3 El Teorema del Valor Medio

3
El Teorema del Valor Medio
Este capítulo explora una serie de conceptos y teoremas desarrollados en los albores del siglo
XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de proveer
demostraciones más rigurosas de ciertos principios del Análisis que hasta entonces se aceptaban
como evidentes. Los teoremas fundamentales, requieren para su demostración una descripción
de las propiedades de los números reales que escapa a los objetivos de este curso, pero sus enunciados son fácilmente comprensibles e intuitivamente aceptables. Sin embargo no todo termina
ahí. La segunda línea de dificultades todavía es ardua. Está compuesta de razonamientos de
mediana complejidad que se siguen sólo con trabajo y atención. A veces, la Matemática resulta
fastidiosa para el estudiante de otras disciplinas. Tal vez ese sería el caso con las demostraciones
básicas que dejaremos de lado. Pero el resto del material incluye un ir y venir entre el problema
práctico, la intuición y la formalización que es imprescindible en cualquier disciplina con base
en las Ciencias Exactas. Invitamos al lector a sumergirse en estas páginas con entusiasmo.
3.1
Asíntotas
Límites en el infinito. Asíntotas oblicuas y horizontales
La palabra "infinito" señala en nuestro idioma un más allá de lo que expresan los números.
Como los números se usan para contar y para medir, una mirada más fina distingue dos tipos
de infinito. Aquí estaremos involucrados con el infinito de medir. Las variables reales continuas que estamos estudiando son variables de medir. Para contar se usan los enteros. La
Matemática trata de evitar las discusiones filosóficas acerca del infinito y encuentra maneras
algebraicamente operativas de describir los fenómenos relacionados con medidas infinitamente
grandes e infinitamente pequeñas. Si pensamos en la dualidad entre las variables x y y = x1 ,
en el sentido de que una es tan grande cuanto pequeña es la otra, tendremos una manera de
describir el acercamiento de x hacia el infinito con el acercamiento de y hacia el cero. Mirando
ahora el procedimiento de cambiar variables para el cálculo de límites insinuado en el ejercicio
5 del capítulo 2., podemos adoptar la siguiente definición:
Definición 1:
lim f (x) := lim f
x→∞
y→0
µ ¶
1
,
y
(1)
Capítulo 3. El teorema del valor medio
con las consiguientes versiones laterales:
µ ¶
1
,
lim f (x) := lim f
+
x→+∞
y
y→0
µ ¶
1
lim f (x) := lim f
.
−
x→−∞
y
y→0
(2)
Ejemplos:
1. limx→∞
2. limx→∞
1
xn
= limy→0 y n = 0
√
1
n y = 0
√
n x = limy→0
¡
¢
3. limx→∞ 1 + x1 = limy→0 (1 + y) = 1
4.
3 y1 − 2
3x − 2
y (3 − 2y)
= lim 1
= 3.
= lim
x→∞ x + 4
y→0
y→0
y (1 + 4y)
y +4
lim
Habiéndose reducido la definición de límites en el infinito a límites en cero con el uso de otra
variable, serán de aplicación en este nuevo punto límite (el cero) las propiedades estudiadas en
el capítulo 2, con excepción, por ahora, de la segunda parte de la propiedad 1, y aclarando que
en la propiedad 8, los entornos de ∞ son los complementos de los intervalos cerrados.
Ejemplos:
5. Para calcular el límite en el infinito de una función racional,
P (x)
,
x→∞ Q (x)
lim
caben tres posibilidades:
(a) n = gr (P ) < m = gr (Q): se saca factor común xm en numerador y denominador.
¡
¢
¡
¢
limx→∞ x12 − x23 + x34
x4 x12 − x23 + x34
0
x2 − 2x + 3
¢ =
¡
¢ = = 0.
= lim 4 ¡
lim
2
1
2
1
4
x→∞ 3x + 2x − 1
x→∞ x 3 + 3 − 4
3
limx→∞ 3 + x3 − x4
x
x
(b) n = gr (P ) > m = gr (Q): se saca factor común xn en numerador y denominador.
¡
¢
¡
¢
3 + x23 − x14
x4 3 + x23 − x14
3x4 + 2x − 1
¢ = lim ¡ 1
¢.
= lim 4 ¡ 1
lim
x→∞ x2 − 2x + 3
x→∞ x
x→∞
− x23 + x34
− x23 + x34
x2
x2
El numerador tiene límite no nulo y el denominador tiene límite cero. El cociente no
tiene límite.
