5. Barrera de potencial: efecto túnel

Apuntes de la asignatura
Quı́mica Fı́sica II (Licenciatura en Quı́mica)
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
Ángel José Pérez Jiménez
Dept. de Quı́mica Fı́sica (Univ. Alicante)
Índice
1. Caracterı́sticas de los sistemas a analizar
3
2. Partı́cula libre unidimensional: espectro continuo
2.1. Descripción del problema: forma del potencial . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Solución general de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
2.3. Análisis de las funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Paquete de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
4
5
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3. Partı́cula en caja unidimensional: espectro discreto
3.1. Descripción del problema: forma del potencial . . . .
3.2. Solución general de la ecuación de Schrödinger . . .
3.3. Condiciones de contorno: espectro discreto . . . . .
3.4. Análisis del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Análisis de la función de onda . . . . . . . . . . . .
3.6. Valores esperados de observables . . . . . . . . . .
3.7. Aplicación como modelo en otros sistemas . . . . .
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9
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4. Partı́cula en cajas bi y tridimensionales: degeneración
10
4.1. Caja bidimensional: separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2. Caja tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Barrera de potencial: efecto túnel
5.1. Descripción del problema: forma del potencial . . . . . . . . . .
5.2. Solución general de la ecuación de Schrödinger: efecto túnel . .
5.3. Condiciones de contorno: coeficientes de reflexión y transmisión
5.4. Efecto túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Importancia del efecto túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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13
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14
6. Oscilador armónico
6.1. Oscilador armónico unidimensional: tratamiento clásico .
6.2. Oscilador armónico unidimensional: tratamiento cuántico
6.3. Análisis del espectro y la función de onda . . . . . . . .
6.4. Oscilador armónico tridimensional . . . . . . . . . . . .
7. Problemas
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20
1 Caracterı́sticas de los sistemas a analizar
1.
3
Caracterı́sticas de los sistemas a analizar
Sencillez matemática y riqueza en información fı́sico-quı́mica. Vamos a aplicar los postulados introducidos en la sección anterior a un conjunto de sistemas sencillos por las siguientes
razones:
La ecuación de Schrödinger es relativamente fácil de resolver.
Permiten ilustrar diferencias y similitudes entre el comportamiento clásico y cuántico
Existen muchos fenómenos fı́sicos que se pueden modelar empleando estos sistemas.
Potenciales independientes del tiempo. Estudiaremos sistemas:
De una sola partı́cula.
En los que el potencial es independiente del tiempo → estados estacionarios.
Resolviendo la correspondiente ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Condiciones de contorno.
Juegan un papel decisivo, tanto a nivel matemático como fı́sico.
Determinan qué soluciones a la ecuación de Schrödinger son fı́sicamente razonables una
vez determinada la forma del potencial al que está sometida la partı́cula.
Confinamiento y cuantización.
Existe una relación entre la cuantización de la energı́a (espectro discreto) y el confinamiento de la partı́cula en ciertas regiones debido al potencial: estados ligados.
Si la partı́cula puede moverse hasta el infinito el estado es no ligado y no hay cuantización
energética (espectro continuo).
Si el confinamiento del potencial se produce sólo hasta cierta energı́a la partı́cula tendrá:
• Estados ligados y espectro discreto por debajo de dicha energı́a.
• Estados no ligados y espectro continuo por encima de dicha energı́a.
2.
2.1.
Partı́cula libre unidimensional: espectro continuo
Descripción del problema: forma del potencial
Consideremos un sistema compuesto por una partı́cula de masa m que se mueve libremente
en una dimensión (por ejemplo, el eje x) del espacio.
Por tanto, el potencial sobre ella es constante, y podemos tomarlo arbitrariamente como cero:
V (x) = 0
(1)
y su operador Hamiltoniano sólo incluirá la contribución de energı́a cinética:
Ĥ =
h̄2 ∂ 2
p̂2x
=−
2m
2m ∂x2
(2)
4
2.2.
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
Solución general de la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo adopta, pues, la forma:
Ĥψ(x) = Eψ(x) 7−→ −
h̄2 d2 ψ(x)
= Eψ(x) 7−→ ψ 00 + k 2 ψ = 0
2m dx2
(3)
donde
k2 =
2mE
h̄2
(4)
es el vector de ondas.
