Algebra Lineal: Bases y Dimensión

Algebra
Lineal:
Bases y
Dimensión
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Espacio Lineal
Base
Algebra Lineal:
Bases y Dimensión
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Departamento de Matemáticas
Regla 2
MA1019
Algebra
Lineal:
Bases y
Dimensión
Departamento
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Matemáticas
Intro
Espacio Lineal
Base
Tma clave
Introducción
Uno de los conceptos más importantes en Espacios de Vectores
es el concepto de Dimensión. Este concepto se relaciona con el
número de elementos mı́nimo que se requieren para representar
a los elementos de un espacio de vectores. Por ejemplo
ubicados en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales
y homogéneas, la solución general tiene la forma
Dimensión
Regla 1
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x)
Regla 2
de aquı́ vemos que hacen falta n funciones yi (x) para construir
todas las soluciones a la ecuación: la dimensión del conjunto de
soluciones es n. Primero definiremos el tipo de conjuntos a los
que podremos aplicar el concepto de dimensión y
posteriormente definiremos aquellos conjuntos que nos sirven
para representar a los vectores.
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Espacio Lineal
Un conjunto V de vectores de Rn se llamará subespacio lineal
de Rn si cumple las siguientes tres condiciones:
Espacio Lineal
• V no es vacı́o. Es decir, V tiene por lo menos un elemento.
Base
• V es cerrado bajo la suma.
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
La definición de ser cerrado bajo la suma es que tomados
dos elementos x y y cualquiera de V, la suma de ellos
x + y también es un elemento de V.
• V es cerrado bajo el producto por escalares.
La definición de ser cerrado bajo el producto por escalares
es que tomados un elemento x cualquiera de V y un
escalar c cualquiera, el producto c · x también es un
elemento de V.
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Espacio Lineal
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Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
Ejemplos 1
Los subconjuntos de Rn que son más fáciles de verificar que
son subespacios lineales son:
1.- El mismo Rn
Claramente no es vacı́o. La suma entre vectores de n
componentes como se tiene definida resulta en un vector
con n componentes. Es decir, en un vector en Rn . El
producto de un vector con n componentes por un escalar
como se ha definido resulta en un vector con n
componentes. Es decir, en un vector en Rn .
2.- El subconjunto de Rn que sólo consta del vector cero: {0}
Como el vector cero pertence al conjunto, el subconjunto
no es vacı́o. Aunque los requisitos para ser subespacios
son que tomemos cualquier vector del conjunto, sólo
podemos elegir el vector cero. Y la suma resulta siempre
de nuevo en el vector cero, es decir, en un elemento de
nuestro conjunto. Y también cualquier escalar
multiplicado por el vector cero resulta en el vector cero.
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Espacio Lineal
Base
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
Ejemplos 2
Los subespacios de Rn más importantes para nuestro curso son:
3.- Un espacio generado V = Gen {x1 , x2 , . . . , xk }
• No es vacı́o: 0 = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xk ∈ V
• Es cerrado bajo la suma: pues la suma de combinaciones
lineales de los xi ’s resulta en un combinación lineal de los
xi ’s:
!
!
k
k
k
X
X
X
ci · xi +
ai · xi =
(ci + ai ) · xi
i=1
i=1
i=1
• Es cerrado bajo el producto por escalares: pues el producto
de una combinación lineal de los xi ’s por un escalar resulta
en una combinación lineal de los xi ’s:
!
k
k
X
X
a
ci · xi =
(a · ci ) · xi
i=1
i=1
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Base
Tma clave
Dimensión
4.- El espacio nulo de una matriz A m × n:
Ker (A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m }
Es decir, el conjunto de todas las soluciones a un sistema
de ecuaciones lineales homogéneo.
• No es vacı́o: 0n ∈ Ker (A), pues A · 0n = 0m
• Es cerrado bajo la suma: Si x1 y x2 cumplen la ecuación
A · x = 0m , también x1 + x2 la cumple:
Regla 1
Regla 2
A · (x1 + x2 ) = A · x1 + A · x2 = 0m + 0m = 0m
• Es cerrado bajo el producto por escalares: Si x1 cumple la
ecuación A · x = 0m , también c · x:
A · (c · x1 ) = c · (A · x1 ) = c · 0m = 0m
0k representa el vector con sólo ceros en todas sus k
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Diga si es un subespacio de R3 los vectores que pertencen al
conjunto

