En cada uno de los casos siguientes encuentra una matriz no

En cada uno de los casos siguientes encuentra una matriz no singular C tal
que C 1 AC es una matriz diagonal o, en caso de que no exista, explica por qué.
1 0
1 2
2 1
a)
b)
c)
d)
1 3
5 4
1 4
2 1
1 0
Solución:
1 0
a) A =
1 3
La transformación lineal asociada con esta matriz es
T : R2 ! R2
T (x; y) = (x; x + 3y)
que a los elementos de la base estandar de R2 , la base f(1; 0) ; (0; 1)g, les
hace
1
1
0
0
T
=
T
=
0
1
1
3
1 0
1
0
De ahí que la matriz sea
, es decir, T
;T
.
1 3
0
1
El polinomio característico de la matriz A es
1 0
1 0
1
0
f ( ) = det ( I A) = det
= det
=
0 1
1 3
1
3
2
4 +3
f( )=(
1) (
3)
Los valores propios de la matriz A son: 1 y 3
El vector propio asociado al valor propio 1 se encuentra resolviendo la
ecuación
1 0
1 0
x
0
Ax = x ) (I A) x = 0 )
=
0 1
1 3
y
0
0
0
x
0
0
=
=
1
2
y
x 2y
0
que queda como x + 2y = 0:
El espacio generado por los vectores propios es t (2; 1) con t 6= 0:
El vector propio asociado al valor propio 3 se encuentra resolviendo la
ecuación
1 0
1 0
x
0
Ax = 3x ) (3I A) x = 0 ) 3
=
:
0 1
1 3
y
0
2 0
x
2x
0
=
=
1 0
y
x
0
que queda como x = 0 y cualquier valor para y:
El espacio generado por los vectores propios es t (0; 1) con t 6= 0:
Debemos escribir ahora la matriz A en términos de la base constituida por
los autovectores x1 = (2; 1) y x2 = (0; 1). La matriz de tranformación es la
constituida por los vectores propios, es decir,
2 0
C=
1 1
1
Debemos, además, calcular su inversa. En el caso de las matrices 2x2 es muy
fácil, ya que
1
1
a11 a12
a22
a12
=
a21 a22
a21 a11
a11 a12
det
a21 a22
En este caso nos da
1
0
1
0
1
1 0
C
B
= @ 21
A
1
2
2 0
1
det
2
1 1
Podemos
veri…car
que
efectivamente
es la inversa multiplicando,
1
0
1
1 0
B 2 0C 2 0
=
A
@1
1
1
0 1
1
2
y
0
1
1
0
2 0 B2
1 0
C
=
1 1 @ 1 1A
0 1
2
Ahora podemos ya calcular la matriz en la nueva base, haciendo la tranformación
1=2 0
1 0
2 0
1 0
A0 = C 1 AC =
=
1=2 1
1 3
1 1
0 3
Es claro que se trata de la representación de la matriz de la tranformación
en la nueva base, en la formada por los vectores propios. De hecho
T : R2 ! R2
T (x; y) = (x; x + 3y)
y por tanto,
2
2
0
0
0
T
=
T
=
=3
1
1
1
3
1
como era de esperar.
1 2
5 4
El polinomio característico de la matriz A es
1 0
1 2
f ( ) = det ( I A) = det
= det
0 1
5 4
2
5
6
f ( ) = ( + 1) (
6)
Los valores propios de la matriz A son: -1 y 6
El vector propio asociado al valor propio -1 se encuentra
ecuación
1 0
1 2
x
Ax = x ) (I + A) x = 0 )
+
=
0 1
5 4
y
2 2
x
2x + 2y
0
=
=
5 5
y
5x + 5y
0
que queda como x + y = 0:
b)
A=
2
1
5
2
4
=
resolviendo la
0
0
El espacio generado por los vectores propios es la recta x + y = 0, de una
sola dimensión y con descripción paramétrica t (1; 1) con t 6= 0:
El vector propio asociado al valor propio 6 se encuentra resolviendo la
ecuación
1 0
1 2
x
0
Ax = 6x ) (6I A) x = 0 ) 6
=
0 1
5 4
y
0
5
2
x
5x 2y
0
=
=
5 2
y
5x + 2y
0
que se reduce a una sola ecuación, 5x 2y = 0, que es la ecuación de una
recta que pasa por el origen y que tiene pendiente 5/2.
El eigenespacio es entonces t (1; 5=2)
La matriz de transformación C será entonces
1
1
C=
1 5=2
y su inversa
0
1
5
2
1
5=2
1
B
7C
= @ 72
C 1=
2 A
1
1
1
1
det
7
7
1 5=2
Ahora podemos ya calcular la matriz en la nueva base, haciendo la transformación
5=7
2=7
1 2
1
1
1 0
A0 = C 1 AC =
=
2=7 2=7
5 4
1 5=2
0 6
2 1
1 4
El polinomio característico de la matriz A es
1 0
2 1
2
1
f ( ) = det ( I A) = det
= det
=
0 1
1 4
1
4
2
6 +9
2
f( )=(
3)
Se tiene un solo valor propio, el 3, con multiplicidad 2.
El vector propio asociado al valor propio 3 se encuentra resolviendo la
ecuación
1 0
2 1
x
0
Ax = 3x ) (3I A) x = 0 ) 3
=
0 1
1 4
y
0
1
1
x
x y
0
=
=
1
1
y
x y
0
Las ecuaciones x y = 0 es una recta que pasa por el origen con pendiente
1, es decir a 45 ; es la función idéntica y = x: El eigenespacio es t (1; 1) con
t 6= 0:
El puro vector (1; 1) no constituye una base para R2 , así que el método
utilizado en los puntos anteriores no sirve.
c)
A=
2 1
1 0
El polinomio característico de la matriz A es
d)
A=
3
f ( ) = det ( I
A) = det
1
0
0
1
2
2
1
1
0
= det
2
1
1
=
2 +1
2
f( )=(
1)
Se tiene un solo valor propio, el 1, con multiplicidad 2.
El vector propio asociado al valor propio 3 se encuentra resolviendo la
ecuación
1 0
2 1
x
0
Ax = x ) (I A) x = 0 )
=
:
0 1
1 0
y
0
1
1
x
x y
0
=
=
1
1
y
x+y
0
Las ecuaciones x + y = 0 es una recta que pasa por el origen con pendiente
-1, es decir a -45 : El eigenespacio es t (1; 1) con t 6= 0:
El puro vector (1; 1) no constituye una base para R2 , así que el método
utilizado en los puntos anteriores no sirve.
4