Sistemas y Circuitos

Sistemas y Circuitos
Práctica 4: Circuitos Analógicos
Curso Académico 08/09
1.
Análisis Teórico del Circuito
En esta práctica analizaremos un circuito RLC serie, como el que aparece en la siguiente figura:
Figura 1
Tal y como se vio en las clases de teorı́a, nuestro objetivo es obtener una expresión para la tensión
de salida V0 (t), que se define como la tensión que cae en el condensador C. Para ello partiremos
de las siguientes suposiciones:
En el instante inicial no circula ninguna corriente por el circuito.
El condensador se encuentra descargado.
Si aplicamos el método de las corrientes, obtenemos:
Vg (t) = R i(t) + L
di(t)
+ V0 (t)
dt
dV0 (t)
dt
dV0 (t)
d2 V0 (t)
Vg (t) = RC
+ LC
+ V0 (t)
dt
dt2
i(t) = C
Siendo i(t) la corriente que atraviesa el circuito.
De forma, que la expresión que rige el compartamiento del circuito sera:
Vg (t)
d2 V0 (t) R dV0 (t) V0 (t)
+
+
=
2
dt
L dt
LC
LC
Hemos obtenido una ecuación diferencial de segundo orden, cuya formulación general es:
′′
′
V0 + 2αV0 + ω02 V0 = f (t)
Si comparamos estas dos últimas ecuaciones, podemos identificar el valor de los parámetros α y
ω0 :
1
1
⇒ ω0 = √
LC
LC
R
R
⇒ α=
2α =
L
2L
Vg (t)
f (t) =
LC
ω02 =
La solución a esta ecuación diferencial de segundo orden, vendrá dada por la suma de una solución
homogénea y una solución particular:
V0 = V0Homogenea + V0Particular
1
Por simplicidad asumiremos que la solución particular del sistema analizado, V0Particular , será una
constante igual a la función f (t) que hemos identificado anteriormente.
V0P articular =
Vg (t)
LC
La solución homogénea viene dada por:
′′
S 2 = V0
′
S = V0
S 2 + 2αS + ω02 = 0
p
q
−2α ± 4α2 − 4ω02
S=
= −α ± α2 − ω02
2
De forma que las posibles soluciones de la ecuación diferencial vendrán diferenciadas por los valores
de los parámetros anteriormente indicados. Los casos que nos podemos encontrar son:
Sobreamortiguado
En este caso nos encontramos que α > ω0 , por lo que la solución homogénea tiene dos raı́ces
reales:
q
S1,2 = −α ± α2 − ω02
Esto hace que la ecuación general que habı́amos planteado nos quedará:
V0 (t) = A1 eS1 t + A2 eS2 t +
Vg (t)
LC
Donde A1 y A2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
Subamortiguado
Ahora tendremos α < ω0 , por lo que la solución homogénea tiene dos raı́ces complejas:
q
S1,2 = −α ± j ω02 − α2 = −α ± jωd
Finalmente, llegamos a que el voltaje del circuito analizado será:
V0 (t) = A1 e−αt ejωd t + A2 e−αt e−jωd t +
Vg (t)
LC
= B1 e−αt cos(ωd t) + B2 e−αt sen(ωd t) +
Vg (t)
LC
Donde B1 y B2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
Amortiguamiento Crı́tico
Para finalizar tenemos el caso en el ambos parámetros son iguales, α = ω0 . Este hecho hace
que la solución homogénea tenga una raı́z doble:
S1 = S2 = −α
El voltaje del circuito vendrá dado por:
V0 (t) = (D1 + D2 t)e−αt +
Vg (t)
LC
Donde D1 y D2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
En la siguiente figura podemos observar algunas de las diferencias existentes entre las respuestas
de los distintos casos:
2
V0(t)
Vg(t)/LC
Figura 2
2.
Análisis Práctico del Circuito
La parte principal de esta práctica será el análisis práctico del circuito RLC mostrado en la Figura 1.
Para la realización de este apartado se proporcionará una placa con el circuito RLC serie preparado
para la medición de diferentes parámetros. Los valores de los componenetes que forman el circuito
son:
L = 2.7 mH
C = 47 nF
R = 22 KΩ
Debemos destacar que el circuito consta de una resistencia variable que nos permitirá modificar
el voltaje de salida del circuito, V0 (t) haciendo que éste atraviese los distintos estados analizados
anteriormente (sobreamortiguamiento, subamortiguamiento y amortiguamiento crı́tico).
La señal de entrada del circuito, Vg (t), será una onda cuadrada de 1 Vp y una frecuencia de 100 Hz.
2.1.
Procedimiento
Como ya habı́amos visto en prácticas anteriores, el primer paso será la selección de la señal Vg (t)
en el generador de funciones. Una vez hayamos seleccionada, podremos pasar a comprobar si sus
carácterı́sticas son las adecuadas, a través del osciloscopio. El siguiente paso será la conexión de la
señal de alimentación con el circuito, que deberá realizarse a través de un cable BNC-Cocodrilo.
Para la realización de las medidas de la tensión de salida, V0 (t), deberemos conectar el osciloscopio
al circuito del siguiente modo:
Osciloscopio
Figura 3
Anteriormente se indicó que la resistencia R es un potenciómetro, que nos permitirá variar el
voltaje de salida, V0 (t). Para modificar el valor de dicha resistencia tendremos que utilizar uno de
los destornilladores de plástico que se proporcionarán en el laboratorio.
3
2.2.
Cuestiones
1. ¿Qué valores tienen los parámetros α y ω0 para los componenetes que forma nuestro circuito?
2. ¿Qué valor tiene la resistencia R cuando el circuito se haya en cada uno de los estados que
mencionamos anteriomente: subamortiguado, sobreamortiguado y amortiguamiento crı́tico?
4