OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES PROPIEDADES

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Las operaciones con límites, tanto en un punto como en el infinito, tiene unas
propiedades análogas que debemos conocer:
PROPIEDADES
El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o
diferencia de los límites de cada una de las funciones
El límite de un producto de funciones es el producto de los
límites de cada una de las funciones
El límite de un cociente de funciones es el cociente de los
límites de cada una de las funciones
lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x)
x→∞
x→∞
x→∞
lim ( f ( x) · g ( x) ) = lim f ( x) · lim g ( x )
x→∞
x→∞
x→∞
lim f ( x)
f ( x)
x→∞
lim
=
x → ∞ g ( x)
lim g ( x )
x→∞
El límite del producto de una función por un número real es el
producto del número por el límite de la función
El límite de una función constante coincide con el valor de la
constante
El límite de la potencia de dos funciones es el valor de la
potencia de sus límites
lim (k · f ( x ) ) = k · lim f ( x)
x→∞
x→∞
lim k = k
x→∞
lim f ( x )
x→∞
g ( x)
= lim f ( x )
x→∞
lim g ( x )
x→∞
INDETERMINACIONES
Cuando en el cálculo de un límite de una función, no obtenemos una
solución concreta, estamos ante una indeterminación, que debemos
resolver.
Tipos de indeterminaciones teniendo en cuenta a que tiende x:
Límites cuando
x→±∞:
Límites de una función en un punto
a) Indeterminación del tipo:
∞−∞
a) Indeterminación del tipo:
0
0
b) Indeterminación del tipo:
∞
∞
b) Indeterminación del tipo:
k
0
c) Indeterminación del tipo:
1∞
Resolución de la indeterminación :
∞
∞
a) Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la x elevado al mayor exponente del
denominador o del numerador
Calcular el siguiente límite:
 2 x 2 − 3x + 5
lim 
2
x→∞ 
 3x + 5 x
 2 x 2 − 3x + 5
lim 
2
x→∞ 
 3x + 5 x




 ∞
=
 ∞

Es una indeterminación, resolvemos dividiendo numerador y denominador por x2:


 2 x 2 − 3x + 5 
 = lim 
lim 
2

x→∞
 3 x + 5 x  x → ∞ 

0
2x
3x
5 
3
5 


−
+
2
−
+


x
x2
x2
x 2  = lim 
x 2  = lim  2  = 2
 x→∞ 
5 0  x→∞  3  3
3x 2 5 x
3
+
+ 2



x


x2
x

2
0
Resolución de la indeterminación :
∞−∞
b) Si no hay expresiones con raíces, se resuelve la operación entre las expresiones analíticas
de las funciones:
 x2 − 3
x − 2


lim
−
Calcular el siguiente límite: x → ∞ 

x
3


x2 − 3
x−2
− lim
=∞−∞
lim
x→∞
x
→
∞
x
3
Es una indeterminación, resolvemos realizando la operación:
(
)
 3 x2 − 3
 3x 2 − 9 − x 2 + 2 x
 x2 − 3
x − 2
x (x − 2) 




lim
= lim 
−
= lim 
−


x→∞ 
x
→
∞
3 
3x  x → ∞ 
3x
 x
 3x
Resolvemos ahora la indeterminación
∞
∞
x2 − 3
x−2
−
x
3

 2x2 + 2x − 9
 = lim 
 x→∞ 
3x



∞
 =

∞

0
 2x2 2x 9 
9 



x
+
−
2
+
2
−

2

 2x + 2x − 9 
2x + 2 
x
x
x
x
 = lim 
 = lim 
 = lim 
lim 
 =∞
 x→∞ 
x→∞
x→∞ 
x
→
∞
3
x

3
x
3
3









x




Resolución de la indeterminación :
∞−∞
c) Si hay expresiones con raíces, se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado de
la expresión radical
Calcular el siguiente límite: lim  x 2 − x −
x→∞ 
lim  x 2 − x −
x→∞ 
x 2 + x 

x 2 + x  = ∞ − ∞

Es una indeterminación, resolvemos multiplicando y dividiendo la expresión radical por:
 x 2 − x +

x 2 + x  ⇒ lim  x 2 − x −
x→∞ 

 2
  x −

= lim 
x→∞
 x 2

x→∞
 x 2 − x +

+ x 2 + x 

x 2 + x 

2


x  −  x 2 + x  2 


 
x2 − x − x2 − x
− 2x
∞
= lim
= lim
=
x→∞ 
x→∞ 
− x + x 2 + x 
 x 2 − x + x 2 + x 
 x 2 − x + x 2 + x  ∞