(c) n = gr (P ) = gr (Q) : se saca factor común xn en numerador y denominador.
¡
¢
¡
¢
limx→∞ 3 − x2
x 3 − x2
3
3x − 2
¢=
¡
¢
= lim ¡
lim
4 = 1 = 3.
x→∞ x + 4
x→∞ x 1 + 4
limx→∞ 1 + x
x
Nótese que recalculamos el límite del ejemplo 4.
6.
¶
µ
1
sin x
= lim
· sin x = 0.
lim
x→∞ x
x→∞ x
Hemos usado la propiedad 8. de límites: seno está acotada y limx→∞
70
1
x
= 0 (ejemplo 1).
3.1. Asíntotas
Ejercicio 1: Hallar limx→∞ f (x) para

3 −x
1. 2x
2.


x4 −1




f (x) =
4. senx34x
5.






2x4 −1
7. −4x
8.
4 +x2
cos x
x
3.
x2 +1
πx2 −1
5x4 −x3 +3x+2
x3 −1
6.
−x2 +1
x+5
2x4 −1
−4x3 +x2
9.
2x4 −1
−4x5 +x2
Cuando existe límite en el infinito de una función, digamos limx→∞ f (x) = b, ese comportamiento se refleja en el gráfico con un acercamiento de Gr (f ) a la recta y = b, ya que
limx→∞ [f (x) − b] = 0. Este acercamiento se da hacia los "extremos" lejanos del gráfico en
sentido horizontal y bien podría producirse en sólo uno de los extremos si el límite es de tipo
lateral. En esos casos se dice que la recta y = b es una asíntota de f . Uno podría imaginar
el fenómeno como una tangencia en el infinito. Este tipo de acercamiento también se da con
rectas oblicuas
Definición 2. La recta de ecuación y = l (x) = mx + b es una asíntota de la
función f (o del gráfico de f ) si
lim [f (x) − l (x)] = 0.
x→∞
Si sólo uno de los límites laterales en el infinito se anula, se dirá que l es una
asíntota en +∞ o en −∞, lo que corresponda.
Ejemplos:
7. En los ejemplos 1 y 2, el eje cooredenado horizontal es una asíntota. en el ejemplo 3., la
recta y = 1 es asíntota de la curva y = 1 + x1 , y en el ejemplo 4., la recta y = 3 es
asíntota de la curva y = 3x−2
x+4 . Veamos los gráficos generados por el ordenador de estos
dos últimos casos:
y
y
5
15
2.5
10
5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
0
x
-15
-10
-5
0
5
10
x
-2.5
-5
-10
-5
figura 3.1.a.
y =1+
1
x
figura 3.1.b. y =
71
3x−2
x+4
Capítulo 3. El teorema del valor medio
2
P (x)
−3
8. La función racional f (x) = x2x−4
= Q(x)
con gr (Q) = gr (P ) + 1. Si efectuamos la
división entera de P por Q, obtendremos un cociente C de grado 1 y un resto r de
grado 0, una constante: P = QC + r. Dividiendo entre Q,
f (x) =
r
P (x)
= C (x) +
.
Q (x)
Q (x)
C, polinomio de grado 1, es una recta. Y f − C = Qr , es una función racional con
gr (Q) > gr (r) = 0. Según se vió en el ejemplo 5.a. el límite en el infinito es 0. Luego
C (x) es una asíntota oblicua.
x2 − 3
− x 2 + 2x
2x − 3
− 2x + 4
1
2x − 4
1
2 x +1
Entonces,
y C (x) = 12 x + 1 es asíntota.
y
1
1
,
f (x) = x + 1 +
2
2x − 4
3.75
2.5
1.25
0
-2.5
0
2.5
5
x
-1.25
figura 3.2.
