Repartido Nº3 – Interés Simple y Compuesto Mat Financiera – 1ero

Repartido Nº3 – Interés Simple y Compuesto
INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Definición:
Llamamos interés a un tributo por el uso de dinero ajeno.
Clases de interés
En todo contrato a interés debemos considerar cuatro factores:
 Capital: suma prestada por una persona natural o jurídica llamada prestamista.
 Interés: el beneficio o tributo que saca el prestamista.
 Tasa: es el tanto por ciento, o sea, el interés que se paga por cien pesos, o cualquier
unidad monetaria que se ha recibido en préstamo, durante la unidad de tiempo.
 Tiempo que queda impuesto el capital.
A partir de estos cuatro factores podemos definir la primera clase de interés, que llamaremos interés
simple:
Definición:
Llamamos interés simple, al dinero que produce determinado capital durante un período de tiempo a
una determinada tasa.
Fórmula de interés simple
Intentemos encontrar una fórmula para calcular el interés simple que se consigue en un año:
Al capital lo nombraremos con la letra C, a la tasa de interés (en tanto por ciento) con la letra R y al
interés con la letra i.
Se sabe que:
$100 producen $R
C produce
i
Entonces, aplicando una regla de tres obtenemos:
i
R.C
100
en un año.
Si quisiéramos calcular el interés que se consigue en varios años, sólo deberíamos multiplicar el interés
por la cantidad de estos años. Llamando t a la cantidad de tiempo en años nos quedaría:
(fórmula expresada en años).
Ejemplo:
Calcula el interés de colocar $500 durante un año al 6% anual.
Aquí el capital es $500, la tasa el 6%, por lo cual el interés nos quedaría:
i
i
R.C.t
100
6.500
100
Intentemos expresar una fórmula del interés simple obtenido en meses:
Como doce meses son un año, t meses son
i
t
años. Si sustituimos en la fórmula anterior, nos queda:
12
R.C.t
(fórmula expresada en meses).
100  12
Ejercicio 1
Encuentra la fórmula para el interés simple expresada en días (tomando que el año son 360 días).
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Observación:
También podemos trabajar con la fórmula
i
R.C.t
para cualquier medida de tiempo, pero para ello R
100
y t deben estar en concordancia. Esto significa que tanto la tasa como el tiempo tienen que tener la
misma unidad de tiempo. Si el tiempo es en meses, la tasa debe ser mensual, si el tiempo es en
trimestres, la tasa debe ser trimestral.
Como ya vimos en el curso, podemos trabajar con la tasa de interés en porcentaje o trabajar con el
R 