Resolvemos ahora la indeterminación
lim
 x 2 − x − x 2 + x
x 2 + x  = lim 
 x→∞
 x 2 − x

− 2x
 x 2 − x +

x 2 + x 

= lim
x→∞
∞
∞
− 2x
x
 x2
x

−
+
 x2 x2

x2
x 
+
x 2 x 2 
= lim
x→∞
−2

0
 1− 1 +

x

1 0
1+ 
x 
=
−2
= −1
2
Indeterminación : 1∞
1

a n = 1 + 
n

El límite de la sucesión
n
n
es el número e
1

⇒ lim 1 +  = e
n →∞ 
n
100
a100
1 

= 1 +

100


= 2,704813829....
10000
a10000
1 

= 1 +

10000


= 2,71845927....
1000000
a1000000
1


= 1 +

1000000 

= 2,718280469....
1000000000
a1000000000
1


= 1 +

1000000000


Los límites del tipo
= 2,718281827.... ≅ e
lim an n = 1∞
b
n →∞
se denominan límites del tipo número e
an
Podemos probar que si
lim an = ∞
n →∞

1 
 = e
⇒ lim 1 +
n →∞
an 

Resolución de la indeterminación : 1∞
Calcular el siguiente límite:
 x + 1

lim 
x →∞
 x − 1
2x
 x + 1

lim 
x →∞
 x − 1
2x
lim 2 x
 x + 1 x →∞

= lim 
x →∞
 x − 1
= 1∞
Para resolver este límite, transformaremos la expresión de la función para buscar el nº e

1 

lim 1 +
x →∞
f
(
x
)


f ( x)
=e
Sumamos y restamos 1
a la expresión inicial
 x + 1

lim 
x →∞
 x − 1
2x
Realizamos la operación


x +1
= lim 1 +
− 1
x →∞
x −1


2x

x +1− x +1 

= lim 1 +
x →∞
x −1


2x

2 

= lim 1 +
x →∞
x −1 

2x
Multiplicamos y dividimos el
exponente por el denominador
del límite
Dividimos numerador y
denominador por 2
2


= lim 1 + 2
x →∞ 
x −1

2







2x


1
= lim 1 +
x →∞ 
x −1

2







2x


1
= lim 1 +
x →∞ 
x −1

2

x −1 2
·
·2 x
 2 x −1








= lim 
x →∞





1
1 +
x −1


2

x −1
 2












Usamos la propiedad de las
potencias:



=  lim
 x →∞




1
1 +
x −1


2

x −1
 2












4x
x →∞ x − 1
lim
= e
4x
x →∞ x − 1
lim
= e4
(a )
m n
= a m·n
4x
x −1
Resolución de la indeterminación :
0
0
Para resolver esta indeterminación, se descomponen en producto de factores los polinomios
del numerador y del denominador, y después se simplifican los factores comunes.
Calcular el siguiente límite:
x 2 − 3x + 2
lim
x → 2 x2 − x − 2
2 2 − 3 ·2 + 2
0
x 2 − 3x + 2
lim 2
=
=
x→2 x − x − 2
0
22 − 2 − 2
Es una indeterminación, descomponemos los polinomios del numerador y el denominador:
x 2 − 3 x + 2 = (x − 2 )(x − 1)
x 2 − x − 2 = (x − 2 )(x + 1)
(
(
x 2 − 3x + 2
x − 2)( x − 1)
x − 1) 2 − 1 1
⇒ lim 2
= lim
= lim
=
=
x→2 x − x − 2
x → 2 ( x − 2 )( x + 1)
x → 2 ( x + 1)
1+1 2
k
Resolución de la indeterminación :
0
Para resolver esta indeterminación, debemos estudiar los límites laterales. Si estos son iguales,
la función tiene límite y si son distintos, la función no tiene límite.
Calcular el siguiente límite:
x2 + 2
lim
x→2 x − 2
x2 + 2
22 + 2
6
lim
=
=
x→2 x − 2
2−2
0
Es una indeterminación, Estudiamos los límites laterales:
x2 + 2
2,0000012 + 2
6
≅
≅ + =+∞
lim+
x→2
x−2
2,000001 − 2
0
x2 + 2
1,999999 2 + 2
6
lim−
≅
≅ − =−∞
x→2
1,999999 − 2
x−2
0
x2 + 2
Como los límites laterales son distintos, xlim
→2 x − 2
no existe