Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones 1

Potencias y Raíces. 100 Ejercicios para practicar con soluciones
1
¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solución:
El área de un cuadrado es: A = l 2
( )
Por tanto, el área es 4 2 = 2 2
2
2
= 2 4 cm 2
Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
a) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
b)
1
(− 5 ) ⋅ (− 5 ) ⋅ (− 5 )
c) - 128
1
625
d)
Solución:
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
a) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
b)
1
=
1
(− 5) ⋅ (− 5) ⋅ (− 5) (- 5)3
3
= (- 5 )
-3
c) - 128 = (- 2)
7
1
1
= 4 = 5 −4
625 5
d)
3
Expresa como potencia única:
a) 35 ⋅ 33 ⋅ 3
b) (- 5 )7 : (− 5 )2
[
c) (- 4 )2
]
3
Solución:
a) 3 5 ⋅ 3 3 ⋅ 3 = 3 9
b) (− 5 ) : (− 5 ) = (− 5 )
[
c) (- 4 )
7
2
]
= (- 4 )
2 3
5
6
1
4
Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo:
a) 5 · 5 · 5 · 5
b) (− 3)·(− 3 )·(− 3 )
1
2·2·2·2·2
d) 81
e) −27
1
f)
25
c)
Solución:
a)
5 · 5 · 5 · 5 = 54
(− 3)(· − 3)(· − 3) = (− 3)3
b)
1
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
2·2·2·2·2 ⎝ 2 ⎠
81 = 34
c)
d)
5
e)
− 27 = (− 3 )
f)
1
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
25 ⎝ 5 ⎠
5
3
2
Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 0,000 2
b) 0, 000 000 1
c) 0,03
Solución:
a) 0,0002 = 2 ⋅ 10 −4
6
b)
0,0000001 = 1 ⋅ 10 −7
c)
0,03 = 3 ⋅ 10 −2
Expresa las siguientes potencias como producto de factores:
a)
(- 7)3
b) (- 2)5 ⋅ 3 2
c) 4 -3
2
Solución:
a)
(- 7)3 = (− 7) ⋅ (− 7) ⋅ (- 7)
b) (- 2) ⋅ 32 = (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ (− 2) ⋅ 3 ⋅ 3
5
c) 4-3 =
7
1
4⋅4⋅4
Expresa el resultado como potencia única:
a)
[(- 7) ]
b)
(- 2)5 ⋅ (- 2)0 ⋅ (- 2)-3 ⋅ (- 2)
−2 3
c) 6 2 ⋅ (− 2)2 ⋅ 3 2
Solución:
a)
[(- 7) ]
b)
(- 2)5 ⋅ (- 2)0 ⋅ (- 2)-3 ⋅ (- 2) = (- 2)3
= (- 7 )
−2 3
−6
c) 62 ⋅ (− 2) ⋅ 32 = [6 ⋅ (− 2) ⋅ 3] = (− 36 )
2
8
2
2
Escribe en forma de potencia las siguientes raíces:
a)
3
b)
3
5
c)
4
73
d)
7
29
Solución:
a)
1
2
3
b)
1
3
5
c)
3
74
d)
27
9
3
9
Escribe en forma radical:
1
e)
49
f)
64
g)
52
h)
35
1
3
4
Solución:
e)
9
4
f)
4
6
53
g)
5
h)
34
10 Expresa como potencia única:
a) 35 ⋅ 33 ⋅ 3
b) (- 5 )7 : (− 5 )2
[
c) (- 4 )2
]
3
Solución:
a) 3 5 ⋅ 3 3 ⋅ 3 = 3 9
b) (− 5 ) : (− 5 ) = (− 5 )
[
c) (- 4 )
7
2
]
= (- 4 )
2 3
5
6
11 Expresa el resultado como potencia única:
⎧
⎪
a) ⎨
⎪
⎩
⎡⎛ 3 ⎞ 2 ⎤
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎣⎢⎝ 4 ⎠ ⎦⎥
3⎫
4
⎪
⎬
⎪
⎭
2
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
b) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠
-5
c) (- 6)3 : (− 6 )− 4
4
Solución:
⎧
⎪
a) ⎨
⎪
⎩
⎡⎛ 3 ⎞ 2 ⎤
⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎥⎦
3⎫
4
⎛3⎞
⎪
⎬ =⎜ ⎟
⎝ 4⎠
⎪
⎭
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
b) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 7⎠ ⎝ 7⎠
2
-5
c) (- 6 ) : (− 6 )
= (− 6 )
3
−4
24
⎛ 2⎞
= ⎜− ⎟
⎝ 7⎠
−3
3 − (− 4 )
= (− 6 )
7
12 Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 3 000
b) 20 000
c) 5 000 000
Solución:
d) 3000 = 3 ⋅ 103
e)
20000 = 2 ⋅ 10 4
f)
5000000 = 5 ⋅ 106
13 Escribe en notación científica los siguientes números.
a)
b)
c)
d)
25 millones de pesetas
Trescientos mil dólares
Cuatrocientos treinta y dos mil metros
Treinta milímetros (en metros)
Solución:
a)
25 millones de pesetas → 2,5 ⋅ 107 ptas.
b)
Trescientos mil dólares → 3 ⋅ 105 dólares
c)
Cuatrocientos treinta y dos mil metros → 4,32 ⋅ 105 metros
d)
Treinta milímetros (en metros) → 3 ⋅ 10 −2 metros
14 Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5 días? Expresa el
resultado en notación científica.
