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Estructura de la Materia
Grupo 21, Semestre 2013-2
Prof. Isidoro García Cruz
EJERCICIOS
1. La luz amarilla que emite una lámpara de sodio tiene una longitud de
onda de 589 nm. Calcular la frecuencia de esta radiación.
Respuesta:
Sabemos que:
c =λν
Donde c es la constate de la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda, ν es
la frecuencia.
m
s
nm
8
c = 3 x10
λ = 589
ν =?
ν =c
λ
 x 8 m / s 

14 −1
  1 nm  =
=  3 10
x10 s
5
.
09
−
9


 589 nm  1 x10 m 
2. Un láser produce una radiación con una longitud de onda de 640 nm.
Calcule la frecuencia de esta radiación.
Respuesta:
ν =?
 x


c
 3 10 m / s   1 nm  =
=
=
ν
4.69 x10 s

 x
nm
m

λ  640
 1 10

8
14
−1
−9
3. Una estación de radio difunde una radiación electromagnética de 103.4
MHz. Considerar que 1 Mhz= 1 x 106 s-1. Calcule la longitud de onda de
esta radiación.
Respuesta:
λ =?
λ =c
ν
 x 8 m / s 

−9
  1 MHz  =
=  3 10
= 2.901 x10 m
2
.
901
m
6


103.4 MHz  1 x10 s − 1
4. Calcule la energía de un fotón de luz amarilla cuya longitud de onda es
589 nm.
Respuesta:
E
fotón
=?
Sabemos que:
c =λν
y que además:
E
fotón
= hν
h= Constante de Planck
y ν es la frecuencia.
h= 6.63 x 10-34 J s
La frecuencia es:
ν =c
λ
 x 8 m / s 

14 −1
  1 nm  =
=  3 10
x10 s
5
.
09
−9


 589 nm  1 x10 m 
entonces:
E
fotón
= hν =
(6.63 x10
−34
Js
)[5.09 x10 s ] = 3.37 x10
14
−1
−19
J
Es decir que un fotón de energía radiante proporciona o genera 3.37 x 10-19
J/fotón, entonces cuanta energía proporcionará un mol de fotones ?.
La energía se expresa en J/mol, luego entonces hay que convertir estos 3.37 x
10-19 J a J/mol. Para ello consideremos el Numero de Avogadro, NA= 6.023 x
1023 fotones/mol. Es decir en un mol hay 6.023 x 1023 fotones.
J 
J
23 fotones  
−19
5 J

= 202975
= 2.02975 x10
 6.023 x10
3.37 x10

mol 
fotón
mol
mol

E
5
fotón
= 2.03 x10
J
mol
5. Un láser emite luz con una frecuencia de 4.69 x 1014 s-1. a) Calcule la
energía del fotón de la radiación de este láser. b) El láser emite una
ráfaga de energía que contiene 5 x 1017 fotones de esta radiación. Calcule
la energía total de esta ráfaga. c) Si el láser emite 1.3 x 10-2 J de energía
durante la ráfaga. Cuantos fotones emite durante esa ráfaga.
Respuesta:
Sabemos que:
c =λν
y que
E
fotón
= hν
h= Constante de Planck
ν es la frecuencia. En este caso, ya conocemos ν.
h= 6.63 x 10-34 J s
Entonces:
E = hν
=
(6.63 x10
−34
−19
E = 3.11 x10 J
Js )[4.69 x10 s
14
] = 3.11 x10
−1
−19
J
3.11 x 10-19 J es la energía del fotón de la radiación del láser, es decir 3.11 x
10-19 J/fotón.
b) Dado que el láser emite una ráfaga de 5 x 1017 fotones de energía, entonces:

17
−19
5.0 x 10 fotones  3.11 x10
E = 0.16 J
J 
=
fotón  0.1555
J = 0.16 J
Esta es la energía total de esa ráfaga.
c) Si el láser emite 1.3 x 10-2 J, es decir 1.3 x 10-2 J/fotón, entonces la
cantidad de fotones que emite es ráfaga es:
−2
1.3 x10
3.11 10
−19
J / fotón
16
16
= 4.180006 x10 fotones = 4.18 x10 fotones
J
6. La radiación de longitud de onda de 242.4 nm, es la longitud de onda
más larga que produce la fotodisociación de la molécula de O2. a) Cuál es
la energía de un fotón de esta radiación; b) Cuál es la energía de un mol
de fotones de esta radiación?
Respuesta:
E =?
fotón
λ = 242 .4 nm
Sabemos que:
a)
ν =c
λ
E
 x 8 m / s 