La solución general es una combinación lineal de dos exponenciales complejas (ondas planas):
ψk (x) = A+ eikx + A− e−ikx
(5)
donde A+ y A− son dos constantes arbitrarias.
La función de onda completa viene dada por el estado estacionario:
Ψk (x, t) = ψk (x)e−iEt/h̄ = A+ ei(kx−ωt) + A− e−i(kx−ωt)
(6)
donde:
ω=
E
h̄k 2
=
h̄
2m
(7)
El primer término
Ψ+ (x, t) = A+ ei(kx−ωt)
(8)
representa la función de onda correspondiente a una partı́cula libre viajando hacia la derecha
con momento lineal y energı́as bien definidas:
p+ = h̄k
h̄k 2
E+ =
2m
(9)
(10)
El segundo término
Ψ− (x, t) = A− e−i(kx−ωt)
(11)
es la función de onda de una partı́cula libre que viaja hacia la izquierda con momento y energı́a:
p− = −h̄k
h̄k 2
E− =
2m
(12)
(13)
Al no haber condiciones de contorno no hay restricciones a los valores de la energı́a → espectro
continuo.
3 Partı́cula en caja unidimensional: espectro discreto
2.3.
5
Análisis de las funciones de onda
La densidad de probabilidad de cada solución es constante:
P± (x, t) = |Ψ± (x, t)|2 = |A± |2
(14)
es decir: no depende de x ni de t.
En otras palabras: es igualmente probable encontrar a la partı́cula en cualquier punto del
espacio → completa pérdida de información sobre la posición de la partı́cula.
Esto está de acuerdo con el principio de indeterminación de Heisenberg, pues el momento
lineal está perfectamente definido en cada caso:
∆p=0
∆p∆x ≥ h̄/2 =⇒ ∆x = ∞.
2.4.
(15)
Paquete de ondas
Las funciones Ψ± (x, t) no son de cuadrado integrable → no tienen validez fı́sica.
Las soluciones fı́sicamente correctas de la ecuación de Schrödinger son paquetes de ondas:
Z +∞
1
ψ(k)ei(kx−ωt) dk
ψ(x, t) = √
(16)
2π −∞
si bien el momento lineal ya no está perfectamente definido, aunque tampoco existe una
completa indeterminación en la posición de la partı́cula.
3.
Partı́cula en caja unidimensional: espectro discreto
3.1.
Descripción del problema: forma del potencial
Vamos a estudiar el siguiente sistema formado por una partı́cula confinada por dos barreras
infinitas de energı́a potencial, de tal manera que (ver figura 1):
VI (x) = ∞
VII (x) = V0 (= 0)
x<0yx>a
0≤x≤a
I
II
V=oo
I
V=0
0
(17)
(18)
V=oo
a
x
Figura 1: Potencial para una partı́cula confinada en una caja unidimensional de longitud a.
6
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
3.2.
Solución general de la ecuación de Schrödinger
Vamos a resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este sistema
Ĥψ = Eψ
(19)
Comenzamos dividiendo el problema en dos partes, una para cada región:
Región I:
ĤI ψI = EI ψI
(20)
Región II:
ĤII ψII = EII ψII
(21)
A continuación resolvemos la ecuación de la región I:
h̄2 ∂ 2
ψI + ∞ψI = EI ψI
2m ∂x2
h̄2 ∂ 2 ψI
−
+ (∞ − EI )ψI = 0
2m ∂x2
,→ ψI = 0
−
(22)
(23)
(24)
En otras palabras, si V = ∞ la partı́cula no puede atravesar la barrera.
La solución general en la región II es la que corresponde a una partı́cula libre:
ψII (x) = Ceikx + De−ikx
(25)
Teniendo en cuenta que
2mE
h̄2
= cos kx ± i sen kx
k2 =
e±ikx
la solución anterior también puede expresarse como:
√
√
2mE
2mE
ψII (x) = A cos
x + B sen
x
h̄
h̄
3.3.