Solución:
1 tonelada son 1000 kg.
3 toneladas son 3000 kg.
En cinco días fabricará:
3000 ⋅ 5 = 15 000 = 1,5 ⋅ 10 4 kilogramos.
5
15 Escribe en notación ordinaria los siguientes números.
a) 3·10 4
b) 1,2·107
2·10 −5
0,25·10 −3
c)
d)
Solución:
a) 3 ⋅ 10 4 = 30000
b) 1,2 ⋅ 107 = 12000000
c)
2 ⋅ 10 −5 = 0,00002
d)
0,25 ⋅ 10 −3 = 0,00025
16 ¿Cuál es el cubo del cociente que resulta de dividir 128 entre 32? Expresa las operaciones y el resultado en
forma de potencia.
Solución:
128 = 27
32 = 25
27 : 25 = 22
El cubo del cociente es:
(2 )
2 3
= 26
17 Una persona haciendo un recorrido andando emplea 30 días y 5 horas. ¿Cuántos segundos habrá tardado
en hacer el recorrido? Expresa el resultado en notación científica.
Solución:
1 hora son 3600 segundos
30 días y 5 horas son 725 horas
Por tanto, habrá tardado:
725 ⋅ 3600 = 2 610 000 = 2,61⋅ 106 segundos.
18 Expresa las siguientes raíces como potencias:
a)
3
54
12 3
b)
c)
4
72
d)
7
3 21
6
Solución:
4
3
a)
54 = 5 3
3
12 3 = 12 2
b)
2
1
c)
4
72 = 7 4 = 7 2
d)
7
3 21 = 3 7 = 3 3
21
19 En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como
potencia única:
[
a) (- 5 )2
]
⋅ (- 5 )5 : (- 5 )4
3
(
b) 63 ⋅ 62
) : (6 )
2
4 −2
Solución:
[
a) (- 5 )
]
2 3
(
b) 6 3 ⋅ 6 2
⋅ (- 5 ) : (- 5 ) = (− 5 ) ⋅ (− 5 ) : (− 5 ) = (− 5 )
5
) : (6 )
2
4 −2
4
6
( )
= 65
2
5
4
6+5− 4
= (− 5 )
7
: 6 −8 = 6 10 : 6 −8 = 6 10 −(−8 ) = 6 18
20 La masa de la tierra es 5,98·1024 kg, y la masa de la Luna, 7,34·1022. ¿Cuántas Lunas se podrían formar con
la masa de la Tierra?
Solución:
5,98·10 24
7,34·10
22
= 0,815·10 2 = 81,5 Lunas
21 Escribe en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
3
a)
45
b)
32
c)
94
d)
26
5
1
5
7
Solución:
3
5
a)
45 =
b)
3 2 = 35
c)
94 = 4 9
d)
2 6 = 25
43
5
1
5
6
22 España tiene una población de 36,6·10 6 habitantes y una superficie de 50,4·10 4 km2. ¿Cuál será la
densidad de la población española? (Densidad=hab/ km2)
Solución:
La densidad de la población española es :
(36,6 ⋅ 10 ) : (50,4 ⋅ 10 ) = (36,6 : 50,4) ⋅ (10
6
4
6
)
: 10 4 = 0,726 ⋅ 102 = 7,26 ⋅ 10 h / km2
23 El área de un terreno cuadrado es 625 m 2 . ¿Cuál será el área de otro terreno cuyo lado es el triple del
primero? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solución:
Si l es el lado del primer terreno, entonces l2 = 625 .
El lado del segundo terreno es: 3 ⋅ l metros.
Y por tanto, el área es: (3 ⋅ l) = 32 ⋅ l2 = 32 ⋅ 625 = 32 ⋅ 5 4 m2.
