Recordatorio de algunas nociones de Fundamentos Físicos I a) Campo magnético creado por una espira circular (Dipolo magnético) Dada una espira circular, de radio a, que lleva una corriente I en sentido antihorario, situada en el plano XY y centrada en el origen de coordenadas, el campo magnético en puntos del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano de la espira, eje Z viene dado por I a2 m B 0, 0, z = 0 2 2 3/ 2 k = 0 2 2 3 /2 [a.1] 2 a z 2 a z donde m es el momento magnético de la espira. Si ∣z∣≫a 0, 0, z = 0 m entonces B [a.2] 2 ∣z∣3 b) Campo magnético creado por un solenoide (bobina recta) El campo generado por un solenoide recto ideal es uniforme dentro de la bobina y cero en el B =0 n I u [b.1] donde n es el nº de espiras por unidad de exterior; el valor en el interior es u es un vector unitario con la dirección del eje de la longitud, I la corriente que circula por él y bobina. El caso real difiere algo de el caso ideal y en la figura se muestran las líneas de campo generadas en el caso ideal (izquierda) y en el caso real (derecha). c) Ley de Biot y Savart. Potencial magnético vector Escribíamos, en la asignatura previa, la ley de Biot y Savart en función de las corrientes soportadas por circuitos filiformes. Vamos a reescribir esta para ponerla en función de la densidad de corriente general presente en una cierta región del espacio. La ley en el vacío se escribía r = B 0 4 r −r ' ∫ I dl∣'× r −r '∣ 3 [c.1] , C' en la que las variables con prima indican donde están situados los elementos de corriente que generan el campo y las variables sin prima indican los puntos donde queremos determinar el campo. Los elementos de corriente, en función de la densidad de corriente, se puede escribir como dl≡ dl⋅ dS j r '≡j r ' dV ' que sustituyendo en la expresión anterior podemos I dl≡ j r '⋅dS reescribir como r = 0 B 4 ∫ V ' y teniendo en cuenta j r '×r −r ' dV ' [c.2] ∣r −r '∣3 ×A × A ∇ ∇× A= ∇ 1 ×j r ' ∇ 1 ×j r '=j r '× r −r ' [c.3] ∇× j r '= ∇ ∣r −r '∣ ∣r −r '∣ ∣r −r '∣3 La expresión [1] puede reescribirse como × r = 0 ∇ B 4 r ' ×A ∫ ∣rj− dV ' =∇ r '∣ [c.4] V ' Al campo A se le llama potencial vectorial magnético y teniendo en cuenta la expresión anterior podemos escribir j r ' r = 0 A dV ' [c.5] 4 ∣r −r '∣ ∫ V ' que mantiene la ecuación fundamental sobre el carácter cerrado de las líneas de campo magnético, ∇× ya que la divergencia de un rotacional es idénticamente cero ∇⋅ B = ∇⋅ A≡0 d) Ecuaciones fundamentales de la magnetostática. Ley de Ampere. Las ecuaciones básicas de la magnetostática en el vacío se resumían en dos ∇⋅ B =0 y ∇× B=0 j ⇔ ∮ B⋅dl =0 I enc , C las cuales nos informaban, respectivamente, C sobre el carácter cerrado de las líneas de campo magnético y que el campo magnético era no conservativo. La primera de las expresiones tenía carácter general pero la segunda solo era válida para corrientes estacionarias en el vacío y debía ser modificada en el caso general. Maxwell fue el que sugirió el término que faltaba para dar validez a la ley. e) Circuito R – L . Energía magnética asociada a una autoinducción. Energía magnética en función de los campos. Dado un circuito R – L conectado a una batería de tensión φ0 la ecuación que gobierna el sistema para un tiempo t en el cual la corriente en el circuito es i, se escribe, aplicando las reglas de Kirchoff di di 0 L =R i ⇒ 0 −L =R i ⇒ 0=R i L [e.1] dt dt multiplicando por i dt resulta 0 i dt =R i 2 dtL i di [e.2] La ecuación [e.2] es una ecuación de energías, donde el 1er término del 2º miembro no es más que la energía disipada por efecto Joule en R en el intervalo de tiempo dt cuando la corriente cambia de i idi , el primer término representa la energía entregada al circuito por la fuente de tensión en el mismo intervalo temporal y en consecuencia el segundo término del segundo miembro será la energía almacenada en la bobina en el campo magnético allí creado; así que la energía suministrada al circuito por el generador en un intervalo temporal dado se invierte parte en calor disipado en la resistencia y parte queda almacenado en forma de energía magnética. Así que 1 2 dE mag =L i di=d L i , con lo que podemos decir que la energía magnética almacenada en la 2 1 2 bobina cuando circula por ella una corriente i viene dada por E mag = L i [e.3]; a continuación 2 nos planteamos si es posible expresar dicha energía en términos de campos magnéticos. Para ello vamos a suponer que nuestra bobina tiene N espiras, longitud l, sección transversal S y está recorrida por la corriente i y nos preguntamos cómo expresar el coeficiente de autoinducción L en función de las propiedades geométricas dadas. N esp N B S N2S [e.4], y sustituyendo en [e.3] resulta L= = = =0 i i i l E mag = 2 2 E mag B2 1 N2S 2 1 0 N 2 B2 0 i= i S l= V ⇒ = [e.5] 2 l 20 l 2 2 0 Bob V Bob 2 0 En general los campos reales se extienden hasta el infinito por lo que conviene hablar antes que de energía de densidad de energía magnética, que puede expresarse con carácter general como E mag dE mag B 2 [e.6] w m= = = V dV 2 0