(26)
(27)
(28)
Condiciones de contorno: espectro discreto
Para garantizar que ψ sea continua es necesario imponer las condiciones de contorno siguientes:
ψI (0) = ψII (0) = 0 ⇒
ψI (a) = ψII (a) = 0 ⇒
A cos(0) + Bsen(0) = 0 ⇒ A = 0
Bsen(ka) = 0 ⇒ ka = nπ, n = 1, 2, 3, . . .
(29)
(30)
Dada la relación entre k y la energı́a dada por (26), se tiene que los valores de ésta están
cuantizados:
n2 π 2 h̄2
2mE = h̄ k =
a2
2 2
nh
tal que n = 1, 2, 3, . . .
En =
8ma2
2 2
(31)
(32)
3 Partı́cula en caja unidimensional: espectro discreto
7
Queda por determinar el valor de B, para lo cual aplicamos la condición de normalización de
ψ. Como ésta es distinta de cero sólo si 0 ≤ x ≤ a:
Z
a
1=
0
B2
=
2
B2
=
2
Z
nπx a
ψ ψdx = B
sen2
dx
a
0
Z a
1 − cos (2nπx/a) dx
0
a
B2
a
2nπ B2a
x−
sen
x =
(a − 0) =
2nπ
a
2
2
0
∗
2
q
de donde se deduce que B =
2
a
, luego:
r
ψn (x) =
nπx 2
sen
a
a
(34)
Análisis del espectro
n
E(h2/8ma2)
3.4.
(33)
25
5
16
4
9
3
4
2
1
0
1
Figura 2: Diagrama de niveles energéticos para una partı́cula en una caja unidimensional
La energı́a más baja es distinta de cero
,→ energı́a de punto cero
,→ principio de indeterminación: si E = 0 → p = 0 → ∆p = 0, pero ∆x = a.
8
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
La separación entre dos niveles energéticos es:
π 2 h2
∆E = (2n + 1)
2ma2
lı́m ∆E = 0 → partı́cula libre
(35)
(36)
a→∞
lı́m ∆E = 0 → partı́cula clásica
(37)
m→∞
Principio de correspondencia: el comportamiento discontinuo no se puede apreciar en sistemas
macroscópicos
,→ (h2 es del orden de 10−53 erg2 s2 )
,→ cuanto mayores son a y m, más próximos están los niveles y en partı́culas grandes y recintos
proporcionales, la Mecánica Cuántica lleva al continuo de la Mecánica Clásica.
3.5.
Análisis de la función de onda
ψ4(x)
|ψ4(x)|2
ψ3(x)
|ψ3(x)|2
ψ2(x)
|ψ2(x)|2
ψ1(x)
|ψ1(x)|2
0
a
x
0
a
x
Figura 3: Funciones de onda y sus módulos al cuadrado para los cuatro primeros estados de la
partı́cula en una caja monodimensional
La densidad de probabilidad de encontrar a la partı́cula no es uniforme en toda la caja y
depende del estado en cuestión.
Cuando n = 1, la partı́cula se puede encontrar en cualquier punto entre 0 y a.
Para n = 2 existe un punto, el a/2, en el que la función es igual a cero, y la densidad de
probabilidad de encontrar la partı́cula es nula: nodo.
El número de nodos en cada estado es n − 1.
Cuando n → ∞ el número de nodos es tan grande que la probabilidad de encontrar la partı́cula
entre x y x + ∆x serı́a la misma para toda la caja → lı́mite clásico.
4 Partı́cula en cajas bi y tridimensionales: degeneración
9
Para n par (impar) la función de onda es par (impar) respecto al centro de la caja.
Como no hay degeneración y las funciones de onda son autofunciones de un operador Hermı́tico
deben ser ortogonales entre sı́:
hψn | ψm i = 0
(38)
cuya demostración se deja como ejercicio.
3.6.
Valores esperados de observables
p̂2 y Ĥ conmutan, siendo ψn (x) autofunción simultánea de ambos, por lo que tanto el módulo
del momento lineal como la energı́a tienen valores simultáneos bien definidos para los estados
representados por ψn (x):
p
| p~ | = + p2
r
r
2
∂
2
nπx
2 n2 π 2
nπx
h2 n2
p̂2 ψ = −h̄2 2
sen
= h̄2
sen
=
ψ(x)
∂x
a
a
a a2
a
4a2
hn
,→| p~ |=
2a
Sin embargo ψn (x) no es autofunción de p̂, por lo que el momento lineal no está bien definido.