2
24 Expresa el resultado como potencia única:
a) 2 4 ⋅ 2 ⋅ 8
b)
(- 4)3 ⋅ (- 4)5 ⋅ 16
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝2⎠
−3
⋅
1
16
Solución:
a) 24 ⋅ 2 ⋅ 8 = 24 ⋅ 2 ⋅ 23 = 28
b)
(- 4)3 ⋅ (- 4)5 ⋅ 16 = (− 4)3 ⋅ (− 4)5 ⋅ (− 4)2 = (− 4)10
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
c) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
−3
2
⋅
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
= ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
16 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
−3
4
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝2⎠
3
8
25 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:
a) 7
5
b) 2 4
c)12 3 7
d) 4 −2
3
Solución:
7=
a)
b)
5
c)
12
d)
3
1
2
7
2 =
4
4
5
2
3 =
7
7
12
3
−2
4−2 = 4 3
26 Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de magnitud.
a) 210 000 000 000
b) Dos billones y medio
c) 58 400 millones
Solución:
a) 210 000 000 000 = 2,1 ⋅ 1011
Orden de magnitud: 11
b) 2 billones y medio = 2,5 ⋅ 1012
Orden de magnitud: 12
c) 58 400 millones = 5,84 ⋅ 10
Orden de magnitud: 10
10
9
27 Expresa el resultado como potencia única:
a) 25 −3 ·5 −6 ·125
b) 81−2 ·3 −7
c) 16·8 −2 ·2 2
Solución:
( )
a)
25 −3 ·5 −6 ·125 = 5 2
b)
81−2 ·3 −7 = 3 4
c)
16·8 −2 ·2 2
−3
( ) ·3
= 2 ·(2 )
4
−2
·5 −6 ·5 3 = 5 −9
−7
3 −3
·2 2 = 2 −3
28 La masa de la Tierra es 5,98·10 24 kg. ¿Cuál sería la masa equivalente a 3 planetas iguales a la Tierra?
Solución:
3 planetas equivalentes a la Tierra tendrían una masa de:
3 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 = 17,94 ⋅ 10 24 = 1,794 ⋅ 10 25 kg
(
)
29 Expresa el resultado como potencia única:
5
⎛2⎞ ⎛ 3⎞
⎝3⎠ ⎝ 4⎠
5
a) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟
b) 2 −4 ·2 7 ·5 3
c)
⎛6⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠
−2
⎛ 3 ⎞
:⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
−2
Solución:
5
5
5
a)
⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞
⎛2 3⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = ⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝ 4⎠
⎝3 4⎠
⎝ 2⎠
b)
2 −4 ·2 7 ·5 3 = 2 3 ·5 3 = 10 3
c)
⎛6⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠
−2
⎛ 3 ⎞
:⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
−2
⎛6 3 ⎞
=⎜ :
⎟
⎝ 5 10 ⎠
5
−2
⎛ 60 ⎞
=⎜ ⎟
⎝ 15 ⎠
−2
= 4 −2
30 Un lavavajillas dispone de 8 bandejas y en cada una de ellas caben 32 vasos. ¿Cuántos vasos se podrán
lavar de una sola vez? Expresa el resultado en forma de potencia.
Solución:
La capacidad del lavavajillas es:
8 ⋅ 32 = 23 ⋅ 25 = 28 vasos
10
31 Escribe como potencia única:
a) (- 7 )-2 ⋅ (- 7 )3 ⋅ (- 7)0
b) 8 3 ⋅ (- 2 )3
c) (- 3)-2 : (- 3 )3
Solución:
a) (- 7 ) ⋅ (- 7 ) ⋅ (- 7 ) = (− 7 )
-2
3
−2 + 3 + 0
0
= (− 7 )
b) 83 ⋅ (- 2) = [8 ⋅ (− 2)] = (− 16 )
3
3
c) (- 3 ) : (- 3 ) = (− 3 )
-2
− 2−3
3
3
= (− 3 )
−5
32 La edad de Marcos es 14 años. ¿Cuál es el cuadrado del doble de su edad dentro de 2 años? Expresa el
resultado en forma de potencia.
Solución:
La edad de Marcos dentro de 2 años será: 14 + 2 = 16 = 24 años.
El doble de la edad dentro de 2 años será: 2 ⋅ 24 = 25 años.
( )
Y el cuadrado de dicha edad es: 25
2
= 210 años.
33 Reduce a índice común los siguientes radicales:
4 6, 6 4
a)
5
15 2
b) 3 5 , 7 3 ,
3
Solución:
a) 4 6, 6 4
→
12 3 12 2
6 ,
4
m.c.m.(4,6 ) = 12
15 9 15 2
15
5
15 2
b) 3 5 , 73 ,
3 → 55 ,
7 ,
3
m.c.m.(3,5 ,15) = 15
34 Simplifica los siguientes radicales:
24
a)
b)
3
315
c)
4
56
d)
12
78
11
Solución:
24 = 22
a)
b)
3
3 15 = 3 5
c)
4
56 = 53
d)
12
3
78 = 72
35 Introduce en el radical los números que están fuera:
a) 2 3 3
6
b) 2 2 2
c) 3 3 3
d)
13
25
5
Solución:
a)
23 3 = 3 2 3 ⋅ 3 = 3 24
b)
2 2 2 = 2 6 ⋅ 2 2 = 2 8 = 6 256
c)
33 3 = 3 3 3 ⋅ 3 = 3 3 4 = 3 81
d)
13
52
1
25 = 3 3 = 3
5
5
5
6
6
6
36 Simplifica los siguientes radicales:
a)
4
26
b)
6
49
c)
30
2 12
Solución:
a)
4
2 =
6
24
b)
6
4 =
9
46
c)
30
6
9
12
2
=
=
3
22
= 23
=
3
42
= 43
12
2 30
=
2
5
2
5
= 22
37 En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 cm y 4 cm respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa?