  1 nm  =
=  3 10
−9
1.2396 x


 242.4 nm  1 x10 m 
−34
fotón
= h ν = 6.63 x10
(
15
Js 1.24 x10
s
−1
15 −1
15 −1=1.24 x10 s
s
10
) = 8.2212 x10
−19
−19
J / foton = 8.22 x10
J / fotón
b) Como ya tenemos la energía de un fotón podemos multiplicarla por el NA
para conocer la energía en J/mol.
−19
E = 8.22 x10
(
)
23
5
7. Calcular la longitud de onda de un electrón que tiene una velocidad de
5.97 x 106 m/s. Considere que la masa del electrón es 9.11 x 1028 g.
Respuesta:
λ =?
me=9.11 x 10-28g
1J= 1Kg m2/s
Con base al comportamiento dual de la materia de De Broglie:
λ
=
5
J / fotón 6.023 x10 fotones / mol = 4.95090 x10 J / mol = 4.95 x10 J / mol
h
mv
−34
6.63 x10 J
λ=
9.11 x10 g (5.97 x10 m / s )
− 28
6
2
(s )  x g 
s
1 10  = 6.63 x10 m
λ=
9.11 x10 g (5.97 x10 m / s )  1Kg  5.43867 x10
6.63 x10 Kg m
−34
− 28
2
3
6
−10
λ = 1.2190 x10
−10
λ = 1.2190 x10
−31
− 21
m
m = 1.22 nm
λ 6= 1.22 nm
Esta el longitud de onda del electrón a una velocidad de 5.97 x
10 m/s. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la longitud de
onda de los R-X.
8. Calcule la longitud de onda asociada a los electrones que se mueven a
una velocidad que es la décima parte de la velocidad de la luz.
Respuesta:
λ =?
me=9.11 x 10-28g
La décima parte de la velocidad de la luz es:
v = 0.10 x(3 x10 m / s ) = 3 x10 m / s
8
7
2
(s )  x g 
s
1 10  = 6.63 x10 m
λ=
9.11 x10 g (3 x10 m / s )  1Kg  2.733 x10
6.63 x10 Kg m
− 34
− 28
−11
−11
3
7
λ = 2.4259 x10
λ = 2.43 x10
2
− 31
− 20
m
m = 0.0243 nm = 24.3 pm
λ = 24.3 pm
Esta el longitud de onda del electrón a una décima de la
velocidad de la luz. Esta longitud de onda se encuentra muy próxima a la
longitud de onda de los R-Gamma.
9. La determinación de la posición de un electrón con una precisión de
0.01Å es más que adecuada o está bien determinada. En estas condiciones
calcule la indeterminación de la medida simultánea de la velocidad del
electrón.
Respuesta:
∆ =?
v
El principio de incertidumbre de Heisenberg dice que:
∆∆
x
mv
≥
h
4π
Entonces, el momentum o cantidad de movimiento del electrón es:
∆
mv
≥
h
4π ∆
x
6.63
.− 34
x10 Js
6
.
63
≥
∆
4(3.1416) x(1 x10
−12
mv
∆
−23
mv
≥ 5.2786 x10
Kg
m
)=
.− 34
x10
Kg m
−11
1.256 x10
2
s
2
(s )
m
−23
m ≥
m
x
s 5.28 10 Kg s
Como la masa del electrón está bien determinada, entonces la velocidad será:
∆
v
≥
∆
m
mv
−23
x10 Kg m
5
.
28
s ≥
57958287.6 m / s
∆≥
x
9.11 10 Kg
v
−31
−23
5.28 x10 Kg m s ≥
≥
57958287.6 m / s
∆
x
9.11 10 Kg
v
−31
Una velocidad enorme !!
∆ ≥ 57958288 m / s
v
8
 1Km   3600 s 
 ≥ 2.086 x10 Km / h
1h 
∆ ≥ 57958288 m / s 1000m  x
v
8
∆ ≥ 2.086 x10 Km / h
v
8
∆ ≥ 2.086 x10 Km / h
v
La indeterminación de ±2.1 x 108 Km/h en la velocidad del electrón es del
mismo orden o mayor que las propias velocidades típicas de éstas partículas.
10. Calcule la longitud de onda asociada: a) a un electrón que se mueve a
una velocidad de 1x106 m/s; b) a un coche de 1000 Kg de masa que se
desplaza a la velocidad de 120 Km/h.
Respuesta:
a) Para el electrón
λ =?
me= 9.11 x 10-31 Kg
Sabemos que la dualidad de la partícula de acuerdo a de Broglie:
p =m v
=
h
λ
p = m v = 9.11 x10 Kg 1 x10
−31
6
m
m
− 24
 = 0.91 x10 Kg
s
s
Entonces:
2
x10 Kg m s
6
.
63
x
s = 7.27 x10
λ = h = 6.63 10 J sm =
m
p 0.91 x10 Kg
x10 Kg
0
.
91
s
s
−34
−34
2
−10
− 24
m
− 24
a) Para el coche
λ =?
mcoche= 1000 Kg
p
=m
v
Entonces:
= 1000
Kg
Km  100 m   1 h