Se puede comprobar que el valor esperado del mismo es cero:
Z a
hp̂i = hψn |p̂|ψn i ∝
(39)
sen(nπx/a) cos (nπx/a) = 0
0
También podremos comprobar el principio de indeterminación de Heisenberg: La partı́cula
puede estar entre 0 y a, luego ∆x = a, mientras que el momento puede ser ±(hn)/(2a), es
decir la incertidumbre en px es hn/a:
∆x∆px = (hn/a)a = hn ≥ h̄/2
3.7.
(40)
Aplicación como modelo en otros sistemas
Este modelo puede usarse, además, para
Representar los electrones π de hidrocarburos lineales insaturados
En su versión tridimensional (ver más abajo), para deducir los niveles energéticos de un gas
de partı́culas no interactuantes.
10
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
V=oo
V=oo
0
b
V=0
V = oo y
a
V = oo
x
Figura 4: Pozo de potencial bidimensional de profundidad infinita
4.
4.1.
Partı́cula en cajas bi y tridimensionales: degeneración
Caja bidimensional: separación de variables
En este caso la partı́cula se encuentra confinada en una caja rectangular de lados a y b, como la
de la figura 4.
La ecuación de Schrödinger es:
Ĥψ(x, y) = Eψ(x, y)
h̄2 ∂ 2
∂2 Ĥ = −
+
= Ĥx + Ĥy
2m ∂x2 ∂y 2
(41)
(42)
Tal y como vimos en los Temas 3 y 4 podemos aplicar la técnica de separación de variables:
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y)
(43)
,→ (Ĥx + Ĥy )ψ(x)ψ(y) = (Ex + Ey )ψ(x)ψ(y)
(44)
,→ Ĥx ψ(x) = Ex ψ(x)
(45)
,→ Ĥy ψ(y) = Ey ψ(y)
(46)
La solución de cada ecuación es la misma que para una caja unidimensional, de forma que:
n πx n πy 2
x
y
√
sen
sen
, nx = 1, 2, 3, . . . ; ny = 1, 2, 3, . . .
ψnx ,ny (x, y) =
(47)
a
b
ab
π 2 h̄2 n2x n2y Enx ,ny =
+ 2
(48)
2m a2
b
de forma que tanto la función de onda como la energı́a dependen de dos números cuánticos.
4 Partı́cula en cajas bi y tridimensionales: degeneración
11
Se observan lı́neas nodales siempre que nx , ny 6= 1: ver figura 5.
En el caso particular de una caja bidimensional cuadrada (a = b), cuando nx 6= ny aparecen
dos estados degenerados cuando nx 6= ny . La degeneración es consecuencia de la simetrı́a del
potencial causada por la simetrı́a de la propia caja.
Para una caja no cuadrada (a 6= b), y dependiendo de los valores de a y b también pueden
aparecer estados degenerados → degeneración accidental (no causada por la simetrı́a).
ψ1,1
|ψ1,1|2
0
0
0
0
x
y
x
y
b a
ψ1,2
b a
|ψ1,2|2
0
0
0
0
x
y
x
y
b a
ψ2,2
b a
|ψ2,2|2
0
0
0
0
x
y
b a
x
y
b a
Figura 5: Funciones de onda y sus módulos al cuadrado para los primeros estados de una partı́cula
en una caja bidimensional con a = b.
12
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
4.2.
Caja tridimensional
La generalización a tres dimensiones es sencilla. Aplicando la técnica de separación de variables
se llega a:
r
n πx n πy n πz 23
x
y
z
sen
sen
sen
, nx , ny , nz = 1, 2, 3, . . .
abc
a
b
c
π 2 h̄2 n2x n2y n2z + 2 + 2
=
2m a2
b
c
ψnx ,ny ,nz (x, y, z) =
Enx ,ny ,nz
(49)
(50)
Aparecerá degeneración si al menos dos de los lados son iguales, siendo superior a dos si a =
b = c.
5.
5.1.
Barrera de potencial: efecto túnel
Descripción del problema: forma del potencial
Consideramos un haz de partı́culas que se envı́an por la izquierda a una barrera de potencial
de altura V0 > 0 y anchura a.

