razón,
un imán permanente puede perder su magnetismo si se le deja caer, se le golpea o
se le calienta).
Como se ha visto, para cambiar la posición de los dominios se requiere de energía,
esto origina cierto tipo de pérdidas de energía en todas las máquinas y
transformadores. Las pérdidas por histéresis en el núcleo del hierro corresponden a
la energía que se necesita para reorientar los dominios durante cada ciclo de
corriente alterna aplicada al núcleo. Se puede demostrar que el área comprendida
dentro de la curva de histéresis, la cual se forma al aplicar corriente alterna, es
directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo dado de corriente alterna.
Cuanto menores sean las variaciones de la fuerza magnetomotriz aplicada al núcleo,
el área de la cuerva será menor y serán más pequeñas las pérdidas resultantes. Este
hecho se muestra en la figura 2.10.
En este momento deben mencionarse otro tipo de pérdidas, causadas también por la
variación del flujo en el núcleo: las pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se
49
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
explicarán posteriormente, una vez que se haya presentado la ley de Faraday. Las
pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas ocasionan calentamiento en los
núcleos y se deben tener en cuenta en el diseño de cualquier máquina o
transformador. Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metal del núcleo, se
agrupan bajo el nombre de pérdidas en el núcleo.
Figura 2.10 Efecto del tamaño de las variaciones de la fuerza magnetomotriz en la magnitud de las
pérdidas por histéresis.
2.3 LEY DE FARADAY: VOLTAJE INDUCIDO POR UN CAMPO MAGNÉTICO
VARIABLE.
Hasta aquí la atención se ha enfocado en la producción de un campo magnético y
sus propiedades. Ahora se examinará cómo un campo magnético puede afectar sus
alrededores.
50
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
El primer gran efecto que debe considerarse es la ley de Faraday, base del
funcionamiento del transformador. La ley de Faraday establece que si un flujo
atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje
directamente proporcional a la, tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo. Esto
se expresa mediante la ecuación:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = −
Donde=
𝑑𝜙
𝑑𝑡
(2.35)
𝑒𝑖𝑛𝑑 = Voltaje inducido en la espira.
𝜙= Flujo que atraviesa la espira.
Si una bobina tiene N vueltas y el mismo flujo pasa a través de todas ellas el voltaje
inducido en toda la bobina está dado por:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = −𝑁
𝑑𝜙
𝑑𝑡
(2.36)
Donde:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = voltaje inducido en la bobina
N= número de vueltas de alambre en la bobina
𝜙 =flujo que circula en la bobina
El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de Lenz, la cual establece
que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta
estuvieran en corto circuito, se produciría en ella una corriente que generaría un flujo
51
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
opuesto al flujo inicial. Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo
produce u origina, se incluye un signo menos en la ecuación (2.36). Para comprender
con claridad este concepto, observe la figura 2.11. Si el flujo que se muestra en la
figura se incrementa, el voltaje que se forma en la bobina tenderá a crear un flujo que
se opone a este incremento. Una corriente que fluya como se muestra en la figura
2.11b producirá ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado en la
bobina debe tener la polaridad adecuada para dirigir esta corriente hacia el circuito
externo. Entonces, el voltaje deberá formarse con la polaridad indicada en la figura.
Puesto que la polaridad del voltaje puede deducirse del análisis físico, el signo
menos de las ecuaciones (2.35) y (2.36) se omite frecuentemente, y así se hará en el
resto del libro.
Utilizar la ecuación (2.36) en la práctica presenta una gran dificultad, puesto que
establece que hay exactamente la misma cantidad de flujo en cada espira de la
bobina. Por desgracia, esto no es verdad debido al flujo que se dispersa en los
alrededores de la bobina. Si las espiras están estrechamente ligadas, de modo que
la mayor parte del flujo que circula en una espira también circula en las demás, la
ecuación (2.36) dará respuestas válidas. Pero si la dispersión es significativa o si se
requiere la máxima exactitud, se necesitará una expresión diferente que no suponga
tal hecho. La magnitud del voltaje en la i-ésima espira de la bobina está dada
siempre por:
𝑒𝑖𝑛𝑑 =
𝑑(𝜙𝑖 )
𝑑𝑡
(2.37)
Si hay N espiras en la bobina, el voltaje total en ésta es:
𝑁
𝑒𝑖𝑛𝑑 = � 𝑒𝑖
𝑖=1
(2.38)
52
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝑁
=�
𝑖=1
𝑑(𝜙𝑖 )
𝑑𝑡
(2.39)
𝑁
𝑑
= (� 𝜙𝑖 )
𝑑𝑡
𝑖=1
(2.40)
Figura 2.11 Significado de la ley de Lenz. a) Una bobina encierra un flujo magnético creciente. b)
Determinación de la polaridad del voltaje resultante.
Él término entre paréntesis en la ecuación (2.40) se denomina flujo concatenado (o
flujo ligado) 𝜆 de la bobina, en términos de este flujo, la ley de Faraday puede
reescribirse como:
𝑒𝑖𝑛𝑑 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
(2.41)
53
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Donde:
𝑁
𝜆 = � 𝜙𝑖
𝑖=1
(2.42)
El flujo concatenado se mide en webers-vuelta.
La ley de Faraday es la propiedad fundamental de los campos magnéticos que
intervienen en la operación de los transformadores. El efecto de la ley de Lenz se
emplea para predecir la polaridad de los voltajes inducidos en los devanados del
transformador.
La ley de Faraday también explica las pérdidas debidas a las corrientes parásitas ya
mencionadas. Un flujo variable en el tiempo induce voltaje dentro de un núcleo
ferromagnético de la misma forma que lo haría en un alambre conductor enrollado
alrededor del mismo núcleo. Estos voltajes causan flujos de corrientes que circulan
en el núcleo, similares a los remolinos que se observan desde la orilla de un río; por
esta razón reciben también el nombre de corrientes de remolino. Estas corrientes
parásitas disipan energía, puesto que fluyen en un medio resistivo (el hierro del
núcleo). La energía disipada se convierte en calor en el núcleo.
La cantidad de energía disipada por las corrientes parásitas es proporcional a la
distancia de los caminos que recorren dentro del núcleo. Por esta razón, se
acostumbra cortar en delgadas tiras o laminas el núcleo ferromagnético que pudiera
estar sujeto al flujo alterno, y construir el núcleo con estas tiras. Para limitar los
caminos de las corrientes parásitas a áreas muy pequeñas, se utilizan óxidos o
resinas aislantes entre las diferentes láminas. Debido a que las capas aislantes son
extremadamente delgadas, reducen la acción de las corrientes parásitas con poco
efecto sobre las propiedades magnéticas del núcleo. Las corrientes parásitas reales
54
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
son proporcionales al cuadrado del grosor de las láminas, así que se tiene un fuerte
incentivo para hacer las láminas tan delgadas como sea económicamente posible.
2.4 PRODUCCIÓN DE FUERZA INDUCIDA EN UN ALAMBRE
Un segundo efecto importante que produce a su alrededor un campo magnético es el
que induce una fuerza sobre un alambre conductor que porta corriente y se
encuentra dentro del campo. El concepto básico involucrado se ilustra en la figura
2.12, que muestra un conductor dentro de un campo magnético uniforme de
densidad de flujo B (el cual puede verse que apunta hacia dentro de la página). El
conductor mide 𝑙 metros y porta una corriente de 𝑖 amperes. La fuerza inducida sobre
el conductor está dada por.
𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)
(2.43)
Donde:
𝑖= magnitud de la corriente en el alambre
𝑙= longitud del alambre, con la dirección de 𝑙 definida como la dirección del flujo de
corriente
B= vector de densidad de flujo magnético
La dirección de la fuerza está dada por la regla de la mano derecha: si el dedo índice
de la mano derecha apunta en la dirección del vector 𝑙 y el dedo medio apunta en la
dirección del vector de densidad de campo B, entonces el dedo pulgar apuntara en
55
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
dirección de la fuerza resultante sobre el alambre. La magnitud de esta fuerza está
dada por la ecuación:
𝐹 = 𝑖𝑙𝐵 sin 𝜃
(2.44)
Donde:
𝜃 = Ángulo comprendido entre el alambre y el vector de densidad de flujo.
Figura 2.12 Un alambre que porta corriente en presencia de un campo magnético.
La inducción de una fuerza en un alambre conductor que porta corriente en
presencia de un campo magnético es la base de la acción motor. Casi todo tipo de
motor se basa en este principio básico para las fuerzas y pares que lo mueven.
56
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
2.5 VOLTAJE INDUCIDO EN UN CONDUCTOR QUE SE MUEVE EN UN
CAMPO MAGNÉTICO
Hay una tercera forma importante de interacción entre un campo magnético y su
alrededor. Si un alambre conductor orientado de manera adecuada se desplaza a
través de un campo magnético, se induce un voltaje en aquél. Esta idea se ilustra en
la figura 2.13. El voltaje inducido en el alambre está dado por:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = (𝑣 × 𝐵) ∙ 𝑙
(2.45)
Donde:
𝑣= velocidad del alambre
B= vector de densidad de flujo
𝑙 = longitud del conductor en el campo magnético
El vector 𝑙 apunta hacia el extremo del alambre que forma el ángulo más pequeño
con respecto al vector 𝑣 × 𝐵.
57
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 2.13 Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético.
La inducción de voltaje en un alambre conductor que se mueve dentro de un campo
magnético es el fundamento de la operación de todo tipo de generadores. Por esta
razón, se le llama acción generador.
2.6 MATERIALES MAGNÉTICOS Y SUS PROPIEDADES.
Hagamos un experimento con una bobina cilíndrica de longitud 𝐿 – a la que
generalmente se llama solenoide- , que lleva una corriente 𝐼, como se muestra en la
figura 2.13a. La densidad del flujo magnético en el centro del solenoide es el doble
de aquél en cualquiera de los extremos, como se ilustra en la figura 2.13b. Si se
colocan pequeñas muestras de diversas sustancias dentro de este campo, se
encontrará que la fuerza magnética que experimentan alcanza un máximo cerca de
los extremos del solenoide, en donde el gradiente, 𝑑𝐵𝑍 /𝑑𝑧, es considerable. A fin de
58
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
continuar el experimento, supongamos que siempre se coloca la muestra en el
extremo superior del solenoide y se observa la fuerza que éste experimenta. En
consecuencia, nuestras observaciones revelan que la fuerza sobre una sustancia
específica es proporcional a la masa de la muestra e independiente de su forma,
siempre que el tamaño de la muestra no sea demasiado grande. También se observa
que algunas muestras resultan atraídas hacia la región del campo más intenso y que
otras son repelidas.
Materiales diamagnéticos
Las sustancias que experimentan una fuerza débil de repulsión se llaman
diamagnéticas. A partir de nuestro experimento se encontró que son materiales
diamagnéticos el bismuto, la plata y el cobre.
La permeabilidad del materiales diamagnético es ligeramente menor que la del vacío,
en la tabla 2.1 se indican las permeabilidades de algunos materiales diamagnéticos.
Tabla 2.1. Permeabilidades relativas de algunos materiales
diamagnéticos.
Material
Permeabilidad relativa
Bismuto
0.999 981
Berilio
0.999 987
Cobre
0.999 991
Metano
0.999 969
Plata
0.999 980
Agua
0.999 991
59
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Materiales paramagnéticos
Nuestro experimento también reveló que existen sustancias que experimentan una
fuerza de atracción. Las sustancias que son jaladas hacia el centro del solenoide con
una
fuerza
débil
se
denominan
paramagnéticas.
Estas
sustancias
tienen
permeabilidades ligeramente mayores que la del vacío. En la tabla 2.2 se enumeran
las permeabilidades relativas de algunos materiales paramagnéticos.
Tabla 2.2. Permeabilidades relativas de algunos materiales
paramagnéticos.
Material
Permeabilidad relativa
Aire
1.000 304
Aluminio
1.000 023
Oxígeno
1.001 330
Manganeso
1.000 124
Paladio
1.000 800
Platino
1. 000 014
Como la fuerza que experimentan las sustancias paramagnéticas o diamagnéticas es
muy débil, con fines prácticos podemos agrupar y referirnos a ellas como materiales
no magnéticos. Es una práctica común suponer que la permeabilidad de todos los
materiales no magnéticos es la misma que la del vacío. Estos materiales no tienen
uso práctico en la construcción de circuitos magnéticos.
60
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Materiales ferromagnéticos
En el experimento antes mencionado,
las sustancias como el fierro resultaron
literalmente succionadas por la fuerza de atracción magnética. Tales sustancias
reciben el nombre de ferromagnéticas. La fuerza de atracción magnética que
experimenta un material ferromagnético puede llegar a ser 5000 veces mayor que la
experimentada por un material paramagnético.
61
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
CAPITULO III
PRINCIPIOS BASICOS DE LAS MÁQUINAS DE CORRIENTE
ALTERNA
3.1 VOLTAJE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CA
De la misma manera que un conjunto de corrientes trifásicas en un estator puede
producir un campo magnético giratorio, un campo magnético giratorio puede producir
un conjunto de voltajes trifásicos en las bobinas de un estator. En esta sección se
desarrollan las ecuaciones que rigen el voltaje inducido en un estator trifásico. Para
facilitar este desarrollo, se comenzará por estudiar una sola bobina de una sola
vuelta y los resultados obtenidos se extenderán a un estator trifásico más general.
Voltaje inducido en la bobina de un estator bipolar
La figura 3. 1 muestra un rotor giratorio con un campo magnético distribuido
senoidalmente en el centro de una bobina estacionaria. Se asumirá que la magnitud
del vector densidad de flujo B en el entrehierro entre el rotor y el estator varía
senoidalmente con un ángulo mecánico, mientras que la dirección de B siempre se
dirige radialmente hacia afuera. Este tipo de distribución de flujo es el ideal al que
aspiran los diseñadores de máquinas. Si α es el ángulo medido desde la dirección de
la densidad de flujo pico del rotor, entonces la magnitud del vector de densidad de
flujo B en un punto alrededor del rotor es:
𝐵 = 𝐵𝑀 cos 𝛼
(3.1a)
62
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Nótese que en algunos lugares alrededor del entrehierro, el vector de densidad de
flujo en realidad apuntará hacia dentro del rotor; en estos lugares el signo de la
ecuación (3.1a) es negativo. Debido a que el rotor gira dentro del estator con una
velocidad angular de 𝜔𝑚 , la magnitud del vector de densidad de flujo B en cualquier
ángulo α alrededor del estator será:
𝐵 = 𝐵𝑀 cos(𝜔𝑡 − 𝛼)
(3.1b)
La ecuación para obtener el voltaje inducido en un alambre es:
Donde:
𝑒 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍
(2.45)
v=velocidad del alambre en relación con el campo magnético
B=vector de densidad de flujo magnético
L=longitud del conductor en el campo magnético
Sin embargo, esta ecuación se dedujo para el caso de un alambre en movimiento en
un campo magnético estacionario. Pero para este otro caso, el alambre es
estacionario y el campo magnético está en movimiento, por lo que la ecuación
no se puede aplicar directamente. Para utilizarla, se debe tener un marco de
referencia en donde el campo magnético parezca estacionario. “Situándose”
en el campo magnético de manera que el campo parezca estacionario,
entonces parecerá que los lados de la bobina tienen una velocidad aparente
𝑣𝑟𝑒𝑙 , y se puede aplicar la fórmula. La figura 3.15b muestra el vector del campo
magnético y las velocidades desde el punto de vista de un campo magnético
estacionario y un alambre en movimiento.
