Capítulo 4: Acumulación de capital y crecimiento (II). El modelo de

Índice
Capı́tulo 4: Acumulación de capital y
crecimiento (II). El modelo de Solow
Macroeconomı́a III
Curso 2008-09
Macroeconomı́a III
Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Índice
Índice
1
El modelo básico de Solow
2
Resultados teóricos
3
Implicaciones y datos
4
Progreso tecnológico
5
Evaluación del modelo
Macroeconomı́a III
Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El modelo básico de Solow
El único bien final se produce con la tecnologı́a
Yt = Ktβ (A Lt )1−β , A > 0, β ∈ (0, 1).
Kt , el capital se deprecia a la tasa δ ∈ [0, 1].
El trabajo Lt crece a la misma tasa que la población, Nt ,
L̇t
Ṅt
=
= n.
Lt
Nt
Por sencillez, suponemos que Lt = Nt , para todo t.
La tasa de ahorro agregada de la economı́a es s ∈ (0, 1).
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Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
El modelo básico de Solow
Economı́a cerrada.
No hay gasto del gobierno ni impuestos.
Por tanto,
Ct + It
= P IBt ,
Ct + It
= (rt + δ) Kt + wt Lt ,
Ct + K̇t + δ Kt = Yt .
It = K̇t + δ Kt : inversión bruta.
K̇t : Inversión neta.
Ct + K̇t = Yt − δ Kt : Producto Interior Neto.
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Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El modelo básico de Solow
s ∈ (0, 1) es la fracción de la renta disponible que se ahorra.
Por tanto, el ahorro agregado es
St = s Yt = s [(rt + δ) Kt + wt Lt ] = s Ktβ (A Lt )1−β .
Puesto que AHORRO = IN V ERSION ,
St = s Ktβ (A Lt )1−β = K̇t + δ Kt .
hemos obtenido una ecuación que relaciona PIB e inversión y que
podemos usar para analizar la evolución temporal del stock de
capital y de la renta.
K̇t = s Ktβ (A Lt )1−β − δ Kt .
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Capı́tulo 4: El modelo de Solow
(1)
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Inversión y crecimiento
El capital por unidad de trabajo es
Kt
Lt
kt ≡
(2)
(ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento:
k̇t
kt
=
K̇t
Kt
−
L̇t
Lt
(3)
Dividiendo (1) por Kt y sustituyendo en (3) obtenemos la ecuación
de acumulación de capital como
k̇t
kt
= s A1−β ktβ−1 − (δ + n).
(4)
Multiplicando (4) por kt obtenemos
k̇t = s A1−β ktβ − (δ + n) kt .
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(5)
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Inversión y crecimiento
Significado económico
kt : capital por unidad de trabajo en el momento t
yt :
1−β
sA
ktβ :
producción o renta por unidad de trabajo
ahorro por unidad de trabajo
(n + δ) kt : inversión necesaria para mantener el stock de capital
por unidad de trabajo constante (inversión por
reposición)
Como estamos suponiendo que Lt = Nt podemos hablar de
capital per cápita, renta per cápita, ahorro per cápita e
inversión por reposición per cápita.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Inversión y crecimiento
Por tanto,
s A1−β ktβ > (n + δ) kt ⇒
k̇t > 0, el capital (y la renta) crece.
s A1−β ktβ
s A1−β ktβ
< (n + δ) kt ⇒
k̇t < 0, el capital (y la renta) decrece.
= (n + δ) kt ⇒
k̇t = 0, el capital (y la renta) constante.
El valor para el que k̇t = 0, despejando en la igualdad
s A1−β ktβ = (n + δ) kt ,
∗
k =A
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s
δ+n
1
1−β
.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El estado estacionario
Definición: Estado estacionario
Un estado estacionario es una senda para la renta, yt , capital, kt , y
consumo, ct a lo largo de la cual todos crecen a la misma tasa,
que es constante a lo largo del tiempo.
Denotamos con ∗ las variables en estado estacionario. Según la
definición, en el estado estacionario
k̇t∗
ẏ ∗
ċ∗
= t∗ = t∗ = g.
∗
kt
yt
ct
¿Cuál es esa tasa g en este modelo?
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El estado estacionario
yt = A1−β ktβ , for all t.
Tomando logarı́tmos,
ln (yt ) = (1 − β) ln(A) + β ln (kt )
Diferenciando respecto al tiempo t,
ẏt
k̇t
=β
yt
kt
En esta economı́a, siempre, la tasa de crecimiento de la renta es la
fracción β de la tasa de crecimiento del capital.