r 
 . Por ejemplo, si tenemos una tasa de interés del 15%
100 

15
anual. Podemos trabajar con la tasa de interés como r 
 0,15. Es decir, que el interés podemos
100
R
hallarlo con la fórmula i  r.C.t con r 
.
100
cociente entre el porcentaje y 100
Ejercicio 2
Si la tasa de interés de un préstamo es del 3% trimestral, ¿cuál será la tasa anual?
Ejercicio 3
Completa la siguiente tabla con las diferentas tasas de interés.
ANUAL
SEMESTRAL
TRIMESTRAL
BIMENSUAL
60%
9%
16%
6%
MENSUAL
4%
Ejercicio 4
Encontrar cuánto dinero retira a los tres años una persona que deposita en un banco $2300 a una tasa
anual de 7% anual.
A ese dinero obtenido lo llamaremos monto:
Definición:
Llamamos monto a la suma del capital y el interés obtenido.
Fórmula del monto: M  C  i
Ahora, si tenemos en cuenta que al interés i lo podemos escribir como
nos quedaría
M  C  r .C .t  C . 1  r .t  .
i  r.C.t , la fórmula del monto
Observación:
Por convenio, si no se dice la unidad de tiempo de la tasa se trabaja con tasa de interés anual.
Ejercicio 5
Calcula qué interés produce y cuál es el monto correspondiente a un capital de $1000.
a) Al 3% anual durante un año.
b) Al 4,5% anual durante 5 años.
c) Al 2% anual durante 6 meses.
d) Al 6% anual durante 8 meses.
e) Al 4% anual durante 16 meses.
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Ejercicio 6
a) ¿Cuánto ganará en un año el Sr. Dinero si deposita $50000 y retira $57500 del Banco Amaral 3
meses después?
b) ¿Cuál es la tasa de interés con la que trabaja dicho banco?
Ejercicio 7
¿Con qué tasa de interés anual trabajó un banco que…
a) en un año transformó un capital de $5600 en $6440?
b) en 9 meses transformó un capital de $2500 en $2950?
c) en 30 meses transformó un capital de $7700 en $9240?
d) En 8 meses transformó $6000 en $6280?
Ejercicio 8
¿En qué tiempo $7100 se transforman en $10934 al 3,5 mensual?
Ejercicio 9
La señorita Gómez deposita $80000 en el B.R.O.U. obteniendo un beneficio de $16000.
a) ¿Cuánto habrá retirado?
b) ¿Cuánto tiempo estuvo depositado si el B.R.O.U. trabaja con una tasa del 40% anual?
Ejercicio 10
¿Cuánto tiempo deben estar depositados $4500 en un banco que trabaja con una tasa del 5% mensual
para obtener un interés de $900?
Ejercicio 11
Deposité $6800 al 40% y el 15 de setiembre retiré $7140. ¿En qué fecha hice mi depósito?
Ejercicio 12
La Srta. Díaz desea saber durante cuánto tiempo debe estar depositado la cantidad de $8000 para
poder obtener un beneficio de $4000 en un Banco que trabaja con una tasa del 5% mensual. Haz los
cálculos que debió hacer la Srta. Jessica para obtener su información.
Ejercicio 13
El Sr. Rodríguez desea saber durante cuánto tiempo debe estar depositado la cantidad de $2500 para
poder retirar la cantidad de $3500 del Banco Paladino que trabaja con una tasa del 60% anual. Haz los
cálculos necesarios para obtener dicha información.
Ejercicio 14
El Sr. Patiño retiró $160000 del Banco Firpo que trabaja con una tasa del 12% anual. Si ganó $14720,
¿cuánto tiempo estuvo depositado el dinero en el Banco Firpo?
Ejercicio 15
¿En cuánto tiempo se duplica una cantidad de dinero al 25% de interés?