63
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
El voltaje total inducido en la bobina es la suma de los voltajes inducidos en cada uno
de sus cuatro lados. A continuación se determinan estos voltajes:
1. Segmento ab. En el segmento ab, 𝛼=180°. Asumiendo que B está dirigido
radialmente hacia fuera del rotor, el ángulo entre v y B en el segmento ab es
de 90°, mientras que la cantidad 𝒗 × 𝑩 sigue la dirección de 𝒍, por lo que:
𝑒𝑏𝑎 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍
= 𝑣𝐵𝑙
𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎
= 𝑣[𝐵𝑀 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°)]𝑙
= 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°)
(3.2)
Donde el signo de menos de debe a que el voltaje se acumula con una polaridad
opuesta a la polaridad supuesta.
2. Segmento bc. El voltaje en el segmento bc es cero, debido a que la cantidad
vectorial 𝒗 × 𝑩 es perpendicular a 𝒍, por lo que:
𝑒𝑐𝑏 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍 = 0
(3.3)
3. Segmento cd. En el segmento cd, el ángulo 𝛼 = 0°. Asumiendo que B está
dirigida radialmente hacia fuera del rotor, el ángulo entre 𝒗 y B en el segmento
cd es de 90°, mientras que la cantidad 𝒗 × 𝑩 sigue la dirección de 𝒍, por lo
que:
64
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝑒𝑐𝑏 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍
= 𝑣𝐵𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎
= 𝑣(𝐵𝑀 cos 𝜔𝑚 𝑡)𝑙
= 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡
(3.4)
4. Segmento da. El voltaje en el segmento da es cero, debido a que la cantidad
vectorial 𝒗 × 𝑩 es perpendicular a 𝒍, por lo que:
𝑒𝑎𝑑 = (𝒗 × 𝑩) ∙ 𝒍 = 0
(3.5)
Figura 3.1 a) Campo magnético del rotor dentro de una bobina estatórica
estacionaria. Detalle de la bobina.
65
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 3.1 b) Vectores de densidad de flujo magnético y de velocidad a los lados de la bobina. Las
velocidades se muestran desde un marco de referencia en el cual el campo magnético es
estacionario. c) Distribución de densidad de flujo en el entrehierro.
Por lo tanto, el voltaje total en la bobina será de:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑒𝑏𝑎 + 𝑒𝑑𝑐
= −𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos(𝜔𝑚 𝑡 − 180°) + 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡
(3.6)
Debido a que cos 𝜃 = − cos(𝜃 − 180°),
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡 + 𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡
= 2𝑣𝐵𝑀 𝑙 cos 𝜔𝑚 𝑡
(3.7)
66
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Por último, el flujo que pasa a través de la bobina se puede expresar como
𝜙 = 2𝑟𝑙𝐵𝑚 , mientras que 𝜔𝑚 = 𝜔𝑒 = 𝜔 en un estator bipolar, por lo que el voltaje se
puede expresar como:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝜙𝜔 cos 𝜔𝑡
(3.8)
La ecuación (3.8) describe el voltaje inducido en una bobina de una sola vuelta. Si la
bobina en el estator tiene 𝑁𝐶 vueltas de alambre, entonces el voltaje inducido total en
la bobina es:
𝑒𝑖𝑛𝑑 = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 cos 𝜔𝑡
(3.9)
Nótese que el voltaje producido en el estator del devanado de esta máquina de ca
sencilla es senoidal con una amplitud que depende del flujo 𝜙 en la máquina, de la
velocidad angular 𝜔 del rotor y de una constante que depende de la construcción de
la máquina (𝑁𝐶 en este caso sencillo).
Nótese que la ecuación (3.9) contiene el término cos 𝜔𝑡, el cual se encuentra en otras
ecuaciones de este capítulo. El término del coseno no tiene ningún significado
especial si se compara con el término del seno, es resultado de nuestra elección en
cuanto a la dirección de referencia para 𝛼 en este desarrollo. Si la dirección de
referencia de 𝛼 girara 90°, se hubiera utilizado el término sin 𝜔𝑡.
67
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Voltaje inducido en un grupo de bobinas trifásico
Si se colocan tres bobinas, cada una con 𝑁𝐶 vueltas, alrededor del campo magnético
del rotor, como se muestra en la figura 3.2, entonces los voltajes inducidos en cada
una de ellas será igual en magnitud pero la diferencia de fase será de 120°. Los
voltajes resultantes en cada una de estas tres bobinas son:=
𝑒𝑎𝑎´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin 𝜔𝑡
𝑉
𝑒𝑏𝑏´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin(𝜔𝑡 − 120°)
𝑒𝑏𝑏´ (𝑡) = 𝑁𝐶 𝜙𝜔 sin(𝜔𝑡 − 240°)
(3.10a)
𝑉
𝑉
(3.10b)
(3.10c)
Por lo tanto, un conjunto de bobinas trifásico puede generar un campo magnético
giratorio uniforme en el estator de una máquina y un campo magnético giratorio
uniforme puede generar un conjunto de voltajes trifásicos en tal estator.
Voltaje rms en un estator trifásico
El voltaje pico en cualquier fase de un estator trifásico de este tipo es:
𝐸𝑚á𝑥 = 𝑁𝐶 𝜙𝜔
(3.11)
Debido a que 𝜔 = 2𝜋𝑓, esta ecuación también se puede escribir así:
𝐸𝑚á𝑥 = 2𝜋𝑁𝐶 𝜙𝑓
(3.12)
68
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Por lo tanto, el voltaje rms en cualquier fase de este estator trifásico es:
2𝜋
𝑁𝐶 𝜙𝑓
(3.13)
𝐸𝐴 = √2𝑁𝐶 𝜙𝑓
(3.14)
𝐸𝐴 =
√2
El voltaje rms en los terminales de la máquina depende de si el estator tiene una
conexión en Y o en Δ. Si la máquina tiene una conexión en Y, entonces el voltaje del
terminal será √3 veces 𝐸𝐴 ; si la máquina tiene una conexión en Δ, entonces el voltaje
del terminal será igual a 𝐸𝐴 .
Figura 3.2 Producción de voltajes trifásicos con bobinas espaciadas 120°.
69
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
3.2 PAR INDUCIDO EN UNA MÁQUINA DE CA
En las máquinas de ca, bajo condiciones normales de operación, hay dos campos
magnéticos; un campo magnético por el circuito del rotor y otro campo magnético por
el circuito del estator. La interacción entre estos dos campos magnéticos produce un
par en la máquina, de la misma manera que la cercanía de dos imanes permanentes
generan un par que los alinea.
La figura 3.3 muestra una máquina de ca simplificada con una distribución senoidal
de flujo del estator que tiene su pico en la dirección que apunta hacia arriba y una
bobina de alambre simple montada sobre el rotor. La distribución del flujo del estator
en esta máquina es:
Donde:
𝐵𝑆 (𝛼) = 𝐵𝑆 sin 𝛼
(3.15)
𝐵𝑆 = Magnitud de densidad de flujo pico.
𝐵𝑆 (𝛼) = Es positivo cuando el vector de densidad de flujo apunta radialmente hacia
fuera de la superficie del rotor hacia la superficie del estator.
¿Cuál es el valor del par producido en el rotor de esta máquina de ca simplificada?
Para encontrar la respuesta se deben de analizar la fuerza y el par en cada uno de
los conductores por separado.
