UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos

Curso de: FÍSICA FUNDAMENTAL I (código 106004M)
UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos
Carlos Uribe Gartner
[email protected]
Mayo 2011
¿Por qué es más fácil mantener el equilibrio sobre una bicicleta en rápido movimiento que cuando se mueve
lentamente? ¿Qué efecto tiene la masa de la polea en la “máquina de Atwood” (ver figura 5.47 del texto guía,
página 195) o en tantos otros sistemas dinámicos estudiados en la unidad 2? Estos dos problemas, que
podremos resolver al terminar esta unidad, tienen en común que en ellos es esencial el movimiento rotacional
de un cuerpo extenso, en el primero el de las ruedas de la bicicleta y en el segundo el de la polea. Así pues,
terminaremos el curso estudiando en esta última unidad estos y otros fenómenos similares de movimiento
colectivo coordinado de un cuerpo, que ya no es modelable como una única partícula puntual, puesto que
nuestro interés ahora no es su movimiento de traslación como un todo, sin considerar los cambios en la
orientación espacial del cuerpo, sino precisamente estos últimos cambios, o en otras palabras su rotación.
Una rueda de bicicleta girando alrededor de su eje fijo al marcoes un sistema compuesto por muchas
partículas, cada una de las cuales se mueve con movimiento circular sincrónico. Suponemos que las fuerzas
de cohesión mantienen la forma de la rueda, lo cual nos permite considerarla como un cuerpo rígido. En este
modelo, la “posición rotacional” de la rueda se describe mediante una variable o coordenada angular: basta
especificar el ángulo descrito entre un radio particular y una dirección fija en el espacio (por ejemplo la
horizontal) para determinar la posición en el espacio de todas las partes de la rueda. Por esta razón la
descripción cinemática del movimiento circular de una partícula, vista en la unidad 1, continúa siendo
aplicable. La derivada temporal de la posición rotacional es la “velocidad rotacional” (o angular) de la rueda,
o lo que es igual, la velocidad angular de cada una de las partículas que la constituyen en su movimiento
circular. Igual sucede con la aceleración angular, la derivada temporal de la velocidad angular. Sin embargo,
es evidente que la “rapidez lineal” de las partículas que forman la rueda (su rapidez simple) es variable,
siendo proporcional a su distancia al eje o punto fijo. Esta dependencia implica que la energía cinética de la
rueda, la suma de las energías cinéticas de las partículas que la forman, depende también de la distribución de
la masa de la rueda en torno al eje: las partículas más lejanas aportan más energía cinética. Ahora bien, para
poner en movimiento la rueda desde el reposo hasta una cierta velocidad angular debemos hacer un trabajo
sobre ella que le proporcione la correspondiente energía cinética, tanto mayor cuanto mayor sea el coeficiente
que relaciona ésta con la velocidad angular; por este motivo este coeficiente se denomina “inercia rotacional”
(en su lugar se suele usar el término menos significativo „momento de inercia‟), el cual desempeña un papel
análogo al de la masa en el contexto del movimiento rotacional.
El producto de la inercia rotacional por la velocidad rotacional es una magnitud física de primordial
importancia, denominado “cantidad de movimiento angular”. Es patente su analogía con la cantidad de
movimiento (lineal), el producto de la inercia (lineal) por la velocidad (lineal). Esta nueva magnitud es una
de las magnitudes fundamentales en la física, a la par de la energía y la cantidad de movimiento, porque
también satisface una ley de conservación: la cantidad de movimiento angular de su sistema aislado
cualquiera de partículas en interacción mutua (no necesariamente un cuerpo rígido), es constante. La analogía
entre las cantidades de movimiento lineal y angular va más allá. Recuérdese que la razón de cambio de la
primera, referida a un cuerpo determinado, es la fuerza neta que actúa sobre ese cuerpo. Pues resulta que la
derivada de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo es igual a lo que podría llamarse el “poder
rotacional” de las fuerzas aplicadas al cuerpo. Más precisamente, es igual al “torque” (o “momento de
torsión”) neto de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, siendo el torque de una fuerza una cantidad que se
define como el producto de la magnitud de la fuerzaporel llamado “brazo de palanca” de la fuerza con
respecto al eje de giro. Así pues, hay una semejanza conceptual y estructural entre la dinámica lineal
estudiada en la unidad 2 y la dinámica rotacional estudiada en esta unidad, de la cual podemos valernos como
facilitación para el aprendizaje de esta última, bastante alejada de la experiencia ordinaria. Gracias a este
hecho, en esta unidad no nos enfrentamos a un pensamiento intuitivo que obstaculice la comprensión de los
conceptos introducidos. En contrapartida, muchos estudiantes se sienten incapacitados de seguir el desarrollo
matemático del tema al no ser capaces de visualizarlo concretamente en su totalidad. Es importante en tales
Módulo 1. Inercia y energía rotacionales
casos limitarse en un primer momento a entender el desarrollo paso a paso, los cuales suelen ser fácilmente
comprensibles considerados individualmente.