Ejercicio 16
¿En cuánto tiempo se triplica una cantidad de dinero al 2,5% de interés?
Ejercicio 17
Un capital de $50000 se coloca desde el 13 de mayo hasta el 25 de julio a una tasa de interés simple
del 30% semestral. ¿Cuál es el interés que produce?
Ejercicio 18
¿A qué tasa de interés simple hay que colocar un capital de $15000 desde el 15 de marzo al 15 de
setiembre, para que origine un beneficio de $3066,7 por concepto de intereses?
Ejercicio 19
He invertido $15.000 durante cuarenta días y obtuve un 17% anual de interés. Al vencimiento del plazo
retiré el monto y lo deposité nuevamente durante treinta días, al cabo de los cuales retiré la suma de
$15.589. calcula la tasa de interés de la segunda colocación.
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Ejercicio 20
Hace ocho meses, coloqué a interés simple $4.000 en una institución que brinda el 42% anual de
interés. Hoy retiro el total y coloco el 40% en otra institución cuya tasa de interés es el del 46% anual.
¿Cuántos meses deberá estar depositada dicha cantidad para retirar un total de $2.519?
Ejercicio 21
¿Qué suma debe ser invertida al 2,5% anual para ganar $1000 después de 4 años?
Ejercicio 22
¿Qué suma debe ser invertida al 2,5% anual para tener $1000 después de 4 años?
Ejercicio 23
¿Cuál es el capital que colocado al 60% anual durante 4 meses origina un monto de $53040?
Ejercicio 24
¿Qué capital produce…
a) en 2 años, $450 al 9% anual?
b) en 8 meses, $90 al 3% anual?
c) en 4 años, $790 al 1% mensual?
Ejercicio 25
Dos capitales se colocan en el banco al 60% y 40% anual respectivamente, originando en un año los
mismos intereses. Calcula el valor de dichos capitales sabiendo que difierne en $40000.
Ejercicio 26
¿A qué tasa de interés simple habrá que colocar un capital durante 4 años para que los intereses
resulten la mitad del capital invertido?
Ejercicio 27
¿Durante cuántos meses ha de quedar un capital al 30% anual para que los intereses producidos sean
3
del capital colocado?
4
Ejercicio 28
Se colocan $360000 al 36% anual y al cabo de cierto tiempo la tasa de interés se incrementa
habiéndose producido hasta el momento un beneficio de $32400. El resto del año se coloca el monto
resultante a la nueva tasa, obteniéndose un monto final de $504234. Halla el incremento de la tasa
anual de interés en la segunda colocación.
Ejercicio 29
Los
3
de un capital se colocan al 80% anual por 6 meses, el resto del capital al 90% anual por 4
8
meses, originando de esta manera $5400 de intereses totales. ¿Cuál es el capital colocado?
Ejercicio 30
Los
2
de un capital se colocan al 82% anual por 5 meses, el resto del capital al 20% semestral por 6
5
meses, resultando una diferencia de intereses entre las dos fracciones de capital total de $1600. ¿A
cuánto asciende el capital?
Ejercicio 31
Un inversionista decidió colocar los
2
de su capital al 60% anual y el resto al 4% mensual, ambas
3
partes por 5 meses. ¿Cuál es el capital total del inversionista si se origina un monto total de $90000?
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Ejercicio 32
Un capital de de 42.550.000 fue depositado el 3 de junio y retirado el 18de octubre. Calcula el monto