 0 x<0
V0 0 ≤ x ≤ a
V (x) =

0 x>a
(51)
Nos limitarnos al caso en que la energı́a de las mismas es inferior a dicha barrera: E < V0 (ver
figura 6).
V0
E
Bexp(−ikx)
Aexp(ikx)
Cexp(k’x)
+
Dexp(−k’x)
0
Eexp(ikx)
a
Figura 6: Barrera de potencial
5 Barrera de potencial: efecto túnel
5.2.
13
Solución general de la ecuación de Schrödinger: efecto túnel
Como el potencial es repulsivo no existen estados ligados → problema de dispersión o scattering.
Las soluciones en las tres regiones ası́ definidas son exponenciales complejas a cada lado de la
barrera, donde V (x) = 0 (partı́cula libre).
En el interior de la barrera, donde V (x) > 0, la ecuación de Schrödinger viene dada por:
ψ 00 − k 02 ψ = 0
2m(V0 − E)
k 02 =
h̄2
(52)
(53)
cuya solución general es:
0
0
ψ(x) = Cek x + De−k x
(54)
Ası́ pues, la función de onda adopta las siguientes formas en cada región:

 ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx x < 0
0
0
ψ(x) =
ψ2 (x) = Cek x + De−k x 0 ≤ x ≤ a

ψ3 (x) = Eeikx
x>a
(55)
donde
2mE
h̄2
2m(V0 − E)
k 02 =
h̄2
k2 =
5.3.
(56)
(57)
Condiciones de contorno: coeficientes de reflexión y transmisión
Definimos los correspondientes coeficientes de transmisión y reflexión como:
|B|2
|A|2
|E|2
T =
|A|2
R=
(58)
(59)
La continuidad de ψ(x) y su primera derivada en x = 0 y en x = a conduce a las siguientes
condiciones de contorno:
A+B =C +D
ik(A − B) = k 0 (C − D)
0
0
Cek a + De−k a = Eeika
0
0 k 0 Cek a − De−k a = ikEeika
(60)
(61)
(62)
(63)
14
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
Introduciendo las ecuaciones anteriores en la definición de R y T , y tras unas cuantas manipulaciones algebraicas se llega a:
√
T
senh2 λ 1 − ε
4ε(1 − ε)
"
#
√
−1
1
T = 1+
senh2 λ 1 − ε
4ε(1 − ε)
q
λ = a 2mV0 /h̄2
R=
ε = E/V0
(64)
(65)
(66)
(67)
Caso particular:
√
√
1
Si E V0 → ε 1 → senh λ 1 − ε ' exp λ 1 − ε
2!
√
p
16E
E
−2λ 1−ε
=
,→ T ' 16ε(1 − ε)e
1−
exp −(2a/h) 2m(V0 − E)
V0
V0
5.4.
Efecto túnel
Por tanto, el coeficiente de transmisión tiene un valor distinto de cero.
Efecto túnel: objetos mecano cuánticos pueden atravesar barreras que son impenetrables
desde el punto de vista clásico.
El efecto túnel es un efecto puramente mecano cuántico debido al aspecto ondulatorio de los
objetos microscópicos.
T es tanto menor cuanto mayor es la anchura de la barrera y la masa de la partı́cula.
Tomando el lı́mite clásico (h̄ → 0) los coeficientes T y R se reducen al resultado clásico:
T = 0, R = 1.
T → 0 si V0 → ∞: partı́cula en una caja.
5.5.
Importancia del efecto túnel
Algunos fenómenos donde el efecto túnel tiene una importancia decisiva son los siguientes:
Emisión espontánea de partı́culas α por los núcleos atómicos: las energı́as cinéticas de las
mismas son más pequeñas que la energı́a requerida para abandonar el núcleo (ver figura 7).
Si N representa el número de colisiones de las partı́culas con la barrera por unidad de tiempo,
la probabilidad de penetrarla es N · T . La inversa de esta cantidad es la vida media de la
partı́cula.
5 Barrera de potencial: efecto túnel
15
Energia
V=V(r)
Energia cinetica de
la particula
r
0
Distancia al nucleo
Figura 7: Energı́a potencial para las fuerzas de enlace nucleares que mantienen a una partı́cula α.