Esta unidad se desarrolla casi enteramente en la modalidad de estudio independiente orientado, pues se espera
que el objetivo del “aprender a aprender” que ha guiado la metodología seguida durante este curso haya dado
ya sus frutos, de modo que los estudiantes tengan la actitud y la habilidad de leer comprehensivamente textos
científicos sin un acompañamiento cercano por parte del docente, como sucede en la vida profesional. La
unidad está dividida en dos módulos. El primero introduce los conceptos de momento de inercia, de energía
(cinética) rotacional, y de energía potencial gravitacional de un cuerpo extenso, permitiendo así resolver una
gran cantidad de ejercicios y problemas como el de la máquina de Atwood mediante métodos energéticos. El
segundo módulo introduce los conceptos de cantidad de movimiento angular y torque, permitiendo
comprender el equilibrio de la bicicleta en movimiento, entre otros muchos fenómenos que involucran objetos
en rotación. Pero mientras en el primer módulo nos ceñiremos de cerca al capítulo 9 del texto guía, en la
introducción del concepto de cantidad de movimiento angular seguiremos una vía más conceptual y menos
formal, tomando como base la analogía entre el movimiento de traslación y el movimiento de rotación
alrededor de un eje fijo de la cual hemos hablado en el párrafo anterior (aunque el concepto de torque sí será
introducido formalmente, siguiendo las secciones 10.1 y 10.2 del texto guía).
Estructura delaunidad
1
2
Módulo
Inercia y energía
rotacionales
Objetivo
El estudiantecomprenderá conceptual y operativamente
los conceptos mediante los cuales se pueden resolver por
métodos energéticos algunos problemas de dinámica
rotacional
Conservación de la cantidad El estudiante adquirirá las nociones básicas sobre las que
se apoya esta ley fundamental de la naturaleza, pudiendo
de movimiento angular
aplicarla cualitativamente para explicar fenómenos en los
que desempeña un papel esencial
TIEMPO ESTIMADO:
TRABAJO INDEPENDIENTE:
DISCUSIÓN EN CLASE:
8 horas
2 horas
EVALUACIÓN: Los módulos 3 y 4 se evaluarán conjuntamente en un tercer parcial (15% de la
nota final), además de su contribución a las notas grupal (30%) e individual (10%).