12
Solución:
4 cm
h
3 cm
Aplicando el Teorema de Pitágoras: h 2 = a 2 + b 2
h = 32 + 42 = 25 = 5 (La raíz negativa no es solución valida)
La hipotenusa mide 5 cm
38 Calcula las siguientes raíces:
a) 25
b) 3 - 27
c) 4 81
d) 6 64
Solución:
25 = 52 = 5 y
a)
25 = ( −5)2 = −5
b)
3
− 27 = 3 ( −3)3 = −3
c)
4
81 = 3 4 = 3 y
d)
6
64 = 26 = 2 y
4
4
81 = 4 ( −3)4 = −3
6
6
64 = 6 ( −2)6 = −2
39 Introduce en la raíz todos los factores:
a) 5 3
b) 24 3
c) 3 6
d) 43 2
13
Solución:
a)
5 3 = 5 2 ·3 = 75
b)
24 3 = 4 2 4 ·3 = 4 48
c)
3 6 = 3 2 ·6 = 54
d)
43 2 = 4 3 ·2 = 3 128
3
40 Expresa en forma de raíz las siguientes potencias de exponente fraccionario:
3
a) 2 5
1
⎛2⎞2
b) ⎜ ⎟
⎝7⎠
4
c) 9 5
Solución:
3
a) 2 5
5
= 23
1
⎛ 2⎞2
b) ⎜ ⎟ =
⎝7⎠
2
7
4
c) 9 5 = 5 9 4
41 Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
b)
4
3,
5
2
5,
6
4
Solución:
3 =
a)
4
b)
10
35 ,
5
2 =
5 = 12 5 3 ,
6
4?
10
12
22
42
42 Expresa como producto de un número entero y un radical los siguientes radicales:
a)
12
45
b)
c)
3
54
14
Solución:
a)
12 = 2 2 ·3 = 2 3
b)
45 = 3 2 ·5 = 3 5
3
c)
3
54 = 2·3 3 = 33 2
43 Extrae todos los factores posibles de las siguientes raíces:
a)
27
b)
3
32
c)
4
162
d)
192
Solución:
27 = 3 2 ·3 = 3 3
a)
3
b)
3
32 = 2 2 ·2 2 ·2 = 2·23 2 = 43 2
c)
4
162 = 4 2·3 4 = 3 4 2
192 =
d)
(2 ) ·3 = 2 ·
3 2
3
3
44 El área de un terreno de forma cuadrada es 169 m 2 . ¿Cuánto medirá el perímetro del terreno?
Solución:
El lado del terreno mide 169 = 13 m (La raíz negativa no es solución válida)
El perímetro es: 4 ⋅ 13 = 52 m.
45 Simplifica los siguientes radicales expresándolos previamente en forma de potencia:
a)
6
b)
12
33
c)
10
243
d)
4
16
78
15
Solución:
4
2
3
6
a) 6 16 = 2 4 = 2 6 = 2 3 = 2 2
b)
3
1
12 3
3 = 3 12 = 3 4 = 4 3
5
1
10
c) 10 243 = 3 5 = 3 10 = 3 2 = 3
d)
8
4 8
7 = 7 4 = 72
46 El número 46 656 es igual al cubo de 36. Calcula la raíz sexta de dicho número y explica cómo lo haces.
Solución:
( )
46656 = 36 3 = 6 2
6
3
= 66
46656 = 6 6 (6 )
6
47 Escribe 3 radicales equivalentes a:
a)
7
b)
5
c)
12
64
d)
15
3 10
23
Solución:
4
7 = 72 =
a)
6
76 = 73
b)
5
c)
12
64 = 62 = 3 6 =
d)
15
3 10 = 3 2 = 3 6 = 12 3 8
23 =
10
12
26 =
15
6
3
29 =
18
30
218
66
9
48 El volumen de un cubo es 1 000 m3. ¿Cuál es el área de una de sus caras?
Solución:
3
Como V = l 3 , entonces l = 3 1000 = 10 3 = 10 m.
El área de una de las caras es: A = l 2 = 10 2 = 100 m2.