retirado, sabiendo que la colocaciones hizo de la siguiente manera:
lo que resta al 18% bimestral y el resto al 14% trimestral.
1
2
del capital al 6% mensual;
de
4
5
Ejercicio 33
¿A qué tasa de interés habrá que colocar un capital durante 4 años para que los intereses resulten
del capital invertido.
1
2
Ejercicio 34
Calcula al cabo de cuánto tiempo resulta triplicado un capital colocado al 30% trimestral.
Ejercicio 35
Un capital colocado al 3,75% mensual durante ocho meses, produce $630 más de intereses que si se
colocarla 3,25% mensual durante un semestre. ¿Cuál es ese capital?
Ejercicio 36
Una suma de $10.000 se colocó a interés simple; si hubiera estado treinta días más, el interés habría
aumentado en $50, y si la tasa se hubiera disminuido en 0,80% los intereses habrían disminuido en
$150. Calcula la tasa y el tiempo de imposición.
Ejercicio 37
He depositado $2.000 al 42% de interés anual y, luego de cinco meses, la tasa se eleva al 4% mensual,
razón por la cual deposito $650 más. Luego de cierto tiempo verifico que tengo $3.600. ¿Cuánto tiempo
ha transcurrido desde que efectué el primer depósito?
La otra clase de interés es el interés compuesto:
Definición:
Decimos que un capital C está colocado a interés compuesto, si los intereses simples producidos
durante un período de tiempo son añadidos al capital, de modo que el nuevo capital formad, produzca
intereses durante un nuevo período.
A estos períodos se le llaman períodos de capitalización.
Fórmula de interés compuesto
Para conocer el valor del interés compuesto producido por un capital debemos calcular primero el
monto. Es decir, el capital inicial más los intereses compuestos. Entonces si luego le restamos al monto
el capital inicial, nos quedarán los intereses compuestos.
Para este cálculo usaremos la tasa r (en tanto por uno)
Supongamos el período de capitalización de un año, los intereses simples para cada año serán:
i  r.C.t pero como t es un año (t = 1)  i  r.C .
M  C  r.C  M  C 1  r 
Entonces el monto al final del primer período de capitalización es de:
Al comenzar el segundo período de capitalización el capital pasa a ser el monto, es decir:
C 1  r  .
Repitiendo el mismo razonamiento, los intereses producidos al finalizar el segundo período de
capitalización
serán
i  C 1  r  r
y
por
lo
tanto
el
monto,
M  C 1  r   C 1  r  r  M  C 1  r  1  r   M  C 1  r  .
2
Repitiendo el mismo razonamiento para el tercer período, resultará que el monto es: M  C 1  r 
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3
.
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Si generalizamos el razonamiento para n períodos el monto será:
M  C 1  r  .
n
Esta fórmula es aplicable para cualquier período de capitalización siempre que C sea el capital inicial, r
la tasa en tanto por uno correspondiente al período de capitalización y n, el período de capitalización.
Ahora que encontramos la fórmula del monto, intentemos encontrar la fórmula para el interés
compuesto, al finalizar los n períodos. Llamando Ic al interés compuesto, tenemos que:
n
n
Ic  M  C  Ic  C 1  r   C  Ic  C 1  r   1 .