 

 a
V =  b  ∈ R3 a + b ≥ 0


c
Intro
Espacio Lineal
Base
• No es vacı́o, porque < a = 1, b = 1, c = 1 >∈ V pues
a+b =1+1=2≥0
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
• Es cerrado bajo la suma, por que si x1 =< a1 , b1 , c1 >
cumple a1 + b1 ≥ 0, y x2 =< a2 , b2 , c2 > cumple
a2 + b2 ≥ 0, entonces
x1 + x2 =< a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2 >
cumple que
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) ≥ 0
• Pero no es cerrado bajo el producto porque < 1, 1, 1 >
está en V pero −1· < 1, 1, 1 >=< −1, −1, −1 > no está
en V al no cumplir −1 + −1 ≥ 0
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Espacio Lineal
Base para un Subespacio Lineal
Para un subespacio lineal V de Rn , un conjunto B se dice una
base para V , si B es linealmente independiente y además es un
conjunto generador para V .
Ejemplos
En referencia a R3 , de los conjuntos:
Base
B1 =
Tma clave


 

 
 

1
1
1
1
1




 0  ,  2  ,  2  , B2 =  0  ,  −1 




0
0
0
0
2
Dimensión
Regla 1
Regla 2
B3 =


 
 

 
 
 

1
1
1
1
1
0
1




 2  ,  2  ,  2  , B4 =  2  , 
1 , 4 , 0 




2
2
2
2
−1
1
1
• B2 no es base porque no genera a R3 : el vector < 1, 1, 1 >
no es combinación lineal de B2
sistema con aumentada

1
1
 0 −1
0
0
al ser inconsistente el

1
1 
1
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Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
• B4 no es base porque linealmente dependiente; Al formar
la matriz para hacer la prueba de la independiencia lineal,
la matriz tiene 3 renglones y cuatro columnas; una de ellas
en la reducida quedará sin pivote.
• B1 es base: En la prueba de la independencia lineal la
matriz formada ya es escalonada y tiene pivote en cada
columna:


1 1 1 0
 0 2 2 0 
0 0 2 0
Por otro lado en la prueba para ver si B1 genera a R3 la
matriz aumentada que se forma con un vector < a, b, c >
cualquiera da consistente:


1 1 1 a
 0 2 2 b 
0 0 2 c
indicando que todo vector de R3 es generado por B1
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Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
• B3 es base R3 . La regla para que un conjunto
B = {x1 , . . . , xk } sea base para Rn es que cuando se
reduce la matriz cuyas columnas son los xi ’s quede la
matriz identidad. La lógica de la regla es simple: al quedar
la identidad, cada columna tiene pivote y por tanto el
conjunto de vectores es linealmente independiente. Por
otro lado, al quedar la identidad, no importa que vector
pongamos a la derecha para formar una aumentada, ésta
dará consistente probando que todo vector es combinación
lineal de los elementos del conjunto, lo cual a su vez indica
que el conjunto genera a todo el espacio lineal. En el caso
del conjunto B3 , al formar la matriz cuyas son los
elementos y reducir obtenemos:




1 1 1
1 0 0
 1 2 1 → 0 1 0 
1 0 0
0 0 1
Como nos queda la matriz identidad B3 es base para R3 .
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Espacio Lineal
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Tma clave
El siguiente resultado es la piedra angular para poder definir la
dimensión de un subespacio lineal:
Teorema del Intercambio
Sea V un subespacio lineal de Rn . Si
A = {x1 , x2 . . . , xk } es un subconjunto de vectores
de V que es linealmente independiente, y si
B = {y1 , y2 . . . , ym } es un conjunto de vectores de V
que genera a V , entonces
Dimensión
Regla 1
k ≤m
Regla 2
Es decir, en un subespacio lineal de Rn , el número total de
vectores de un subconjunto linealmente independiente NO
EXCEDE el número total de vectores de un conjunto generador.
La prueba de este resultado puede ser consultada aquı́.
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Teniendo como referencia el teorema del intercambio es directo
demostrar el siguiente resultado:
Corolario al Teorema del Intercambio
Si V es un subespacio lineal de Rn y B1 = {x1 , x2 . . . , xk } y
B2 = {y1 , y2 . . . , ym } son dos bases para V , entonces k = m.
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
Si B1 es base para V , B1 es linealmente independiente. Si B2
es base para V , B2 genera a V . Por el teorema del intercambio
k ≤ m. Si B2 es base para V , B2 es linealmente independiente.
Si B1 es base para V , B1 genera a V . Por el teorema del
intercambio m ≤ k. Por tanto m = k.
Nuestro resultado indica que dos bases cualquiera para un
mismo subespacio lineal tienen siempre el mismo número de
vectores.
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Dimensión
Si V es un subespacio lineal de Rn , la dimensión de V es el
número de elementos que tiene una base cualquiera de V .
dim (V )
Intro
Espacio Lineal
Base
• dim R2 = 2, porque
Tma clave
Dimensión
Regla 1
B=
Regla 2
1
0
0
,
1
es una base para R2 .
• dim R3 = 3, porque
     
0
0 
 1





0 , 1 , 0 
B=


0
0
1
es una base para R3 .
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Dimensión
Regla 1
• dim (Rn ) = n, porque
B = {e1 , e2 . . . , en }
es una base para Rn .
A priori, usted no puede indicar la dimensión de un subpespacio
si no tiene una base para él.
Aquı́
 
Regla 2





ei = 





0
.. 
. 

0 

1 

0 

.. 
. 
0
es el vector que tiene ceros en toda componente excepto que
en la posición i tiene un 1.
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Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
Dimensión de espacios generados, ejemplo
Determine la dimensión del subespacio:

 
 
−6
−4
−42



  5   40
5
 
 
V = Gen 
 1  ,  −2  ,  −1



1
2
11

16 

  −10 
, 

  −8 


0
 
Solución
Requerimos una base; ya tenemos un conjunto generador pero
no sabemos si es linealmente independiente. Formando la
matriz aumentada y reduciendo tenemos:




−6 −4 −42
16 0
1 0 5 −4 0
 5
 0 1 3
5
40 −10 0 
2 0 




 1 −2 −1 −8 0  →  0 0 0
0 0 
1
2
11
0 0
0 0 0
0 0
El conjunto generador es linealmente dependiente: no es base
para V .
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Dimensión
Regla 1
Regla 2
¿Qué otra información podemos obtener del cálculo anterior?
Si hubieramos puesto la matriz aumentada con la parte de
coefiecientes hasta el segundo vector quedarı́a:




−6 −4 −42
1 0 5 −4
16
 5

5
40 −10 
2 

→ 0 1 3

 1 −2 −1 −8 
 0 0 0
0 
11
0
0
1
2
0 0 0
Lo cual dirı́a que los vectores 3 y 4 son combinación lineal de
los vectores 1 y 2. Como tenemos un resultado teórico que
indica que aquellos vectores que son combinaciones lineales de
los otros pueden ser removidos del conjunto generador y seguir
generando el mismo subespacio, concluimos que
V = Gen {v1 , v2 , v3 , v4 } = Gen {v1 , v2 }
El mismo cálculo indica que el conjunto formado por los
vectores 1 y 2 es linealmente independiente. Por lo tanto, los
vectores 1 y 2 son una base para el subespacio V . Por tanto, la
dimensión de V es 2 Algebra
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Regla 1
Para subspacios V de Rn del tipo espacios generados por un
conjunto de vectores:
V = Gen {x1 , x2 , . . . , xk }
la dimensión de V es el número de pivotes que queda al reducir
la matriz de la prueba de si el conjunto generador es
linealmente independiente
[x1 x2 · · · xk |0 ]
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Determine la dimensión para el subespacio de R3 formado por
las soluciones al sistema:
6x − 5y − 3z
= 0
−12 x + 10 y + 6 z
= 0
36 x − 30 y − 18 z
= 0
Espacio Lineal
Base
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Regla 2
Solución
Observe que usted no tiene una base y ni siquiera un conjunto
generador. El conjunto generador lo vamos a encontrar
obteniendo la solución general para el sistema. Al formar la
aumentada y reducir:




1 −5/2 −1/2 0
6 −5 −3 0
 −12
10
6 0 → 0
0
0 0 
36 −30 −18 0
0
0
0 0
Concluimos que hay infinitas soluciones. Vamos ahora por la
fórmula de todas las soluciones. Este proceso se sigue como en
este ejemplo.
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Espacio Lineal
De la reducida y siguiendo el proceso comentado tenemos que
la fórmula que da todas las soluciones queda:
 




x
5/2
1/2
 y =y  1 +z  0 
z
0
1
Base
Tma clave
Dimensión
Por tanto, la solución a nuestro sistema homogéneo queda
como un espacio generado:
Regla 1
Regla 2
V =


x
6x − 5y − 3z

 y  −12 x + 10 y + 6 z

36 x − 30 y − 18 z
z
=
=
=
0
0
0



= Gen




x1 = 



5/2
1/2

1  , x2 =  0 

0
1
Por la forma como están ubicados los pivotes en los vectores
del conjunto generador B = {x1 , x2 }, el conjunto generador es
linealmente independiente Por tanto, B es base para V . Por
tanto, la dimensión del subespacio lineal V es 2 Algebra
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Regla 2
Espacio Lineal
La dimensión del conjunto formado por todas las soluciones a
un sistema de ecuaciones homogéneo (es decir, el kernel de la
matriz de coeficientes):
Base
Tma clave
Dimensión
Regla 1
Ker (A) = {x ∈ Rn |A · x = 0m }
Regla 2
es el número de pivotes que quedan en la reducida de [A|0].
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Base
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Dimensión
Regla 1
Regla 2
Comentarios sobre la dimensión
La dimensión de un subespacio lineal V de Rn es un número
muy especial. Si se dice que la dimensión de V es k:
• Se está diciendo que debe haber una base B de V con k
elementos. Este conjunto es linealmente independiente y
debe generar a V .
• Siendo B un conjunto linealmente de vectores de V , lo es
también en Rn y por tanto k ≤ n. Es decir, la dimensión
de un subespacio de Rn debe ser menor que n.
• Si por casualidad k = n, entonces V = Rn . Es decir,
alcanzando la dimensión de un subespacio, se alcanza todo
el espacio. Por que en caso contrario B no generarı́a a Rn
y si x ∈ Rn − V , entonces B ∪ {x} serı́a un conjunto
linealmente independiente de Rn con n + 1 elementos, lo
cual es imposible.
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Base
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Dimensión
Regla 1
Regla 2
• Si un subespacio V está generado por k elementos
entonces, la dimensión de V es menor o igual que k. Es
decir, cualquier conjunto generador debe tener por lo
menos dim(V ) vectores. Dicho de otra manera, un
conjunto que tiene menos vectores que la dimensión del
espacio, no puede generarlo. La dimensión representa un
lı́mite inferior para el número de vectores que debe
contener un conjunto generador. Esto no significa que
todo conjunto con más vectores que la dimensión genera
al espacio.
• Si se tiene un conjunto linealmente independiente de V , el
número de vectores del conjunto no puede rebasar la
dimensión: si se tienen más vectores que la dimensión, el
conjunto es dependiente. La dimensión representa un
lı́mite superior para el número de vectores que puede tener
un conjunto linealmente independiente. Esto no significa
que todo conjunto que tiene menos vectores que la
dimensión es linealmente independiente.