7.2 Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton

Matemáticas Discretas
Tc1003
Teoría de Grafos
7.2 Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton
EULER
Definición. Sea G un grafo sin vértices aislados. Un circuito que contiene todas
las aristas de G recibe el nombre de circuito euleriano.
Un circuito euleriano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice
y recorre cada arista exactamente una vez.
Ejemplos:
(a) No lo admite porque v4 es un vértice aislado.
(b) No lo admite porque cualquier ciclo utilizará la arista e1 dos veces.
(c) El circuito v1 e1 v2 e2 v1 es euleriano.
(d) El circuito v3 e3 v1 e1 v2 e2 v3 es euleriano.
(e) No admite ningún circuito euleriano.
(f) v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v2 e5 v5 e6 v1 es un circuito euleriano.
Existe un criterio preciso para saber cuando un grafo admite un circuito euleriano.
Este criterio lo proporciona el siguiente teorema.
Teorema. Sea G un grafo. G contiene un circuito euleriano sí y sólo sí:
• G es conexo.
• Cada vértice de G es de grado par.
Ejemplos:
Ngj/v2008
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¿Cómo recorres todas las calles de
una sola vez?
Iniciar y terminar en la Terminal de
reciclado
Figura 2
Figura 3
No hay circuito
¿Por qué?
Hay circuito
¿Por qué?
Figura 4
w− w?
Figura 5
Ngj/v2008
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Figura 6
220
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La pregunta: ¿Es posible determinar si existe una trayectoria o un circuito de Euler
sin encontrar una forma explícita?
En Figura 2
Arista E − D : grado de E = 1 una entrada y/o salida
D = 3 entrada y/o salida
Entonces si G (un grafo) tiene un vértice de grado 1 no puede tener circuitos ( x − x :
no se repite arista) tampoco se tiene grado impar porque no se puede salir y entrar
en n par de veces.
Teorema 1
a) Si una gráfica G tiene un vértice de grado impar entonces no puede existir un
circuito de Euler ( x − x : no se repite arista)
b) Si G es conexa (todos los vértices tienen un camino para llegar) y todos los
vértices tienen grado par, entonces existe circuito de Euler ( x − x : no se repite
arista)
⇒
⇒
No existe circuito Euler
trayectoria si
Si existe circuito Euler
Figura 4?
⇒ no existe
Figura 6?
circuito Euler
⇒ no existe
circuito Euler
Teorema 2
a) Si una gráfica G tiene raíz de dos vectores (3, 4, 5) de grado impar, entonces no
puede existir una Trayectoria de Euler en G.
b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces existe
una Trayectoria de Euler en G. Cualquier Trayectoria de Euler debe comenzar en
un vértice de grado impar, terminar en otro.
Figura 2
si hay trayectoria
Figura 3
no hay trayectoria
Figura 4
no hay trayectoria
Figura 6
si hay trayectoria
Ngj/v2008
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221
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Teoría de Grafos
Ejercicio:
Figura A
Figura B
Figura C
¿Cuáles de las tres gráficas tienen de circuito de Euler, una trayectoria de Euler
pero no circuito, o ninguno de estos?
Figura A
No es circuito
No es trayectoria
Figura B
No es circuito
Es trayectoria
Figura C
Es circuito
Es trayectoria
Puente: U1 − U 2 es un puente si al eliminarlo se crea una gráfica disconexa
Ejemplo: B − D
Ngj/v2008
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HAMILTON
Definición: Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos
los vértices de G.
Un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo
vértice y pasa por cada vértice una sola vez.
Ejemplos:
¿Cuál de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?
Solución
(a) No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si se
empieza en v1, v2, v3, v4 y si se está en los demás vértices, en el v5 se estará dos
veces.
Si se empieza en v5, para luego ir a los vértices v1 o v4 ó a v3 o v2 respectivamente, se
tendrá que pasar de nuevo por v5 (puesto que se empezará en v5). Para completar el
circuito, se debe regresar a v5, por lo que se pasa tres veces por él.
(b) Un ciclo hamiltoniano es: v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1
Teorema. Sea G un grafo conexo con n vértices, donde n≥3. Si la suma de los
grados de cada par de vértices no adyacentes es mayor o igual a n, entonces G tiene
un circuito hamiltoniano.
Ejemplos:
A − B − C − D − E : Trayectoria Hamiltoniana, no es trayectoria de
Euler pero no circuito
A − B − C − D − A:
Ngj/v2008
Circuito hamiltoniano, no es circuito de Euler
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Teorema 2
Sea m el número de aristas
Sea n el número de vértices
⇒G
es un circuito hamiltoniano si m ≥
(
1 2
n − 3n + 6
2
)
Ejemplo:
m = 5, n = 5
m = 6, n = 4
Ngj/v2008
5 ≥ 1 (25 − 15 + 6 ) ⇒
2
no tiene Circuito hamiltoniano
6 ≥ 1 (16 − 12 + 6 ) ⇒
2
si tiene Circuito Hamiltoniano
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224
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Actividades de Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton
1. Diseña un ejemplo de un grafo conexo tal que
a) no tenga circuitos eulerianos y no ciclos hamiltonianos;
b) tenga un circuito euleriano pero no tenga ciclos hamiltonianos;
c) tenga un ciclo hamiltoniano pero no un circuito euleriano;
d) tenga un ciclo hamiltoniano y un circuito euleriano.
2. Para cada grafo encuentra, si existe un circuito de Euler y/o un circuito de
Hamilton
a)
b)
c)
Ngj/v2008
d)
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225
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Teoría de Grafos
3. En cada uno de los siguientes grafos encontrar, si existe una trayectoria de Euler
y/o una trayectoria de Hamilton
a)
c)
b)
4. Dados los siguientes grafos determinar en cual de ellos existe un circuito de
Euler, una trayectoria de Euler, un circuito de Hamilton, una trayectoria de
Hamilton.
a)
Ngj/v2008
b)
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226
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Actividades de Circuitos de Euler y Circuitos de Hamilton
1. Diseña un ejemplo de un grafo conexo tal que
a) no tenga circuitos eulerianos y no ciclos hamiltonianos;
b) tenga un circuito euleriano pero no tenga ciclos hamiltonianos;
c) tenga un ciclo hamiltoniano pero no un circuito euleriano;
d) tenga un ciclo hamiltoniano y un circuito euleriano.
Ngj/v2008
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227
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Teoría de Grafos
2. Para cada grafo encuentra, si existe un circuito de Euler y/o un circuito de
Hamilton
a)
No tiene Euler
No tiene Hamilton
c)
No tiene Hamilton
Tiene Euler
Ngj/v2008
b)
No tiene Euler
Tiene Hamilton
d)
Tiene Euler
Tiene Hamilton
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228
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Teoría de Grafos
3. En cada uno de los siguientes grafos encontrar, si existe una trayectoria de Euler
y/o una trayectoria de Hamilton
a)
c)
b)
Tiene Trayectoria Euler
No tiene trayectoria
Hamilton
Tiene trayectoria Euler
No tiene Trayectoria
Hamilton
Tiene trayectoria Euler
Tiene trayectoria Hamilton
4. Dados los siguientes grafos determinar en cuál de ellos existe un circuito de
Euler, una trayectoria de Euler, un circuito de Hamilton, una trayectoria de
Hamilton.
a)
b)
Circuito Euler:
d-b-a-e-c-f-d
Trayectoria Euler:
d-b-a-e-c-f
Circuito Hamilton
a-b-f-c-b-d-e-f-d-a-e-c-a
No tiene trayectoria Hamilton
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