Ejemplos:
1) Se depositan $28000 al 48% anual. La capitalización de los intereses se efectúa anualmente.
¿Cuánto tendrá al cabo de 6 años?
Lo que se nos pide es el monto, para aplicar la fórmula debemos saber el capital, la tasa y los
períodos de capitalización.
El capital es $28000, la tasa es 48%, pero debemos transformarla al tanto por uno, entonces
48  100=0,48 . Y los períodos de capitalización son 6 años. Sustituyendo en la fórmula de monto
tenemos: M  28000 1  0,48   28000 1, 48   294258, 0304
6
6
2) Veamos ahora la misma situación pero si los períodos de capitalización son semestrales:
El capital sigue siendo $28000 y la tasa del 48% anual, pero debemos calcular la tasa en función de
los períodos de capitalización. En este caso tenemos la capitalización de los intereses cada seis
meses, por lo tanto es el 24% semestral. A éste debemos dividirlo entre cien obteniendo: 0,24. Para
saber los períodos debemos calcular cuántos semestres tenemos en 6 años. Si tenemos dos
semestres en un año, tenemos 12 semestres en 6 años.
Ahora
sí,
apliquemos
la
fórmula
de
monto:
M  28000 1  0,24 
12
 28000 1,24 
12
 370014,0824 .
Ejercicio 38
Averigua a cuánto asciende al cabo de 6 años un capital de $22500 colocado al 50% de interés
compuesto anual.
Ejercicio 39
Calcula en cuánto se transforma un capital de $6500, colocado al 12% anual (capitalizable anualmente)
en:
a) 2 años
b) 365 días
c) 6 años
d) 36 meses
Ejercicio 40
Calcula el interés compuesto producido por:
a) Un capital de $100.000 durante siete años al 24% anual.
b) Un capital de $80.000 durante seis años y ocho meses a una tasa del 9% cuatrimestral.
Ejercicio 41
Una persona cuando su hijo cumple 12 años, abre con $20.000 una cuenta bancaria que opera al 36%
anual con la finalidad de que éste los retire, cons sus intereses, al cumplir 21 años. ¿Cuánto retirará el
hijo?
Ejercicio 42
¿Cuál es el interés compuesto producido por $100.000 en dos años y medio, capitalizando
semestralmente al 21% semestral?
Ejercicio 43
¿Qué interés produjo la suma de $50.000 que fue colocada al 3% mensual, capitalizándose
trimestralmente, por tres años?
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Ejercicio 44
Calcula el capital que, colocado dutante 8 años al 2% mensual, produce un monto de $328.000,
capitalizando cada dos meses.
Ejercicio 45
Calcula a cuánto asciende, al cabo de tres años, un capital de $17.500 colocado al 48% anual.
Ejercicio 46
Halla el monto producido por $40.000, colocados al 12,5% trimestral por tres años, capitalizando en
forma semestral.
Ejercicio 47
Habiéndose colocado $40.000, al 3% mensual durante dos años y medio, se desea conocer el monto,
con capitalizaciones semestrales.
Ejercicio 48
Calcula la tasa de colocación de un capital de $17.000 que, en cuatro años y medio, con
capitalizaciones trimestrales, produjo un monto de 210.382,71.
Ejercicio 49
¿A cuánto ascenderá dentro de 9 años un capital de $12000 colocado al 60% de interés compuesto
anual?
Ejercicio 50
Halla el monto de $8500 al 35% de interés compuesto en 12 años.
Ejercicio 51
Calcula a cuánto ascenderá un capital de $20000 colocado al 5% mensual de interés compuesto anual
durante 3 años, si los intereses se capitalizan trimestralmente.
Ejercicio 52
Halla el interés producido por un capital de $70000 invertido al 65% de interés compuesto anual
durante 5 años.
Ejercicio 53
Halla el interés producido por un capital de $26000 invertido al 40% de interés compuesto anual
durante 15 años.
Ejercicio 54
Un capital de $25000 colocado al 50% de interés compuesto importó $284765,62. ¿Cuántos años duró
la inversión?
Ejercicio 55
Calcula a cuánto asciende un capital de $52500 si se lo coloca a una tasa cuatrimestral del 18% de
interés compuesto durante dos años con períodos de capitalización semestrales.