70
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
La fuerza inducida en el conductor 1 es:
𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)
(2.43)
= 𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
El par en el conductor es:
𝜏𝑖𝑛𝑑,1 = (𝑟 × 𝐹)
= 𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗
La fuerza inducida en el conductor 2 es:
𝐹 = 𝑖(𝑙 × 𝐵)
(2.43)
= 𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
El par en el conductor es:
𝜏𝑖𝑛𝑑,1 = (𝑟 × 𝐹)
= 𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗
Por lo tanto, el par en la espira del rotor es:
𝜏𝑖𝑛𝑑,1 =2𝑟𝑖𝑙𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗
(3.16)
71
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
La ecuación (3.16) se puede expresar de manera más conveniente si se examina la
figura 3.4 y se resaltan dos aspectos:
Figura 3.3 Máquina ac simplificada con distribución sinusoidal del flujo del estator y una bobina
sencilla de alambre montada en el rotor.
72
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 3.4 Campo magnético en una espira del rotor.
1. La corriente 𝑖 que fluye en la bobina del rotor produce su propio campo
magnético. La dirección del pico de este campo magnético se obtiene por
medio de la regla de la mano derecha y la magnitud de su intensidad de
magnetización 𝑯𝑅 es directamente proporcional a la corriente que fluye en el
rotor:
𝐻𝑅 = 𝐶𝑖
(3.17)
Donde:
𝐶= Constante de proporcionalidad.
73
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
2. El ángulo entre el pico de la densidad de flujo del estator 𝑩𝑆 y el pico de la
intensidad de magnetización del rotor 𝑯𝑅 es 𝛾. Además,
𝛾 = 180° − 𝛼
sin 𝛾 = sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼
(3.18)
(3.19)
Al combinar estas dos observaciones, el par en la espira se puede expresar como:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝐻𝑅 𝐵𝑆 sin 𝛼 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗
(3.20)
Donde:
𝐾= Constante que depende de la construcción de la máquina. Nótese que tanto la
magnitud como la dirección del par se pueden expresar por medio de la ecuación:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝐻𝑅 × 𝐵𝑆
(3.21)
Por último, debido a que 𝐵𝑅 = 𝜇𝑯𝑅 , esta ecuación también se puede expresar como:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑆
(3.22)
Donde 𝑘 = 𝐾/𝜇. Nótese que en general 𝑘 no será constante debido a que la
permeabilidad magnética 𝜇 varía de acuerdo con la cantidad de saturación magnética
en la máquina.
74
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
El campo magnético neto en esta máquina es la suma vectorial de los campos del
rotor y del estator (si no hay saturación):
𝐵𝑛𝑒𝑡 = 𝐵𝑅 + 𝐵𝑆
(3.23)
Este hecho se puede utilizar para producir una expresión equivalente (y a menudo
más útil) del par inducido en la máquina. De la ecuación (3.22)
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑆
(3.22)
Pero, de la ecuación (3.23),𝐵𝑆 = 𝐵𝑛𝑒𝑡 − 𝐵𝑅 , por lo que:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × (𝐵𝑛𝑒𝑡 − 𝐵𝑅 )
= 𝑘(𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡 ) − 𝑘(𝐵𝑅 × 𝐵𝑅 )
Debido a que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, esta
ecuación se reduce a:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡
(3.24)
Por lo que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero, esta ecuación
se reduce a:
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 𝐵𝑛𝑒𝑡 sin 𝛿
(3.25)
75
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Donde:
𝛿 = Ángulo entre 𝐵𝑅 y 𝐵𝑛𝑒𝑡 .
Las ecuaciones (3.22) y (3.25) se utilizarán para desarrollar la comprensión
cualitativa del par en las máquinas ca. Por ejemplo, observando la máquina síncrona
simple de la figura 3.5, en la cual los campos magnéticos giran en sentido contrario a
las manecillas del reloj. ¿Cuál es la dirección del par sobre el eje del rotor de la
máquina? Si se aplica la regla de la mano derecha a la ecuación (3.22) o (3.24), se
encuentra que el par inducido tiene la dirección de las manecillas del reloj o la
dirección opuesta a la rotación del rotor. Por lo tanto, esta máquina debe estar
actuando como generador.
Figura 3.5 Máquina síncrona simplificada que muestra los campos magnéticos del rotor y el estator.
76
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
3.3 AISLAMIENTO DEL DEVANADO EN UNA MÁQUINA DE CA
Una de las etapas más críticas del diseño de máquinas de ca es el aislamiento de
sus devanados. Si falla el aislamiento de un motor o generador, la máquina entra en
cortocircuito. Una reparación de este tipo es muy costosa, si es que es posible. Para
prevenir la falla del aislamiento del devanado por sobrecalentamiento es necesario
limitar la temperatura en los devanados. Esto se puede lograr parcialmente mediante
la circulación de aire frío sobre los devanados, pero a fin de cuentas la temperatura
máxima del devanado limita la potencia máxima que la máquina puede suministrar
continuamente.
El aislamiento raras veces falla como consecuencia inmediata de una temperatura
crítica. En cambio, el incremento en la temperatura produce un deterioro gradual del
aislamiento, haciéndolo susceptible de fallar por otras causas como golpes,
vibraciones o fatiga eléctrica. Una vieja regla práctica dice que la esperanza de vida
de un motor con determinado tipo de aislamiento se reduce a la mitad por cada 10%
de aumento en la temperatura sobre la temperatura nominal del devanado. Hasta
cierto punto, esta regla aún es válida.
Para establecer en Estados Unidos un estándar de los límites de temperatura del
aislamiento de la máquina, la National Electrical Manufacturers Association (NEMA)
definió una serie de clases de sistemas de aislamiento. Cada clase de sistema de
aislamiento especifica el aumento de temperatura máximo para esa clase de
aislamiento. Hay tres clases comunes de aislamiento de NEMA para motores de ca
de caballaje entero B, F y H. Cada una de ellas representa una temperatura
permisible en el devanado del inducido a temperatura ambiente para un tipo de motor
de inducción de ca que opera continuamente debe estar limitado a 80°C para el
aislamiento clase B, a 105°C para clase F y a 125°C para clase H.
77
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
El efecto de la temperatura de operación en la vida del aislamiento de una máquina
regular puede ser realmente perjudicial.
Las especificaciones de temperatura particulares para cada tipo de motores y
generadores de ca se muestran con detalle en la norma NEMA Standard MGI-1993,
Motors and Generators. La International Electrotechnical Commission (IEC) ha
definido varias normas similares, así como también lo han hecho varias
organizaciones de regulación nacional en otros países.
3.4 FLUJO DE POTENCIA Y PÉRDIDAS EN MÁQUINAS DE CA
Los generadores de ca toman potencia mecánica y producen potencia eléctrica,
mientras que los motores de ca toman potencia eléctrica y producen potencia
mecánica. En ambos casos, no toda la potencia de entrada alas máquina se
transforman en forma útil en el otro extremo; siempre hay pérdidas asociadas con el
proceso.
La eficiencia de una máquina de ca se define por medio de la ecuación:
𝜂=
𝑃𝑠𝑎𝑙
× 100%
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟
(3.26)
La diferencia entre la potencia de entrada y la potencia de salida de una máquina son
las pérdidas que se presentan dentro de ella. Por lo tanto,
78
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝜂=
Pérdidas en máquinas de ca
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟 − 𝑃𝑝é𝑟𝑑
× 100%
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟
(3.27)
Las pérdidas que se presentan en las máquinas de ca se pueden dividir en cuatro
categorías básicas:
1. Pérdidas eléctricas o pérdidas en el cobre (pérdidas 𝐼 2 𝑅)
2. Pérdidas en el núcleo
3. Pérdidas mecánicas
4. Pérdidas dispersas o adicionales
PÉRDIDAS ELÉCTRICAS O PÉRDIDAS EN EL COBRE. Las pérdidas en el cobre
son pérdidas por calentamiento resistivo que se presentan en los devanados del
estator (inducido) y del rotor (campo) de la máquina. Las pérdidas de cobre en el
estator (PCE, por sus siglas en inglés) en una máquina de ca trifásica están dadas
por la ecuación:
Donde:
𝑃𝑃𝐶𝐸 = 3𝐼𝐴2 𝑅𝐴
(3.28)
𝐼𝐴 = Corriente que fluye en cada fase del inducido.
