Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb

FR ON TM A TT E R
HACIA LA REGLA DE ORO EN EL
MODELO DE RAMSEY
Derry Quintana Aguilar†
Octubre del 2006
BODY
Abstract
Se presenta el modelo de Ramsey de crecimiento neoclásico y un
método para llegar al capital de “regla de oro” a partir del óptimo
paretiano, mediante subsidios al capital y/o a la inversión. Para
obtener las sendas tempoorales de la economía, se resuelve numéricamente el modelo de equilibrio general dinámico por el método de
eliminación del tiempo. Adicionalmente, se hace un análisis de
estática comparativa de la tributación mediante las curvas de Laffer
ante diferentes tasas y/o subsidios al capital o a la inversión.
†Estudiante de Economía-UNMSM. E-mail: [email protected]
1
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
1
INTRODUCCIÓN
En el modelo de Solow la tasa de ahorro es constante, apoyada en el
argumento keynesiano de la ley psicológica fundamental, pudiendo llegar así a
alcanzarse la “regla de oro”, es decir el consumo de estado estacionario
máximo. En el modelo Ramsey la tasa de ahorro en cada momento del tiempo
es consistente con un comportamiento optimizador de las familias, pero en el
equilibrio final el consumo de estado estacionario o de largo plazo es menor
que el de la “regla de oro”, debido ello a la presencia de una tasa de descuento
subjetiva, llamándose a la nueva situación “regla de oro modificada”. En la
inicial aproximación de Ramsey, la presencia de una tasa de descuento subjetiva era “éticamente indefendible”; pero suponer que la tasa de descuento sea
cero, conlleva a problemas de resolución (la suma de las utilidades instantáneas
sería no convergente). En tal situación, planteamos una situación en la cual la
economía puede funcionar en la “regla de oro”, para lo cual, se introduce a un
gobierno que utiliza los subsidios al capital o a la inversión, que permitirán
alcanzar el consumo de estado estacionario máximo.
Nos basamos en el análisis que Ljunvist y Sargent (2004) hacen de la
política fiscal en un modelo de crecimiento neoclásico en tiempo discreto;
nosotros extendemos ese análisis, como ya se menciono, para verificar que
puede alcanzarse una economía que funcione en la regla áurea. Así, realizamos
la resolución del modelo en tiempo continuo, pues según Mulligan y Sala-iMartin (1991) hay mayores ventajas computacionales, a diferencia de Ljunvist
y Sargent (2004) que utilizan soluciones aproximadas.
El trabajo se divide de la siguiente manera. En la sección 2 se hace una
descripción del modelo y los supuestos, con lo cual, se derivan de manera
analítica las condiciones de óptimo para cada uno de los agentes económicos.
En la sección 3 se muestran las curvas de Laffer y la manera en cómo puede
alcanzarse la regla de oro utilizando subsidios a la inversión y/o al capital.
Además, se muestran las trayectorias de la situación inicial del equilibrio de
estado estacionario hacia el resultado de regla áurea luego que el gobierno da
subsidios a la inversión. Por último, se expresan las conclusiones, donde se
resumen los resultados obtenidos a lo largo del trabajo.
2
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
2
TEORÍA
La economía a considerar es una donde existen tres instituciones: las familias, las empresas y el gobierno. Los primeros son agentes que acuden al mercado a adquirir bienes de consumo de acuerdo a sus preferencias y restricciones
presupuestarias, y ofertar trabajo y capital a las firmas; en tanto las empresas
para maximizar beneficios producen el bien único de la economía de acuerdo a
su tecnología y lo ofertan en el mercado de productos y demandan factores de
producción.
Los agentes que acuden al mercado de productos o de factores son tomadores de precios y su acción individual no puede influir el comportamiento de
otros agentes. En tal sentido; los precios del producto, factores y crédito se
forman en los respectivos mercados hasta ajustar las cantidades ofrecidas y
demandadas, de tal modo que dichas cantidades se igualan.
