Talk - Universitat Jaume I

TRANSITORIEDAD DEL MOVIMIENTO BROWNIANO
EN SUBVARIEDADES DE UNA VARIEDAD
RIEMANNIANA*
VICENTE PALMER**
1.- Introducción: Transitoriedad y Recurrencia del movimiento Browniano
2.- Transitoriedad y Recurrencia bajo el
punto de vista de la Teorı́a del Potencial
3.- Capacidad en los espacios modelo: el
criterio de transitoriedad de Ahlfors-Milnor.
El criterio de Ichihara.
4.- Un nuevo criterio para la transitoriedad
* Trabajo en colaboración con S. Markvorsen,
DTU, Dinamarca,
**Departament de Matemàtiques, Universitat
Jaume I, [email protected].
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V. PALMER
1. Introducción: Transitoriedad y
Recurrencia del movimiento
Browniano
* Movimiento Browniano: movimiento
irregular de partı́culas microscópicas en la
superficie de un lı́quido, (R. Brown, 1828)
* Su causa: colisiones de las partı́culas en
suspensión con las moléculas de la superficie
del lı́quido.
* El movimiento resultante es de naturaleza estocástica y la distribución de probabilidad del desplazamiento de una partı́cula
satisface una ecuación de difusión.
(A. Einstein, 1905)
MAT.ES 2005
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* Modelo matemático más sencillo:
desplazamiento aleatorio de una partı́cula
sobre los nodos de una red, Z2, (Zq ),
(modelo discreto).
* La partı́cula salta de nodo en nodo,
escogiendo en cada paso uno de los 4, (2q),
nodos vecinos con probabilidad 14 , ( 2q1 ).
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V. PALMER
* Qué ocurre con una partı́cula cuando ha
dado un número infinito de saltos?.
* Si el movimiento es homogéneo e isótropo,
cabrı́a esperar que, a largo plazo, el número
de movimientos en las 4 direcciones posibles deberá ser el mismo, y, por tanto, la
partı́cula debe volver al punto de partida al
cabo de un tiempo.
* Esto no es ası́ : el comportamiento
a largo plazo de la partı́cula depende de la
dimensión de la red, (G. Polya, 1921).
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* Si q ≤ 2, la partı́cula volverá un número
infinito de veces al origen del movimiento,
con probabilidad 1, (Recurrencia).
* Si q > 2, la partı́cula pasará por el nodo
origen del movimiento un número finito de
veces, con probabilidad 1.
* Es decir, transcurrido un cierto tiempo,
la partı́cula no volverá a pasar por el origen del movimiento y lo mismo ocurrirá con
cualquier nodo visitado, de forma que la
partı́cula vagará indefinidamente por la red
infinita, (Transitoriedad).
* Con el modelo continuo de movimiento
Browniano, debido a N. Wiener, (1923), se
tiene que

 es recurrente si n ≤ 2
n
IR
 y transitorio si n > 2
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2. Transitoriedad y Recurrencia
bajo el punto de vista de la
Teorı́a del Potencial
* El problema de decidir si una superficie no compacta es transitoria o recurrente está relacionado con el problema
de determinar si esta superficie es conformalmente equivalente al disco unitario,
(hiperbólica) o al plano, (parabólica),
lo que se conoce como problema de los tipos.
* El conocido como Criterio de Milnor,
(J. Milnor, 1977), relaciona la curvatura
de Gauss de una superficie completa y
rotacionalmente simétrica alrededor de un
punto con su tipo conforme- y por tanto,
con su transitoriedad o recurrencia.
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* Esta cuestión ya habia sido abordada
por L. V. Ahlfors en 1935, de forma que usando sus técnicas se puede extender la parte
de este criterio correspondiente a la parabolicidad, a superficies con un polo, (sobre
las que se puede definir un sistema de coordenadas polares global), involucrando al
área de los circulos geodésicos.
* P.G. Doyle, (1988), se inspira en Ahlfors
y en el conocido, (dentro de la teorı́a de la
electricidad), como Método de los cortes
de Rayleigh para establecer un criterio similar, (con un sustrato geométrico), para la
hiperbolicidad de superficies con un
polo.
* En esta sección presentamos los instrumentos necesarios, (teorı́a potencial), para
establecer:
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(i) Un criterio de transitoriedad o recurrencia, para variedades de cualquier dimensión, rotacionalmente simétricas alrededor de un punto, que relaciona estas propiedades
con el área de sus esferas geodésicas.
Lo llamamos de Ahlfors-Milnor.
(ii) Una extensión de este criterio, (para
la transitoriedad), a variedades con un
polo y con determinadas curvaturas
seccionales acotadas superiormente.
(Ichihara, 1982)
(iii) Estos criterios sirven para contextualizar nuestro criterio de transitoriedad, que
generalizarı́a el de Ichihara.
(iv) En resumen: estudiar la influencia de
las curvaturas de la variedad en las propiedades
del movimiento Browniano definido sobre
ella. Criterios Geométricos vs. Criterios
Analı́ticos.
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* Vamos a utilizar los conceptos de Capacidad y Resistencia para caracterizar la
Recurrencia y la Transitoriedad del movimiento
Browniano definido en una variedad bajo el
punto de vista de la Teorı́a del Potencial.
* Si imaginamos a la variedad infinita, (completa y no compacta), constituida por un
material conductor homogéneo, la determinación de si es transitoria o recurrente es
equivalente a determinar si la resistencia al
paso de la corriente en toda la variedad es
finita, (transitoriedad) o infinita, (recurrencia).
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Definición: Capacidad
* (M n, g) variedad riemanniana. Suponemos
M constituida por un material conductor
homogéneo.