𝑅𝐴 = Resistencia de cada fase del inducido.
79
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Las pérdidas de cobre en el rotor (PCR) de una máquina de ca síncrona están dadas
por:
Donde:
𝑃𝑃𝐶𝑅 = 𝐼𝐹2 𝑅𝐹
(3.29)
𝐼𝐹 = Corriente que fluye en el devanado de campo en el rotor.
𝑅𝐹 = Resistencia del devanado de campo.
Normalmente, la resistencia que se utiliza en estos cálculos es la resistencia del
devanado a una temperatura normal de operación.
PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO. Las pérdidas en el núcleo son las pérdidas por
histéresis y por corrientes parásitas que se presentan en el metal del motor. Estas
pérdidas varían conforme al cuadrado de la densidad de flujo (𝐵 2) y, en el estator,
conforme a la 1.5ava potencia de la velocidad de rotación de los campos magnéticos
(𝑛1.5 ).
PÉRDIDAS MECÁNICA. Las pérdidas mecánicas en una máquina de ca son las
pérdidas asociadas con los efectos mecánicos. Hay dos tipos básicos de pérdidas
mecánicas: fricción y rozamiento con el aire. Las pérdidas por fricción son causadas
por la fricción en los cojinetes de las máquinas, mientras que las pérdidas por
rozamiento con el aire son causadas por la fricción entre las partes móviles de la
máquina y el aire dentro de la caja del motor. Estas pérdidas varían conforme al cubo
de la velocidad de rotación de la máquina.
80
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
A menudo, las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el núcleo de una máquina se
agrupan bajo el nombre de pérdidas rotacionales sin carga de la máquina. En vacío
toda la potencia de entrada se debe utilizar para superar estas pérdidas. Por lo tanto,
la medida de la potencia de entrada al estator de una máquina de ca que actúa como
motor en vacío representa el valor aproximado de estas pérdidas.
PÉRDIDAS DISPERSAS (PÉRDIDAS MISCELÁNEAS). Las pérdidas dispersas son
pérdidas que no se pueden ubicar en ninguna de las categorías anteriores. Sin
importar qué tanta precisión se tenga en considerar las pérdidas, siempre hay
algunas que se escapan de las categorías anteriores. Todas estas pérdidas se
agrupan en las pérdidas dispersas. Convencionalmente, en la mayoría de las
máquinas, las pérdidas dispersas se toman como 1% de la plena carga.
Diagrama de flujo de potencia
Una de las técnicas más convenientes de considerar las pérdidas de potencia en una
máquina es el diagrama de flujo de potencia. En la figura 3.6a se muestra el
diagrama de flujo de potencia de un generador de ca. En esta figura, se suministra
potencia mecánica a la máquina y luego se restan las pérdidas dispersas, las
pérdidas mecánicas y las pérdidas en el núcleo. Una vez que se han restado estas
pérdidas, en situaciones ideales, la potencia restante se convierte de potencia
mecánica a eléctrica en el punto llamado 𝑃𝐶𝑂𝑁𝑉 . La potencia mecánica que se
convierte es igual a:
𝑃𝐶𝑂𝑁𝑉 = 𝜏𝑖𝑛𝑑 𝜔𝑚
(3.30)
y se produce la misma cantidad de potencia eléctrica. Sin embargo, está no es la
potencia que está presente en los terminales de la máquina. Antes de llegar a los
terminales, se deben restar las pérdidas eléctricas 𝐼 2 𝑅.
81
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
En el caso de los motores ca, este diagrama de flujo de potencia simplemente se
invierte como se muestra en la figura 3.6.b
.
Figura 3.6 a) Diagramas de flujo de potencia en un generador ca trifásico. b) Diagrama de flujo de
potencia en un generador ca trifásico.
82
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
3.5 CONSTRUCCIÓN DE GENERADORES SÍNCRONOS
En un generador síncrono se aplica una corriente de cd al devanado del rotor, la cual
produce un campo magnético en el rotor. Enseguida, el rotor del generador gira
mediante un motor primario, y produce un campo magnético giratorio dentro de la
máquina. Este campo magnético giratorio induce un conjunto de voltajes trifásicos
dentro de los devanados del estator del generador.
Dos términos que se utilizan comúnmente para describir los devanados de una
máquina son devanados de campo y devanados del inducido. En general, el término
“devanados de campo” se aplica a los devanados que producen el campo magnético
principal en la máquina y el término “devanados del inducido” se aplica a los
devanados donde se induce el voltaje en el voltaje principal. En las máquinas
síncronas, los devanados de campo están en el rotor, por lo que los términos
“devanados del rotor” y “devanados de campo” se utilizan indistintamente. De
manera similar, los términos “devanados del estator” y “devanados del inducido” se
utilizan indistintamente.
El rotor de un generador síncrono es en esencia un electroimán grande. Los polos
magnéticos en el rotor pueden ser tanto salientes como no salientes. El término
salientes significa “proyectado” hacia “afuera” o “prominente” y un polo saliente es un
polo magnético proyectado hacia afuera de la superficie del rotor. Por otro lado, un
polo no saliente es un polo magnético construido al mismo nivel de la superficie del
rotor. En la figura 3.7 se muestra un rotor de polos no salientes y en la figura 3.8 se
puede ver un rotor de polos salientes. Por lo general, los rotores de polos no
salientes se utilizan para rotores de dos o cuatro polos, mientras que los rotores de
polos salientes normalmente se usan para rotores con cuatro o más polos. Debido a
83
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
que el rotor está sujeto a campos magnéticos variables, éste se construye con
láminas delgadas para reducir las pérdidas por corrientes parásitas.
Figura 3.7 Rotor de polos no salientes en una máquina sincrónica.
Figura 3.8 Rotor de seis polos salientes en máquina sincrónica.
Se debe suministrar una corriente de cd al circuito de campo del rotor. Puesto que el
rotor está girando, se requiere de un arreglo especial para que la potencia cd llegue a
84
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
los devanados de campo. Existen dos formas comunes de suministrar esta potencia
cd:
1. Suministrar al rotor la potencia de cd desde una fuente externa cd por medio
de anillos rozantes y escobillas.
2. Suministrar la potencia cd desde una fuente de potencia cd especial montada
directamente en el eje del generador síncrono.
Los anillos rozantes son anillos de metal que circundan por completo el eje de una
máquina, pero se encuentran aislados de él. Un extremo del devanado del rotor cd
está unidos a cada uno de los dos anillos rozantes en el eje de la máquina síncrona y
una escobilla estacionaria se desliza sobre cada anillo rozante. Una “escobilla” es un
bloque de un compuesto de carbón parecido al grafito que conduce electricidad
libremente pero tiene una fricción muy baja, por lo que no desgasta al anillo rozante.
Si el extremo positivo de una fuente de voltaje cd se conecta a una escobilla y el
extremo negativo se conecta a la otra, entonces se aplicará el mismo voltaje cd al
devanado de campo en todo momento, sin importar la posición angular o velocidad
del rotor.