2.1
2.1.1
AGENTES DE LA ECONOMÍA
EMPRESAS
Las empresas producen el único bien Y de la economía utilizando los
insumos capital K y trabajo L con la función de producción Y =Y HK, LL, las
productividades son marginales positivas y decrecientes YL > 0 > YLL ,
se
satisface
las
condiciones
de
Inada
YK > 0 > YKK ,
y limL Ø0 YL = limK Ø0 YK = 0, y asumimos
limL ض YL = limK ض YK = 0
rendimientos constantes a escala k Y = Y Hk K, k LL ; " k > 0.
En especial asumimos una función de producción Cobb-Douglas que
satisface los supuestos anteriores Y = K a La-1 .
Expresando en términos por trabajador tenemos y = k a , donde y = ÅÅÅÅYLÅ y
K
Å.
k = ÅÅÅÅ
L
Así, el problema de las firmas es maximizar los beneficios p dados el salario
real w y el retorno del capital r.
èa
è
Max : pè = k - w - r k
(1)
8k <
Condiciones de primer orden:
è
è a-1
rH k L = a k
3
(2)
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Como los beneficios son cero cuando hay rendimiento constantes a escala,
los salarios son:
è
èa
wHk L =I 1 - a L k
(3)
En este caso el costo de uso efectivo del capital y el salario están medidos en
è
términos del precio del bien, donde k representa el nivel de capital per capita a
nivel agregado.
2.1.2
FAMILIAS
Las preferencias del agente representativo vienen dadas por:
V H0L = ‡
¶
eHn-rL t uHcL ∑t
(4)
0
Donde n es la tasa de crecmiento de la población, r es la tasa de descuetno
subjetiva intertemporal, la función de utilidad instantánea uHcL es monótona y
decreciente uc > 0 > uc c y hay interioridad limc ض uc Ø 0. Donde c es el
consumo . Además, para que la integral anterior sea convergente asumimos que
la tasa de descuento intertemporal es mayor a la tasa de crecimiento de la
población n < r.
En especial, asumiremos una función de utilidad isoelástica:
c1-q - 1
uHcL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1-q
(5)
Donde q es el coeficiente de aversión relativa al riesgo.
Este es un caso donde el agente representativo no valora el ocio.
Asumimos que el mercado de créditos siempre esta en equilibrio, de tal
modo que los saldos acreedores netos son iguales a los activos netos de las
empresas y como la economía es cerrada habrá una oferta neta de capital no
negativa. De ese modo, las rstricciones a la que se enfrentan las familias vienen
dadas por:
è
è
(6)
H1 + tc L c + H1 + ti L i = H1 - tw L wHk L + H1 - tk L rH k L k + f
∑k
i = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + Hn + d L k
∑t
(7)
Donde tc es el impuesto al consumo, ti es el impuesto a la inversión, tw es
el impuesto a la renta laboral, tk es el impuesto a la renta de capital, f son las
transferencias de suma fija que el gobierno da al agente representativo. Además
∑k
ÅÅ más la inversión en
la inversión i se compone de la inversión neta ÅÅÅÅ
∑t
reposición Hn + d L k . Suponemos que el stock de capital inicial k (0) esta dado y
es positivo.
4
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
2.1.3
GOBIERNO
El gobierno redistribuye ingresos y subsidia el sector de la economía que
cree conveniente con la recaudación tributaria. Este sector simplemente debe
cumplir en cada momento la siguiente restricción presupuestaria.
è
è
(8)
f = tc c + ti i + tw wHk L + tk rH k L k
Es decir las transferencias que realiza el gobierno deben ser iguales a sus
ingresos.
2.2
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO
DINÁMICO
Definición 1: Un equilibrio general competitivo y dinámico es aquella
secuencia de salarios, tasas de interés, consumo, capital, producción e ingresos del gobierno, tal que la familia elige su senda de consumo maximizando (4)
sujeto a las restricciones (6) a (7), las empresas maximizan sus beneficios dada
la tecnología y el gobierno satisface en todo momento su restricción presupuesè
taria y los mercados se vacían en todo momento. Además se cumple k = k .