Ejercicio 56
¿Cuál fue el capital colocado en un banco a una tasa del 7% mensual de interés compuesto si al cabo
de 5 años se obtiene un monto de $1263638,415 y los períodos de capitalización son trimestrales?
Ejercicio 57
Calcula cuál es la tasa de interés compuesto al que se coloca un capital de $32000 durante un año con
los intereses capitalizándose semestralmente, si los beneficios son de $18000.
Ejercicio 58
Calcula cuánto tiempo estuvo colocado un capital de $80000 a una tasa de interés compuesto del 12%
bimensual si los intereses se capitalizan cuatrimestralmente si el monto obtenido es de $290817,2062.
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Ejercicio 59
Calcula el valor de un capital que, colocado durante diecisiete meses al 2% mensual, produce a Interés
Compuesto un monto superior en U$S 60 al que produciría colocado a Interés Simple durante el mismo
plazo y a la misma tasa.
Ejercicio 60
Calcula la tasa de interés al que se depositó un capital de $250000 por dos años y medio,
capitalizándose trimestralmente si se retiró $705505. (Ejercicio de examen, Setiembre 2007)
Ejercicio 61
En 5 años, $8000 a interés compuesto, capitalizable trimestralmente se convirtieron en $35600. ¿Cuál
es la tasa de interés utilizada?
Ejercicio 62
¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse si el interés a que está invertida es el 6%
compuesto, capitalizándose cuatrimestralmente?
Ejercicio 63
¿Cuántos períodos de capitalización serán necesarios para que se triplique un capital colocado a interés
compuesto:
a) Al 3,5%
b) Al 7%
Ejercicio 64
Una persona presta
3
1
de su capital a uno de sus hijos para la compra de una casa y
al otro hijo
5
3
para instalar un negocio. El resto lo coloca 5% mensual durante catorce meses, capitalizando
cuatrimestralmente, y por ello recibe en total $5.939,80. ¿Cuánto prestóa a cada hijo? ¿Cuál era el
capital primitivo?
Ejercicio 65
Dos capitales han sido colocados a interés compuesto. El primero, que capitaliza trimestralemente, fue
impuesto al 2% mensual y el segundo, que es los
3
del primero y capitaliza semestralmente, se impuso
4
al 8% bimestral. Calcular ambos capitales, sabiendo que, luego de transcurridos 36 meses, el segundo
produjo $38.568,59 más de interés que el primero. Indica los dos capitales.
Tasas de interés
Hasta el momento hemos trabajado con tasas de interés proporcionales, es decir, si la tasa anual es del
15%, entonces la mensual será del 1,25%, la bimestral del 2,5% y así sucesivamente. Hasta el momento
trabajamos de esta forma, porque no se nos planteó ningún problema en el que esto no sea válido.
Veamos un ejemplo en el que si trabajamos con este tipo de tasa, no llegamos a un resultado cierto.
Intentemos resolver el siguiente ejercicio:
“Halla el monto de $50.000 colocado durate 1 años al 50% anual de interés compuesto, capitalizando
cada 6 meses.”
Con lo que vimos hasta ahora, lo que se nos ocurriría es decir que si la tasa anual es del 50%, entonces
la
semestral
es
del
25%
y
con
la
fórmula
de
monto
plantear
M  50000 1  0,25   50000 1,25   78125  I  28125
2
2
Entonces en un año ganó un 56,25% anual. Lo cual no condice con la tasa anual de la letra.
Cuando los períodos de capitalización son inferiores a un año, los intereses anuales producidos por un
determinado capital son superiores a la tasa declarada, que llamaremos tasa nominal. En el ejemplo,
la tasa nominal anual es 50%. ¿Y la del 56,25%?
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Tasa efectiva anual
A esa tasa del 56,25% se le llama tasa efectiva anual.
Definición:
Llamamos tasa efectiva anual (de ahora en adelante TEA) al porcentaje de crecimiento total del capital
durante un año.
Veamos cómo calcular la TEA:
n
Ic  C 1  r   1 . Suponiendo que el capital que