Los anillos rozantes y las escobillas causan ciertos problemas cuando se utilizan
para suministrar potencia cd a los devanados de campo de una máquina síncrona:
incrementan la cantidad de mantenimiento que requiere la máquina debido a que el
desgaste de las escobillas debe ser revisado regularmente. Además, la caída de
voltaje en las escobillas puede ser la causa de pérdidas significativas de potencia en
las máquinas que tienen corrientes de campo más grandes. A pesar de estos
problemas, los anillos rozantes y las escobillas se utilizan en todas las máquinas
síncronas pequeñas, ya que no hay otro método para suministrar corriente de campo
cd que sea tan eficiente en términos de costo.
85
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
En los generadores y motores más grandes se utilizan excitadores o excitatrices sin
escobillas para suministrar a la máquina corriente de campo cd. Un excitador sin
escobilla es un generador de ca pequeño con un circuito de campo montado en el
estator y un circuito de armadura montado en el eje del rotor. La salida trifásica del
generador excitador se rectifica a corriente directa por medio de un circuito
rectificador trifásico (que también está montado en el eje del generador) y luego se
alimenta al circuito de campo cd principal. Por medio del control de la pequeña
corriente de campo cd del generador excitador (localizado en el estator) es posible
ajustar la corriente de campo en la máquina principal sin anillos rozantes ni
escobillas. Este arreglo se muestra esquemáticamente en la figura 3.9 Debido a que
no se presenta ningún contacto mecánico entre el rotor y el estator, los excitadores
sin escobilla requieren mucho menos mantenimiento que los anillos rozantes y las
escobillas.
Para que la excitación de un generador sea completamente independiente de
cualquier fuente de potencia externa, a menudo se incluye un pequeño excitador
piloto en el sistema. Un excitador piloto es un pequeño generador de ca con imanes
permanentes montados en el eje del rotor y un devanado trifásico en el estator.
Produce la potencia para el circuito de campo del excitador, que a su vez controla el
circuito de campo de la máquina principal. Si se incluye un excitador piloto en el eje
del generador, entonces no se requiere de potencia eléctrica externa para accionar el
generador.
Muchos de los generadores síncronos que incluyen excitadores sin escobillas
también tienen anillos rozantes y escobillas, por lo que hay una fuente auxiliar de
corriente de campo cd en caso emergencia.
Normalmente los estatores de los generadores síncronos están hechos de bobinas
de estator preformadas en un devanado de doble capa. El devanado se distribuye y
86
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
encuerda de manera que se reduzca el contenido de armónicas en las corrientes y
voltajes de salida.
Figura 3.9 Circuito excitador sin escobillas. Se rectifica una cantidad pequeña de corriente trifásica y
se utiliza para alimentar el circuito de campo del excitador localizado sobre el estator. La salida del
circuito de armadura del excitador (sobre el rotor) se rectifica y se utiliza para suministrar la corriente
de campo de la máquina principal.
87
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
3.6 LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DE UN GENERADOR SÍNCRONO
Los generadores síncronos son por definición síncronos, lo que quiere decir que la
frecuencia eléctrica se produce y entrelaza o sincroniza con la tasa mecánica de
rotación del generador. El rotor de un generador síncrono consta de un electroimán
al que se le suministra corriente directa. El campo magnético del rotor apunta en la
dirección en que gira el rotor. Ahora, la tasa de rotación de los campos magnéticos
en la máquina está relacionada con la frecuencia eléctrica del estator por medio de la
ecuación:
𝑓𝑒 =
Donde:
𝑛𝑚 𝑃
120
(3.31)
𝑓𝑒 = Frecuencia eléctrica en Hz
𝑛𝑚 = Velocidad mecánica del campo magnético en r/min (igual a la velocidad del
rotor de una máquina síncrona)
P= número de polos.
Debido a que el rotor gira a la misma velocidad que el campo magnético, esta
ecuación relaciona la velocidad de rotación del rotor con la frecuencia eléctrica
resultante. La potencia eléctrica se genera a 50 o 60 Hz, por lo que el generador
debe girar a una velocidad fija dependiendo del número de polos en la máquina.
88
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
3.7 EL VOLTAJE INTERNO GENERADO POR UN GENERADOR SÍNCRONO
Anteriormente se dedujo que la magnitud del voltaje inducido en cierta fase de un
estator era:
𝐸𝐴 = √2𝑁𝐶 𝜙𝑓
(3.14)
Este voltaje depende del flujo 𝜙en la máquina, de la frecuencia o velocidad de
rotación y de la construcción de la máquina. Para resolver problemas de máquinas
síncronas, a menudo esta ecuación se escribe de una forma más simple que enfatiza
las cantidades que varían durante la operación de la máquina. Esta forma más
simple es:
𝐸𝐴 = 𝐾𝜙𝜔
(3.32)
Donde:
K= es una constante que representa la construcción de la máquina.
Si 𝜔 se expresa en radianes eléctricos por segundo, entonces:
𝐾=
𝑁𝐶
(3.33)
√2
Mientras que si 𝜔 se expresa en radianes mecánicos por segundo, entonces:
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
𝐾=
𝑁𝐶 𝑃
(3.34)
√2
El voltaje interno generado 𝐸𝐴 es directamente proporcional al flujo y a la velocidad,
pero el flujo en sí depende de la corriente que fluye por el circuito de campo del rotor.
En la figura 3.10a muestra la manera en que se relacionan el circuito de campo 𝐼𝐹 y
el flujo 𝜙. Debido a que 𝐸𝐴 es directamente proporcional al flujo, el voltaje interno
generado 𝐸𝐴 está relacionado con la corriente de campo, como se observa en la
figura 3.10b. Esta gráfica se llama curva de magnetización o característica de circuito
abierto de la máquina.
Figura 3.10 Gráfica del flujo contra la corriente de campo para un generador síncrono. b) Curva de
magnetización del generador síncrono.
3.8 PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA OPERACIÓN DE LOS MOTORES
Para entender el concepto básico de un motor síncrono véase la figura 3.11, que
muestra uno con dos polos. La corriente de campo 𝐼𝐹 del motor produce un campo
90
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
magnético en estado estacionario 𝐵𝑅 . Se aplica un conjunto de voltajes trifásicos al
estator de la máquina, lo que produce un flujo de corriente trifásica en los devanados.
Figura 3.11 Motor síncrono de dos polos.
Un conjunto de corrientes trifásicas en el inducido de un devanado produce un
campo magnético giratorio uniforme 𝐵𝑆 . Por lo tanto, hay dos campos magnéticos
presentes en la máquina y el campo del rotor tenderá a alinearse con el campo del
estator, igual que dos imanes tenderán a alinearse si se colocan uno cerca del otro.
Debido a que el campo magnético del estator gira, el campo magnético del rotor (y el
rotor mismo) tratará constantemente de alcanzarlo. Mientras más grande sea el
ángulo entre los dos campos magnéticos (hasta un ángulo máximo), mayor será el
par en el rotor de la máquina. El principio básico de la operación de los motores
síncronos es que el rotor “persigue” al campo magnético giratorio del estator
alrededor de un círculo y nunca lo alcanza.
Debido a que un motor síncrono es igual físicamente a un generador síncrono, todas
las ecuaciones básicas de velocidad, potencia y par se utilizan también para los
motores síncronos.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Circuito equivalente de un motor síncrono
Un motor síncrono es igual en todos los aspectos a un generador síncrono, excepto
en que la dirección del flujo de potencia es la opuesta. Ya que se invierte la dirección
del flujo de potencia en la máquina, se puede esperar que la dirección del flujo de
corriente en el estator del motor también se invierta. Por lo tanto, el circuito
equivalente de un motor síncrono es exactamente igual al circuito equivalente de un
generador síncrono, excepto en que la dirección de referencia de 𝐼𝐴 está invertida. En
la figura 3.12a se muestra el circuito equivalente completo resultante y en la figura
3.12b se puede observar el circuito equivalente por fase. Igual que como especificó
antes, las tres fases del circuito equivalente pueden estar conectadas tanto en Y
como en Δ.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura 3.12 a) Circuito equivalente completo de un motor síncrono trifásico. b) Circuito equivalente por
fase.
