cuadriláteros - IES LAS SALINAS

CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
(dos pares de lados paralelos)
Lados
Iguales los 4 lados
Angulos de 90 º
45º
Cuadrado
Rombo
CLASIFICACIÓN
Diagonales
Iguales las 2
Angulos de 90 º
Bisectrices de los
ángulos del cuadrado.
Iguales los lados
paralelos (2 a 2)
Angulos de 90 º
Iguales las 2
Angulos 90 º
Iguales los 4 lados
Angulos 90 º
iguales los opuestos
Desiguales las 2
Angulos de 90 º
Bisectrices de los
ángulos del rombo.
Iguales los lados
paralelos (2 a 2)
Angulos 90 º
iguales los opuestos
Rectángulo
Desiguales las 2
Ángulos 90 º
Romboide
TRAPECIOS
(un par de lados paralelos)
Lados
desiguales 2 a 2
2 ángulos de 90 º
T. Rectángulo
Iguales los lados
no paralelos
Angulos = 90 º
iguales 2 a 2
Desiguales 2 a 2
Angulos = 90 º
Diagonales
Desiguales las 2
Iguales las 2
Angulos = 90 º
T. Isósceles
Desiguales las 2
T. Escaleno
TRAPEZOIDES
(ningún par de lados paralelos)
A
A
1
2
D
B
B
4
3
D
C
Un caso particular de los Trapezoides, es el trapezoide
Inscriptible en una circunferencia.
Los ángulos opuestos , A y C, B y D, son
suplementarios. Inscritos que abarcan la misma
cuerda, la diagonal
C
Otro trapezoide singular es el superior(bisósceles) los
lados son iguales dos a dos, 1 con 2, 3 con 4
Dos ángulos opuestos, B y D , son iguales.
Las diagonales son perpendiculares.
Este cuadrilátero tiene una circunferencia inscrita.
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Departamento de AA.PP.
cuadriláteros -1octubre 2011
CUADRILÁTEROS
CUADRADOS
para su construcción necesitamos
un dato explícito.
CONSTRUCCIÓN
Cuadrado dada la diagonal.
Cuadrado dado el lado.
A
diagonal
A
lado
D
C
D
B
C
d/2
A
B
El proceso es inmediato, sobre una recta, r, llevamos un segmento, AB, igual al
lado. En un extremo, por ejemplo A, trazamos una perpendicular y sobre ésta
situamos el punto D, distando l de A. Desde los puntos D y B trazamos sendos
arcos de radio l y obtendremos el punto C.
Cuadrado dado la suma del lado + la diagonal.
A
M
l+d
En este caso, como sabemos que las diagonales del cuadrado son iguales y
se cortan perpendicularmente en su punto medio, trazamos la mediatriz del
segmento AC, diagonal, y hallamos el punto Q.
Llevando la distancia d/2 a la mediatriz hallada obtenemos los vértices B y D
que necesitamos. Q será el centro de la circunferencia circunscrita.
Si queremos situar el cuadrado en posición de equilibrio, con dos lados en
posición horizontal, basta con colocar la diagonal formando un ángulo de 45º.
lado
D
C
r
B
A
Q
C
C
D
45º/2
45º
90º
45º
A
lado
B
45º/2
45º/2
M
diagonal
A
B
Fundamento
M
l+d
Proceso
Observando la figura de la izquierda, fundamento, y recordando lo que
sabemos de la construcción de triángulos, vemos la relación existente
entre los triángulos ABD y AMD, el ángulo en M es la mitad del ángulo en
B, esto es 45º/2; y el punto B estará en la mediatriz del lado MD, por ser
este triángulo isósceles.
Para construir el cuadrado trazamos en el extremo A una recta
perpendicular al segmento AM (l+d) y por M trazamos un ángulo de 22º
30’, donde se corten estará el punto D, del cuadrado, inmediatamente se
obtiene el punto B, distando l de A o en la mediatriz de MD y a continuación
el punto C distando l de los puntos B y D.
Cuadrado dado la diferencia de la diagonal y el lado.
d-l
M
A
C
D
D
C
135º/2
135º/2
M
d-l
135º/2
45º
A
lado
B
M
d-l
A
lado
diagonal
Fundamento
Igual que en el caso anterior si observamos los triángulos ABD y MBD
vemos que el ángulo en M es de 135º/2 al ser isósceles el triángulo
MBD el ángulo en B, al ser la diagonal del cuadrado es de 45º.
Proceso
Para construir el cuadrado trazamos una recta perpendicular en A, al
segmento MA y construimos en M el ángulo de 135º/2, donde se
cortan estará el punto D y los puntos B y C se obtendrán como en el
caso anterior
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B
cuadriláteros -2octubre 2011
CUADRILÁTEROS
RECTÁNGULOS
para su construcción necesitamos
dos datos explícitos.
CONSTRUCCIÓN
Rectángulo dados el lado y la diagonal.
Rectángulo dados los dos lados.
l1
A
A
l2
lado
A
A
D
diagonal
C
D
D
B
l2
C
D
l1
diagonal
A
l1
r
C
r
A
B
La construcción de estos dos casos es obvia, basta observar ambos procesos para deducir