K compacto
* Sea K ⊆ Ω donde
Ω precompacto
* Se define
Z
Cap(K, Ω) =
< ∇M u, ν > dσ
∂K
donde ν = unitario normal a ∂K apuntando
hacia afuera de K
* donde u es la solución de la ecuación de
Laplace con condición de Dirichlet definida
en el dominio Ω ∼ K,
∆M u = 0 on Ω ∼ K
u|∂K = 0
u|∂Ω = 1
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* u representa el potencial electrostático
generado por una concentración de carga en
el interior de K.
* y la cantidad Cap(K, Ω) representa la
corriente total fluyendo en el interior de Ω ∼
K a través de ∂K.
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V. PALMER
Definición: Resistencia
* Aplicando la Ley de Ohm, la resistencia
efectiva al flujo de la corriente a través del
trozo de superficie Ω ∼ K viene dado por
1
Res(K, Ω) =
Cap(K, Ω)
Definición: Sucesión exahustiva de
precompactos
* Familia de conjuntos {Σn}n∈N que satisface las siguientes condiciones:
(1) ∀n ∈ N, el conjunto Σn es un precompacto en M con frontera ∂Σn
(2) Σn ⊆ Σn+1, ∀n ∈ N
(3) ∪n∈NΣn = M
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Definición: Capacidad en el infinito
de K
* Se define la “Capacidad en el infinito” ó
“Capacidad en M ” de un compacto/precompacto
K como
Cap(K, M ) = lim Cap(K, Σn)
n→∞
donde {Σn}n∈N es una sucesión exahustiva
cualquiera de precompactos tales que
K ⊆ Σn0 , n0 ∈ N
Teorema, (Criterio de KelvinNevanlinna-Royden)
* Sea (M n, g) variedad riemanniana.
M es transitoria si y solo si para todo
precompacto, (para un compacto), K
Cap(K, M ) > 0
M es recurrente si y solo si existe un precompacto K tal que
Cap(K, M ) = 0
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V. PALMER
3. El criterio de transitoriedad de
Ahlfors-Milnor. El criterio de
transitoriedad de Ichihara.
3.1 Definición : espacios modelo
Mwm = [0, L[×w S10,m−1
donde S10,m−1 es la esfera euclı́dea de radio
1 y ×w denota el producto “warped”, siendo
w : [0, L[−→ IR+ tal que w(0) = 0, w0(0) =
1.
3.2 Nota : Propiedades geométricas
de los espacios modelo
* Si π : Mwm −→ [0, L[, entonces pw =
π −1(0) es el centro de Mwm.
* Los Mwm son esféricamente simétricos y
si L = ∞, el centro pw es un polo de Mwm,
de forma que se puede definir globalmente
sobre el espacio modelo un sistema de coordenadas polares (r, θ).
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* La curvatura seccional de Mwm a lo largo
de las geodésicas radiales que parten del centro pw es
w00(r)
secMww (γpw ) = −
w(r)
* Las bolas geodésicas con centro en pw
son los conjuntos Brw = π −1([0, r]), y su
borde son las esferas geodésicas ∂Brw = π −1(r).
Estas fibras ∂Brw = π −1(r) son:
0,m−1
(i) isométricas a la esfera euclı́dea Sw(r)
,
(ii) vol(∂Brw ) = vol(S1m−1)wm−1(r)
(iii) y su curvatura media H∂Brw =
w0 (r)
w(r) .
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V. PALMER
3.3 Ejemplos de espacios modelo:
las formas espaciales reales
* Las formas espaciales reales