Debido a que el cambio en la dirección de 𝐼𝐴 , cambia también la ecuación de la ley
de voltaje de Kirchhoff para el circuito equivalente. La nueva ecuación de la ley de
voltaje de Kirchhoff es:
𝑉𝜙 = 𝐸𝐴 + 𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 + 𝑅𝐴 𝐼𝐴
𝐸𝐴 = 𝑉𝜙 − 𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 − 𝑅𝐴 𝐼𝐴
(3.35)
(3.36)
Ésta es exactamente la misma ecuación que para el generador, excepto que se
invierte el signo en el término de la corriente.
Motores síncronos desde la perspectiva del campo magnético.
Para comenzar a entender la operación de un motor síncrono, es preciso dar otra
mirada a un generador síncrono conectado a un bus infinito. El generador tiene un
motor primario que gira el eje y causa que éste rote. La dirección del par aplicado 𝜏𝑎𝑝
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
del motor primario sigue la dirección del movimiento porque el motor primario hace
que el generador gire.
En la figura 3.13a se muestra el diagrama fasorial de un generador que opera con
una corriente de campo grande y en la figura 3.13b se puede ver el diagrama del
campo
magnético
correspondiente.
Como
se
describió
anteriormente,
𝐵𝑅
corresponde a (produce) 𝐸𝐴 , 𝐵𝑛𝑒𝑡 corresponde a (produce) 𝑉𝜙 y 𝐵𝑆 corresponde a
(produce) 𝐸𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡 (= −𝑗𝑋𝑆 𝐼𝐴 ). La rotación tanto del diagrama de campo magnético
como del diagrama fasorial es en sentido contrario al de las manecillas del reloj en la
figura, de acuerdo con la convención matemática estándar de incremento de ángulo.
Figura 3.13 a) Diagrama fasorial de un generador síncrono que opera a factor de potencia en atraso.
b) Diagrama de campo magnético.
El par inducido del generador se puede calcular a partir del diagrama de campo
magnético.
El par inducido está dado por las ecuaciones: (3.24) y (3.25)
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 𝐵𝑛𝑒𝑡 sin 𝛿
𝜏𝑖𝑛𝑑 = 𝑘𝐵𝑅 × 𝐵𝑛𝑒𝑡
(3.25)
(3.24)
94
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
CAPITULO IV
SIMULACION DE LA DISTRIBUCION DE CAMPOS MAGNETICOS
En electromagnetismo y en la construcción de máquinas eléctricas se utiliza una
magnitud llamada flujo magnético, que mide la cantidad de campo magnético o la
cantidad de líneas de inducción magnética que atraviesan una superficie.
Para entender el comportamiento y la distribución de los campos magnéticos y
debido a que no son visibles, se usara el programa Vizimag que es un programa de
simulación numérica para resolver las ecuaciones diferenciales parciales que
modelan los campos eléctricos y magnéticos en la vecindad de diferentes
dispositivos.
En este programa se encuentran herramientas para la simulación de campos
magnéticos, los cuales ya vienen especificados y a los que se les puede cambiar a
los valores deseados, para acercarlos mas a la realidad.
4.1 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UN CONDUCTOR RECTILINEO.
Para empezar se recordará lo más esencial de los campos magnéticos, tales como:
el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, el cual es tangente a la línea
de campo en el punto considerado y su sentido. Y en el influirán tres factores: la
intensidad de la corriente que circula por el conductor, la distancia al conductor
desde el punto considerado, y el medio.
95
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Lo que quiere decir que el campo magnético alrededor de un conductor largo y recto
es de forma circular, siendo mayor cerca del conductor y disminuyendo conforme
aumenta la distancia del conductor. Como se muestra en las figuras 4.1a y 4.2a, en
la primera, las líneas son más consistentes y unidas que en la segunda, esto se debe
a que el campo magnético es más intenso, debido a la corriente que transporta cada
una.
Fig. 4.1a Distribución del campo magnético en
la cercanía de un conductor con 10 Amperes.
Fig. 4.1b Magnitud de la densidad de flujo con la
distancia al conductor.
96
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Fig. 4.2a Distribución del campo magnético en la
cercanía de un conductor con 5 Amperes.
Fig. 4.2b Magnitud de la densidad de flujo con la
distancia al conductor.
4.2 CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA BOBINA O SOLENOIDE.
Pero si ahora se simula el comportamiento del campo magnético en una bobina o
solenoide, el cual está formado por el arrollamiento de un alambre muy largo sobre
un cilindro, cuya longitud, medida a lo largo del eje de ésta, es generalmente mayor
que el diámetro de cada vuelta. Un parámetro importante es el número de vueltas
que tiene por unidad de longitud, así como la permeabilidad magnética del material
sobre el cual esta devanada.
En un solenoide de vueltas más apretadas la separación entre estas será menor y
cada vuelta se aproxima más en su forma a una espira, de manera que cada espira
producirá una contribución al campo magnético similar al campo producido por una
espira con corriente.
97
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
En la figura 4.3a se simula una bobina, colocando siete conductores rectos, tanto en
la parte de arriba como en la de abajo del plano, cada uno transportando cinco
Amperes, como se observa las líneas del campo magnético son mas en la parte
interna de la bobina y se van haciendo menos conforme se aleja de la bobina.
Fig.4.3a Distribución de la densidad de campo
magnético en una bobina de 7 vueltas transportando 5 Amperes.
Fig.4.3b Magnitud de la densidad de flujo en el
centro de bobina.
Fig.4.3c Magnitud de la densidad de flujo en
función de la distancia a la bobina que transporta
corriente.
98
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Para el comportamiento de un solenoide, se simulara con datos reales como se
muestra en la figura 4.4a se puede observar que en el interior del solenoide la
contribución de cada vuelta al campo tiende a reforzar la contribución de las demás,
de manera tal que el campo resultante es aproximadamente uniforme y paralelo al
eje del solenoide. En el exterior del solenoide las contribuciones tienden a cancelarse
de forma que el campo es relativamente pequeño.
Datos del solenoide:
Permeabilidad: 10,000
Numero de vueltas: 100
Corriente: 3 Amperes
Dimensiones 2 x 4 cm
Profundidad: 2cm
Rotación:90°
Fig.4.4a Distribución de la densidad del campo
magnético en un solenoide.
Fig.4.4.b Magnitud de la densidad de flujo
99
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
4.3 ARREGLOS DE DIFERENTES CONFIGURACIONES
A continuación se simulara una red de cuatro bobinas, cada una formada con cuatro
conductores rectilíneos, transportando diez Amperes cada bobina, como muestra la
figura 4.5.a y se observa que el campo magnético es mayor en el centro de ellas.
Fig.4.5 Distribución de la densidad del campo
magnético en una red cuatro bobinas.
Una espira rectangular está compuesta por cuatro conductores rectilíneos.
Observamos que dos fuerzas se anulan, y las otras dos provocan un par de fuerzas
que hacen girar a la espira. Este es el principio de funcionamiento de los motores
eléctricos: una corriente circulando por un bobinado dentro de un campo magnético.
A este arreglo se le agregara un magneto en el interior con una corriente de un
Tesla, y quedara como se muestra en la figura 4.6, como el campo magnético
generado por el magneto es mayor al generado por las cuatro bobinas, solo se
pueden apreciar las líneas del primero.
100
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Fig.4.6. Distribución del campo magnético.
