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6. Vigas (Elementos) Compuestos por dos o más Materiales
Las ecuaciones obtenidas en la Sección 3 se basan en la hipótesis que el material
que forma la sección del elemento, además de ser lineal-elástico, es homogéneo con un
módulo de elasticidad constante E. Si la sección transversal del elemento que está
sometido a flexión pura esta hecha de dos o más materiales lineales-elásticos
con
diferentes módulos de elasticidad, el enfoque anteriormente utilizado para determinar la
distribución de las tensiones normales en la sección debe ser modificado.
Para estudiar la distribución de deformaciones unitarias y tensiones normales en
secciones formadas por diferentes materiales, se utilizan los mismos conceptos que para
el caso de secciones homogéneas: la sección transversal debe estar en equilibrio; se
asume una geometría de deformación considerando una compatibilidad de deformación
en la unión de los diferentes materiales que forman la sección; y se utilizan las leyes
constitutivas de los diferentes materiales, pero se modifica el concepto de las propiedades
mecánicas de las sección estudiada.
Considerar la sección rectangular formada por dos materiales diferentes que se
muestra en la Fig. 11. Tal como fue mencionado con anterioridad, se asume una
compatibilidad en el diagrama de deformación unitaria en la unión de los materiales que
forman la sección (Fig. 11).
(εc)max
y
E1
z
E2
y
yb
ma
ma
yna: eje neutro
y, yb: variables
yna
(εt)max
ma
Fig.11. Distribución de deformaciones unitarias por flexión en sección
compuesta por dos materiales.
De las leyes constitutivas de los materiales y de la hipótesis de deformación de la
sección transversal (secciones planas permanecen planas) se cumplen las siguientes
relaciones
1
σ x = Eiε x = − Eiφy = − E ( y )φy
(20a)
Para el caso de flexión pura, se tiene que el esfuerzo interno axial N en la sección
debe ser cero. Entonces,
N = ∫ σ x dA = 0
(20b)
N = − ∫ E ( y )φydA = 0
A
(20c)
A
De la Fig. 11 se tiene que la variable y es igual a yb – yna, entonces
N = − ∫ E ( y )φ ( yb − yna )dA = 0
φ ∫ E ( y )yna dA − φ ∫ E ( y )yb dA = 0
(20d)
A
(20e)
∫ E( y )y dA
A
A
b
yna =
A
∫ E ( y )dA
(20f)
A
donde la Ec. (20b) permite localizar el eje neutro y la Ec. (20f) localiza el eje neutro de la
sección compuesta y define el centroide del módulo ponderado. Por lo tanto, el eje neutro
de la sección compuesta pasa por el centroide de la sección considerando el concepto del
módulo de elasticidad ponderado.
La ecuación para determinar el momento interno de la sección transversal fue
estudiada en Sección 2 y está dada por la Ec. (5). Rescribiendo esta expresión se obtiene
lo siguiente
M z = − ∫ (σ x dA)y = − ∫ yσ x dA
A
A
2
(21a)
Utilizando la expresión de la tensión normal σx en función de la curvatura φ y del
módulo de elasticidad E (y), se tiene lo siguiente
M z = ∫ E ( y )φydAy = φ ∫ E ( y )y 2 dA
A
M z = φ (EI )
(21b)
A
*
(EI )* = ∫ E ( y )y 2dA
(21c)
(21d)
A
donde la Ec. (21c) establece la relación entre el momento flector Mz y la curvatura φ de la
sección transversal compuesta. Esta expresión es análoga a la Ec (7c) válida para
secciones homogéneas.
Manipulando en forma algebraica la Ec. (20b) que establece el equilibrio de las
fuerzas longitudinales (normales) en la sección transversal compuestas, se obtiene lo
siguiente
N = ∫ σ x dA = 0
N = − ∫ E ( y )φydA = 0
(22a)
A
(22b)
A
 E(y)

N = φ ∫
ydA Eref = 0
 A Eref

(22c)
 E( y )

ydA Eref = 0
∫
 A Eref

(22d)


