2.7 Integrales Inmediatas - Portal Académico del CCH

INTEGRALES INMEDIATAS
Propósitos



Utilizar la tabla de integrales inmediatas que incluyen funciones
exponenciales y logarítmicas
Utilizar la tabla de funciones inmediatas para las funciones trigonométricas.
Avanzar en el reconocimiento de estructuras al identificar la fórmula de la
integral inmediata que requiere utilizar para obtener una integral dada
Sugerencias para quien imparte el curso
Indicar a los alumnos que tal como ya se han trabajado algunas
fórmulas para las integrales inmediatas, tales como:  kdx  kx  C para
1
 x dx  n  1x
n
la función constante y
n 1
 C para 𝑥 𝑛 , existen otras
integrales inmediatas que se verán en esta sección.
Conceptos clave:
Las integrales inmediatas de las funciones exponenciales y
logarítmicas, se listan a continuación:
dx
 ln x  C
x
12.

13.
 e dx  e
14.
x
x
 a dx 
x
C
ax
C
ln a
Puntos problemáticos
Para algunas integrales es necesario primero hacer alguna
transformación algebraica, mediante ejemplos como los que se
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
2-15
muestran abajo, se debe indicar a los alumnos como usar las formulas de las
integrales inmediatas.
Ejemplo 1
Obtener
−4
𝑑𝑥
𝑥
Si -4 es una constante ¿Qué podríamos hacer?
= −4
𝑑𝑥
𝑥
¿Cuál de las integrales inmediatas se pueden ocupar, obtener la integral anterior?
= −4𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶
Ejemplo 2
Obtener
2 𝑥
𝑒 + 5𝑥 𝑑𝑥
9
¿Cuál es la constante? ¿Cómo se puede separar mediante una suma de
integrales?
2
9
𝑒 𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 =
2
9
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +
2
9
5𝑥 𝑑𝑥
¿Cuáles de las fórmulas de integración inmediata usarías para obtener la
integral solicitada?
=
2 𝑥
5𝑥
𝑒 +
+𝐶
9
ln 5
Las funciones trigonométricas también tienen fórmulas de integración
inmediata, las cuales se listan a continuación.
2-16
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Conceptos clave:
Las integrales inmediatas de las funciones trigonométricas
15.  senxdx   cos x  C ,
 csc xdx  ln csc x  cot x  C
21.  sec xdx  tan x  C
22.  csc xdx   cot x  C
23.  sec x tan xdx  sec x  C ,
24.  csc x cot xdx   csc x  C
20.
16.  cos xdx senx  C
2
17.  tan xdx   ln cos x  C  ln sec x  C
18.  cot xdx  ln senx  C
19.  sec xdx  ln sec x  tan x  C
2
Puntos problemáticos
Si el profesor considera que los alumnos tienen problemas en aplicar
los conocimientos adquiridos en los cursos anteriores sobre funciones
trigonométricas, se recomienda hacer un breve repaso.
Sugerencias para quien imparte el curso
Nuevamente como en los casos anteriores, se recomienda hacer
algunos ejemplos con los alumnos, planteándoles algunas preguntas
para que ellos mismos respondan.
Ejemplo 3
Obtener
(2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −
1
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
3
¿Qué podríamos hacer?
=
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 −
1
(𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑑𝑥
3
2-17
=2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 −
1
(𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑑𝑥
3
¿Cuál de las integrales inmediatas se pueden ocupar, obtener la integral
anterior?
1
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶
3
Ejemplo 4
Obtener
𝑠𝑒𝑛 𝑥
+ 4 sec 𝑥 𝑑𝑥
cos 𝑥
¿Cómo se puede separar mediante una suma de integrales?
Sabiendo que
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥 +
cos 𝑥
4 sec 𝑥 𝑑𝑥 =
tan 𝑥 𝑑𝑥 + 4
sec 𝑥 𝑑𝑥
¿Cuáles de las fórmulas de integración inmediata usarías para obtener la
integral solicitada?
= − ln cos 𝑥 + ln (sec 𝑥 + tan 𝑥) + 𝐶
2-18
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
Ejercicios
Obtener las siguientes integrales, utilizando las formulas de
integración vistas hasta el momento.
1
1.  (  2e x  2 x )dx
x
 6e 2 x 2 x 
2.   x  x dx
7 
 e
(En este ejercicio realizar una simplificación algebraica
antes de proceder a resolver la integral)
3.  8(sec x  csc x cot x)dx
senx
 1 
4.  
dx
dx  
2
cos 2 x
 cos x 
sen 2 x
5. 
dx
cos x
cos 2 x
6. 
dx   (tan 2 x  1)dx
senx
(Despejar sen2 x , en sen 2 x  cos 2 x  1 )
(Recordar que tan 2 x  1  sec2 x )
1

(En
este
ejercicio
realizar
una
sustitución
para
, antes
dx

senx
de proceder a resolver la integral)
7.
7
(Recordar que cos 2 x  cos x cos x )
1
  x  senx  10e
x
Unidad 2 La Integral como Antiderivada
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