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Módulo 1. Inercia y energía rotacionales
Este módulo continúa el desarrollo matemático iniciado en la unidad 3, módulo 3, tratando un caso
particular de un sistema de muchas partículas: aquél en el que las fuerzas internas entre las
partículas del sistema son tan grandes que impiden por completo la deformación del sistema. Desde
luego, esta suposición nunca se cumple exactamente. Estamos pues ante un nuevo modelo
(idealizado) de la física, el de “cuerpo perfectamente rígido”. La distancia entre las partículas que
forman el sistema y su orientación relativa no cambian, por lo cual el número de variables
necesarias para especificar de modo completo la configuración espacial del sistema se reduce a seis:
las tres coordenadas de posición de un punto del cuerpo (por lo general el centro de masa), y tres
ángulos que miden la orientación de unas rectas fijas al cuerpo (X‟, Y‟, Z‟) con respecto a los ejes
del marco de referencia inercial X, Y, Z. Un caso todavía más particular es el de “rotación
alrededor de un eje fijo”, al que nos restringimos en este curso. En este caso el ángulo entre la recta
Z‟ y el eje de coordenadas Z es siempre cero. En otras palabras, ambas rectas son siempre
paralelas; si describimos el movimiento del sistema en el marco de referencia del centro de masa1
podemos simplificar todavía más la física pues entonces las direcciones Z y Z‟ serán coincidentes,
constituyendo el “eje de rotación”. Es fácil ver entonces que en ese caso el plano X‟Y‟ coincide
con el plano XY, y el ángulo entre X‟ y X es siempre igual al ángulo entre Y‟ y Y. En
consecuencia, en este caso la orientación del cuerpo está determinada por una única “coordenada
angular”, a la que designaremos consistentemente con la letra griega (theta). Como el centro de
masa permanece en reposo, visto desde el centro de masa, estaremos ante un caso de verdadero
movimiento unidimensional a pesar de que cada una de las partículas del sistema sigue una
trayectoria circular. La razón de ello es que una única variable describe la “posición” del sistema,
es decir su orientación respecto a una dirección fija en el espacio, la dirección X. En consecuencia,
la cinemática del movimiento se reduce a la cinemática del movimiento rectilíneo, con una única
diferencia: la dirección de la velocidad angular como vector se define como la dirección del eje de
rotación, el eje Z, estando su sentido definido convencionalmente por la llamada “regla de la mano
derecha”.
Desde luego, cuando de la cinemática del movimiento rotacional pasamos a su dinámica aparecen
complicaciones que no están presentes en el movimiento de traslación rectilínea. Aunque en cierto
sentido es posible seguir tratándolo como un proceso unidimensional (siempre que el eje de rotación
esté fijo), el hecho de que las partículas que forman el sistema estén dotadas individualmente de
diferentes movimientos de traslación circular hace más compleja la dinámica del sistema.
Afortunadamente los métodos de energía permiten reducir grandemente esa complejidad en
aquellos problemas en los que el tiempo no es un factor relevante. En consecuencia, el objetivo del
módulo es aprender a usar estos métodos para resolver una gran cantidad de problemas como el de
la máquina de Atwood mencionado en la introducción de la unidad. De esta manera continuaremos
afianzando las competencias adquiridas en la unidad 3 y a la vez adquiriendo nuevos conceptos de
gran potencia, entre los que destaca por su novedad el de inercia rotacional.
Objetivo: El estudiante comprenderá conceptual y operativamente los conceptos mediante
los cuales se pueden resolver por métodos energéticos algunos problemas de dinámica
rotacional
1
Suponiendo que éste se mueve con velocidad constante con respecto a cualquier otro sistema de referencia
inercial, de modo que el sistema de referencia fijo al centro de masa sea también inercial.
Módulo 1. Inercia y energía rotacionales
Desarrollo del módulo
1.
Estudie el capítulo 9 del texto guía, excluyendo la sección 9.6 (esta última sección es esencialmente un
capítulo del curso de cálculo integral, en la que se justifican los resultados de la tabla 9.2, los cuales
serán tomados en este curso como datos). Lo esencial del capítulo es la sección 9.4, y las ecuaciones
9.16 y 9.17, que introducen los conceptos claves, la inercia y la energía rotacionales, y ejemplifica cómo
usar los métodos energéticos para resolver problemas de dinámica rotacional. Las secciones 9.1 y 9.2
son una especie de repaso de la cinemática unidimensional (capítulo 2 del texto guía); lo nuevo que
contienen son las definiciones de los vectores velocidad angular y aceleración angular. Es muy
importante dominar a fondo el concepto de radián como unidad de medida angular, puesto que la
coordenada angular debe medirse obligatoriamente enesta unidad, según la ecuación 9.1. Esta
ecuación es el punto de partida de las ecuaciones, discutidas en la sección 9.3, que relacionan las
velocidades lineales de las partículas del sistema con su velocidad angular, y las aceleraciones lineales de
aquellas con la aceleración angular del sistema (o de las partículas del sistema). Por último, la breve
sección 9.5 demuestra un importante y útil teorema matemático referente a la inercia rotacional, el
teorema de los ejes paralelos.
