Lección 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n

6 Ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n: deniciones
6.1. Funciones linealmente dependientes y linealmente independientes
Un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) denidas en un intervalo I , es linealmente dependiente si existen c1 , c2 , . . . , cn constantes no todos nulos tales que
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0
para todo x ∈ I .
Si no es linealmente dependiente, es linealmente independiente.
Ejemplo:
f1 (x) = sen(2x) y f2 (x) = sen x cos x son linealmente dependientes en I = R pues
0 = c1 sen(2x) + c2 sen x cos x = (2c1 + c2 ) sen x cos x.
Entonces c1 = −2c2 .
6.1.1. Condición para que n funciones sean linealmente independientes
Sean f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) funciones derivables n − 1 veces. Si
¯
¯
¯
¯
W (f1 , . . . , fn ) = ¯¯
¯
¯
f1
f10
...
(n−1)
f1
f2
f20
(n−1)
f2
. . . fn
. . . fn0
...
(n−1)
fn
¯
¯
¯
¯
¯ 6= 0
¯
¯
¯
al menos en un punto de I , entonces f1 , f2 , . . . , fn son linealmente independientes y W (f1 , . . . , fn ) se le
denomina Wronskiano de las funciones.
Ejemplo:
sean f1 (x) = em1 x y f2 (x) = em2 x :
¯ mx
¯ e 1
W (f1 , f2 ) = ¯¯
m1 em1 x
¯
¯
em 2 x
¯ = (m2 − m1 )e(m1 +m2 )x .
m2 em2 x ¯
W (f1 , f2 ) 6= 0 si m1 6= m2 .
f1 y f2 son linealmente independientes en I = R si m1 6= m2 .
6.2. Solución general de la ecuación lineal homogénea de orden n
6.2.1. Ecuación diferencial ordinaria de orden n
La e.d.o. lineal de orden n es:
an (x)
dn y
dn−1 y
dy
+
a
(x)
+ . . . + a1 (x)
+ a0 (x)y = g(x).
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
Es no homogénea si g(x) 6= 0. Es homogénea si g(x) = 0.
1
6.2.2. Propiedad de las soluciones
Si y1 , y2 , . . . , yk son soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n en un intervalo I , entonces
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x),
con ci , i = 1, . . . , n constantes arbitrarias, también es solución de la ecuación en el intervalo.
Observación:
Si y1 (x) es solución, también lo es c1 y1 (x), con c1 constante.
y = 0 es solución siempre.
6.2.3. Conjunto fundamental de soluciones
Un conjunto fundamental de soluciones una e.d.o. lineal homogénea de orden n en un intervalo I
es un conjunto de n soluciones linealmente independientes.
Sean y1 , y2 , . . . , yn un conjunto de soluciones de la e.d.o. lineal homogénea de orden n en un
intervalo I . Entonces el conjunto de funciones es linealmente independiente si W (y1 , . . . , yn ) 6= 0
para todo x en el intervalo.
Si y1 , y2 , . . . , yn es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación anterior, entonces la
solución general de la ecuación en el intervalo es
y = c1 y1 (x) + . . . + cn yn (x),
donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes arbitrarias.
Ejemplo:
Sean y1 (x) = ex , y2 (x) = e2x e y3 (x) = e3x soluciones de la ecuación de tercer orden y 000 −6y 00 +11y 0 −6y =
0. Como
¯ x
¯ e
¯
x 2x 3x
W (e , e , e ) = ¯¯ ex
¯ ex
e2x
2e2x
4e2x
e3x
3e3x
9e3x
¯
¯
¯
¯ = 2e6x 6= 0
¯
¯
para todo número real x, {y1 , y2 , y3 } forman un conjunto fundamental de soluciones en R, luego
y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x
es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.
6.3. Solución general de la ecuación lineal no homogénea de orden n
Toda función yp , libre de parámetros, que satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n no
homogénea se le llama solución particular de la ecuación.
Si y1 , y2 , . . . , yn es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y yp es solución
particular de la no homogénea, entonces
y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) + yp
es la solución general de la ecuación no homogénea, donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes arbitrarias.
A yc = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn (x) se le llama solución complementaria de la ecuación no
homogénea.
2
Ejercicios del capítulo
1. Demuestra que el conjunto f1 (x) = cos2 x, f2 (x) = sen2 x, f3 (x) = sec2 x, f4 (x) = tan2 x es
linealmente dependiente en el intervalo (−π/2, π/2).
2. Comprueba si los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes en el intervalo
(−∞, ∞):
a ) f1 (x) = 0, f2 (x) = x, f3 (x) = ex .
b ) f1 (x) = cos 2x, f2 (x) = 1, f3 (x) = cos2 x.
c ) f1 (x) = ex , f2 (x) = e−x , f3 (x) = senh x.
3. Comprueba en cada caso si las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial en el intervalo indicado:
a ) y 00 − 4y 0 = 0; cosh 2x, senh 2x, (−∞, ∞).
b ) 4y 00 − 4y 0 + y = 0; ex/2 , xex/2 , (−∞, ∞).
c ) x2 y 00 + xy 0 + y = 0; cos(ln x), sen(ln x), (0, ∞).
d ) y (4) + y 00 = 0; 1, x, cos x, sen x, (−∞, ∞).
4. Comprueba que la familia biparamétrica de funciones dadas es la solución general de la ecuación
no homogénea en el intervalo indicado:
a ) y 00 + y = sec x; y = c1 cos x + c2 sen x + x sen x + (cos x) ln(cos x), (−π/2, π/2).
b ) 2x2 y 00 + 5xy 0 + y = x2 − x; y = c1 x−1/2 + c2 x−1 +
1 2 1
x − x, (0, ∞).
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6
Solución por deducción de orden
5. Muchas veces una e.d.o. lineal de segundo orden se puede reducir a una de primer orden mediante
una sustitución adecuada. Así por ejemplo, sea la ecuación y 00 + 2y 0 = 0. Al hacer la sustitución
u = y 0 , la ecuación lineal de segundo orden se transforma en la e.d.o. de primer orden u0 + 2u = 0.
c
La solución es u = ce−2x , es decir, y 0 = ce−2x . Integrando obtenemos y = − e−x + c2 ex .
2
6. Sea y1 = ex una solución de y 00 − y = 0 en el intervalo (−∞, ∞). Encuentra una segunda solución
y2 que tenga la forma y2 = u(x)ex , aplicando también la reducción de orden.
7. En los ejercicios siguientes, y1 (x) es una solución de las e.d.o. dadas. Encuentra una segunda
solución y2 = u(x)y1 por reducción de orden:
a ) y 00 + 2y 0 + y = 0, y1 = xe−x .
b ) y 00 + 9y = 0, y1 = sen 3x.
c ) y 00 − 25y = 0, y1 = e5x .
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