Pr ctica 3

Mecánica Cuántica - Curso 2016
Práctica N o 3
Sistemas Cuánticos Simples - I
1. Encuentre las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial de la
forma
a) V (x) = −aδ(x)
b) V (x) = +aδ(x)
con a > 0. Muestre que en la parte a) existe un único estado ligado. Para una
partı́cula incidente de masa µ y energı́ a E, calcule el coeficiente de transmisión
(T) y el de reflexión (R) ¿Qué pasa con R y T en el caso en que la energı́a es
mayor que cero en el caso b)?
2. Encuentre las autofunciones y el espectro de energı́as para un pozo infinito de
potencial:
V (x) =
0, para |x| < a
∞, para |x| > a
3. Muestre que, si la energı́a potencial V (~r) puede escribirse como suma de funciones
de una sola coordenada cartesiana, V (~r) = V1 (x1 ) + V2 (x2 ) + V3 (x3 ), la ecuación
de Schrödinger independiente del tiempo puede descomponerse en un sistema de
ecuaciones unidimensionales:
d2 ψi (xi ) 2µ
+ 2 [Ei − Vxi ]ψi (xi ) = 0, i = 1, 2, 3
dx2i
~
con ψ(~r) = ψ1 (x1 )ψ2 (x2 )ψ3 (x3 ), y E = E1 + E2 + E3
4. Una partı́cula se mueve libremente dentro de una caja cuyos lados tienen longitudes a, b y c, con paredes impenetrables. Encuentre las autofunciones y los
valores posibles de la energı́a. Comente sobre la eventual degeneración de las
autofunciones.
5. Encuentre las energı́as de los estados ligados de una partı́cula en el pozo de
potencial dado por
V (x) =


∞, para x < 0
−V0 , para 0 < x < a

0, para x > a
Comparar estos valores con los obtenidos en el problema anterior.
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6. NOTA: Este ejercicio será explicado en clase Los neutrinos son partı́culas neutras.
Existen 3 sabores diferentes, νe , νµ y ντ . Hace algunas décadas se observó que los
mismos sufren oscilaciones entre diferentes estados de sabor. Esto se utiliza como
una prueba de que poseen, al contrario de lo planteado en el modelo estándar,
masa.
a) Considere que únicamente existen neutrinos de dos sabores, es decir que existen
autoestados de sabor dados por |νe i y |νµ i. Ignore los grados de libertad espacial y
trate al impulso p como un parámetro. De esta forma tendrá que el Hamiltoniano
es una matriz
2 × 2 en la base de autovectores de energı́a |ν1 i y |ν2 i con energı́as
q
E1,2 = p2 c2 + m21,2 c4 ∼ pc + m21,2 c3 /(2p). Asuma que los autoestados de sabor
y los de energı́a están relacionados por: |νe i = cos θ|ν1 i + sin θ|ν2 i y |νµ i =
− sin θ|ν1 i + cos θ|ν2 i, donde θ es un parámetro. Calcule la matriz que representa
al operador de evolución temporal.
b) Si a t = 0 el sistema de neutrinos se encuentra en un estado electrónico (es
decir |ψ(0)i = |νe i, encuentre, como función del tiempo, la probabilidad de que
ocurra una transición a un estado de muon. Realice lo mismo pero para analizar
la probabilidad de que tal transición no ocurra. Idem, pero suponiendo que el
estado inicial del sistema es un estado muónico de los neutrinos.
c) Obtenga (a menos de una fase irrelevante) la ecuación de Schrödinger que
satisfacen los estados del neutrino.
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