 ∫ n( y ) ydA Eref = 0
A



 ∫ y(n( y )dA) Eref = 0
A

(22e)
(22f)
donde n(y) = E(y)/Eref. Una viga (elemento) de sección transversal compuesta puede
considerarse como elemento de sección homogénea con propiedades mecánicas del
3
material de referencia, siempre que las áreas diferenciales dA se multipliquen por el
factor n(y). Después de transformar una sección transversal compuesta de esta manera, es
aplicable el análisis elástico convencional (para secciones homogéneas).
En la sección transformada, las tensiones normales varían linealmente desde el
eje neutro de la sección. Las tensiones normales obtenidas en la seccion transformada son
válidas para el material de referencia (asociado a Eref). Para los restantes materiales que
componen la sección transversal, se tiene lo siguiente
(σ x )k
(σ x )ref
= Ek (ε x )k
= Eref (ε x )ref
(23a)
(23b)
donde k representa a un material cualquiera que forma la sección compuesta. Por
compatibilidad de deformaciones, se cumple que
(ε x )k = (ε x )ref
(23c)
(σ x )k (σ x )ref
(23d)
Por lo tanto,
Ek
(σ x )k
=
=
Eref
Ek
(σ x )ref
Eref
(σ x )k = nk (σ x )ref
(23e)
(23f)
La Ec. (23f) dice que para calcular la tensión normal en un punto del material k
que forma la sección compuesta, se debe multiplicar por el factor nk la tensión normal en
el mismo punto, calculada en la sección transformada.
4
Ejemplo: Una viga de sección transversal rectangular de madera esta reforzada con una
placa de acero en su parte inferior, tal como lo muestra la Fig. 12. Si esta viga se somete
a un momento de flexión de 30 KNm respecto a un eje horizontal, ¿cuáles son las
tensiones normales máximas en el acero y en la madera?
150 mm
250 mm
10 mm
Módulos de Elasticidad
Ea = 200 GPa
Ew = 10 GPa
madera
acero
Fig. 12. Sección compuesta de acero y madera sometida a flexión.
7. Comportamiento Inelástico de la Sección Transversal
7.1 Generalidades
Cuando en la Sección 3 se derivó la fórmula de Navier (Ec. 8b), que permite
determinar la distribución de tensiones normales en una sección transversal sometida a
flexión, se asumió que la ley de Hooke era válida para todo el elemento-viga. Si la
tensión de fluencia es excedida en alguna porción del elemento, o si el material que forma
al elemento es frágil con una relación tensión-deformación nolineal, la ley de Hooke deja
de ser válida. El objetivo de esta sección es el de presentar un método general para
determinar la distribución de tensiones normales en un elemento en flexión pura.
La relación entre la deformación unitaria εx y la curvatura φ no depende de la ley
constitutiva del material que forma la sección, sino que de la hipótesis relacionada con la
deformación de la sección transversal en flexión pura. Por lo tanto, la distribución lineal
de las deformaciones normales unitarias (Ec. (3f)) sigue siendo válida en este análisis,
por lo que se tiene
ε
x
= − y na φ
5
(24a)
ε
x
= −
y
(ε
c
x
)max
(24b)
donde y es la distancia medida del eje neutro, c = │ymax│ y (εx)max es la máxima
deformación normal unitaria (módulo).
Sin embargo, ya no se pude asumir que el eje neutro coincide centroide, ya que
esta propiedad fue deducida considerando deformaciones elásticas y material homogéneo.
En general, la localización del eje neutro se realiza mediante la técnica de “prueba y
error” hasta que la distribución de tensiones normales satisfaga las Ecs. (4) y (5).
El análisis que se presenta a continuación estará limitado al caso en que la sección
transversal presente dos ejes de simetría y el material que la forma tiene la misma
relación tensión-deformación para la tracción y compresión. Para este caso particular, el
eje neutro coincide con unos de los ejes de simetría de la sección transversal.
La distribución de tensiones normales en la sección transversal del elemento se
obtiene de la siguiente manera. Se asume que (σx)max ha sido especificado, por lo que se
calcula el correspondiente valor de (εx)max de la curva tensión-deformación. Luego,
usnado la Ec. (24b) se obtiene al distribución de deformación normal unitaria en la
sección transversal (Fig 13a). Para cada valor de εx calculado, se obtiene el valor de σx
usando la curva tensión-deformación del material (Fig 13b). Finalmente, se grafica los