n

S

 (b) si b > 0
IK n(b) = IRn
si b = 0


Hn(b) si b < 0
son espacios modelo Mwn = [0, L[×w S1n−1,
con
√
π
sin
(1) Si b > 0, L = √b y wb(r) = √bbr
(2) Si b = 0, L = ∞ y wb(r) = r
(3) Si b < 0, L = ∞ y wb(r) =
√
sinh
√ −br
−b
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3.4 Teorema: (Criterio de AhlforsMilnor)
Sea Mwm un espacio modelo completo y no
compacto, (L = ∞).
Entonces Mwm es transitoria, (recurrente)
si y solo si
Z ∞
dr
< ∞, (= ∞)
m−1
w
(r)
3.5 Idea de la Demostración
* Aplicar el Criterio de Kelvin-NevanlinnaRoyden con la sucesión exhaustiva de precompactos
{BRw (pw )}R>ρ
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V. PALMER
* Definición de capacidad
Cap(Bρw , Mwm) = lim Cap(Bρw , BRw )
ZR→∞
m
= lim
< ∇Mw u, ν > dσ
R→∞
∂Bρw
* Se calcula la solución u de la ecuación de
Laplace con condición de Dirichlet definida
en el dominio BRw ∼ Bρw ,
m
∆Mw u+ = 0 on BRw ∼ Bρw
u(ρ) = 0
u(R) = 1
* Entonces
Cap(Bρw , Mwm)
= R∞
ρ
1
dr
wm−1 (r)
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4. Transitoriedad de subvariedades.
4.1 Planteamiento del Problema:
El criterio de Ichihara.
* Existe una generalización del Criterio de
Ahlfors-Milnor, para variedades riemannianas N n con un polo, debida a K. Ichihara.
* Un polo es un punto de la variedad tal
que expp : TpN −→ N es un difeomorfismo.
El polo p es el origen de una función distancia r(x) = distN (p, x), realizada por una
única geodésica γx que une p y x ∈ N . Las
γx se llaman geodésicas radiales.
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V. PALMER
* Las curvaturas seccionales a lo largo de
las geodésicas radiales γx se llaman curvaturas seccionales p-radiales y se denotan
como secp,N (γx).
Teorema: (Criterio de Ichihara)
Sea N n una variedad riemanniana con un
polo p, completa y no compacta, de forma
que sus curvaturas seccionales p-radiales
cumplen
w00(r)
secp,N (γx) ≤ −
w(r)
siendo w : [0, ∞[−→ IR+ diferenciable tal
que w(0) = 0 y w0(0) = 1.
Entonces, si
Z ∞
dr
<∞
n−1 (r)
w
ρ
la variedad N es transitoria.
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* El Criterio de Ichihara generaliza el de
Ahlfors-Milnor, ya que un espacio modelo
Mwn con L = ∞ es una variedad completa
no compacta, con curvaturas seccionales raw00 (r)
diales iguales al cociente − w(r) .
* La cuestión abordada consiste en generalizar el criterio de Ichihara, dada P m una
subvariedad completa de la variedad riemanniana ambiente con polo N n, encontrando:
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V. PALMER
(i) Condición geométrica intrı́nseca más general para N , en términos de cotas para las
curvaturas seccionales p-radiales.
(ii) Condición geométrica extrı́nseca más
general para P , en términos de cotas para
la curvatura media radial de P , Hp,P ,
tales que juntas garanticen que P es una
variedad transitoria.
Definición La curvatura media p-radial
de P en N se define como
Hp,P (x) = − < ∇N r(x), HP (x) >
Estas curvaturas aparecen en la expresión
de la Laplaciana, restringida a P , de las funciones radiales f (r)|P .
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4.2 El resultado: Un nuevo criterio para la transitoriedad de subvariedades
Teorema, (S. Markvorsen, V. Palmer,
200?)
N n variedad riemanniana con un polo p.
P m subvariedad tal que P * BRn (p) ∀R
Sea w(r) ≥ 0 con w(0) = 0 y w0(0) = 1.
Sea H(r) tal que
w0(r)
Hp,P (x) ≤ H(r(x)) ≤
w(r)
Sea K(r) tal que
−w00(r)
secp,N (γx) ≤ K(r(x)) ≤
w(r)
Entonces, si
Z ∞ m
G (r)
dr < ∞
m−1 (r)
w
ρ
Rr
siendo G(r) = exp( ρ H(t)dt).
La subvariedad P es transitoria.
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V. PALMER