16
49 Escribe 3 radicales equivalentes a:
a)
6
b)
24
c)
9
56
d)
5
43
34
26
Solución:
a)
6
3
b)
24
c)
9
56 = 52 =
d)
5
43 =
3 4 = 3 2 = 12 3 8 =
48
26 =
3
10
18
3 12
8
212 = 2 2 = 4 2
18
46 =
56 =
15
27
49 =
5 18
20
4 12
50 Reduce a índice común los siguientes radicales:
5
5 , 23 ,
a)
b)
4
15
72
9 , 6 11, 15 13
Solución:
30 15 30 18 30 4
5
15 2
a) 5 , 23 ,
7 →
5 ,
2 ,
7
m.c.m.(2,5 ,15) = 30
60 30 60 10 60 4
b) 4 9 , 6 11, 15 13 →
3 ,
11 ,
13
m.c.m.(4,6 ,15) = 60
51 Simplifica los siguientes radicales:
a)
24
1136
b)
18
3 12
c)
6
d)
15
625
2 18 ·3 12
17
Solución:
a)
24
1136 = 113
b)
18
3 12 = 3 2
c)
6
d)
15
3
6
3
625 = 5 4 = 5 2
5
218 ⋅ 3 12 = 2 6 ⋅ 3 4
52 ¿Cuál es la máxima distancia, en línea recta, que podrá recorrer un jugador en un campo de fútbol de 20 m
de largo y 15 m de ancho?
Solución:
La máxima distancia corresponde a la diagonal del terreno rectangular.
d
15 m
20 m
Por el teorema de Pitágoras:
La distancia máxima es 25 m
d = 202 + 152 = 625 = 25 m.
53 Simplifica las siguientes potencias expresándolas previamente en forma radical:
15
a)
2 30
6
b) 8 24
−8
c)
3 12
2
d) 27 18
18
Solución:
15
30
a)
2 30 =
215 = 2
b)
8 24 = 24 86 =
c)
3 12 =
d)
27 18 =
6
24
4
218 = 23
−8
12
3 −8 = 3 − 2 = 3
3
1
32
2
18
272 =
18
36 = 3 3
54 Extrae factores de las siguientes raíces:
a)
36000
b)
a 4 ·b 7 ·c 5
Solución:
a)
36000 = 6 2 ·10 2 ·10 = 6·10 10 = 60 10
b)
a 4 ·b 7 ·c 5 = a 2 ·a 2 ·b 2 ·b 2 ·b·c 2 ·c 2 ·c = a·a·b·b·b·c·c b·c = a 2 ·b 3 ·c 2 bc
55 Introduce todos los factores en las raíces:
a)
33 6
b) 2
c)
3
4
3
5
1
2
Solución:
3
a)
33 6 = 3 3 ·6 = 3 162
b)
2
c)
3
4
3
=
5
1
=
2
2 2 ·3
=
5
3 2 ·1
2
4 ·2
=
12
5
9
32
56 La mitad del cuadrado de la distancia que recorre un ciclista en 30 minutos es 162 km. ¿Cuánto recorrerá
en 2 horas?
19
Solución:
Si la mitad del cuadrado de la distancia es 162, el cuadrado de la distancia es: 2 ⋅ 162 = 324 km.
Por tanto la distancia que recorre el ciclista en media hora es:
En dos horas recorrerá: 18 ⋅ 4 = 72 km.
324 = 18 km.
57 Simplifica los siguientes radicales:
a)
6
b)
12
3 2 ·5 4
59
26
Solución:
a)
6
b)
12
3
3 2 ·5 4 = 3·5 2
59
26
=
4
53
22
58 Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2 y que a su vez contenga 144
casillas iguales. ¿Cuánto medirá el lado de cada casilla?
Solución:
El lado del tablero medirá:
225 = 15 cm
El número de filas y columnas que tendrá el tablero será: 144 = 12
Por tanto el lado de cada casilla medirá: 15 : 12 = 1,25 cm.
59 ¿Cómo se puede extraer la raíz séptima de 1 280 000 000?
Solución:
7
5
1280000000 = 7 214 ·5 7 = 2 7 ·2 7 ·5 7 = 2·2·5 = 20
60 Extrae de la raíz todos los factores posibles:
a)
3
625
b)
4
288
c)
3
432
20
Solución:
3
a)
3
625 = 5 3 ·5 = 53 5
b)
4
288 = 4 2 4 ·3 2 ·2 = 24 3 2 ·2 = 24 18
c)
3
432 = 2 3 ·3 3 ·2 = 2·33 2 = 63 2
3
61 Reduce a índice común los siguientes radicales:
a)
3
6, 6 2, 4 53
5
23 , 4 3, 2 4
b)
Solución:
3
a)
6 = 12 6 4 , 6 2 =
23 =
b)
20
12
210 , 4 3 =
( )
= (2 )
2 2 , 4 5 3 = 12 5 3
20
5
35 , 24
20
2
4 4
=
20
216
62 El área de un cuadrado es 4096 cm2. ¿Cuánto medirá el perímetro de otro cuadrado cuyo lado es la raíz
cúbica del lado del primero?