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Solow básico
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Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El estado estacionario
Puesto que en el estado estacionario
ẏt
yt
=
k̇t
kt ,
entonces
k̇t
ẏt
=
= 0, en el estado estacionario.
yt
kt
Por tanto, en el estado estacionario
kt∗
=A
s
δ+n
1
1−β
, yt∗ = A1−β (kt∗ )β , c∗t = (1 − s)A1−β (kt∗ )β .
La renta del estado estacionario crece con A, s. Es menor cuanto
mayor es n, δ.
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Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
El estado estacionario
yt
y
*
c*
−β
sA1 k
β
(n + δ )k
k*
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k
Solow básico
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
yt = A1−β ktβ ,
ct = (1 − s)A1−β ktβ ,
1−β β
wt = (1 − β)A
kt , rt = β A1−β ktβ−1 − δ.
s A1−β ktβ > (n + δ) kt ⇒ k̇t > 0, ⇒ kt < k ∗ , ↑ kt , yt , ct , wt , ↓ rt
s A1−β ktβ < (n + δ) kt ⇒ k̇t < 0, ⇒ kt > k ∗ , ↓ kt , yt , ct , wt , ↑ rt
s A1−β ktβ = (n + δ) kt ⇒ k̇t = 0, ⇒ kt = k ∗ , kt , yt , ct , wt ,
rt constante
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
yt
y
*
•
c
k <0
*
−β
sA1 k
β
(n + δ )k
•
k >0
kt
Macroeconomı́a III
k*
k't
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k
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Dinámica de transición
sA1− β k β −1
•
Tasa de crecimiento positiva
n +δ
k
>0
k
•
Tasa de crecimiento negativa
k
<0
k
n +δ
sA1− β k β −1
Desplazamiento temporal
del capital
kt
k*
Macroeconomı́a III
kt'
k
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Estática comparativa
•
k
>0
k
Tasa de crecimiento positiva
tras el aumento en A
n +δ
sA *1− β k β −1
sA1− β k β −1
k*
k **
k
Aumento permanente en A
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Estática comparativa
yt
y*
(n'+δ )k
(n + δ )k
y*
•
k >0
k*
1− β
sA
k
β
(n'+δ )k
k '*
k
Caída en la tasa de Crecimiento de la Población de n a n’
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Estática comparativa
yt
y*
−β
sA1 k
y '*
β
•
k <0
s’A1
−β
k
β
(n + δ )k
k '*
k*
k
Caída en la tasa de Ahorro de s a s’
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
La regla dorada
El consumo en el estado estacionario
∗
c = (1 − s)A
s
n+δ
β
1−β
Hay una relación no monótona entre consumo y tasa de ahorro.
¿Cuál es la tasa de ahorro que maximiza el consumo del estado
estacionario?
d c∗
= 0 ⇒ s = β.
ds
Para cualquier s > β se produce una asignación ineficiente de
recursos: las familias pueden consumir más con una tasa de
ahorro menor.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
La regla dorada
y 2*
La Regla Dorada
yt
yRD *
c 2*
(n + δ )k
s 2 yt
cRD *
kRD *
Macroeconomı́a III
sRDyt = βyt
k 2*
k
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Rendimientos decrecientes y crecimiento
¿Por qué la economı́a no crece en el estado estacionario?
La única fuente de crecimiento en esta economı́a es
acumulación de capital
La productividad marginal del capital tiende a cero al
aumentar el capital ⇒
Cuanto mayor es el stock de capital, la inversión necesaria
para mantener el stock constante, (n + δ)kt , aumenta más
rapidamente que el ahorro, s A1−β ktβ
Por tanto, en el largo plazo, s A1−β ktβ = (n + δ)kt
La acumulación de capital no es la clave del crecimiento
sostenido
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Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Implicaciones del modelo
La renta per cápita en el estado estacionario es
∗
y =A
s
δ+n
1
β
.
Ceteris paribus, los paı́ses con una tasa de inversión más alta
tenderán a ser más ricos
Ceteris paribus, los paı́ses con tasas de crecimiento de la
población más alta tienden a ser más pobres
Estas dos hypótesis están respaldado por los datos. . .
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Relación positiva entre tasa de ahorro s y renta y
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Relación negativa entre n y la renta y
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Pero. . .
El modelo como está tiene la predicción que a largo plazo no
hay crecimiento de la renta.
Observamos crecimiento sostenido en (casi) todo el mundo
⇒ Tenemos que añadir un ingrediente al modelo para “reparar”
eso. . .
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Progreso tecnológico
Supongamos que
Yt = Ktβ (At Lt )1−β ,
At = egA t A.
At progreso tecnológico que aumenta la productividad del trabajo.
Suponemos que crece a una tasa constante.
En términos per cápita, (dividiendo por la población, Nt ),
yt = ktβ A1−β
.
t
Como antes,
k̇t = s ktβ A1−β
− (n + δ)kt
t
¿Cuál es el estado estacionario ahora?