4.3 Idea de la Demostración
* Instrumentos:
(i) El Criterio de Kelvin-Nevanlinna-Royden,
usando las bolas extrı́nsecas centradas en el
polo p,
(ii) Teorı́a de Comparación para el hessiano y la laplaciana de funciones radiales.
* La idea es cortar la subvariedad P con
bolas geodésicas BRn (p), de la variedad ambiente N , encajadas unas dentro de otras y
centradas en el polo p, como se ilustra en el
siguiente dibujo:
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* Se obtiene ası́ una sucesión exhaustiva
de dominios,
DR = P ∩BRn (p) R ≥ ρ, componente conexa
Estas son las bolas extrı́nsecas.
* Entonces, se aplica el Criterio de kelvinNevanlinna-Royden, calculando
Cap(Dρ, P ) = lim Cap(Dρ, DR )
R→∞
* La igualdad anterior es cierta tanto si
las bolas extrı́nsecas DR son precompactas
como si no.
* Para obtener
lim Cap(Dρ, DR ) > 0
R→∞
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V. PALMER
* Se busca la comparación
Cap(Dρ, DR ) ≥ Cap(Bρw , BRw )
donde BRw son las bolas geodésicas en los
espacios modelo Mwm.
* Esta comparación se obtiene a partir de
la comparación entre funciones radiales que
se definen como las soluciones de determinados problemas de Laplace. Aquı́ entran
en juego las hipótesis sobre Hp,P y secp,N .
* Nota 1: Criterio de Ichihara como
corolario de esta demostración
Si P = N , ∇P r = ∇N r y entonces no es
necesaria, para la comparación anterior, la
hipótesis
w0(r)
Hp,P (x) ≤ H(r(x)) ≤
w(r)
Además, podemos poner HP = 0, con lo
que H(r) = 0 y ası́ G(r) = exp 0 = 1
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* Nota 2: Demostración heurı́stica de la
desigualdad para la Capacidad anterior.
En el dibujo tenemos bolas extrı́nsecas sobre una superficie minimal, (el helicoide) y
bolas geodésicas del mismo radio sobre el
plano.
Las aplicaciones conformes conservan la Capacidad, (y la Resistencia).
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V. PALMER
4.4 Dos corolarios
* Este resultado no sólo es una generalización del Criterio de Ichihara.
* A partir de él, se obtienen los siguientes
teoremas:
Teorema 1, S. Markvorsen, V. Palmer,
GAFA, 2003
Las subvariedades minimales de las variedades de Cartan-Hadamard son transitorias.
En particular, las subvariedades minimales,
(de dimensión mayor o igual que tres), de los
IRn son transitorias.
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Comentarios al Teorema 1
* Las variedades de Cartan-hadamard son
variedades con polo, con curvaturas seccionales
acotadas superiormente por 0 y las subvariedades minimales tienen curvatura media
nula.
* Los espacios modelo con los que comparamos son los euclı́deos IRn y los hiperbólicos
Hn,√con funciones w0(r) = r y wb(r) =
sinh
√ −br , respectivamente. Como H(r) = 0,
−b
entonces G(r) = 1 ∀r.
* Se verifica entonces que

Z ∞
 si b = 0, cuando m ≥ 3
dr
< ∞;
m−1
 si b < 0, cuando m ≥ 2
wb (r)
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V. PALMER
Teorema 2, S. Markvorsen, V. Palmer,
200?
Sea P m, (m ≥ 2), una subvariedad no acotada de una variedad de Cartan-Hadamard
N n con curvaturas seccionales
secN ≤ b < 0
Suponemos además que las curvaturas medias p-radiales de P satisfacen
√
(m − 1) −b
Hp,P ≤ H0 <
m
m
Entonces P es transitoria.
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Comentarios al Teorema 2
* Minimalidad implica transitoriedad pero
no al contrario.
* En este caso, se elige H(r) = H0, de
forma que G(r) = exp(H0r). El espacio
modelo con el que√se compara es el hiperbólico,
con wb(r) = sinh√−b−br
Z
* Entonces,
Z
∞ m
G (r)dr
<
m−1
wb (r)
∞
√
mH0 −(m−1) −b
e
dr < ∞