2.
Discusión en clase (1 hora)
3.
Realice con su grupo de estudio el taller 2, que debe ser sustentado aleatoriamente por alguno de
los miembros del grupo. Habrá disponible un horario de asesoría para cada grupo en el que se
resolverán las dudas.
Evaluación: El taller 2 (ver desarrollo, n.3) aplica el tema específico del módulo integrando los
contenidos de las anteriores unidades, por lo cual constituye una evaluación global del curso.
Taller 2
1.
2.
Resuelvan los problemas 9.72, 9.88, 9.92, 9.95
Resuelvan el siguiente problema:
Sobre un plano inclinado radianes con respecto a la horizontal se
coloca un bloque en reposo de masa m1 atado a una cuerda de masa
despreciable, en cuyo otro extremo se ata otro bloque de masa m2 que
cuelga como se muestra en la figura. La cuerda pasa por una polea sin
fricción en el eje de rotación, cuyo radio es R y cuyo momento de inercia
es I.
Sea µs y µk los coeficientes estático y dinámico de rozamiento entre la
superficie del plano y del bloque 2.
Considere las siguientes magnitudes derivadas de los parámetros del sistema:
Desbalance de masa
Masa total efectiva
(∆M) =
(Mtotal) =
m1 sen – m2
m1 + m2 + I / R2
1. Demuestre que el sistema permanece en reposo si µs es suficientemente grande, satisfaciendo la
desigualdad
. En caso contrario, demuestre que el sistema comienza a acelerarse desde el reposo
con aceleración de magnitud
, siendo:
Meficaz = |∆M| µk m1cos > 0
(1).
Demuestre también que el sentido de la aceleración de m2 depende del signo del desbalance de masa, siendo
hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo (analice lo que pasa si ∆M es cero).
Nota: asuma que µs>µk
UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos
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Módulo 1. Inercia y energía rotacionales
2. ¿Bajo qué condiciones el sistema puede moverse con rapidez constante?
3. Verifique que el comportamiento del sistema en los casos límite
0° y
/2 sea razonable.
4. Discuta con sus compañeros el significado de los conceptos que hemos denominado “Desbalance de
masa”, “Masa total efectiva”, “Masa eficaz”. En otras palabras, deben responderse preguntas como las
siguientes:
¿Cómo se interpreta o explica la aparición de tales combinaciones aritméticas de los parámetros del
sistema en las expresiones que se han demostrado?
¿Cómo se interpretan los distintos términos (en el sentido matemático de la palabra en negrillas) que
aparecen en tales combinaciones aritméticas de los parámetros del sistema?
¿Por qué se describen o designan tales combinaciones con los nombres (o „términos‟, en el sentido
lingüístico de la palabra) que hemos empleado para referirnos a ellas?
UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos
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Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular
¿Por qué la Tierra ha estado rotando sobre sí misma desde hace unos cinco mil millones de años
alrededor de un mismo eje con una velocidad angular esencialmente constante? Podríamos
intentarexplicar este hecho por la conservación de su energía cinética rotacional inicial, pues a
juzgar por las situaciones estudiadas en el primer módulo, para cambiar esta energía sería necesario
algo así como amarrar un gigantesco cordel alrededor del ecuador y tirar de él tangencialmente.