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Solow básico
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Estado estacionario
Tomamos logs en ambos lados de la ecuación yt = ktβ At1−β ,
ln (yt ) = β ln (kt ) + (1 − β) ln (At )
Diferenciamos con respecto al tiempo t,
k̇t
Ȧt
ẏt
=β
+ (1 − β)
yt
kt
At
Usando la definición de estado estacionario
k̇t
ẏt
=
= g,
yt
kt
Sustituimos,
g = β g + (1 − β)gA ⇒ g = gA .
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Solow básico
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Estado estacionario
Por tanto, en el estado estacionario
k̇t /kt = s ktβ−1 A1−β
− (n + δ) = gA ⇒
t
kt∗
=
s
δ + n + gA
1
1−β
At ,
β
1−β
s
=
At ,
δ + n + gA
β
1−β
s
∗
ct = (1 − s)
At ,
δ + n + gA
yt∗
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Estado estacionario
Será útil trabajar con logarı́tmos,
ln (kt∗ ) =
1
(ln(s) − ln (δ + n + gA )) + gA t
1−β
ln (yt∗ ) =
β
(ln(s) − ln (δ + n + gA )) + gA t
1−β
ln (c∗t ) = ln(1 − s) +
β
(ln(s) − ln (δ + n + gA )) + gA t
1−β
que se pueden representar muy fácilmente gráficamente
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Estado estacionario
Un cambio en la tasa de inversión s no afecta a la tasa de
crecimiento de estado estacionario, sólo al nivel
Un cambio en la tasa de crecimiento de la población n no
afecta a la tasa de crecimiento de estado estacionario, sólo al
nivel
Un cambio en la tasa de crecimiento de la productividad
agregada gA afecta a la tasa de crecimiento y al nivel
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Solow básico
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
Recordamos la ley de movimiento del stock de capital per cápita,
k̇t
= s ktβ−1 A1−β
− (n + δ).
t
kt
Definimos
e
kt = kt /At , for all t,
stock de capital en unidades eficientes de trabajo.
yet = yt /At =
ktβ A1−β
t
=
At
kt
At
β
=e
ktβ ,
renta en unidades eficientes de trabajo.
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Solow básico
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Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
Podemos calcular,
kt
= ln (kt ) − ln (At ) ,
ln e
˙
e
kt
e
kt
Entonces,
=
k̇t
kt
−
Ȧt
At .
˙
e
kt
= se
ktβ−1 − (n + δ + gA ),
e
kt
˙
e
kt = s e
ktβ − (n + δ + gA )e
kt .
Sabiendo la evolución de e
kt podemos saber la evolución de kt .
Podemos utilizar diagramas como en el modelo de Solow sin
cambio tecnológico para analizar las trayectorias de k̃t , ỹt y c̃t .
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Solow básico
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Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
En esta economı́a, e
kt → e
k∗ ,
e∗
k =
kt∗
=
s
n+δ+g
s
n+δ+g
1
1−β
1
1−β
A eg t
Mientras e
kt → e
k ∗ , kt → eg t e
k∗ .
En el modelo de Solow la única fuente de crecimiento
sostenido es el progreso tecnológico.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Gráficos de ln kt , ln yt y ln ct en el tiempo t
Recuerde:
kt = At k̃t
yt = A1−β
ktβ
t
ct = (1 − s)yt
Tomando logaritmos:
ln kt = ln k̃t + ln A + gA t
ln yt = β ln k̃t + ln A + gA t
ln ct = β ln k̃t + ln(1 − s) + ln A + gA t
⇒ Se dibuja “ln k̃t (o β ln k̃t ) más una recta”
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Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Dinámica de transición
ln kt¤
ln kt
ln k¤
ln kt
ln k0
ln k0
t
t
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Estática comparativa
Una caı́da permanente en la tasa de ahorro
1
En el estado estacionario
el capital en unidades eficientes de trabajo es menor,
e
k ∗ = kt∗ /At =
s
δ+n+g
1
1−β
,
también bajará la renta yt∗ /At ,
el consumo, c∗t /At aumentará o caerá dependiendo de si s es
mayor o menor que β.
La caı́da de s tiene un efecto de nivel en kt∗ , yt∗ , c∗t
2
¿La transición?
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Estática comparativa
Una caı́da permanente en la tasa de ahorro
ln kt¤
ln kt
ln k¤
ln kt
ln kt¤¤
ln k¤¤
t
t
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
¿Por qué hay crecimiento en el estado estacionario?
La inversión en el estado estacionario es positiva
En el estado estacionario la inversión en unidades eficientes de
trabajo es igual a la inversión por reposición en unidades
eficientes de trabajo
Crece el capital per cápita. . .