(el magneto genera 1 Tesla)
(norte arriba)
Debido a lo ocurrido en la simulacion anterior, se reducira la corriente del magneto a
una de cinco Gauss.
Para simular el campo magnético generado en las bobinas y en el magneto, que
hacen que éste último gire, empezando así el funcionamiento del motor, se mostrara
el mismo arreglo de bobinas, y se cambiara el magneto a cuatro posiciones distintas.
Calculando la fuerza que se produce debido al campo resultante sobre el magneto,
sus componentes en x, e y, y el ángulo se podra observar hacia donde se inclina
éste..
101
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Fig. 4.7a Distribución de una red de 4
bobinas, con un magneto en el centro.
Fig. 4.7 b Distribución del campo magnético.
El arreglo mostrado en la figura 4.7a, donde el polo norte del magneto se coloco en
la parte superior, al simularlo el campo magnético se comporta como se observa en
la figura 4.7b, Vizimag nos permite obtener la fuerza del magneto, simplemente al
seleccionarlo, la cual es la siguiente:
F= 4.25e-4
Fx= -7.06e-5
Fy= 4.18 e-4
𝜃 = 99.5867°
El ángulo nos indica hacia donde se inclina el magneto, ya que este se encuentra en
el centro de dos bobinas, cada una con una polaridad diferente, una bobina va a
ejercer una fuerza en contra y otra a favor, siendo asi que una lo empuja y la otra la
atrae, provocando el giro del mismo.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
En la figura 4.8a, el polo norte del magneto se encuentra en la parte izquierda, y al
simularlo, el coportamiento del campo magnético es el mostrado en la figura 4.8b, la
fuerza del magneto es el siguiente:
F= 4.22e-4
Fx= 4.20e-4
Fy= -3.78 e-5
𝜃 = 354.8572°
Fig. 4.8a Distribución de una red de 4
bobinas, con un magneto en el centro.
(el magneto genera 5 Gauss)
(norte a la izquierda)
Fig. 4.8b Distribución del campo magnético.
Para seguir con la simulación del giro del magneto, en la figura 4.9a, se coloca el
polo norte en la parte inferior del arreglo, y el campo magnético es simulado como se
muestra en la figura 4.9b, la fuerza del magneto es la siguiente:
F= 3.14e-4
Fx= 4.60e-5
Fy= -3.11 e-4
𝜃 = 278.4136°
103
CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Fig. 4.9a Distribución de una red de 4
bobinas, con un magneto en el centro.
(el magneto genera 5 Gauss)
(norte abajo)
Fig. 4.9b Distribución del campo magnético.
En el arreglo mostrado en la figura 4.10a, el polo norte del magneto se coloca en la
parte derecha, y el comportamiento del campo magnético se muestra en la figura
4.10b, la fuerza del magneto es la siguiente:
F= 3.14e-4
Fx= 4.60e-5
Fy= -3.11 e-4
𝜃 = 278.4136°
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Fig. 4.10.a Distribución de una red de 4
bobinas, con un magneto en el centro.
(el magneto genera 5 Gauss)
(norte a la derecha)
Fig. 4.10 b Distribución del campo magnético.
En este capítulo se hicieron diferentes simulaciones con el programa Vizimag, con la
finalidad de simular la distribución de campos magnéticos en arreglos sencillos tales
como: la corriente a través de un conductor rectilíneo, el comportamiento del campo
magnético en una bobina de N vueltas que transporta una corriente I, hasta el
comportamiento de la distribución del campo magnético de un arreglo de N bobinas.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
CONCLUSIONES
La generación y la utilización de la energía eléctrica se fundamentan en las leyes
básicas de electromagnetismo, específicamente los motores eléctricos operan bajo
los principios de la ley Ampere, de la ley de Lenz, de la ley de Faraday, entre otras.
En este trabajo, con la finalidad de conocer la operación en estado permanente de
motores eléctricos monofásicos, trifásicos y motores polifásicos, se ha visto en la
lectura especializada que el principio de cada uno de ellos es el mismo.
El campo magnético giratorio en motores y generadores es importante porque el
determina el movimiento de cada uno de ellos. Los responsables de este campo
magnético giratorio son, como su nombre lo indica, los campos electromagnéticos
que se generan cuando se aplican corrientes constantes o variables en el tiempo, a
un grupo de bobinas dispuestas de manera conveniente.
En este trabajo se construyó un motor trifásico mostrado en la figura A, cada bobina
consta de 60 vueltas, devanada sobre un núcleo magnético de acero al silicio, con
una permeabilidad promedio de 10,000 (m*kg*C-2), el rotor de este motor esta hecho
de aluminio.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura A. Motor construido.
La finalidad de la construcción de este tipo de arreglo es la de mostrar
experimentalmente y a través de simulaciones digitales, la presencia del campo
magnético que se presenta en el devanado del estator, el cual reacciona con el
campo magnético que se genera en el rotor del motor, dando origen al movimiento
mecánico del dispositivo electromagnético construido.
Se observó la tendencia a girar del rotor del motor, el cual es afectado por
irregularidades físicas de la construcción del dispositivo, sin embargo, se logró el giro
del rotor.
Existen en el mercado una cantidad importante de programas comerciales con los
cuales se puede simular una gran cantidad de dispositivos electromecánicos, sin
embargo, son costosos y salen del alcance del autor. En este trabajo se utilizó el
programa Vizimag mostrado en la figura B, que tiene un costo aproximado de usd 40.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
Figura B. Programa Vizimag.
Se pueden realizar en este programa, diferentes tipos de simulaciones, y cálculos
para el análisis de diferentes dispositivos, en la parte derecha de la figura B, se
observan diferentes opciones para elegir, se da clic en el que dice solenoide, y se
dibuja la imagen en la parte izquierda de la ventana, colocándola de preferencia en el
centro, para simular el campo magnético, se regresa al lado derecho, y se presiona
el botón de “correr”. Para obtener la imagen mostrada en la figura C
Figura C. Simulación del campo magnético de un solenoide.
.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
De esta forma se hicieron todas las simulaciones de este trabajo, para entender el
comportamiento del campo magnético que hace posible el movimiento del rotor, del
motor construido.
Con la simulación del motor se entendió el funcionamiento, ya que el motor consta
de tres bobinas, lo que hace un conjunto de bobinas trifásico, estas generan un
campo magnético giratorio uniforme en el estator de dicho motor, lo que hace que el
rotor se mueva y el campo magnético que se induce en este, trate de alcanzarlo,
aunque nunca lo lograra.
El campo magnético es lo que hace que el motor gire, y gracias a la simulación se
comprende de manera más sencilla, ya que se lleva la teoría a la práctica, y se
pueden realizar diferentes tipos de arreglos y simularlos para su total comprensión.
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CÁLCULO DEL COMPORTAMIENTO DE CAMPOS MAGNÉTICOS, BAJO CONDICIONES BALANCEADAS Y
DESBALANCEADAS
BIBLIOGRAFÍA
1) Bhag, S. Guru y Hüseyin, R. Hiziroglu. Máquinas eléctricas y transformadores
Tercera edición. Alfaomega. México, 2006
2) Reitz, John R. y Milford, Frederick J. Fundamentos de la teoría electromagnética
Primera edición. Uteha. México,1981
3) Chapman, Stephen J. Máquinas eléctricas
Cuarta edición. McGraw Hill. México, 2005
4)http://ing.unne.edu.ar/pub/fisica3/170308/teo/teo4.pdf
5)http://es.scribd.com/doc/55727044/13/Tema-1-Campo-magnetico-sobre-unconductor-recto-y-largo
6)http://www.portaleso.com/portaleso/trabajos/tecnologia/ele.yelectro/t4_electromagn
etismo.pdf
7) Vizimag v3.193
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