Pero esta explicación serviría quizás para explicar la constancia de la magnitud de la velocidad
angular, pero no para explicar la constancia de la dirección del eje, tanto en relación al espacio
(¿por qué no se vuelca la tierra 90°, de modo que el polo norte apunte directo hacia el sol, como
sucede en algunas películas de “ciencia” ficción?) como en relación a su geografía (¿por qué la
posición de los polos no se desplaza hacia otros puntos de la superficie terrestre?). Ambos
cataclismos podrían ser compatibles con la conservación de la energía, pero violarían un principio
fundamental de la física, el indicado en el título. Este principio explica igualmente que todos los
planetas del sistema solar orbiten alrededor del sol en el mismo sentido (el contrario a las
manecillas del reloj si vemos los planetas por arriba, entendiendo por „arriba‟ la dirección en la que
se ve el polo norte de la tierra) y muchísimos otros fenómenos celestes y terrestres, como el baile de
los trompos de juguete. De allí que comparta un status similar a los principios de conservación de
la cantidad de movimiento (lineal), de la energía y de la carga eléctrica (hay otros principios de
conservación referentes a las interacciones nucleares fuertes y débiles). En este módulo se hará una
breve introducción informal de las importantes nociones de “cantidad de movimiento angular” y de
“torque de una fuerza”, que completan el repertorio conceptual de la mecánica newtoniana. En
lugar de un desarrollo formal y detallado del tema, que requiere una matemática avanzada (álgebra
tensorial), la discusión utiliza la analogía del movimiento rotacional y el lineal mencionada en la
introducción de la unidad. En los cursos avanzados de mecánica analítica se estudia formalmente el
tema.
Objetivo: El estudiante adquirirá las nociones básicas sobre las que se apoya la ley de conservación
de la cantidad de movimiento angular, una de las leyes fundamentales de la naturaleza, pudiendo
aplicarla cualitativamente para explicar fenómenos en los que desempeña un papel esencial.
Desarrollo del módulo (guía de lectura):
1.
2.
3.
Lea la sección 10.1 del texto guía, en la que se repasa y profundiza el concepto de momento de torsión o
torque de una fuerza respecto a un punto. La idea básica es sencilla, puespertenece a nuestra física
práctica o cotidiana, que en este punto no nos engaña. La complejidad estriba únicamente en el disfraz
matemático de esta idea, en la que por primera vez en este curso se utiliza el producto vectorial o
producto cruz entre dos vectores (estudie la sección 1.10 para recordar esta operación vectorial). Pero lo
importante, teniendo en cuenta el objetivo del módulo, no es dominar esta matemática sino comprender
el concepto, a partir de la situación analizada, el aflojamiento de un perno con una llave de tuercas
(compare la figura 10.1 con la figura 10.5: ¿cuál es el papel del tubo en la última situación?). Estos
análisis deben llevarle a ver el torque como la medida del “poder de generar rotación alrededor de cierto
eje”.
Lea la parte teórica de la sección 10.2. Aquí se obtiene el “análogo rotacional de la segunda ley de
Newton para un cuerpo rígido”, ec. (10.6), que relaciona el torque con la inercia rotacional y la
aceleración angular. El razonamiento físico-matemático es un poco más complejo pero tampoco es del
otro mundo, pero de nuevo no es lo más importante. Interprete esta ecuación, comparando los términos
que aparecen en ella con los que aparecen en la segunda ley de Newton, y así aumentará su comprensión
de la noción de torque.
Lea la sección 10.5, en la que se introduce el concepto de cantidad de movimiento angular, inicialmente
para una partícula, y luego para un cuerpo que rota alrededor de un eje de “simetría axial” (como un
Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular
4.
5.
cilindro o una rueda de bicicleta perfectamente equilibrada o balanceada). El razonamiento que lleva
desde la DEFINICIÓN (10.27) ( =
) al teorema (10.31) ( = ) exige un cierto vuelo imaginativo
y algo de paciencia y perseverancia, pero si se pierde algún detalle no se preocupe, pues este tema será
objeto de estudio más adelante con una herramienta matemática más poderosa. Lo importante es
interpretar el resultado final (ecuación 10.31) en términos de la analogía lineal-rotacional. Examine
también con cuidado la ecuación (10.32), que por decirlo así “cierra” la analogía, haciéndola completa y
no dejando ningún cabo suelto (¿A qué expresión de la dinámica línea corresponde?)
