1.8. Método gráfico para “calcular” una raiz.

Figura 7: Primer paso de la ejecución de elipses.m para el del ejemplo 7
Figura 8: Resultado final de la ejecución de elipses.m para el del ejemplo 7
1.8.
Método gráfico para “calcular” una raiz.
Un problema que aparece con frecuencia es el dee calcular el cero (o raíz) de una función (ver
por ejemplo el ejercicio 6). Para polinomios de segundo grado se tiene la fórmula:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
Para polinomios de tercero o cuarto grado, aunque bastante más complicadas, todavía existen fórmulas
para calcular explicitamente todas las raices. Para polinomios de mayor grado o para otras funciones
no existen fórmulas cerradas que resulvan todos los casos.
Es posible aproximarse a la raiz en forma gráfica, haciendo zoom en el gráfico de la función en las
proximidades del cero. Aunque este método no es muy artesanal y poco preciso, se lo presenta para
hacer introducir el tema.
La función raiz muestra el proceso de encontrar un cero de la función:
y = (x − 1,23). ∗ (x − 0,64). ∗ (x + 0,62)
en el intervalo [−2, 2].
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raiz
clear ;
x =[ −2:0.01:2];
y =( x − 1 . 2 3 ) . ∗ ( x − 0 . 6 4 ) . ∗ ( x + 0 . 6 2 ) ;
plot (x , y ) ;
a= i n p u t ( " " ) ;
g r i d on ;
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −1 , −0.5])
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −0.8 , −0.5])
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −0.8 , −0.5 , −2 ,2])
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −0.8 , −0.5 , −1 ,0.5])
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −0.65 , −0.6])
a= i n p u t ( " " ) ;
axis ([ −0.65 , −0.6 , −0.2 ,0.2])
Ejercicio 7 Modificar la función para encontrar las otras raices. Ayuda: Transformar el procedimiento en una función.
2. Raices de funciones.
El proceso descripto antriormente resulta útil en algunos casos pero no en la gran mayoría de
ellos. El procedimiento consistió en encerrar la raiz en un intervalo cada vez más chico, pero fue
imprescindible usar el ojo para decidir cual era el intervalo a utilizar. Si se desea encontrar alguna de
las otras raices o si se cambia la función el procedimiento debe cambiar radicalmente.
En esta sección se estudiaran métodos para automatizar la búsqueda de ceros de funciones, los
cuales serán necesariamente iterativos, i.e., durante el procedimiento se construyen una o más sucesiones con la esperanza de éstas converjan a la raiz buscada.
2.1.
Método de Bisección.
El método de bisección consiste en, dado un intervalo en el cual se encuentra la raiz, construir una
sucesión de intervalos cada uno de ellos contenido en el anterior y con la mitad de su longitud.
Este procedimiento sirve siempre que se pueda construir la sucesión de intervalos y se pueda
garantizar que la raiz está adentro de dichos intervalos.
Dada una función f (x), el método comienza con un intervalo [a0 , b0 ] tal que la función es continua
en él y además f (a0 ) · f (b0 ) < 0. Estas dos hipótesis permiten utilizar el teorema del valor medio para
asegurar que existe una raiz de f (x) en el intervalo [a0 , b0 ].
Para construir un nuevo intervalo se define:
x1 =
a0 + b0
2
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