120

h   1 Km   3600


 = 33333.33
s 
Kg
m
s
2
x10 Kg m s
6
.
63
x
s = 1.99 x10
λ = h = 6.63 10 J sm =
m
p 33333.33 Kg
Kg
33333
.
33
s
s
− 34
− 34
2
−38
m
La menor cantidad de movimiento (momentum) del electrón (mv) comparada
con la del coche a pesar de su mayor velocidad, pero cuya masa es muchísimo
más pequeña. Y al contrario la longitud de onda asociada al coche es mucho
más pequeña, que la del electrón.
11. Grafique las funciones de onda correspondientes a los dos primeros
valores de n, así como sus cuadrados. Considere que la longitud de la caja
es de 6Å=6x1010 m.
Respuesta:
Clase (martes, 14/02/13)
12. Calcular la diferencia entre las velocidades permitidas, en dos niveles
energéticos consecutivos de: a) un electrón confinado en una caja
unidimensional de un radio de Bohr; b) una bola de billar de 0.2 Kg de
masa moviéndose a lo largo de una mesa de billar de 2m de longitud
perpendicularmente a las dos bandas opuestas más alejadas.
Respuesta:
a) Para el electrón:
∆v
n +1
n
=
h
2mL
2
x10 Kg m s
6
.
63
x10 Js
6
.
63
s
=
=
∆v
2 (9.11 x10 Kg )(0.53 x10 m ) (9.6566 x10 Kgm )
−34
− 34
2
n +1
n
∆v
n +1
n
−31
6
= 6.8657 x10
−10
− 41
m
6 m  1km  3600s 
7 Km
= 6.88 x10 

 = 2.48 x10
s
s  1000m  1h 
h
b) Para la bola de billar:
2
x10 Kg m
6
.
63
6.63 x10 Js
s
∆ v = ( Kg )( m ) =
(0.8 Kgm)
2 0.2 2.0
− 34
−34
2
n +1
n
∆v
n +1
n
−34
= 8.30 x10
s
− 34
= 8.2875 x10
m
s
m  1km  3600 s 
− 33 Km


 = 2.99 x10
s  1000m  1h 
h
Para el electrón, las velocidades permitidas entre dos niveles consecutivos es
muy considerable, mientras que para la bola de billar es casi despreciable.
13. a) Calcular la diferencia de energía entre los dos primeros niveles
correspondiente a un electrón confinado en una caja unidimensional de
un radio de Bohr de longitud; b) Cuál sería la frecuencia de la radiación
capaz de excitar al electrón desde el primer nivel al segundo?
Respuesta:
n=1
a)
∆E
∆E
n +1
n
n +1
n
= E n +1 − E n =
= E n +1 − E n =


8
(2 n +1 )
h 
m L 
2
2
4

2
2
2
m
−
34

Kg 4 s
6
.
63
x
10

s

8 x 9.11 x10 − 31Kg 0.53 x10 −10 m


[2 x(1 ) +1 ]