Por último, lea la sección 10.6, en la cual llegamos a nuestro objetivo. Es importante comprender los
ejemplos 10.13 y 10.14, que le permitirán dar mayor significado concreto a esta ley. Otra situación en la
que esta ley debe invocarse es la del equilibrio en la bicicleta, con la cual iniciamos el módulo. El
recuadro 1 presenta la explicación del fenómeno como una consecuencia de la conservación de la
cantidad de movimiento angular. Antes de leerlo trate Usted mismo de resolver el problema, al menos
mentalmente, y luego enriquezca su razonamiento con el que se presenta en el recuadro.
Discusión en clase (1 hora)
Evaluación
El aprendizaje de los contenidos temáticos del módulo no será objeto de evaluación con vistas a la
calificación del curso, pues como se dijo anteriormente cualquier abordaje con la mínima profundidad
requiere un tiempo y unas herramientas matemáticas de las que no se dispone en este curso. El tema se trata
aquí para completar la presentación de los conceptos fundamentales de la mecánica newtoniana y de los
principios de conservación, dejando bajo la autonomía del estudiante la responsabilidad de su aprendizaje.
Para facilitarlo, considere por ejemplo las siguientes preguntas (dependiendo de su interés en el tema le
sugerimos considerar las preguntas para análisis pertinentes del final del capítulo):
Preguntas de comprensión (autoevaluación)
1.
2.
3.
En el caso de la rotación de un cuerpo rígido con simetría axial alrededor del eje de simetría, tanto la
energía cinética rotacional como la cantidad de movimiento angular son combinaciones algebraicas
del mismo par de magnitudes básicas, una de las cuales es una propiedad del cuerpo y la otra es una
variable del movimiento.
a. Exprese la energía cinética rotacional en función de la cantidad de movimiento angular y
viceversa
b. Discuta las diferencias conceptuales entre ambas magnitudes
Una fuerza es “central” si está dirigida siempre hacia un mismo punto, el “centro de fuerza”.
a. Muestre que la fuerza gravitatoria debida a una masa muy grande sobre una masa muy
pequeña, tal que se puede despreciar el movimiento de la masa grande debido a su atracción
por la masa pequeña, es una fuerza central
b. Muestre que la cantidad de movimiento angular de la masa pequeña con respecto al centro
de fuerza, dónde está localizada la masa grande, es constante2
Los fusiles de precisión tienen su superficie interior en forma de hélice con el fin de proporcionar a
la bala una velocidad angular en la dirección de su vector velocidad lineal. Explique para qué se
hace esto.
Recuadro 1: ¿Qué es lo que mantiene en equilibrio a una bicicleta en movimiento?
Sabemos lo difícil que es mantener el equilibrio sobre una bicicleta en reposo traslacional. Para ello se
necesita que el sistema ciclista+bicicleta esté exactamente vertical, lo que significa que el plano geométrico
formado por el centro de masa de este sistema y los dos puntos de apoyo del sistema en cada rueda,es
perpendicular a la superficie de la Tierra. Este estado de equilibrio es inestable (ver texto guía, sección 7.5):
la energía potencial gravitatoria del sistema es máxima. En efecto, cualquier desplazamiento del centro de
2
De este resultado puede demostrarse la ley de Kepler de las áreas: una línea que va desde el Sol hasta un
planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales (ver sección 12.5 del texto guía).
UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos
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Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular
masa de la bicicleta a izquierda o derecha, o lo que es igual cualquier inclinación lateral de la bicicleta, hace
que la altura del centro de masa disminuya (¿Por qué?), y con ello la energía potencial. Por tanto, surgirá un
“torque desequilibrante” (debido al peso del sistema y al brazo de palanca que surge por la perturbación), que
hará que la bicicleta se incline más todavía, y ya tenemos al ciclista cayéndose. Es fácil ver que este torque
tiene una direcciónparalela al piso y en la dirección en
Vista desde atrás
que se mueve la bicicleta (ver figura 1). Pero esto
sucede, tanto si el sistema está en reposo traslacional, o
si está en movimiento. ¿Por qué en este último caso la
z
bicicleta se mantiene en ese equilibrio inestable,
desafiando la ley de la gravedad?