Se puede demostrar que el equilibrio general competitivo dinámico existe y
es único, pero no necesariamente eficiente.
Formulamos el hamiltoniano para las familias, quienes toman como datos
los precios que les pagan por el alquiler del capital y trabajo y deciden la oferta
neta del capital k con tal de maximizar su utilidad.
c1-q - 1
è
H = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + l @ H1 - tw L wHk L +
1-q
è
y
H1 - tk L rH k L k - H1 + tc L c + f zz ê H1 + ti L - Hn + d L kD
{
(9)
Las condiciones de primer orden son:
1 + tc
∑H
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = c-q - lK ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ O = 0
1 + ti
∑c
∑l
∑H
1 - tk
è
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + Hr - nL l = K- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ rH k L + d + rO l
1 + ti
∑t
∑k
∑k
1 ÄÅÅ
è
è
y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ H1 - tw L wHk L + H1 - tk L rH k L k - H1 + tc L c + f zz-Hn + d L kD
∑t
1 + ti ÅÇ
{
(10)
(11)
(12)
Tomando logaritmos a (10) y diferenciando respecto al tiempo tenemos:
q ∑c
1 ∑l
- ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
c ∑t
l ∑t
5
(13)
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Combinando con (11) tenemos:
∑c
c 1 - tk
è
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ rH k L - d - rO
∑t
q 1 + ti
(14)
Antes de proseguir, hallaremos el estado estacionario de la economía
∑c
ÅÅ =0, reemplazando este dato en la ecuación anterior
caracterizado por ÅÅÅÅ
∑t
tenemos:
1 - tk
è
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ rH k L = d + r
1 + ti
2.3
(15)
ESTADO ESTACIONARIO DE LA ECONOMÍA
COMPETITIVA
Despejando la tasa de retorno de estado estacionario en (15), tenemos:
1 + ti
rss = K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ O Hd + rL
1 - tk
(16)
Con la tasa de retorno del capital de estado estacionario, obtenemos el
capital de estado estacionario competitivo tomando en cuenta la ecuación (2):
ÅÅÅÅÅÅÅ
a ÅÅÅÅ1-a
kss = K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ O
rss
1
(17)
Con el capital de estado estacionario obtenemos el producto y la inversión
en el estado estacionario:
yss = kss a
iss = Hn + d L kss
(18)
(19)
Con el producto y la inversión de estado estacionario, obtenemos el
consumo:
css = yss - iss
(20)
Teniendo en cuenta la ecaución (3) obtenemos el salario de estado
estacionario:
wss =H 1 - a L yss
(21)
Una vez obtenidos los principales valores de estado estacionario, podemos
obtener las trasferencias de suma fija en el estado estacionario teniendo en
cuenta la ecuación (8):
fss = tc css + ti iss + tw wss + tk rss kss
6
(22)
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Debemos notar que todos los valores de equilibrio en estado estacionario
(excepto la recaudación), no están afectados por el impuesto al consumo tc ni
por el impuesto a la renta laboral tw , por ello, decimos que no son distorsionadores, en cambio, los impuestos o subsidios a la inversión ti y/o al capital tk sí
tienen efectos sobre el equilibrio de largo plazo.
2.4
ÓPTIMO PARETIANO
Definición 2: El óptimo paretiano es una situación en la cual los impuestos
distorsionadores son nulos ti =tk =0.
Una manera de verificar que el óptimo partetiano está de acuerdo a la
Definición 2 es formular un prolema tipo Ramsey para el gobierno, es decir, el
gobierno decide una secuencia de tributos 8ti , tk , tc , tw <¶
t=0 con tal de maximizar (4) sujeto a que el agente representativo resuelve su problema, las empresas
resuelven su problema y a la secuencia de transferencias de suma fija que el
gobierno eligió. Así, se puede demostrar que en el Plam Ramsey ti =tk =0 en
todo momento.