valores de σx en función de la variable y, medida desde el neutro (Fig. 13c).
Para determinar el valor del momento flector que actúa en la sección transversal,
asociado a la distribución de tensiones mostrada en la Fig. (13c), puede utilizarse la Ec.
(5), ya que ésta es independiente de la relación tensión- deformación (ley constitutiva) del
material que forma la sección. Considerando el caso particular de una sección transversal
rectangular de ancho b, se tiene la que la Ec (5) se reduce a
M = −b ∫ yσ x dy
c
(25)
−c
donde σx es función de la variable y, tal como los muestra la Fig. (13c). Debido a que σx
es una función par de y, la Ec. (25) puede rescribirse como
6
M = −2b ∫ yσ x dy
c
(26)
0
(a)
(b)
(c)
Fig. 13. (a) Distribución de deformación unitaria; (b) Relación tensióndeformación nolineal; (c) distribución de tensiones normales.
Si se conoce la función analítica de σx con respecto a y, la integral de la Ec. (26)
puede obtenerse analíticamente. De lo contrario, el valor del momento de flexión M
puede obtenerse a través de un proceso de integración numérica.
7.2 Caso Particular: Elementos Formados por Material Elasto-plástico
De manera de comprender de mejor manera el comportamiento inelástico de un
elemento en flexión, se considera el caso de un elemento formado por un material de
comportamiento elasto-plástico. La curva idealizada de la relación tensión-deformación
de un material con comportamiento elasto-plástico está representada en la Fig. 14, en que
ésta está completamente definida por los parámetros σy y E, que son la tensión de
fluencia (límite de proporcionalidad) y el módulo de elasticidad respectivamente.
Siempre que la tensión normal no exceda el límite de fluencia, la ley Hooke es
válida y la distribución de tensiones normales está dada por la ecuación de Navier (Ec.
8b).
7
σ
σY
× Ruptura
Ε
Ε
ε
εY
Fig.14. Relación tensión – deformación para un material elasto-plástico perfecto.
Si el momento de flexión M que actúa en una sección del elemento aumenta,
eventualmente la máxima tensión normal σx alcanza un valor igual a σy tal como lo
muestra la Fig. 15. El valor del momento de flexión My que resulta en la fluencia de la
fibra con mayor tensión normal esta dado por la siguiente relación
My =
I zz
σy
c
(27)
y
(εx)max=εy
yna
z
(σx)max = σy
φy = Μy/EI
Eje neutro (na)
Centroide
Deformación
Tensión
Fig. 15. Distribución de deformaciones y tensiones normales en la sección
transversal de una viga debido a un momento flector que produce fluencia.
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Si el momento de flexión M sigue aumentando en la sección, aumentará la curvatura
φ, por consiguiente también aumentará la deformación (εx)max y nuevas fibras alcanzarán
la tensión normal de fluencia σy, generando una sección parcialmente elástica. (Fig. 16).
y
(εx)max > ε y
Fluyendo
(σ x)max = σy
εy
Elástica
yna
φ
z
Eje neutro (na)
Centroide
Deformación
Tensión
Fig. 16. Distribución de deformaciones y tensiones normales en una sección
transversal parcialmente elástica.
De acuerdo la Fig. 16, la ley constitutiva del material que forma la sección no es
única y dependerá del estado en que se encuentran las fibras del material: elástico o
fluyendo. Por lo tanto, la ley constitutiva del material queda representada de la siguiente
forma:
 Eε x ; ε x ≤ ε y
σx = 
σ y ; ε x ≥ ε y
(28)
Recordando que la ecuación de equilibrio longitudinal está dada por
N = ∫ σ x dA = 0
(29)
A
La Ec. (29) ya no se simplifica a
∫y
na
dA = 0 . Por lo tanto, no se garantiza que el eje
A
neutro coincida con el centroide la sección, cuando ésta se comporta en el rango
inelástico. Sin embargo, la Ec. (29) sigue localizando la poción del eje neutro.
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Tal como se explicó en la Sección 7.1, para determinar el valor del momento flector
que actúa en la sección transversal, asociado a la distribución de tensiones mostrada en la
Fig. (16), puede utilizarse la Ec. (5), ya que ésta es independiente de la relación tensióndeformación (ley constitutiva) del material que forma la sección. Sin embargo, ésta
ecuación ya no se simplifica a Mz = EIzφ (Ec. 7c), por lo que la fórmula de Navier (Ec.