Solución:
4096 = 64 cm.
El lado del primer cuadrado mide:
El lado del segundo cuadrado es: 64 = 4 cm
Por tanto, su perímetro medirá: 4 ⋅ 4 = 16 cm.
3
63 Extrae factores de los siguientes radicales:
a)
300
b)
125
8
c)
3
54
64
21
Solución:
a)
300 = 2 2 ·5 2 ·3 = 2·5 3 = 10 3
b)
125
=
8
5 2 ·5
54
=
64
3 3 ·2
c)
3
3
2
2 ·2
2 3 ·2 3
=
5 5
2 2
=
3 3
3
2 = 32
2·2
4
64 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales:
a)
3
b)
12
5, 4 6, 7
3 , 15 27 , 30 81
Solución:
a) 3 5, 4 6 ,
7→
12
12
12 4 12 3 12 6
12
5 ,
6 ,
7 → 63 < 54 < 76 → 4 6 < 3 5 < 7
m.c.m.(3,4,2) = 12
60 5 60 12 60 8
15 3 30 4
3 →
3 ,
3 ,
3 →
b) 12 3 , 15 27 , 30 81 → 12 3 ,
3 ,
→
60 5 60 8 60 12
3 <
3 <
3 → 12 3 < 30 81 < 15 27
m.c.m.(12, 15,30) = 60
65 Extrae factores de los siguientes radicales:
a)
36000
b)
3
270000
c)
4
8100000
Solución:
36000 = 6 2 ·10 2 ·10 = 6·10 10 = 60 10
a)
3
b)
3
270000 = 3 3 ·10 3 ·10 = 3·103 10
c)
4
8100000 = 4 3 4 ·10 4 ·10 = 3·10 4 10
66 La edad de Juan actualmente es 27 años y tiene el cubo de la edad de su hermano Pedro. Dentro de 9 años
la edad de Juan será el cuadrado de la edad que su hermana María tiene actualmente ¿Cuál es la edad
actual de sus dos hermanos?
22
Solución:
La edad de Pedro es: 3 27 = 3 años
Dentro de 9 años, Juan tendrá 27+9=36.
Por tanto, María tendrá 36 = 6 años
Las edades de María y de Pedro son 6 y 3 años respectivamente
67 Expresa en forma de raíz las siguientes potencias:
a) 3
−
1
4
⎛3⎞
b) ⎜ ⎟
⎝8⎠
−
2
5
Solución:
a) 3
−
1
4
= 4 3 −1 =
⎛3⎞
b) ⎜ ⎟
⎝8⎠
−
2
5
4
1
3
2
⎛8⎞
⎛8⎞5
=⎜ ⎟ =5⎜ ⎟
⎝3⎠
⎝3⎠
2
68 Reduce a índice común y luego realiza las siguientes multiplicaciones:
a) 4 3 · 6 ·6 2
b)
12
9 ·4 3 ·3 2
Solución:
6 · 8 = 6·8 =
a)
48
b)
3
4 ·3 5 = 3 4·5 = 3 20
c)
3
16 : 3 8 = 3 16 : 8 = 3 2
d)
3
18 : 3 6 = 3 18 : 6 = 3 3
69 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:
a)
8⋅ 2
b) 3 9 ⋅ 3 12
c) 3 625 : 3 5
d)
10 : 6
23
Solución:
8 ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16 = 4
a)
b) 3 9 ⋅ 3 12 = 3 9 ⋅12 = 3 108
625 3
= 125 = 5
c) 3 625 : 3 5 = 3
5
10
5
=
6
3
10 : 6 =
d)
70 Realiza las siguientes divisiones de radicales reduciendo previamente a índice común:
3 : 6 27
a)
b)
9
32 : 3 2
c)
4
36 : 6 6
Solución:
6
3 : 6 27 = 3 3 : 6 27 = 6 27 : 27 = 1
a)
9
b)
9
32 : 3 2 = 9 32 : 2 3 = 9 32 : 8 =
c)
4
36 : 6 6 = 12 36 3 : 12 6 2 = 12 6 2
( )
3
9
4
: 6 2 = 12 6 4 = 3 6
71 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales:
a)
3
3
4 + 63 4 − 7 2 2
8 − 2 + 4 50
b)
Solución:
3
a)
4 + 63 4 − 7 22 = (1 + 6 − 7)3 4 = 03 4 = 0
3