Teniendo en cuenta ello, el retorno del capital de estado estacionario en el
óptimo paretiano toma el siguiente valor:
rss = d + r
(23)
Con lo cual, el capital toma el siugiente valor:
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
i a y 1-a
kss = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ zz
kd+r {
1
(24)
A este último resultado se le conoce como capital de la “regla de oro
modificada".
Por otra parte, si el gobierno subsidia la inversión y/o el capital, éste en
estado estacionario es mayor, pudiendo alcanzar el capital de la “regla de oro".
2.5
CAPITAL DE LA “REGLA DE ORO”
En el estado estacionario el consumo es igual a:
css = kss a - Hn + d L kss
(25)
Para maximizar el consumo de estado estacionario, simplemente optimizamos la ecuación anterior y obtenemos el capital “golden rule”:
ÅÅÅÅÅÅ
a ÅÅÅÅ1-a
oro
= J ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N
kss
n+d
a
7
(26)
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Como se asumió que n < r, el capital de la “regla de oro modificada” es
menor al capital de la “regla de oro".
2.6
DINÁMICA DE TRANSICIÓN
è
Teniendo en cuenta (14) y la condición de equilibrio k = k , tenemos el
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en k y c :
∑c
c 1 - tk
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a k a-1 - d - rO
∑t
q 1 + ti
∑k
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = k a - Hn + dL k - c
∑t
(27)
(28)
Este sistema no tiene solución analítica, razón por la cual es menester
resolverla numéricamente para analizar la dinámica de transición.
3
RESULTADOS NUMÉRICOS
Para las simulaciones utilizamos la siguiente parametrización:
a = 0.5
d = 0.05
r = 0.03
q = 0.5
n = 0.02
tk = 0
ti = 0
ti = 0.3
tc = 0.19
Antes de proseguir analizaremos el largo plazo para diferentes alícuotas al
capital y a la inversión, mediante las curvas de Laffer para cada una de las
variables relevantes del modelo.
3.1
ESTÁTICA COMPARATIVA PARA DIFERENTES TASAS A LA INVERSIÓN
El siguiente gráfico despliega todos los valores de equilibrio con los valores
de los parámetros anteriores para diferentes tasas impositivas a la inversión. En
especial nos interesan tres distintas tasas (0, -0.125 y 0.34).
8
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
y
6
c
5
i
4
f
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
Figure 1: CURVAS DE LAFFER PARA DISTINTAS TASAS A LA INVERSIÓN
La ordenada (cuando la ti =0), va dar con los valores de óptimo paretiano sin
distorsiones, nótese este intercepto con la curva azul correspondiente al consumo eficiente es menor en comparación con el de la regla de oro (intercepto
con la primera línea azul). De otro lado hasta la tasa de 0.34 corresponde a la
región económica (en la cual la recaudación es creciente), a partir de dicha tasa
la recaudación disminuye (región aritmética). En la región aritmética todas las
variables disminuyen a mayores tasas a la inversión.
3.2
ESTÁTICA COMPARATIVA PARA DIFERENTES TASAS AL CAPITAL
El siguiente gráfico despliega todos los valores de equilibrio, para diferentes
tasas impositivas a la inversión. En especial nos interesan tres distintas tasas (0,
-0.14 y 0.28).
y
8
c
6
i
f
4
2
0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 2: CURVAS DE LAFFER PARA DISTINTAS TASAS AL CAPITAL
9
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Las interpretaciones son similares al caso anterior, la principal diferencia
radica en que cuando la tasa al capital es del 100% la economía desaparece; por
otro lado el subsidio al capital que nos lleva a la regla de oro es cercano al
14%; mientras que la máxima recaudación se logra con una tasa de 28%.
3.3
¿PUEDE EL GOBIERNO LLEVAR A LA
ECONOMÍA A LA REGLA DE ORO EN UN
CONTEXTO DE LIBRE MERCADO?
Antes de analizar como puede el gobierno conseguir que la economía
funciones el la regla de oro, veamos el diagrama de fases de las ecuaciones (27)
y (28) cuando las imposiciones a la inversión y al capital son nulas:
5
c
4
3
2
1
0
0
50
100
k
150
200
Figure 3: CAMPO VECTORIAL DEL ÓPTIMO PARETIANO
Las curvas azules muestran las curvas de demarcación, mientras que curva
punteada verde nos presenta el valor de estado estable para el capital de regla
de oro.
