Texto de la práctica

Sistemas y Circuitos
Práctica 4: Circuitos Analógicos
Curso Académico 09/10
Objetivos
En esta práctica el alumno aprenderá a
calcular impedancias equivalentes
analizar filtros de primer orden
Normas
La práctica debe realizarse individualmente.
El alumno deberá responder y entregar a su profesor de prácticas el cuestionario que le
será entregado en los últimos 30 minutos de la clase de laboratorio.
1.
Capacidad Equivalente
Encuentre la capacidad equivalente con respecto a los terminarles a y b en el circuito que se presenta
en la Figura 1.
8 F
16 F
4 F
a
5 F
1.6 F
6 F
b
12 F
Figura 1
2.
Filtros de Primer Orden
En el circuito que se muestra en la Figura 2, las corrientes iniciales en los inductores L1 y L2 han
sido establecidas por fuentes que no se indican a los siguientes valores:
I1 (0) = −8 A
I2 (0) = −4 A
(1)
(2)
Conteste a las siguientes preguntas:
(a) Determine I1 , I2 e I3 para t ≥ 0.
(b) Calcule la energı́a inicial almacenada en los inductores en paralelo.
(c) Determine cuanta energı́a se almacena en los inductores cuando t → ∞.
(d) Demuestre que la energı́a total entregada a la red resistiva es igual a la diferencia entre los
resultados que se obtuvieron en b y c.
1
4
I1
I3
I2
5H
20H
15
40
10
Figura 2
3.
3.1.
Filtros de Segundo Orden
Análisis Práctico del Circuito
La parte principal de esta práctica será el análisis práctico del circuito RLC mostrado en la Figura 3.
Figura 3
Puesto que todavı́a no se han explicado este tipo de circuitos en las clases de teorı́a, se ha añadido
un desarrollo teórico (véase Apéndice) en el que se explican más detalladamente el análisis de
este filtro de segundo orden. Sin embargo, la sesión de laboratorio se centrará únicamente en la
observación del comportamiento de este tipo de circuitos.
Para la realización de este apartado se proporcionará una placa con el circuito RLC serie preparado
para la medición de diferentes parámetros. Los valores de los componenetes que forman el circuito
son:
L = 2.7 mH
C = 47 nF
R = 22 KΩ
Debemos destacar que el circuito consta de una resistencia variable que nos permitirá modificar
el voltaje de salida del circuito, V0 (t) haciendo que éste atraviese los distintos estados analizados
anteriormente (sobreamortiguamiento, subamortiguamiento y amortiguamiento crı́tico).
La señal de entrada del circuito, Vg (t), será una onda cuadrada de 1 Vp y una frecuencia de 100 Hz.
3.1.1.
Procedimiento
Como ya habı́amos visto en prácticas anteriores, el primer paso será la selección de la señal Vg (t) en
el generador de funciones. Una vez seleccionada, podremos pasar a comprobar si sus carácterı́sticas son las adecuadas, a través del osciloscopio. El siguiente paso será la conexión de la señal de
alimentación con el circuito, que deberá realizarse a través de un cable BNC-Cocodrilo.
Para la realización de las medidas de la tensión de salida, V0 (t), deberemos conectar el osciloscopio
al circuito del siguiente modo:
Anteriormente se indicó que la resistencia R es un potenciómetro, que nos permitirá variar el
voltaje de salida, V0 (t) y pasar por cada uno de las diferentes respuestas que presenta este circuito,
2
Osciloscopio
Figura 4
Figura 5: sobreamortiguamiento, amortiguamiento crı́tico o subamortiguamiento (para una mejor
comprensión véase Apéndice). Para modificar el valor de dicha resistencia tendremos que utilizar
uno de los destornilladores de plástico que se proporcionarán en el laboratorio.
V0(t)
Vg(t)/LC
Figura 5
Apéndice
En este apartado analizaremos un circuito RLC serie, como el que aparece en la siguiente figura:
Tal y como se vio en las clases de teorı́a, nuestro objetivo es obtener una expresión para la tensión
de salida V0 (t), que se define como la tensión que cae en el condensador C. Para ello partiremos
de las siguientes suposiciones:
En el instante inicial no circula ninguna corriente por el circuito.
El condensador se encuentra descargado.
Si aplicamos el método de las corrientes, obtenemos:
Vg (t) = R i(t) + L
di(t)
+ V0 (t)
dt
dV0 (t)
dt
d2 V0 (t)
dV0 (t)
+ V0 (t)
+ LC
Vg (t) = RC
dt
dt2
i(t) = C
Siendo i(t) la corriente que atraviesa el circuito.
De forma, que la expresión que rige el compartamiento del circuito sera:
d2 V0 (t) R dV0 (t) V0 (t)
Vg (t)
+
+
=
2
dt
L dt
LC
LC
Hemos obtenido una ecuación diferencial de segundo orden, cuya formulación general es:
′′
′
V0 + 2αV0 + ω02 V0 = f (t)
3
Si comparamos estas dos últimas ecuaciones, podemos identificar el valor de los parámetros α y
ω0 :
1
1
⇒ ω0 = √
LC
LC
R
R
2α =
⇒ α=
L
2L
Vg (t)
f (t) =
LC
ω02 =
La solución a esta ecuación diferencial de segundo orden, vendrá dada por la suma de una solución
homogénea y una solución particular:
V0 = V0Homogenea + V0Particular
Por simplicidad asumiremos que la solución particular del sistema analizado, V0Particular , será una
constante igual a la función f (t) que hemos identificado anteriormente.
V0P articular =
Vg (t)
LC
La solución homogénea viene dada por:
′′
S 2 = V0
′
S = V0
S 2 + 2αS + ω02 = 0
p
q
−2α ± 4α2 − 4ω02
= −α ± α2 − ω02
S=
2
De forma que las posibles soluciones de la ecuación diferencial vendrán diferenciadas por los valores
de los parámetros anteriormente indicados. Los casos que nos podemos encontrar son, Figura 5:
Sobreamortiguado
En este caso nos encontramos que α > ω0 , por lo que la solución homogénea tiene dos raı́ces
reales:
q
S1,2 = −α ± α2 − ω02
Esto hace que la ecuación general que habı́amos planteado nos quedará:
V0 (t) = A1 eS1 t + A2 eS2 t +
Vg (t)
LC
Donde A1 y A2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
Subamortiguado
Ahora tendremos α < ω0 , por lo que la solución homogénea tiene dos raı́ces complejas:
q
S1,2 = −α ± j ω02 − α2 = −α ± jωd
Finalmente, llegamos a que el voltaje del circuito analizado será:
V0 (t) = A1 e−αt ejωd t + A2 e−αt e−jωd t +
Vg (t)
LC
= B1 e−αt cos(ωd t) + B2 e−αt sen(ωd t) +
Vg (t)
LC
Donde B1 y B2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
4
Amortiguamiento Crı́tico
Para finalizar tenemos el caso en el ambos parámetros son iguales, α = ω0 . Este hecho hace
que la solución homogénea tenga una raı́z doble:
S1 = S2 = −α
El voltaje del circuito vendrá dado por:
V0 (t) = (D1 + D2 t)e−αt +
Vg (t)
LC
Donde D1 y D2 son constantes que se podrán calcular a partir de las condiciones iniciales
que hemos impuesto.
Referencias
Circuitos Eléctricos. James W. Nilsson y Susan A. Riedel. Ed. Prentice Hall. 7a edición
(2005).
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