n
colocamos a interés compuesto es $1, tenemos que Ic  1  r   1 que justamente nos da el


Como ya vimos, el interés compuesto se calcula
porcentaje
de
crecimiento total
de
$1
durante un
año.
Es
decir
la
TEA.
Por
lo
tanto,
n
TEA  1  r   1 .


Ejercicio 66
Halla la TEA correpondiente a:
a) Una tasa del 8 % anual con pagos mensuales de intereses.
b) Una tasa del 23% anual con pagos bimensuales de intereses.
c) Una tasa del 11% anual con pagos trimestrales de intereses.
Ejercicio 67
Calcula en cuánto se transforma un capital de $15000 al 7% anual durante 5 años si los períodos de
capitalización son:
a) años
b) meses
c) cuatrimestres
d) días
Ejercicio 68
¿A qué tasa efectiva anual ha sido colocado un capital de $10.000 que, al cabo de 2 años, se tranformó
en $10.500, al capitalizar trimestralemente?
Ejercicio 69
¿Qué monto resulta de colocar un capital de $400.000 impuesto a interés compuesto sobre un período
de 14 meses, si la tasa efectiva anual es del 32% y las capitalizaciones son bimestrales?
Ejercicio 70
¿Qué monto producen 5.000 al ser colocados a una tasa efectiva anual del 36% al cabo de un año y
medio, si se capitaliza semestralmente?
Atención!!!
A partir de ahora, si no se aclara qué tipo de tasa anual es cuando se trabaja con la TEA. De lo
contrario se aclarará que es la tasa nominal.
Ejercicio 71
¿Qué interés se obtiene colocando $60000 a interés compuesto durante 4 años al 30% (anual) si los
intereses se capitalizan semestralmente?
Ejercicio 72
Se colocan $48400 al 40% de interés compuesto. Los intereses se capitalizan trimestralmente. ¿En
cuánto se convertirán al cabo de 3 años?
Ejercicio 73
Calcula qué monto producen $27.000, en 30 meses, al 30% anual, capitalizando cada:
a) 6 meses
b) 2 meses
c) 3 meses.
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Ejercicio 74
Un capital se colocó a interés compuesto por dos años, al cabo de los cuales el monto ascendía a
$63.370. Se desea conocer el capital inicial, sabiendo que se capitalizó cada 8 meses al 42% anual.
Ejercicio 75
El 15 de marzo se abrió, con $1.500, una cuenta en caja de ahorro que capitalizaba a fines de junio y
de diciembre, al 40% anual. La cuenta se cerró el 30 de enero del año siguiente. ¿Cuál era el saldo
disponible en esa fecha?
Ejercicio 76
Una persona deposita en un banco $6.000 todos los años, al 46%, dejando acumular los intereses.
¿Cuánto podrá retirar en total al cabo de cinco años, habiéndose capitalizado dos veces al año?
Ejercicio 77
Un primer capital ha sido colocado al 6% trimestral durante dos años y otro capital, superior al primero
en $2.400, ha sido impuesto al 18% semestral durante un año y medio. Si el primero ha producido
$2.680,80 menos de interés que el segundo, calcularlos, sabiendo que ambos capitales fueron
colocados a interés compuesto y que el primero capitaliza cuatrimestralmente mientras que el segundo
lo hace bimestralmente.
Tasas equivalentes
Definición
Decimos que dos tasas son equivalentes si, capitalizando en diferentes unidades de tiempo, producen
el mismo monto al final del tiempo de colocación.
Ejemplo:
Una tasa de interés del 12% bimensual, con períodos bimensuales durante dos años será equivalente a
una tasa aproximada del 40,493% semestral con períodos semestrales en ese tiempo.
Veámoslo:
Si colocamos $4000 por dos años al 12% bimensual capitalizando bimensualmente el monto será
M  4000 1  0,12 
12
 4000 1,12 
12
 15584.
Ahora, si el mismo capital lo colocamos al 40,493% semestral, capitalizando semestralmente el monto
será M  4000 1  0,40493   4000 1, 40493   15584.
4
4
Fórmula para hallar una tasa equivalente a una dada.
Tenemos dos tasas equivalentes rn y otra rp siendo los períodos de colocación n y p.
n
Entonces Mn  C 0 1  rn 