8b), utilizada para determinar la distribución de tensiones normales en la sección, ya no
es válida en el rango inelástico.
Considerar la Fig. 17 para estudiar la evolución de las deformaciones y tensiones
normales en una sección a medida que aumenta la curvatura φ, considerando un modelo
de material elasto-plástico perfecto.
y
B
C
A
z
Centroide
Deformación
y
σy
σy
σy
σy
z
A
My
B
C σy
σy
Mp
Aumento de curvatura φ
Fig. 17. Comportamiento inelástico de un sección transversal de material
elasto-plástico perfecto.
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Para una sección transversal de material
elasto-plástico perfecto, el máximo
momento de flexión capaz de desarrollar es cuando todas sus fibras han fluido. Para este
caso, se dice que la sección está “completamente plástica”, y el momento de flexión
asociado se denomina Mp, “momento plástico”.
Tal como se mencionó con anterioridad, en el rango inelástico no se garantiza que el
eje neutro coincida con el centroide de la sección transversal. Para el caso de una sección
“completamente plástica”, el eje neutro se denomina “eje neutro plástico (PNA)” y su
ubicación se termina mediante la Ec, (29). Si se quiere determinar el momento plástico
Mp de una sección transversal, primero debe determinase la localización del PNA. Por lo
tanto,
N = ∫ σ x dA =
A
∫σ
comp
dAcomp +
Acomp
∫σ
trac
dAtrac = 0
(30a)
Atrac
Para el caso de una sección completamente plástica, σcomp = -σy y σtrac = + σy. Si se
tiene una sección homogénea y la ley constitutiva del material es la misma para la
compresión y la tracción, se tiene
N = −σ y
∫ dA
comp
Acomp
+σy
∫ dA
trac
=0
(30b)
Atrac
Acomp = Atrac
(30c)
Por lo tanto, si se tiene una sección homogénea y la ley constitutiva del material es la
misma para la compresión y la tracción (σy es el mismo en toda la sección transversal), el
PNA se localiza imponiendo la condición que el área arriba del PNA debe ser igual al
área bajo él.
Algunas observaciones sobre el PNA:
•
Si la flexión es en torno a un eje de simetría, el PNA coincide con el
centroide de la sección. Para este caso, el eje neutro coincide con el PNA.
•
Si la flexión es en torno a un eje que no es de simetría, el PNA no coincide
con el centroide de la sección.
11
•
Si se tiene una sección híbrida (diferentes valores de σy en la sección), el
PNA debe ubicarse imponiendo la condición establecida por la Ec. (29).
Para calcular el valor del momento plástico Mp de la sección, se debe utilizar la
Ec. (21a). Para el caso de una sección completamente plástica, se cumple que σ = ± σy.
Entonces,
M p = ∫ yσ y dA
(31)
A
De manera similar al caso de comportamiento elástico de la sección transversal,
siempre que se cumpla la condición N = 0, y puede ser tomada desde cualquier eje
conveniente. Sin embargo, es más conveniente medir y desde el PNA.
Para y medido desde el PNA, tanto y como σy cambian de signo en el mismo eje.
Entonces, no es necesario mantener los signos de estas variables cuando se está
evaluando la integral para calcular Mp. Por lo tanto,
M p = ∫ y σ y dA
(32a)
A
Si │σy│ es el mismo para toda la sección transversal,
M p = σ y ∫ y dA
(32b)
A
Definiendo el módulo plástico Z de la sección transversal, como
Z = ∫ y dA
(32c)
A
con y medido desde el PNA. Entonces, el momento plástico Mp de la sección transversal,
puede ser calculado por
12
M p = Zσ y
(32d)
Para la mayoría de las secciones transversales de vigas, no es necesario calcular el
valor de Z utilizando la Ec. (32c). En vez de calcular Z mediante la integral de la Ec.
(32c), la sección puede dividirse en formas geométricas simples, por lo que la integral
puede ser reemplazada por una sumatoria. Entonces,
Z = ∑ Ai yi
(32e)
i
donde Ai es el área de un elemento e yi es la distancia desde el PNA al centroide de Ai
(siempre considerado como número positivo).
Ejemplo: Un elemento de sección uniforme rectangular de 50 × 120 mm es solicitado
por un momento de flexión de 36.8 KNm. Asumiendo que la sección del elemento está
hecha de un material elasto-plástico con una tensión de fluencia de 240 MPa y módulo de
elasticidad de 200 GPa, determinar: (a) región elástica de la sección; y (b) radio de
curvatura del eje neutro (superficie neutra).
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