Partiendo del equilibrio de largo plazo paretiano, encontraremos el subsidio
a la inversión que nos lleve a la regla de oro.
Combinando las relgas para el capital de regla de oro modificada (24) y el
de la regla de oro (26), podemos obtener una mezcla de subisidos a la inversión
y al capital que lllevan a la economía a funcionar en la regla de oro.
n+d
1 + ti = H1 - tk L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
r+d
(29)
Nosotros asumimos que tk = 0.
En consecuencia el nuevo subsidio a la inversión debiera ser 0.125, teniendo
en cuenta la ecuación anterior.
Con ello, hemos logrado llevar la curva de demarcación de estado estacionario para la dinámica del consumo coincida con el capital de la regla de oro.
Combinando con la situación inicial tenemos:
10
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
5
c
4
3
2
1
0
0
50
100
k
150
200
Figure 4: CAMPO VECTORIAL PARA ALCANZAR LA “REGLA DE ORO”
Si se quiere lograr alcanzar el capital de la “regla de oro”, la economía tiene
que ubicarse en la función de política representada por la curva roja, así, se
tendrá que disminuir el consumo inicialmente para luego alcanzar un consumo
algo mayor en el estado estacionario; pero esa disminución del consumo al
inicio no es arbitraria.
A continuación, mostramos la dinámica de transición para cada una de las
variables relevantes del modelo utilizando el método de eliminación del tiempo:
7.2
y
7
6.8
yHtL
6.6
yss
6.4
yop
6.2
0
20
40
60
80
Figure 5: SENDA TEMPORAL DEL PRODUCTO PER CAPITA HACIA LA “REGLA
DE ORO”
3.6
3.4
cHtL
c
3.2
css
3
2.8
cop
2.6
0
20
40
60
80
Figure 6: SENDA TEMPORAL DEL CONSUMO PER CAPITA HACIA LA “REGLA
DE ORO”
11
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
Podemos notar que hay una gran caída del consumo para luego de un largo
tiempo, éste en el estado estacionario de la regla de oro alcance un valor algo
mayor que el del óptimo paretiano.
3.6
3.58
3.56
i
iHtL
3.54
iss
3.52
0
20
40
60
80
Figure 7: SENDA TEMPORAL DE LA INVERSIÓN PER CAPITA HACIA LA
“REGLA DE ORO”
En el caso de la inversión hay una gran salto de su valor de estado estacionario en el óptimo paretiano 2.73438 hasta 3.57143 en la inversión de la regla de
oro.
0.08
0.078
r
0.076
0.074
0.072
0.07
0
20
40
60
80
Figure 8: SENDA TEMPORAL DE LA RETRIBUCIÓN AL CAPITAL HACIA LA
“REGLA DE ORO”
3.5
w
3.4
3.3
3.2
0
20
40
60
80
Figure 9: SENDA TEMPORAL DE LA RETRIBUCIÓN AL TRABAJO HACIA LA
“REGLA DE ORO”
12
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
1.3
1.25
f
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0
20
40
60
80
Figure 10: SENDA TEMPORAL DE LA RECAUDACIÓN HACIA LA “REGLA DE
ORO”
Nótese que cuando se subsidia la inversión, la tasa de interés tiende a
disminuir, en tanto que los salarios crecen. De otro lado la recaudación también
aumenta, lo cual se nota en los dibujos de las curvas de Laffer.
Adicionalente las tasas de crecimiento son:
Dy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
y
Di
ÅÅÅÅÅÅ Å
i
Dc
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
c
Dk
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
k
0.025
growth
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
20
40
60
80
Figure 11: TASAS DE CRECIMIENTO PARA DISTINTAS VARIABLES
Vemos pues que el consumo es la variable que se ajusta con mayor rapidez y
en último lugar la inversión.