8 − 2 + 4 50 = 22 ·2 − 2 + 4 5 2 ·2 = 2 2 − 2 + 4·5 2 = (2 − 1 + 20 ) 2 = 21 2
b)
72 Calcula:
a)
b)
( 2 + 3 2 )·
3
6
5 · 2 − 2 10
3
3
24
Solución:
( 2 + 3 2 )·
a)
3
b)
6 = 4 2· 6 = 4 12 = 4 22 ·3 = 4·2 3 = 8 3
5 ·3 2 − 23 10 = 3 10 − 23 10 = −3 10
73 Expresa primero en forma radical y luego calcula:
1
1
a)
9 4 ·2 4
b)
5 3 ·4 3
c)
16 5 : 4 5
2
1
2
3
3
1
d) 10 4 : 5 4
Solución:
1
1
a)
9 4 ·2 4 = 4 9 ·4 2 = 4 18
b)
2
1
3
3
5 ·4
c)
16 5 : 4 5 = 16 2 : 4 3 =
d)
3
10 4
2
3
= 5 2 ·3 4 = 3 100
3
5
:
1
4
5
5
5
(4 )
2 2
: 43 =
5
4
= 4 10 3 : 4 5 = 4 2 3 ·5 3 : 5 = 4 2 3 ·5 2 = 4 200
74 Realiza las siguientes sumas de radicales:
a)
8 2 + 5 2 − 16 2 − 2
8 − 18 + 50
b)
Solución:
8 2 + 5 2 − 16 2 − 2 = (8 + 5 − 18 − 1) 2 = −6 2
a)
8 − 18 + 50 = 2 2 ·2 − 3 2 ·2 + 5 2 ·2 = 2 2 − 3 2 + 5 2 = (2 − 3 + 5 ) 2 = 4 2
b)
75 Realiza las siguientes divisiones con radicales:
1
3
2
a)
3
b)
45 : 5 2
6:
3
25
Solución:
1
6 : 23 = 3 6 : 3 2 = 3 6 : 2 = 3 3
a)
3
b)
4 5 : 5 2 = 43 : 5 2 =
3
5
5
5
4 3 : 2 = 5 64 : 2 = 5 32 = 2 5 = 2
76 ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 32 cm 2 ? Realiza las operaciones utilizando potencias
de exponente fraccionario.
Solución:
El lado de cuadrado es:
32 = 25 = 2
El perímetro del cuadrado es: 4 ⋅ 2
5
2
5
2
cm
= 2 ⋅2
2
5
2
=2
2+
5
2
=2
9
2
cm
77 Reduce a índice común y luego realiza las siguientes multiplicaciones:
c) 4 3 · 6 ·6 2
d)
12
9 ·4 3 ·3 2
Solución:
3 · 6 ·6 2 = 12 3 3 ·12 6 6 · 2 2 = 12 3 3 ·6 6 ·2 2 = 12 3 3 ·(2·3 ) ·2 2 = 12 3 9 ·2 8
a)
4
b)
12
6
12
12
9 ·4 3 ·3 2 = 12 3 2 ·12 3 3 · 2 6 = 12 3 2 ·3 3 ·2 6 = 12 3 5 ·2 6
78 Expresa primero en forma radical y luego divide:
1
2
a)
36 3 : 3 3
b)
94 : 94
c)
10 5 : 10 5
3
1
3
2
Solución:
1
2
a)
36 3 : 3 3 = 3 36 : 3 3 2 = 3 36 : 9 = 3 4
b)
3
94
c)
10 5 : 10 5 = 10 3 : 10 2 = 10 3 : 10 2 = 5 10
:
3
1
4
9
= 4 9 3 : 4 9 = 4 9 3 : 9 = 4 9 2 = 4 81
2
5
5
5
26
79 Reduce primero a índice común y luego multiplica:
5 ·4 3
a)
b)
3
6 ·4 2
c)
6
3· 2
Solución:
5 ·4 3 = 4 5 2 ·4 3 = 4 5 2 ·3 = 4 75
a)
12
b)
3
6 ·4 2 = 12 6 4 · 2 3 = 12 6 4 ·2 3 = 12 10368
c)
6
3 · 2 = 6 3 · 2 3 = 3·2 3 = 6 24
6
6
80 Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales en semejantes:
a) 33 7 + 103 7 − 53 7
b) 4 12 − 3 27 + 75
Solución:
a) 3 3 7 + 10 3 7 - 5 3 7 = (3 + 10 - 5)⋅ 3 7 = 8 3 7
b) 4 12 - 3 27 + 75 = 4 2 2 ⋅ 3 − 3 3 2 ⋅ 3 + 5 2 ⋅ 3 = 8 3 − 9 3 + 5 3 =
= (8 − 9 + 5)⋅ 3 = 4 3
81 En una habitación se quieren colocar 3 mesas cuadradas de 2 m2 cada una y 2 mesas, también cuadradas,
de 8 m2cada una. Puestas una a continuación de otra, ¿qué longitud ocuparán todas las mesas?