y M p  C 0 1  rp
n

iguales tenemos que C 0 1  rn  =C 0 1  rp

p

p
. Como el monto de ambas colocaciones deben ser

n
 1  rn  = 1  rp

p
Ahora, por ejemplo, si colocamos un capital por 1 un año, y la capitalización con respecto a p es
semestral, p = 2 y si el otro período es trimestral, n = 4. Por lo tanto podemos expresar a n como 2p. en
general nos queda n = kp. Entonces,
p

 1  r k  = 1  r
n
p



p
kp
1  rn 

= 1  rp

p
aplicando potencia de potencia tenemos:
k
  1  rn   1  rp  1  rn  k 1  rp  rn  k 1  rp  1
También podeos calcularla como
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
rn  1  rp

1
k
1
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Repartido Nº3 – Interés Simple y Compuesto
Ejemplo:
Supongamos que queremos hallar la tasa semestral equivalente a una trimestral del 12% si el tiempo
de colocación fue cuatro años.
1
1
2
Tenemos que n = 8, p = 16, entonces k =
. Por lo tanto: rn  2 1  0,12  1  rn  1,12   1 
2
 rn  0,2544.
De esta forma llegamos a ver que la tasa semestral equivalente a una trimestral del 12% para cuatro
años de colocación es del 25,44%
Ejercicio 78
Calcula la tasa cuatrimestral equivalente a una tasa semestral del 15% si el tiempo de colocación es de
tres años y medio.
Ejercicio 79
Completa la siguiente tabla, calculando las tasas menuales, bimestales, trimestrales y semestrales
equivalentes a las tasas anuales indicadas.
Tasa anual
2%
6%
12%
r anual
n=12
n=6
n=4
n=2
Ejercicio 80
Completa la siguiente tabla con los distintos tipos de tasas en un año.
%
5
6
10
12
20
30
50
80
r
nominal
anual
PRO
POR
CIO
NAL
Semes
n=2
Cuatrim
n=3
Trim
n=4
Bim
n=6
E
%
r nominal anual
5
6
10
12
20
30
50
80
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Semes
n=2
QUI
Cuatrim
n=3
VA
Trim
n=4
E
Mens
n=12
Semes
n=2
LEN
Bim
n=6
FEC
TI
VA
Cuatrim
n=3
Trim
n=4
Bim
n=6
Mens
n=12
TE
Mens
n=12
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Repartido Nº3 – Interés Simple y Compuesto
Comparación gráfica ente monto simple y monto compuesto
Supongamos que un capital inicial C es $1, considerando valores constantes para la tasa r y
consideranto a t variable, analizaremos las fórmulas de los montos en ambas situaciones a partir de su
represenatación gráfica.
Como el monto a interés simple es
M  C . 1  r .t  y C = 1, tenemos que M  1  r .t. Como r es una
constante y t variable, tenemos una función
M : M t   1  r .t , donde t es el tiempo que transcurre
(en el período que se elija: años, meses, días, cuatrimestres, etc.).
Esta función es lineal, por lo tanto su gráfico será una recta. Si observamos la expresión de la función,
es fácil ver que la ordenada en el origen es 1 (ya que en el momento de la colocación, el monto es el
capital que se coloca.
y
M
1
t
Ahora, el monto a interés compuesto es
M  C 1  r 
t
, siendo t
los períodos de capitalización y r las tasas al tanto por uno en el
mismo período de tiempo, como C = 1 tenemos
M  1  r  .
n
Al
ser r una constante positiva, r + 1 es mayor que 1, por lo que
estamos en presencia de una función exponencial de base mayor
que 1. Por lo que su gráfico sería el de la derecha.
Comparación de los gráficos
Si representamos ambos gráficos en un mismo par
de ejes llegamos a la gráfica de la izquierda.
Ejercicio 81
Indica cuáles son las coordenadas del punto A y
justifica por qué siempre serán las mismas. Indica
cuál es la abscisa del punto B y justifica por qué
siempre será la misma.
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Repartido Nº3 – Interés Simple y Compuesto
Ejercicio 82
Cecilia y Verónica tienen, cada una $36000. el primero de setiembre Cecilia deposita su dinero en un
banco a interés simple a una tasa de 45% cuatrimestral. Verónica, en cambio, lo coloca en otro banco a
interés compuesto con capitalización bimensual y una tasa del 7% mensual. Si deben retirar su dinero
el primero de febrero para un viaje que realizarán en carnaval, ¿cuál de ellas tendrá más dinero?
Ejercicio 83
Si un capital de $25000 es colocado a una tasa de interés simple mensual de $8%, calcula el monto en
función del tiempo en meses. Luego calcula la fórmula del monto en función del tiempo en meses que se
obtiene de colocar el mismo capital, a la misma tasa mensual con una capitalización de los intereses
mensual.
Grafica las dos funciones en un mismo par de ejes y responde las siguientes preguntas:
a) ¿En qué momento comienza a ser mayor el monto que se obtiene con el capital colocado a interés
compuesto?
b) ¿Cuál es el monto obtenido en ambos casos al año?
c) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el monto que se obtiene de colocar el capital a interés simple
es el doble de dicho capital? ¿Y el que se obtiene al colocarlo a interés compuesto?
Bibliografía y materiales consultados
 “Matemática financiaera” Tomo 2 – Guiilermo Abella Zuasti y Norberto José Giménez Perillo –
Ediciones Ideas
 “Matemáticas financieras” – Gullermo Pastor – Editorial Conalep
 “Matemática Financiera” – Pol Santandreu – Ediciones Gestión 2000, S.A.
 Repartido Nº2 para 3ero de Bachillerato opción Social Humanística a cargo del Profesor Aníbal
Leprate.
 Material de apoyo del curso del Colegio San Juan Bautista para sexto de derecho a cargo del
Profesor Carlos Buela, entre otros.
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