P (x)
, hay asíntotas en el infinito cuando
Resumiendo, para funciones racionales, f (x) = Q(x)
gr (P ) < gr (Q) (el eje y = 0 es asíntota), cuando gr (P ) = gr (Q) (asíntota horizontal) y
cuando gr (P ) = gr (Q) + 1 (asíntota oblicua). Si gr (P ) > gr (Q) + 1, aparecen polinomios
asintóticos que se obtienen con el método de dividión entera propuesto en el ejemplo 8. En
el ejemplo 6., sin embargo, presentamos una función no racional con límite nulo en el infinito,
o sea con asíntota horizontal (el eje). ¿Cuál es el método general para encontrar asíntotas
oblicuas (incluyendo entre estas las horizontales como caso particular? Supongamos que la
recta y = l (x) = mx + b es asíntota de la función f . Nos interesa encontrar los números m
y b.
f (x) − mx − b → 0 ⇒ lim (f (x) − mx) = b (ejerc. 5, cap.2).
x→∞
72
3.1. Asíntotas
Enronces,
lim
x→∞
Luego
µ
¶
¶
µ
b
f (x)
f (x) − mx
− m = lim
= lim
= 0.
x→∞
x→∞ x
x
x
f (x)
= m.
(3)
x→∞ x
La exixtencia del límite (3) es condición necesaria para que pueda haber asíntota. Pero no
suficiente (ver ejemplo 10). m es el candidato a pendiente de la asíntota. Ahora habrá que
verificar si existe
b = lim [f (x) − mx] .
lim
x→∞
Si esto ocurre, entonces limx→∞ [f (x) − (mx + b)] = 0 y la recta y = mx+b es una asíntota.
Ejemplos:
9. Vimos (ejemplo 6) que
sin x
x
→ 0 para x → ∞. Si hacemos
f (x) =
sin x
+ 0.1x − 1,
x
tendremos a la recta l (x) = 0.1x − 1 como asíntota.
y
1.25
0
-20
-10
0
10
20
x
-1.25
-2.5
figura 3.3
En nuestra definición de asíntota, nada impide que se encuentre con la curva, incluso
muchas veces.
√
√
10. Buscamos asíntotas de y = f (x) = x. El primer paso es calcular limx→∞ xx =
√
limx→∞ √1x = 0 = m. De haber asíntota, será horizontal. Pero limx→∞ x no existe.
En consecuencia no hay asíntota.
11. (a) La función sg (x) = √x 2 tiene dos asíntotas diferentes, y = 1 en +∞ y y = −1
x
en −∞. Pero es discontinua en 0.
(b) f (x) =
√ x
,
x2 +1
también tiene asíntotas horizontales distintas en ±∞. En efecto,
x
1
lim √
= lim sg (x) q
2
x→±∞
x +1
1+
x→±∞
73
1
x2
= ±1.
Capítulo 3. El teorema del valor medio
2
(c) f (x) = √xx2−1
, tiene asíntotas oblicuas diferentes en ±∞. Mostramos gráficos gen+1
erados por el ordenador de los dos últimos ejemplos.
y
y
1
10
7.5
0.5
5
0
-10
-5
0
5
10
x
2.5
-0.5
0
-10
-5
0
5
10
x
-1
fig. 3.4.a.
y=
√ x
x2 +1
fig. 3.4.b.
y=
2
√x −1
x2 +1
Ejercicio 2: Encontrar, cuando las haya, asíntotas en el infinito de las siguientes
curvas.
1. y =
2x3 −x
x4 −1
2. y =
cos x
x
3. y =
x2 +1
πx2 −1
4. y =
5x4 −x3 +3x+2
x3 −1
5. y =
−x2 +1
x+5
6. y =
1
10 x
7. y =
2x4 −1
−4x4 +x2
8. y =
√ 2x
x2 +1
9. y =
3x2
x2 +1
+
cos x
x
Límites infinitos. Asíntotas verticales
Volvemos a mirar la función y = x1 . La simetría de esta curva muestra que lo que se pueda
decir acerca del comportamiento de la variable x en el infinito debe ser válido para la variable
y en el infinito. Si para decir que x → ∞, pedimos que x1 → 0, el mismo criterio servirá para
la variable dependiente: y → ∞ si y sólo si y1 → 0.
Definición 3. (El punto a hacia el que tiende la variable independiente puede ser
un número ó ∞. También puede tratarse de una tendencia lateral).
lim f (x) = ∞
x→a
⇔
74
lim
x→a
1
= 0.
f (x)
3.1. Asíntotas
Como
1
1
y
= y,
1
= ∞.
x→a f (x)
(4)
lim f (x) = 0 ⇔ lim
x→a
Y también
lim f (x) = ∞ si y sólo si existe una función u = ϕ (x) tal que
x→a
lim ϕ (x) = 0 y f (x) =
x→a
1
.