Peso de la rueda =
x
Las leyes de conservación estudiadas antes, de la
cantidad de movimiento lineal o de la
energía.nopueden explicar este hecho paradójico.
Ambas nos dicen que el sistema como un todo tenderá a
Figura 1. Vista de una rueda de bicicleta cuando
seguir en movimiento hacia adelantea menos que una
está empezando a volcarse. La cruz representa el
fuerza lo detenga, sin importar la orientación espacial
torque, un vector perpendicular al plano del papel y
del sistema. Por ello, si un infortunado ciclista pierde el
que apunta hacia adentro de la página, que en este
equilibrio por alguna razón, el suelo se encarga de
caso coincide con la dirección y (si apuntara hacia
detenerlo a costa de su integridad corporal. Así pues, se
el lector se representaría como un punto dentro del
requiere otra explicación del hecho de que el plano de la
círculo).
bicicleta se mantenga vertical, y resista a las
perturbaciones que la harían volcarse si no estuviera en movimiento. Esa explicación nos la ofrece el hecho
de que las ruedas de la bicicleta están girando, y por tanto tienen una determinada cantidad de movimiento
angular respecto al eje de las ruedas, proporcional en magnitud a la rapidez lineal de la bicicleta3, y cuya
dirección es la del eje de giro, perpendicular al plano de la rueda. Es precisamente el hecho de que la
cantidad de movimiento angular sea de naturaleza intrínsecamente vectorialo direccional lo que explica el
mantenimiento del equilibrio, pues la conservación de tal magnitud significa que el vector que representa
dicha magnitud no cambia, ni en magnitud ni en dirección, a menos que se aplique un torque (ecuación
10.32). Así pues, es necesarioaplicar un torque para cambiar la dirección del eje de rotación (incluso si no
cambia la rapidez angular angular), o lo que es igual para modificar el plano de giro, pues la dirección de
coincide con la del eje. Recordemos que lo mismo sucede con el movimiento traslacional por la
conservación de la cantidad de movimiento lineal, también una magnitud de naturaleza intrínsecamente
vectorial. Para cambiar la dirección del movimiento de traslación de un cuerpo debemos aplicar una fuerza,
incluso si no se cambia su rapidez. Así sucede en el caso del movimiento circular uniforme, en el que la
fuerza aplicada es perpendicular a la velocidad y por tanto a la cantidad de movimiento misma.
Lo que antes llamamos el “torque desequilibrante”, el
torque debido al peso del sistema ciclista-bicicleta
(con respecto al punto de contacto) y a un pequeño
desplazamiento lateral va en la dirección y (ver
figuras 1 y 2). Si es cero (bicicleta en reposo) la
acción de este torque es impartir a la bicicleta una
velocidad angular en torno a dicho eje; en
consecuencia, la bicicleta se vuelca, como ya vimos.
y
(t+ t)
x
o
Figura 2. La misma rueda de la figura 1 vista por
encima, pero ahora girando. Se ha exagerado la
magnitud del vector .
3
Esto es así siempre que la bicicleta está rodando sin resbalar. Es decir, si el punto de la rueda que está en contacto con el
suelo está “instantáneamente” en reposo respecto al suelo. En la sección 10.3 del texto guía se discute el movimiento de
rodadura, es decir el movimiento combinado de traslación y rotación de una rueda o esfera sobre una superficie no lisa.
Pero no es necesario utilizar ecuaciones para darse cuenta de que mientras más rápido se traslada la bicicleta más rápido
deben girar las ruedas (la relación es de proporcionalidad directa, siendo el radio R de las ruedas el coeficiente de
proporcionalidad:vtraslación = R ruedas).