. . . pero no hay rendimientos decrecientes porque también
crecen las unidades eficientes de trabajo.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Tipos de interés y salarios
∂Yt
− δ = βA1−β
ktβ−1 − δ
t
∂Kt
∂Yt
= (1 − β)A1−β
ktβ
wt =
t
∂Nt
rt =
= β k̃tβ−1 − δ
= (1 − β)At k̃tβ
1
El tipo de interés real converge a un nivel estacionario, pero
los salarios reales crecen para siempre.
2
Los salarios reales son más altos en paı́ses con mayor nivel de
renta.
3
El tipo de interés real es menor en paı́ses con mayor nivel de
renta.
⇒ Acierta el modelo.
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Implicaciones principales
Paı́ses con la misma tasa de inversión s, tasa de crecimiento
de la población n, y crecimiento de la productividad
agregada gA convergen al mismo nivel de renta per cápita (y
la misma tasa).
El nivel de renta de estado estacionario es mayor cuanto mayor
sea la tasa de inversión s (siempre que sea menor que β).
Fuera del estado estacionario la tasa de crecimiento de la
renta está postivamente correlacionada con la tasa de
inversión (fijando el stock de capital).
(Recuerde:
˙
k̃t
= sk̃tβ−1 − (n + δ + gA )
k̃t
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)
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Convergencia de Alemania y Japón
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Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Tasas de inversión más altas y crecimiento más rápido
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Pero: ¿Hay convergencia global?
¿Podemos usar el modelo de Solow para entender las diferencias
observadas en niveles de PIB por unidad de trabajo?
El nivel de PIB por unidad de trabajo en el estado estacionario
para un cierto paı́s i es
yti
=
si
δ + ni + gi
α
(1−α)
Ai e g i t
En términos relativos al paı́s más rico, USA,
yti
ytU SA
=
si (δ + nU SA + gU SA )
sU SA (δ + ni + gi )
Macroeconomı́a III
α
(1−α)
Ai (gi −gU SA )t
e
AU SA
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Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Efecto de la tasa de inversión...
Supongamos que los paı́ses sólamente difieren en la tasa de
inversión y la tasa de crecimiento de la población
La tecnologı́a se transfiere libremente entre paı́ses
No hay diferencias permanentes en la productividad de las
horas de trabajo
yti
ytU SA
=
si (δ + nU SA + g)
sU SA (δ + ni + g)
Macroeconomı́a III
α
(1−α)
Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Datos utilizados
sk : participación de la inversión en el PIB, 1960-80
n: tasa de crecimiento promedio de la población,
1980-90
yr90 : PIB por trabajador en el paı́s i relativo al de USA en
el año 1990
Suponemos α = 0.30 y δ + g = 0.075
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Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Datos de varios paı́ses
EUA
Alemania occidental
Japón
Francia
RU
España
Argentina
India
Zimbabwe
Uganda
Hong Kong
Taiwan
Corea del Sur
s
0.210
0.245
0.338
0.252
0.171
0.239
0.146
0.144
0.131
0.018
0.195
0.237
0.299
n
0.009
0.003
0.006
0.005
0.002
0.004
0.014
0.021
0.034
0.024
0.012
0.013
0.012
yr90
1.000
0.800
0.610
0.820
0.730
0.720
0.360
0.090
0.070
0.030
0.620
0.500
0.430
U SA = 36, 810
y90
Macroeconomı́a III
Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Evaluación del modelo
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Falta de convergencia global
Solow- acumulación de capital
1.600
1.400
Valor relativo del PIB
1.200
1.000
0.800
0.600
0.400
0.200
0.000
EUA
Alemania
occidental
Japón
Francia
RU
España
PIB real
Macroeconomı́a III
Argentina
India
PIB estimado
Zimbabwe
Uganda
Hong Kong
Capı́tulo 4: El modelo de Solow
Taiwan
Corea del
Sur
Solow básico
Resultados teóricos
Implicaciones y datos
Progreso tecnológico
Evaluación del modelo
Preguntas
¿Por qué los paı́ses pueden crecer permanentemente a tasas
diferentes?
Paı́ses ricos deben tener mayor productividad At
⇒ ¿Por qué? (Capı́tulo final).
Hay paı́ses con tasa baja de inversión que tienen altas tasas de
crecimiento de la renta – ¿Cómo podemos entender eso?
Paı́ses ricos deben tener tasas de inversión s más altas que
paı́ses pobres.
⇒ ¿De qué capital estamos hablando? (Capı́tulo 5)
Primero, vamos a aumentar el modelo con capital humano
(capı́tulo 5) y evaluarlo otra vez. . .
Macroeconomı́a III
Capı́tulo 4: El modelo de Solow