ϕ (x)
(5)
Tal vez sea más útil decirlo de esta manera:
y → ∞ para x → a si y sólo si y =
1
para cierta u tal que u → 0 para x → a.
u
Cuando en un entorno reducido de a el signo de f (x) permanece constante podremos
ser más específicos y considerar el límite infinito con el correspondiente signo. Es decir,
lim f (x) = +∞ ⇐⇒ lim f (x) = ∞ ∧ f (x) > 0 en un entorno reducido de a.
x→a
x→a
Análoga definición para f (x) → −∞.
Ejemplos:
12. Los siguientes límites se obtienen inmediatamente a partir de la definición.
1
x
1. lim x1 = ∞
2.
3. lim x12 = +∞
¡
¢
4. lim − x12 = −∞
x→0
x→0
5.
7.
lim x = ±∞
lim
1
x−1
= −∞
x→0
6.
x→±∞
x→1+
lim
x→0−
= +∞
8.
lim x3 = −∞
x→−∞
lim
−
tan x = +∞
x→( π2 )
√
13. En la sección 2.3. se mencionó como no derivable a la función 3 x, con tangente vertical
en el origen. Si calculamos el límite del cociente incremental en ese punto,
√
3
√
h
1
3
= lim √
lim
= +∞, pues lim h2 = 0.
3
2
h→0 h
h→0
h→0
h
Si admitiésemos derivadas infinitas, éstas coincidirían con los puntos de tangente vertical.
p
Para la función
|x|, en cambio,
p
|h|
lim
= −∞ y
h→0− h
75
p
|h|
lim
= +∞.
h→0+ h
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Habría derivadas laterales infinitas de distinto signo. No hay una recta tangente vertical
sino semirectas tangentes verticales.
y
1
y
0.5
0.5
0
-1
-0.5
1
0
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-0.5
-0.5
-1
fig. 3.5.a.
x
y=
-1
√
3
x
fig. 3.5.b.
y=
p
|x|
El siguiente paso es averiguar cómo aceptan los nuevos límites infinitos las propiedades
del límite .En este punto conviene antes aclarar que los
reducidos
de infinito
son
¯ ¯
ª
©
© entornos
ª
conjuntos de la forma {x : |x| > M }, provenientes de x : ¯ x1 ¯ < δ = x : |x| > 1δ , donde
ponemos M = 1δ . Para los límites laterales en el infinito, los semi-entornos considerados cuando
x → +∞ y x → −∞ son, respectivamente, semirectas del tipo (M, +∞) y (−∞, −M ),
ambas con M > 0. También cabe señalar que hasta definir los límites infinitos, en aquellos
casos donde éste existe decíamos que no existía límite. Por lo tanto, si quisiéramos conservar
la coherencia, deberíamos decir que "existe límite" y "existe límite infinito" son dos sucesos
mutuamente excluyentes,.como si la frase "límite infinito" fuera una palabra nueva que no
incluye a la palabra "límite". Sin embargo, resulta bastante más cómodo llamar límite finito al
viejo límite y aceptar oraciones mucho más gratas al oído como "existe límite finito o infinito".
Así lo haremos cuando no quepa confusión.
Repasaremos las propiedades del límite, admitiendo ahora valores infinitos para ambas variables.
Productos y cocientes.
Tratamos con dos funciones, y = f (x) y z = g (x) . Nos interesa el límite de su producto
y · z o su cociente yz , para x → a. a puede ser finito o infinito y el límite puede ser completo
o lateral.
1. Si y → ∞, z → ∞ entonces y · z → ∞. En efecto, y = u1 , z = v1 con u, v → 0 =⇒ yz =
1
uv con uv → 0 =⇒ yz → 0. El ícono utilizado para recordar esta regla será el siguiente:
∞·∞=∞
(6)
2. Si z → ∞ y y está acotada en un entorno reducido de a, entonces yz → 0. Esto proviene
de la regla 3(b) de los límites finitos, pues z = v1 con v → 0. Entonces, yz = yv → 0. El
ícono es
A
=0
(7)
∞
(A por acotado).
76
3.1. Asíntotas
3. Si el acotado es el denominador y el infinito el numerador, el límite será infinito. Bajo los
supuestos del caso 2 anterior,
z
1
z
y
= y con
→ 0 =⇒
→ ∞.
y
z
y
z
∞
=∞
A
(8)
4. Un producto con un factor infinito y el otro que se mantenga alejado de cero, en cambio,
tenderá a infinito, ya que el factor alejado de cero no encontrará cómo compensar la
grandeza del
¯ ¯otro. Digamos que z se mantiene alejado de 0. Esto es, |z| ≥ ε > 0, ε fijo.