su realización. En los dos casos hemos partido de semirrectas r .
En el segundo si partimos del lado, AD, horizontal o vertical, obtenemos el rectángulo en
una posición de equilibrio.
B
Rectángulo dados la suma de un lado + la diagonal y el otro lado.
d+l1
A
C
C
D
M
l2
D
l1
B
D
l2
A
M
l2
d
l2
r
r
A
B
l1
M
d
A
l1
B
M
d+f
Proceso
Fundamento
En este caso observamos el triángulo isósceles BMD (dos lados son
la diagonal ,d) y el triángulo rectángulo AMD (con catetos el lado l 2 y
la suma de la diagonal d y el otro lado l1 ). El vértice B estará en la
mediatriz del segmento DM.
Para su construcción trazamos una perpendicular en el extremo A de
la semirrecta r en la que hemos trasladado d+l 1, y llevamos sobre el
punto D, a una distancia l 2..Trazamos la mediatriz del segmento DM y
obtenemos el punto B. El punto C es inmediato.
Rectángulo dados la diferencia de la diagonal - un lado y el otro lado.
M
d-l1
A
l2
A
D
C
l2
B
d-l1
A
C
D
d
l2
M
l1
D
l2
r
r
l1
d
Fundamento
Igual que en el caso anterior si observamos el triángulo MBD vemos
que es isósceles, MB=BD es la diagonal del rectángulo y el lado
desigual, MD, es la hipotenusa del triángulo MAD del que conocemos
los catetos.
M
d-l1
A
l1
B
Proceso
Para construir el rectángulo construimos el triángulo rectángulo MAD,
conocemos los catetos MA (diferencia de la diagonal y el lado) y AD
(lado l2 ). Trazamos la mediatriz de la hipotenusa que corta en B a la
recta r, AB será el lado l1, con centro en B y radio l2 y centro en D y
radio l1 obtenemos el vértice C .
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cuadriláteros -3octubre 2011
CUADRILÁTEROS
ROMBOS
para su construcción necesitamos
dos datos explícitos.
CONSTRUCCIÓN
B
Rombo dados una diagonal y el lado.
l
d1
l
B
l
d1
A
r
l
d2
l
d1
A
C
C
D
l
l
Del estudio del rombo, 4 lados iguales, se deduce el proceso, éste es inmediato,
sobre una recta, r, llevamos un segmento, AC, diagonal. Con centros en A y en
C, trazamos arcos de radio l y obtenemos los vértices B y D.
D
Rombo dados una diagonal y el ángulo opuesto.
A
A
d1
B
D
A
D
arco capaz
d1
B
d1
B
C
D
1.- Las diagonales del rombo son perpendiculares en su punto medio,
luego la diagonal AC será la mediatriz de la BD , dada, y viceversa.
2.- El vértice A, estará en el arco capaz del segmento BD, diagonal, y
del ángulo A, opuesto a la diagonal.
3.- Una vez hallado el vértice A, el vértice C, restante, será simétrico
con respecto a la diagonal BD.
A
O
Rombo dados la distancia entre
dos lados paralelos, d, y el lado, l .
B
T2
T1
d
l
C
A
D
C s
T4
Circunferencia
inscrita en un rombo.
d
l
l
r
A
B
T3
D
1.- Sobre una recta, r, situamos el segmento AB igual al lado, l , del rombo.
2.- Trazamos una recta, s , paralela a r a la distancia, d, dada, sobre ella
estará el lado DC.
3.- Con centro en A y B y radio l, trazamos arcos que cortan en D y C,
respectivamente, a la recta s, vértices restantes.
* En la parte superior hemos dibujado la circunferencia inscrita en un
rombo; tendrá como diámetro la distancia d, entre lados, y su centro será en
punto donde se cortan las diagonales
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cuadriláteros -4octubre 2011
CUADRILÁTEROS
ROMBOIDES
para su construcción necesitaremos
tres datos explícitos.
CONSTRUCCIÓN
Romboide dados los lados,
y una diagonal
Romboide dados los lados, y el ángulo que forman
l1
l1
l2
l2
A
diagonal
l1
D
D’
C
D
C’
C
l2
l2
l2
r
A
l2
B
l1
1.- Sobre la semirrecta r situamos el segmento AB, lado l 1.
2.- Trasladamos el ángulo A, al vértice A y con centro en A y radio l2, trazamos
un arco que corta en D al lado del ángulo.
3.- Con centros en D y B y radios l1 y l2, respectivamente, trazamos dos arcos
que se cortan en C, vértice que nos faltaba.
r
l1
A
B
1.- Sobre la recta r situamos el segmento AB , lado l 1, y trazamos dos arcos de
centros A y B, de radio l2.
2.- Con centros en A y B y radio á diagonal, trazamos dos arcos que se cortan en
C’ y D, vértices de las dos soluciones que tiene el problema que nos faltaba.
3.- Del estudio de la figura se deduce como hallar el 4º vértice, D’ y C, en cada
una de las soluciones.
Romboide dados una diagonal, un lado,
y el ángulo que forman las diagonales.
lado

