a + bi

Los números complejos
a + bi
Los números complejos se pueden representar por expresiones de la forma a + bi, donde a y b son
números reales, i se conoce como un número imaginario definido como i
complejo consta de una parte real y una imaginaria.
1 . Por lo tanto un número
Ejemplos de números imaginarios: 2+15i, -6+7i, 4-3i
Los números imaginarios se pueden manipular de la misma manera que un número real , es decir, los podemos
1 , entonces es cierto que i2 = -1. Observa que easto no
sumar, restar, multiplicar o dividir. Ya que i
es posible en los números reales ya que cualquier número real elevado al cuadrado da como resultado un
número positivo.
Decimos que dos números complejos a + bi y c + di son iguales, a + bi = c + di, si y sólo si a =c y b =d.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se definen como si todas las letras representaran
números reales, con la condición adicional de que cada vez que aparezca i2 se sustituya por -1.
Suma y resta de dos números complejos a + bi y c + di :
Suma (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i
Ejemplo
(3 + 2i) + (-4+i) = (3-4) + (2i+i) = -1 + 3i
Resta (a+bi) - (c+di) = (a+c) + (-b+-d) i
Ejemplo
(3 + 2i) - (-4+i) =(3+2i + 4 - i= 7 + i
Multiplicación de dos números complejos a + bi y c + di es dada por
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad +bc) i.
Se aplica la propiedad distributiva como si estruvieras multiplicando dos binomios.
(3+2i)(-4+i)=3(-4)+3i - 8i+2i2 = -12 - 5i + 2 (-1) = -14 - 5i
Práctica (7 i)( 2 5i)
Podemos considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos, identificando el
número real a con el complejo a + 0i.
Ejemplo
El número 8 es un número complejo ya que su expresión como tal es 8+0i.
Un número complejo de la forma 0 + bi se abrevia bi.
Los números complejos aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es
un polinomio. Por ejemplo, si únicamente se admiten raíces reales, entonces la ecuación x2 = - 4 no tiene
solución. Sin embargo, si se admiten números complejos como raíces, entonces la ecuación tiene la solución 2i,
ya que
(2i)2 = 22i2 = 4 (-1) = -4.
También -2i es una solución de x2 = -4.
Como i2 = -1, a veces usamos el símbolo
13 =
1 en lugar de i y escribimos
13 i, 2 +
25 = 2 + 5i
Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas
por la fórmula cuadrática
x=
b2
2a
b
4 ac
Si b2 - 4ac < 0, entonces las raíces son números complejos. Por ejemplo, si aplicamos la formula cuadrática a la
ecuación x2 - 4x + 13 = 0, obtenemos
36 = 4 ± 6i
x= 4
2
2
Por lo tanto, esta ecuación tiene las dos raíces complejas: 2 + 3i y 2 - 3i.
Conjugado de un número complejo
Sea a+bi un número complejo al que llamaremos z, es decir, z = a+bi , el conjugado de z se le llama z y es
dado por a - bi .
Ejemplos
El conjugado de 3-16i es 3+16i.
El conjugado de -5+2i es -5-2i.
Multiplicación de un número complejo y su conjugado:
(a bi)( a bi)
a2
b2
*El producto de un número complejo y su conjugado es un número real.
Ejemplos
(5
2i)( 5 2i)
( 3 i)( 3 i)
Práctica (7 2i)(7 2i)
52
22
( 3) 2
25
12
4
29
9 1 10
División de números complejos
En una división el divisor (denominador) no puede ser un número complejo por lo tanto lo eliminamos
multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del divisor.
3 + 2i
2-i
Ejemplo 1
= (3+2i)(2+i) = 6 + 7i +2i2 = 6+7i+2(-1) = 4+7i = 4 + 7 i
(2-i) (2+i)
4 - i2
4-(-1)
5
5 5
Ejemplo 2
3 2i
4 i
(3+2i)(4+i) = 12 +11i+2i2 = 12+11i-2 =10+11i
(4-i) (4+i)
16 - i2
16-(-1)
17
Lleva a cabo la división y expresa la respuesta en la forma a + bi.
(A)
3 i
3i
(B)
3 2i
2 i
Respuesta:
A)
1
2
i
3
3
B)
4
7
+
i
5
5
Práctica
(A) 3+i
2i
(B) 2 + 4i
3 + 2i
Radicales cuyas raíces no son reales
a =
a i
para a > 0
9
(9 )( 1)
Escribe en la forma a+bi:
(A)
4
(B) 4 +
40
(C)
3
7
2
9
1
3i
Solución:
(A)
4 = i 4 = 2i
(B) 4 + 40 = 4 + i 40 = 4 +i 4 ∙ 10 = 4 + 2i 10
(C) - 3 - √-7 = -3 - i√ 7 = -3 -√7
2
2
2 2
Práctica
Simplifica:
(A) (3+2i)+(2-i)
(B) (3+2i)-(2-i)
(C) (3+2i)(2-i)
(D) (2-3i)2 - (4i)2
Solución
(A) (3+2i) + (6-4i)
(C) (2-4i)(3+2i)
(B) (3-5i)-(1-3i)
(D) (3i)2 - (3-2i)2
Representación gráfica de los números complejos
Plano complejo
_
Eje imaginario
(b)
a=2
b=1
_
_
Eje real
(a)
2+i
|
|
Así como el valor absoluto de un número x , en la recta real es la distancia desde ese número al cero, el módulo
de un número complejo es la distancia desde el punto y el origen del plano.
Representa gráficamente los siguientes números complejos.
y
15
(A) 3+2i
(B) -15-8i
10
(C) -7+5i
(D) 4-9i
5
x
-15
-10
-5
5
-5
-10
-15
10
15
(E) 5i
(F) -4i
El módulo de un número complejo a
2
Eje imaginario
(b)
bi ; es dado por
a bi
2
r | a bi |
a
b
Es decir, es la distancia desde el punto hasta el origen
del plano.
r
Eje real
(a)
b
a
Ejemplo
El módulo de 6+8i es r | 6
62
8i |
82
36
64
100
10
Dibuja los siguientes puntos y calcula sus respectivos módulo.
(A) 5-2i
(B) -3+i
(C) 1+i
y
15
10
5
x
-15
-10
-5
5
-5
-10
-15
10
15