Se cree que el efecto túnel es importante en reacciones de óxido-reducción y en reacciones en
los electrodos.
Otro ejemplo es la inversión tipo paraguas de moléculas piramidales como NH3 , PH3 o AsH3 :
los protones pasan la barrera por efecto túnel: ver Figura 8.
Energia
H
N
H
H
H
H
N
H
V=V(r)
V0
E
Coordenada
de inversion
Figura 8: Pozo de potencial en el que se produce la inversión tipo paraguas del amoniaco.
El efecto túnel es importante para describir el transporte de carga en dispositivos electrónicos
como el microscopio de efecto túnel.
16
6.
6.1.
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
Oscilador armónico
Oscilador armónico unidimensional: tratamiento clásico
Es un sistema unidimensional en el que la fuerza es directamente proporcional y de sentido
opuesto al desplazamiento respecto de un punto central:
dV (x)
1
F = −kx = −
7−→ V (x) = kx2
(68)
dx
2
donde k se denomina constante de fuerza.
La integración de la ecuación clásica del movimiento (segunda ley de Newton) conduce a:
x(t) = Asen(ωt + b)
r
k
ω=
frecuencia angular
m
b : elongación inicial
A : elongación máxima (amplitud)
(69)
(70)
(71)
(72)
Descripción clásica: interconversión entre energı́a cinética y potencial
x=0
x=A
0 < x < |A|
6.2.
V =0
V = Vmax
T = Tmax
T =0
1
T + V = E = kA2 = const.
2
(73)
(74)
(75)
Oscilador armónico unidimensional: tratamiento cuántico
El modelo es especialmente útil para una gran variedad de fenómenos oscilatorios, y en especial
en el estudio de la vibración de moléculas.
Ecuación de Schrödinger: ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.
−
h̄2 d2 ψ(x) mω 2 2
+
x ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
2
d2 ψ(y)
− y 2 ψ(y) = −εψ(y)
dy 2
y ≡ α1/2 x
mω
α≡
h̄
2E
ε=
h̄ω
(76)
(77)
(78)
(79)
(80)
Caso lı́mite: y → ±∞
d2 ψ(y)
= y 2 ψ(y)
2
dy
2
,→ ψ(y) = e±y /2
−y 2 /2
,→ ψ(y) = e
(81)
(82)
(cuadrado integrable)
(83)
6 Oscilador armónico
17
Solución general: polinomio × solución lı́mite → ±∞
ψ(y) = f (y)e−y /2
d2 f
df
0 = 2 − 2y + (ε − 1)f
dy
dy
∞
X
f (y) =
aj y j
2
(84)
(85)
(86)
j=0
an+2 =
2n + 1 − ε
an
(n + 2)(n + 1)
(87)
Condición de contorno: ψ(y) debe ser de cuadrado integrable
,→ el polinomio debe tener grado finito
,→ los coeficientes aj deben anularse a partir de un cierto orden
an+2 = 0 → 2n + 1 − ε = 0
1
1
En = h̄ω n +
= hν n +
n = 0, 1, 2, . . .
2
2
α 1/4
2
ψn (x) = (2n n!)−1/2
Hn (α1/2 x)e−αx /2
π
n
d
2
2
Hn (y) = (−1)n ey
e−y
n
dy
(88)
(89)
(90)
(91)
Tabla 1: Polinomios de Hermite
n
0
1
2
3
4
5
6.3.
Hn (y)
1
2y
4y 2 − 2
8y 3 − 12y
16y 4 − 48y 2 + 12
32y 5 − 160y 3 + 120y
Análisis del espectro y la función de onda
En la Figura 9 se representan las funciones de onda y el módulo al cuadrado de los primeros
estados del oscilador armónico.
De su análisis se observa que:
1. La separación energética es constante, pues En ∝ n, y que E0 6= 0: energı́a vibracional del
punto cero.
2. El número de nodos coincide con n, que es también el grado del polinomio de Hermite.
3. La función de onda se extiende más allá del punto de retorno clásico E = V → presencia de
la partı́cula en regiones clásicamente prohibidas → relación con el efecto túnel.