4
ALGUNAS CONCLUSIONES
El marco de trabajo del modelo Ramsey en un entorno de equilibrio competitivo, nos muestra que el consumo de largo plazo per capita, es menor que el de
la regla de oro.
El gobierno mediante su política de subsidios puede llevar a la economía a
funcionar en la regla de oro en el modelo Ramsey.
13
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
El hecho que se pueda alcanzar dicha regla no quiere decir que las familias
estén más felices, dado que inicialmente disminuye su consumo, las primeras
generaciones por el mecanismo de mercado se ven perjudicadas y, en cambio,
las generaciones posteriores beneficiadas, pero la tasa de descuento hace que el
resultado neto sea una disminución de la utilidad en valor presente de la
sociedad.
14
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
5
REFERENCIAS
[1]
La Cotera, D. ¿?. Una Exposición Elemental del Modelo RamseyCass-Koopmans. Documento no publicado.
[2]
Ljungvist, L. y T. Sargent. 2004. Recursive Macroeconomic Theory.
2nd edition. MIT Press.
[3]
Koopmans, T. 1965. On the Concept of Optimal Economic Growth.
Cowles Foundations Paper 238.
[5]
Mulligan, C. y X. Sala-i-Martin. 1991. A Note on the Time Elimination Method for Solving Recursive Dynamic Economic Problems. NBER
Working Paper No. 116, Nov.
[6]
Sala-i-Martin, X. 2000. Lectures Notes on Economic Growth.
(Versión castellana, Barcelona: Antoni Bosch, 2000).
[7]
Tabarrok, A. ¿? The Ramsey Model of Economic Growth. Documento escrito en el programa Mathematica.
15
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
BA C K M A T TE R
A
ANEXO: MÉTODO DE ELIMINACIÓN DEL
TIEMPO
Este método esta explicado con gran detalle en el trabajo de Mulligan y Salai-Martin (1991), aquí sólo presentaremos los pasos elementales para este
modelo específico.
Partimos de las ecuaciones de movimiento (27) y (28):
∑c
c 1 - tk
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a k a-1 - d - rO
(30)
∑t
q 1 + ti
∑k
(31)
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = k a - Hn + dL k - c
∑t
Dividiendo (30) entre (31) eliminamos el tiempo y tenemos la función de
política (cambio en el consumo cuando cambia el stock de capital):
∑c
ÅÅÅÅ
ÅÅ
∑c
∑t
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ∑k
ÅÅÅÅÅÅ = FHc, kL
∑k
ÅÅÅÅ∑tÅÅ
(32)
Al resolver la anterior ecuación diferencial (32) se obtiene el consumo en
función del stock de capital, pero como sólo podemos obtener resultados
numéricos adicionalmente requerimos la condición css = cHkss L, para obtener:
c = cHkL
(33)
Para obtener las sendas temporales utilizamos (30), y reemplazamos la
función de política c = cHkL para resolver la siugiente ecuación diferencial en k
teniendo en cuenta que kH0L esta dado:
∑k
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = kHtL a - Hn + dL kHtL - cHkHtLL
∑t
(34)
De ese modo, obtendremos la senda temporal del stock de capital:
k = kHtL
(35)
Para la senda del consumo se utilizamos (35) y reemplazamos en la función
de política (33):
cHtL = cHkHtLL
(36)
Con la senda temporal del capital y del consumo, es fácil obtener las otras
variables de interés utilizando las siguientes identidades:
rH tL = a kHtL a-1
16
(37)
Hacia la Regla de Oro en el Modelo de Ramsey.nb
wHtL =H 1 - a L kHtL a
(38)
yHtL = kHtL a
(39)
iHtL = yHtL - cHtL
(40)
f HtL = tc cHtL + ti iHtL + tw wHtL + tk rH tL kHtL
(41)
Adicionalmente, se pueden obtener otras variables de interés tales como la
f HtL
iHtL
ÅÅÅÅÅ o la tasa de ahorro nacional ÅÅÅÅyHtL
ÅÅÅÅÅ .
presión tributaria ÅÅÅÅyHtL
17