Clases monótonas de conjuntos

Clases monótonas de conjuntos
Objetivos. Definir clases monótonas y mostrar su relación con σ-álgebras.
Requisitos. σ-álgebras de conjuntos.
1. Definición (clase monótona). Sea X un conjunto. Un conjunto M ⊂ 2X se llama
clase monótona si:
S
1. Para toda sucesión (Bn )n∈N creciente en M, n∈N Bn ∈ M.
T
2. Para toda sucesión (Cn )n∈N decreciente en M, n∈N Cn ∈ M.
2. Observación: toda σ-álgebra es una clase monótona. Sea X un conjunto. Entonces toda σ-álgebra sobre X, en particular 2X , es una clase monótona sobre X.
3. Proposición. La intersección de un conjunto de clases monótonas es una clase monótona.
4. Clase monótona generada por un conjunto de conjuntos. Sea C ⊂ 2X . La
intersección de todas las clases monótonas sobre X que contienen a C se llama la clase
monótona generada por C. Por la proposición anterior, es una clase monótona. Más aún,
es la clase monótona más pequeña que contiene a C.
5. Lema (de la clase monótona generada por un álgebra). Sea X un conjunto, sea
A un álgebra sobre X y sea M la clase monótona generada por A. Entonces M es una
σ-álgebra.
Esquema de la demostración. La parte más pesada consiste en demostrar que M es un
álgebra sobre X. Para todo P ⊂ X pongamos
Ω(P ) := Q ⊂ X : P ∪ Q ∈ M, P \ Q ∈ M, Q \ P ∈ M .
1. Si P, Q ⊂ X y Q ∈ Ω(P ), entonces P ∈ Ω(Q).
2. Si P ⊂ X y (Qn )n∈N es una sucesión creciente en Ω(P ), entonces
S
3. Si P ⊂ X y (Qn )n∈N es una sucesión decreciente en Ω(P ), entonces
S
4. Si P ⊂ X, entonces Ω(P ) es una clase monótona.
5. Si P ∈ A y Q ∈ A, entonces Q ∈ Ω(P ).
6. Si P ∈ A, entonces A ⊂ Ω(P ).
7. Si P ∈ A, entonces M ⊂ Ω(P ).
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n∈N
n∈N
Qn ∈ Ω(P ).
Qn ∈ Ω(P ).
8. Si P ∈ A y Q ∈ M, entonces Q ∈ Ω(P ).
9. Si P ∈ M y Q ∈ A, entonces Q ∈ Ω(P ).
10. Si P ∈ M, entonces A ⊂ Ω(P ).
11. Si P ∈ M, entonces M ⊂ Ω(P ).
12. Si P, Q ∈ M, entonces Q ∈ Ω(P ).
El último inciso significa que M es un álgebra. Demostremos que M es una σ-álgebra.
Sea (An )n∈N una sucesión en M. Entonces la sucesión de las uniones parciales
[
Bm :=
An
m∈N
n≤m
es creciente, y
[
n∈N
An =
[
Bm ∈ M.
m∈N
6. Teorema (descripción de la σ-álgebra generada por una semiálgebra). Sea
X un conjunto, sea S una semiálgebra sobre X, es decir, un semianillo sobre X tal que
X ∈ S. Denotemos por A al álgebra generada por S y denotemos por M a la clase
monótona mı́nima que contiene a A. Entonces M es la σ-álgebra generada por S.
Demostración. El lema anterior garantiza que M es una σ-álgebra. Por otro lado, sea B
una σ-álgebra que contiene a S. Como toda σ-álgebra es una álgebra y A es el álgebra
más pequeña que contiene a S, obtenemos que A ⊂ B. Luego, como toda σ-álgebra es
una clase monótona y M es la clase monótona más pequeña que contiene al álgebra A,
obtenemos que M ⊂ B.
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