18
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
6
n=10
n=5
5
n=4
E/hν
n=3
3
|ψn|2
4
n=4
n=2
2
n=1
n=0
1
n=0
0
-4
-2
0
x
2
4
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
Figura 9: Izquierda: niveles energéticos y funciones de onda para los primeros estados del oscilador
armónico monodimensional (la lı́nea discontinua representa el potencial al que está sometida la
partı́cula). Derecha: cuadrado de la función de onda del oscilador armónico monodimensional para
el estado fundamental y dos estados excitados.
4. En el estado fundamental la densidad de probabilidad es máxima en el origen, pero se va
desplazando hacia los extremos a medida que n aumenta (lı́mite clásico).
6.4.
Oscilador armónico tridimensional
Forma del potencial:
1
1
1
V (x, y, z) = mωx2 x2 + mωy2 y 2 + mωz2 z 2
2
2
2
(92)
La técnica de separación de variables permite separar la ecuación de Schrödinger en tres
ecuaciones similares a (76), de manera que:
Enx ,ny ,nz = Enx + Eny + Enz
1
1
1
= nx + h̄ωx + ny + h̄ωy + nz + h̄ωz ; nx , ny , nz = 0, 1, 2, . . . (93)
2
2
2
ψnx ,ny ,nz = ψnx (x)ψny (y)ψnz (z)
(94)
En el caso particular en que
ωx = ωy = ωz = ω
3
Enx ,ny ,nz = nx + ny + nz + h̄ω
2
(95)
(96)
se tiene un oscilador armónico isotrópico. La degeneración del n-ésimo nivel energético es:
1
gn = (n + 1)(n + 2)
2
n = nx + ny + nz
(97)
(98)
6 Oscilador armónico
que coincide con el número de maneras en que los tres enteros no negativos nx , ny y nz
pueden elegirse para que sumen el mismo valor n.
19
20
Tema 5: Aplicación de los postulados a sistemas sencillos
7.
Problemas
1: Considerando que un electrón en una molécula se comporta de una manera parecida a la de
un electrón en una caja de potencial mono-dimensional de una anchura del orden del Angstrom (Å),
calcular los niveles de energı́a de un electrón en una caja de 3 Å de anchura, en J/e− y kcal/mol.
Calcular la frecuencia de la radiación absorbida por un electrón para pasar del nivel n = 1 al n = 2,
y la energı́a precisa para ello en kcal/mol. Una molécula de nitrógeno en una caja de 10 cm puede
ocupar unos niveles mucho menos separados que los del anterior electrón, ¿por qué? Calcularlos.
Datos:
Ψn = N sin nπx
a
h = 6,6261 · 10−34 J · s
me = 9,1094 · 10−31 kg
NA = 6,0221 · 1023 mol−1
2:
a) ¿A que distancia es máxima la probabilidad de encontrar una partı́cula en el nivel n = 2 de
una caja de potencial monodimensional de anchura a?; b) Calcular la densidad de probabilidad de
encontrar a la partı́cula sometida a un potencial tipo caja para los estados n=1 y n=2, en los puntos
x=a/4, a/2 y 3a/4; c) Calcular la probabilidad de encontrar a la partı́cula en una caja unidimensional
para el estado n=1, en los intervalos [0,a/4] y [a/4,a/2].
3:
La expresión de la energı́a cuando el potencial es del tipo caja bidimensional es:
h2 n2x n2y
Enx ,ny =
+ 2
8m a2
b
siendo a y b las dimensiones de la caja a lo largo de los ejes x e y, respectivamente. Indicar cuántos
3h2
niveles de energı́a y cuantos estados existirı́an si la caja fuera simétrica (a=b) y E ≤ ma
2.
4:
Las incertidumbres en x y px se definen como:
Z
+∞
∆x =
−∞
1/2
2
,
u (x) x − hxi u(x)dx
∗
Z
∆px =
+∞
−∞
2
u (x) p̂x − hp̂x i u(x)dx
∗
1/2
.
Determine el producto de las incertidumbres ∆x∆px para un oscilador harmónico en su estado
fundamental cuya función de onda viene dada por
1/4
α
u0 (x) =
exp −αx2 /2
π
Datos:
r
1 π
exp(−ax )dx =
2 a
0
r
Z ∞
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) π
2n
2
x exp(−ax )dx =
2n+1 an
a
0
Z
∞
2