diagonal
D
C
Q
Q

A
B
A
lado
B
lado

O
1.- Se construye el arco capaz del ángulo que forman las diagonales y del lado
dado.
2.- Se traza un arco de radio la mitad de la diagonal dada y centro uno de los
extremos del lado, A, donde corte al arco capaz estará el centro, Q, del romboide.
lado e
Romboide dados los lados, y el ángulo
que forman las diagonales.
D'
C'
Q


lado e

C
Q'

lado f
D
A
3.- Duplicando las distancias AQ, mitad de una diagonal, y BQ,
mitad de la otra diagonal, obtenemos los vértices C y D que
restan para definir el romboide.
B
O
1.- Se construye el arco capaz del
ángulo que forman las diagonales y del
lado e
2.- Sabemos que las diagonales se
cortan en su punto medio, luego sus
extremos van a estar en un arco de
centro el punto O' y radio O'A, siendo
O'A el diámetro del arco capaz. (L. G. de
los puntos medios de las cuerdas que
parten de un punto de la circunferencia).
3.- Trazamos arcos de centro el extremo B y radio el lado f y donde cortan al arco
del punto anterior tenemos los vértices C y C' que van a ser las dos soluciones
del problema dado. El resto es fácil de deducir a la vista del dibujo..
O'
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cuadriláteros -5octubre 2011
CUADRILÁTEROS
CONSTRUCCIÓN
TRAPECIOS
para su construcción necesitaremos
cuatro datos explícitos.
g
Trapecio dados los cuatro lados.
f
h
g
D
C
D
g (base)
e (base)
f
C
h
f
h
f
h
h
h
E
A
r
g
e-g
B
e
A
g
e-g
E
e
Proceso
B
Sobre una semirrecta, r, llevamos el lado e y el lado g. Construimos el triángulo EBC
de lados, la diferencia e-g , el lado f y el lado h. Una vez situado el punto C, el punto D
restante es inmediato se hallar.
Fundamento
Triángulo construido con lados: la diferencia de las bases y los otros lados
del romboide.
Se fundamenta en una traslación de vector g
e
g
d1
Trapecio dadas las bases y las diagonales.
h
A
C
g
D
e
D
h
d2
d2
d1
d2
g
C
d2
d1
h
f
B
e+g
f
E
g
r
A
e
Fundamento
B
E
g
e+g
Proceso
Triángulo construido con lados: la suma de las bases y las diagonales
del romboide.
Se fundamenta en una traslación de vector g
TRAPEZOIDES
para su construcción necesitaremos
cinco datos explícitos.
Para su construcción sobre la semirrecta, r, situamos el lado e y a
continuación el lado g y construimos el triángulo AEC. Una vez situado
el vértice C, el vértice D distará el lado h de A y el lado g de C.
Trapezoide dados los lados y un ángulo.
e
f
g
g
C
g
A
h
D
f
f
h
Sobre la semirrecta, r, llevamos el lado e y el ángulo A, dados.
Situados los vértices B y D, el vértice restante, C, distará el lado f del B y el
lado g del vértice D.
r
A
e
B
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cuadriláteros -6octubre 2011
CUADRILÁTEROS
y la CIRCUNFERENCIA
CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES
CIRCUNFERENCIA CINCUNSCRITA
A
Para que un cuadrilátero sea INSCRIPTIBLE en una
circunferencia (sus vértices están en una circunferencia), es
n e c e s a r i o q u e su s á n g u l os o p u e s t o s s e a n
SUPLEMENTARIOS, esto es:
B
C
A + C = B + D = 180º
Son ángulos inscritos en la circunferencia que se apoyan
en la misma cuerda, diagonales BD y AC, respectivamente,
sus centrales correspondientes suman 360º y los ángulos
inscritos 180º.
D
A
D
PARALELOGRAMOS INSCRIPTIBLES
B
Q
B
D
C
CUADRADO
RECTÁNGULO
TRAPECIOS INSCRIPTIBLES
A
C
TRAPECIO ISÓSCELES
CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRIPTIBLES
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
AB + CD = BC + AD
Esto se fundamenta en que los segmento de tangente
trazados desde un punto a la circunferencia son iguales.
En la figura hemos descompuesto cada lado en dos
segmentos, desde cada vértice al punto de tangencia,
así tenemos:
AB = I+II
CD = III + IV
BC = II + III
AD = I + IV
si lo sustituimos en la igualdad anterior se cumple que:
I + II + III + IV = II + III + I + IV
A
I
I
S
M
II
IV
Q
B
II
N
Para que un cuadrilátero sea CIRCUNSCRIPTIBLE en una
circunferencia (sus lados son tangentes a una
circunferencia), es necesario que la suma de las longitudes
de sus lados opuestos sea igual, esto es:
PARALELOGRAMOS CIRCUNSCRIPTIBLES
D
IV
III
R
III
C
CUADRADO
ROMBO
TRAPECIOS QUE PUEDEN SER CIRCUNSCRIPTIBLES
TRAPECIO ISÓSCELES
TRAPECIO RECTÁNGULO
TRAPECIO ESCALENO
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Departamento de AA.PP.
cuadriláteros -7octubre 2011