1. a) Sea A una matriz real 3×3 cuyas raices caracterısticas son

1.
a) Sea A una matriz real 3 × 3 cuyas raices caracterı́sticas son todas
reales. Discuta en función del polinomio caracterı́stico las posibles formas de Jordan de A.
Caso 1 χA tiene tres raices distintas λ1 , λ2 ,λ3 forma de Jordan


λ1


λ2
λ3
Caso 2 χA tiene dos raices distintas λ1 , λ2 ma(λ1 ) = 1, ma(λ2 ) = 2,
si mg(λ2 ) = 2 Forma de Jordan


λ1


λ2
λ2
si mg(λ2 ) = 1 Forma de Jordan


λ1


λ2
1 λ2
Caso 3 Una raı́z real λ1 , con multiplicidad
 algebraica 3.

λ1
, si mg(λ1 ) = 2
λ1
Si mg(λ1 ) = 3 Forma de Jordan 
λ1


λ1
 si mg(λ1 ) = 1, forma de
Forma de Jordan  1 λ1
λ1


λ1

Jordan  1 λ1
1 λ1

 
2 −1 a
x
b) Sea T : R3 → R3 tal que T (x, y, z) =  1 b 0   y 
0 −1 c
z
siendo a, b y c números reales.
1) Determine los valores de a, b y c para que 1 sea valor propio
de T asociado al vector propio (1, 1, 1).
1

 
 
2 −1 a
1
1
 1+a=1
 1 b 0   1  = 1  1  si y solo si
1+b=1

0 −1 c
1
1
c−1=1
Entonces a = b = 0 y c = 2.
2) Para los valores de a, b y c hallados en la parte anterior,
determine la forma de Jordan y una base de 
Jordan para T.
2 −1 0
La matriz asociada a T en la canónica es  1 0 0 
0 −1 2
2
entonces χT (λ) = (λ − 2)(λ − 1) y dim(ker(T − Id)) = 1
por
y en consecuencia la forma de Jordan es
 lo que mg(1)=1

1 0 0
 1 1 0 . Calculando se tiene que una base de Jordan
0 0 2c
es: {(0, −1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1)}

2.
a) Defina producto interno y norma en un espacio vectorial V .
Ver Teorico.
b) Si V es un R-espacio vectorial con producto interno demuestre la
desigualdad de Cauchy- Schwarz:
(hv, wi)2 ≤ hv, vihw, wi ∀ v, w ∈ V
Ver Teorico.
c) Sea k k : V → R definida como kvk =
una norma.
Ver Teorico
p
hv, vi. Demuestre que es
d ) Sea Q : Rn → R tal que
Q(x1 , x2 , · · · , xn ) = n(x21 + x22 + · · · + x2n ) − (x1 + x2 + · · · + xn )2 .
Probar que Q es semidefinida positiva y que Q(x1 , x2 , · · · , xn ) =
0 ⇔ x1 = x2 = · · · = xn .
(Sugerencia: Aplicar la Desigualdad de Cauchy Schwarz a un par
de vectores elegidos convenientemente). Consideremos los vectores de Rn , (x1 , x2 , . . . , xn ) y (1, . . . , 1) aplicando Cauchy Schwarz
se tiene que
(h(x1 , x2 , . . . , xn ), (1, . . . , 1)i)2 = (x1 + x2 + · · · + xn )2 ≤
(x21 + c22 + · · · + x2n )(1 + · · · + 1) = n(x21 + x22 + · · · + x2n )
2
Y por lo tanto Q(x1 , . . . , xn ) = n(x21 + x22 + · · · + x2n ) − (x1 + x2 +
· · · + xn )2 ≥ 0 y como ademas Q(1, 0, . . . , 0) = n(1 − 1) = 0 se
deduce que Q es semidefinida positiva.
3.
a) Enuncie el teorema espectral para transformaciones autoadjuntas.
Ver teorico.
b) Sea T : R4 → R4 una transformación lineal autoadjunta tal que
2 es valor propio de T , S2 = {(x, y, z, t) : x + y = 0; z − t = 0},
N (T ) = [(1, 1, 1, −1)] y traza(T ) = 3.
1) Halle los valores propios de T y los subespacios propios correspondientes.
Como el nucleo de T tiene dimension 1 0 es valor propio
con multiplicidad 1, 2 es también valor propio y tiene multiplicidad geometirica 2. Y como la suma de valores propios contados con su multipliciad es la traza se deduce que
0 + 2 + 2 + λ = 3 -1 debe ser también valor propio con multiplicidad geometirca 1 Falta determinar el subespacio propio
de valor propio -1, que debe ser ortogonal a S0 = N (T ) y a
S2 esto es S−1 = [(−1, −1, 1, −1)]. Entonces
Pues si B = {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, −1), (−1, −1, 1, −1)},
base de vectores
propios se tiene

 que
2 0 0
0
 0 2 0
0 

 y haciendo el cambio de base
B ((T ))B = 
0 0 0
0 
0 0 0 −1
se calcula la matriz en la canonica y se deduce que:
µ
T (x, y, z, t) =
1
5
1 3
5
1
1 5
1
1
3 3
1
3
x − t − y + z, y − x − t + z, t + x + y + z, t −
4
4
4
4 4
4
4
4 4
4
4
4 4
4
2) Calcule T (x, y, z, t) ∀ (x, y, z, t) ∈ R4
3