Solución:
El lado de cada mesa de 2 m2 es: l = 2 m
El lado de cada mesa de 8 m2 es: l = 8 m
Por tanto, la longitud de todas las mesas es: 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 8 = 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 m
82 Un abuelo tiene el cuadrado del cubo de la edad de su nieto. ¿Cuál será la edad de su nieto si tiene 64
años?
Solución:
( )
Si la edad del nieto es x, el abuelo tiene x 2
Por tanto, el nieto tiene:
3
3
= 64 .
6
64 = 26 = 2 años.
27
83 Calcula:
a) El cuadrado de la raíz cúbica de 27.
b) La raíz cuadrada de la raíz cuarta de 256.
c) El cubo de la raíz cuadrada de 15.
d) La raíz cúbica de la raíz cuadrada de 12.
Solución:
( 27 )
2
3
a)
4
b)
8
256 = 8 256 = 2 8 = 2
( 15 )
3
c)
= 15 3 = 3375
12 = 6 12
3
d)
2
3
= ⎛⎜ 3 3 ⎞⎟ = 3 2 = 9
⎝
⎠
84 Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:
5 : 8 25
a)
b)
4
6 2 : 10 6
Solución:
8
8
8
8
5 : 8 25 = 5 4 : 5 2 = 5 4 : 5 2 = 5 2 = 4 5
a)
4
b)
( )
6 2 : 10 6 = 20 6 2
85 Calcula:
5
:
20
62 =
20
610 : 6 2 =
20
5
6 8 = 6 2 = 5 36
2 ·3 2 + 6 4 ·3 2
Solución:
6
6
6
6
6
2 ·3 2 + 6 4 ·3 2 = 2 3 · 2 2 + 6 4 · 2 2 = 2 3 ·2 2 + 4·2 2 = 6 32 + 6 32 = 26 32
86 Calcula:
a)
b)
4
(
)
9 : ( 9· 3 )
28 · 14 : 7
3
Solución:
a)
b)
4
3
(
)
9 : ( 9· 3 ) =
2
28 · 14 : 7 = 4 28 · 14 : 7 = 4 28 · 2 = 4 28 · 2 2 = 4 28·4 = 4 112
3
3
6
6
9 : 3 9·3 = 9 3 : 27 2 = 6 729 : 6 729 = 1
28
87 Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales en semejantes:
a)
5 + 45 − 80 + 180
b)
48 +
75
49
Solución:
5 + 45 - 80 + 180 = 5 + 3 2 ⋅ 5 − 2 4 ⋅ 5 + 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 =
a)
= 5 + 3 5 − 4 5 + 6 5 = (1 + 3 − 4 + 6) ⋅ 5 = 6 5
52 ⋅ 3
5
5⎞
33
75
⎛
3 = ⎜4 + ⎟⋅ 3 =
3
= 24 ⋅ 3 +
=4 3+
49
7
7⎠
7
⎝
72
48 +
b)
88 Calcula:
a)
b)
c)
d)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
8
8
2
2
2
2
Solución:
a)
b)
c)
d)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
8
8
2
2
2
2
89 Calcula las siguientes multiplicaciones de radicales simplificando el resultado cuando sea posible:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
29
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
90 Realiza las siguientes sumas de radicales:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
91 Estudia si la siguiente expresión da como resultado un número entero:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
Solución:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
Sí es un número entero.
92 La medida de los lados de un rectángulo es 3 y 5. Calcula:
a) La medida de la diagonal.
b) La suma y la diferencia de las dos diagonales.
c) El producto y el cociente de las dos diagonales.
Solución:
a)
4
b)
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
Suma de las diagonales:
Diferencia:
Producto:
Cociente:
4
c)
93 Calcula:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
4
9:
( 3)
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
30
Solución:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
31
94 Calcula:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
32
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
95 Realiza las siguientes sumas de radicales:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
33
Solución:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
34
96 Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
35
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
97 ¿Cuánto suman las diagonales de un cuadrado de lado 1 cm?
36
Solución:
La diagonal de un cuadrado de lado 1 cm es
La suma de las dos diagonales es:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
.
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
.
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
37
98 Realiza las siguientes sumas de radicales:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
38
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
39
99 Calcula:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
40
Solución:
4
9:
( 3)
8
2
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
41
10 Halla el resultado de las siguientes operaciones con radicales:
0 a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
Solución:
a)
b)
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
4
9:
( 3)
=
4
9 : 8 32 = 8 92 : 8 32 = 8 92 : 32 =
8
81 : 9 = 8 9 = 9 3 2 = 4 3
8
8
2
2
42