UNIDAD 4: Movimiento rotacional de cuerpos extensos
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Módulo 2: Conservación de la cantidad de movimiento angular
La razón es que el efecto del torque es ahora producir un cambio en la cantidad de movimiento angular de
la rueda, que sumado a su valor inicial nos da un vector (t+ t)que está en el mismo plano horizontal pero un
poco rotado hacia el eje x (ver figura 2). Por tanto, la perturbaciónque produjo el torque desequilibrante se
compensa inconscientemente por el ciclista con el manubrio antes de que el torque “tenga tiempo”, por
decirlo así, de desviar a la derecha el rumbo de la bicicleta (en el caso en que la bicicleta esté empezando a
inclinarse hacia ese lado; si la perturbación inclina la bicicleta hacia la izquierda el torque va en la dirección –
y, en consecuencia, la rueda tendería a girar a la izquierda).
El hecho de que la rueda produzca dos respuestasrotacionales muy diferentes frente al “torque
desequilibrante”, dependiendo de si está o no en rotación, se puede comprender con una situación traslacional
análoga. Imagine una pelota atada a un cordón. Si la pelota está en reposo (cantidad de movimiento inicial
cero) y Ud. tira del cordón, la pelota se moverá hacia Ud. Pero si la pelota ya se está moviendo en dirección
perpendicular al cordón (cantidad de movimiento inicial distinta de cero), el efecto de tirar del cordón
continuamente será ahora muy diferente. La dirección de la cantidad de movimiento de la pelota cambiará
continuamente, moviéndose ésta en una trayectoria circularalrededor de Ud.
Desde luego que el análisis realizado es bastante “primitivo”, desde el punto de vista de la teoría física
formalizada. Es decir, se han pasado por alto un buen número de complicaciones matemáticas presentes en
esta situación, cuya complejidad es tal que en cierta forma escapa a las posibilidades de análisis de la física.
Esto significa que debemos contentarnos con un estudio más bien cualitativo, sin que podamos predecir en
detalle el comportamiento del sistema (que incluye al ciclista con sus propiedades mentales)4.
**********
EPÍLOGO: ¿A DÓNDE HEMOS LLEGADO?
Durante todo el curso no hemos hecho más que intentar responder una única pregunta, aquella que
nos planteamos en el lectura 1: ¿Cómo describir, analizar y explicar matemáticamente el
movimiento de los cuerpos a nuestro alrededor, de modo que sea posible predecir su posición, su
velocidad y su aceleración en cualquier instante? Es la hora de hacer un balance final y apreciar el
arduo camino recorrido, y saber lo que nos falta para llegar a la meta. Porque este curso es apenas
un primer paso. Cuando Ud. leyó esta pregunta por primera vez, es muy probable que no le
encontrara mucho sentido. O si pudo comprenderla, quizás le pareció que no estaba a su alcance
llegar a responderla alguna vez. Pero si Ud. revisa su “diario de aprendizaje”, verá que ya es capaz
de resolver problemas de dinámica, prediciendo el movimiento de un sistema a partir de unos pocos
datos. Y es que la respuesta a la pregunta esencial de este curso está contenida en el conjunto de
conceptos y procedimientos estudiados a lo largo de estas cinco unidades. Así lo indica la forma
gramatical de la pregunta, que comienza con el pronombre interrogativo „cómo‟. Pues de lo que se
trataba en el curso era de adquirir la competencia de describir, analizar, explicar y predecir
matemáticamente el movimiento de algunos cuerpos a nuestro alrededor, no de aprender de
memoria lo que los físicos dicen. Si Ud. desarrolló esa competencia (y lo puede demostrar a través
de la resolución de problemas de mecánica newtoniana), Ud. logró el objetivo del curso, y está
preparado para el siguiente curso de física, donde continuará extendiendo esta competencia a
sistemas más complejos que los estudiados en este curso. Mucha suerte en este empeño.
4
Un “modelo físico” de este sistema complejo, es decir un sistema físico más sencillo de analizar mediante la teoría física
y que presenta un comportamientoanálogo en al sistema estudiado (la bicicleta) es el llamado giróscopo (ver texto guía,
sección 10.7), que es de por sí un aparato tecnológico de gran importancia, por ejemplo en la navegación inercial. En
efecto, el fenómeno de precesión de un giróscopo en un campo gravitatorio se analiza formalmente mediante un
planteamiento muy similar al presentado.
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