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OPTIMIZACIÓN
SIN
RESTRICCIONES
Caso particular: funciones de
una variable
Función no derivable y
con tres óptimos (2
mínimos y 1 máximo)
mínimo
♦ Condiciones necesarias de
máximo
mínimo
Función derivable y
con cuatro óptimos (2
mínimos y 2 máximos)
optimalidad para problemas
sin restricciones
♦ Condiciones suficientes de
optimalidad
mínimo
máximo
máximo
mínimo
Las técnicas de optimización basadas
en el cálculo diferencial tienen
dificultades para distinguir los
óptimos globales
Caso de funciones derivables
de una variable
Máximo
Punto de
inflexión
Calcular los valores en los que se anula la
primera derivada: f ' (c) = 0
2. Estudiar el signo de la derivada segunda
1.
Mínimo
La gráfica de la función tiene tangente
horizontal en todos los óptimos
Existen puntos con tangente horizontal pero
que no son óptimos
Optimización de funciones
diferenciables de varias
variables
♦ Condiciones de optimalidad de primer
orden
♦
♦
♦
Si f '' (c) > 0 entonces en c se alcanza un mínimo
Si f '' (c) < 0 entonces en c se alcanza un máximo
Si f '' (c) = 0 habría que evaluar las siguientes
derivadas hasta encontrar la primera que no sea
nula
♦
♦
Si esa derivada es de orden impar, entonces el punto no
es óptimo (punto de inflexión)
Si esa derivada es de orden par, el punto sería mínimo
o máximo dependiendo de su signo
Puntos críticos
♦ Dada una función f(x), un punto x0 es un
punto crítico cuando
∇f ( x 0 ) = 0
– Uso del vector gradiente de la función
♦ Condiciones de segundo orden
– Clasificación de matrices hessianas
Calcular los puntos críticos
de una función implica la
resolución de un sistema de n
ecuaciones con n incógnitas
∂f
(x 0 ) = 0
∂x1
∂f
(x 0 ) = 0
∂x2
LLLLL
∂f
(x 0 ) = 0
∂xn
1
Condición necesaria de
optimalidad
♦ Todo óptimo local de una función es
necesariamente un punto crítico
♦ Las soluciones del sistema resultante de
igualar a 0 el vector gradiente son los
únicos candidatos a óptimos de la
función
♦ No todo punto crítico es óptimo
Puntos de silla
♦ A los puntos críticos que no son óptimos se
les denomina puntos de silla
Ejemplo de punto de silla de la función:
f(x,y)= x 2 – y 2
∂f
⎫
( x, y ) = 2 x = 0 ⎪
∂x
⎪
⎬ ⇒ ( x, y ) = (0,0)
∂f
( x, y ) = −2 y = 0⎪
∂y
⎭⎪
f (0, t ) < f (0,0) < f (t ,0) ∀ t ≠ 0
El punto (0,0) no puede
ser máximo ni mínimo
−t2 < 0 < t2
(0,0) es un punto de silla
Dominio de la función
f(x,y)= x 2 – y 2
-+ + + + + + + + + + +
+++++++++++
+
0 (t,0)
Cualquier entorno del (0,0)
El (0,0) no puede ser ni máximo
contiene puntos en los que la
ni mínimo
función toma mayores valores que
en el (0,0) y también puntos con
-
Representación gráfica tridimensional de la función
f(x,y)= x 2 – y 2
1
0.5
1
0
0.5
-0.5
-1
-1
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1
-1
menores valor de la función
Curvas de nivel de la función
f(x,y)= x 2 – y 2
Optimización de funciones
cóncavas y convexas
♦ En los problemas convexos las
condiciones necesarias de primer orden
son además condiciones suficientes de
optimalidad
– Todo punto crítico de una función convexa
es mínimo global
– Todo punto crítico de una función cóncava
es máximo global
La globalidad de los óptimos se puede garantizar
basándose en el Teorema Fundamental de la Programación
Convexa
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Condiciones necesarias de
optimalidad de segundo orden
Condiciones suficientes de
optimalidad de segundo orden
♦ Si x0 es un mínimo local de la función f(x)
∇f ( x 0 ) = 0
entonces necesariamente es un punto crítico y
la matriz Hf(x0) es semidefinida positiva
♦ Si x0 es un máximo local de la función f(x)
entonces necesariamente es un punto crítico y
la matriz Hf(x0) es semidefinida negativa
Hf (x 0 ) semidef positiva
⎫
⎪
⎬ ⇒ x 0 mínimo global
Hf (x) semidef positiva ∀x ⎪⎭
Caso de funciones convexas
Caso de funciones cóncavas
∇f ( x 0 ) = 0
Si x0 es un punto crítico de f(x) y la matriz
Hf(x0) es indefinida, entonces x0 es un punto
de silla
⎫
⎪
⎬ ⇒ x 0 máximo global
Hf (x) semidef negativa ∀x ⎪⎭
Hf (x 0 ) semidef negativa
Caso general
∇f ( x 0 ) = 0
⎫
⎬ ⇒ x 0 mínimo local
Hf (x 0 ) definida positiva ⎭
∇f ( x 0 ) = 0
⎫
⎬ ⇒ x 0 máximo local
Hf (x 0 ) definida negativa ⎭
En este caso no se puede asegurar la globalidad
de los óptimos
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