(
)
(
2
(4.3957 x10 ) Kg ms
∆ E = E −E =3
2.0472 x10−50
n +1
n
n +1
n
− 67
2



−17
 = 6.44 x10 J






2



)
b) La frecuencia:
Como la frecuencia se obtiene de:
∆ E
ν =∆ E
h
=
hν
−17
x
= 6.44 10
6.63 x10
.− 34
J
16 −1
= 9.71 x10 s
J
s
Con una radiación de esta frecuencia es suficiente para excitar un electrón del
nivel uno al nivel dos. Esta radiación corresponde al la región UV.
14. a) Calcular la diferencia de energía entre los primeros estados
energéticos de un electrón confinado en una caja cúbica de un 1 A; b)
Cuál sería la frecuencia de la radiación capaz de excitar al electrón desde
el primer nivel al segundo?
Respuesta:
15. Determine la longitud de onda de la línea espectral de la serie de
Balmer del hidrógeno correspondiente a la transición de n=5 a n=2.
Respuesta:
λ =?
Cuando un electrón pasa de una órbita mas alta a una órbita más baja hay una
emisión de energía, o se emite energía. Esta energía se obtiene a partir de la
diferencia de energía:
∆E
 1
1 
−18
= E f − E i = R H  2 − 2  = 2.179 x10 J
n n 
fi 
 i
 1
1 

−
2 
 2

n
n
i
fi 

∆E
∆E
−18
= 2.179 x10
−19
= − 4.57 x10
 1

−18
 − 1 =
2.179 x10 J
2 
 2
 5i 2 fi 
J
(0.04 − 0.25 ) = − 4.5759 x10
J
El signo (-) de esta diferencia de energía, nos indica que se emite energía. Esta
cantidad de energía se emite como un fotón de energía, debido a que la
diferencia de energía entre los niveles n=5 y n=2 es igual a la energía del
fotón emitido.
λ =? ,
Pero lo que nos piden es la
frecuencia. Es decir:
∆E = E
E
ν =
h
fotón
fotón
por lo que antes debemos calcula la
= hν
−19
x
= 4.576 10 J
6.63 x10 J s
− 34
14
ν = 6.901 x14 s
14
−1
= 6.9012 x14
s
−1
−1
Y finalmente para calcular
λ
, hacemos:
c =λν
8
x10 m
3
C
s
λ= =
ν 6.901 x10 s
14
−7
λ = 4.34 x10
−7
−1
= 4.34 x10 m
m
λ = 434 nm
Estos 434 nm corresponden justamente a una de la líneas del espectro de
emisión del Hidrógeno, (color violeta).
−19
J
16. Determine la energía cinética del electrón ionizado de un ión (catión)
de Li2+ en su estado fundamental utilizando un fotón de frecuencia de 5 x
1016 s-1.
Respuesta:
E
Cinética
=?
El catión que se forma es el ión Li2+, es decir;
Li +
→ Li2+ + 3e
hν
Es decir, la carga nuclear (Z=3+) y n=1.
Sabemos que:
2
Z R
E =−
n
H
2
n
Entonces:
2
Z R
E =−
n
2
1
x(
x
= − 3 2.179 10
1
−18
2
H
J
2
−17
E = 1.961 x10
) = x(
9 2.179 x10 J ) = 1.9611 x10
−18
J
1
Pero esta es la Energía Total para
E , es decir para el primer nivel n=1.
1
La energía para un fotón de 5 x 1016 s-1 es:
E
fotón
E
fotón
E
fotón
= hν
=
(6.63 x10
−34
Js
−17
= 3.315 x10
O estrictamente:
)[5 x10 s ] = 3.315 x10
16
−1
J Esta es la energía de
−17
E.
i
J
−17
J
−17
E = 3.315 x10
J / fotón
Sabemos que la Energía de Ionización es la energía para arrancar un electrón
del núcleo del átomo, en este caso, el del átomo de Litio. Es decir,
−17
E i = − E1 = 1.961 x10 J . La energía adicional del fotón es transferida como
Energía Cinética al electrón, luego entonces:
E
Cinética
E
Cinética
E
Cinética
=
E −E
=
(3.315 x10
i
1
−17
−17
− 1.961 x10
−17
= 1.315 x1.354
J
)J