Entonces, ¯ 1z ¯ ≤ M = 1ε es acotado. Ahora
y·z =y·
1
1
z
=
y
1
z
→ ∞ según se discutió en el caso 3.
Tener inversa acotada es lo mismo que ser la inversa de una acotada. De modo que la
síntesis de este caso se representaría con A1 · ∞ = ∞,que coincide con (8). Nótese que
este caso implica el caso 1, ya que una función con límite infinito sin duda se mantiene
alejada de cero.
5. Si un factor tiende hacia cero y el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto.
Es un límite indeterminado, como lo es el ya conocido ícono 00 . Esto significa que cada
caso paricular se resuelve atendiendo a sus peculiaridades pero que no hay reglas generales.
Si tenemos y → 0, z → ∞, z = v1 con v → 0. Al realizar el producto yz = yv caemos
en el caso 00 .
0 · ∞ = indeterminado.
(9)
¤
£ 1 2¤
£1
Ejemplos: limx→∞ x ·£x =¤ limx→∞ x = ∞ (0 · ∞ = ∞). limx→∞ x2 · x = limx→∞ x1 =
0 (0 · ∞ = 0). limx→∞ x1 · x = 1 (0 · ∞ = 1) .
6. Si y → ∞, z → ∞ Nada se puede afirmar acerca de
u, v → 0 =⇒ yz = uv , indeterminación del tipo 00 .
Ejemplos:
¢ limx→∞
¡
=
1
.
1 ∞
∞
x
x2
=0
¡∞
∞
y
z.
En efecto, y =
∞
= indeterminado
∞
¢
¡
¢
2
=0 ,
limx→∞ xx = ∞ ∞
∞ =∞ ,
1
u, z
=
1
v
con
(10)
limx→∞
x
x
=
Sumas y restas.
1. Un sumando infinito
³ y otro
´ acotado produce una suma infiinita. Si y → ∞ y z está
z
acotada, y + z = y 1 + y . yz → 0 por (7). Luego 1 + yz se mantiene lejos de 0 y,
³
´
por caso 4 de producto, y 1 + yz → ∞.
A+∞=∞
(11)
2. Si y → ∞, z → ∞ nada se puede afirmar acerca de y + z.. En efecto, y = u1 , z = v1 con
0
u, v → 0 =⇒ y + z = u1 + v1 = u+v
uv , indeterminación del tipo 0 . Sin embargo, si y y z
tienen el mismo signo,
¡
¢
u 1 + uv
1 + uv
u+v
=
=
→ ∞,
y+z =
uv
uv
v
77
Capítulo 3. El teorema del valor medio
pues uv > 0 ⇒ 1 + uv se mantiene lejos de cero, y es de aplicación el caso 4 de productos.
El signo del límite, está dado por el signo de los sumandos, ya que es aquél de v. la
tradición recuerda estos dos resultados con una simbología que supone que una variable
que tiende a infinito lo hace siempre con un signo determinado y suprime el + delante
de ∞
∞ + ∞ = ∞,
(12)
∞ − ∞ = indeterminado.
Ejemplos:
limx→0
£¡
limx→0
1
x
¡2
¢
¡
¢
− ¢x1 =¤ limx→0 x1 = ∞ (∞ − ∞ = ∞) , limx→0 x1 − x1 = 0
+ 18 − x1 = 18 (∞ − ∞ = 18)
x
(∞ − ∞ = 0) ,
Ejercicio 3: Calcular los siguientes límites.
1.-
4
lim 2x 4−1 2
x→0 −4x +x
2.-
4.-
2x3 −x
4
x→−1 x −1
5. -limx→ π −
(2)
lim
lim
x→ √1π
x2 +1
πx2 −1
3.£¡ π
2
3
lim 2x4 −x
x→1 x −1
¢
¤
− x tan x
Cuando en un punto a ∈ R hay un límite infinito, el gráfico de la función se acerca hacia
la recta vertical x = a. Decimos entonces que la recta es una asíntota vertical del gráfico de
la función o, directamente, de la función.
Ejemplos:
14. El eje vertical es asíntota de y = x1 . Nótese que los dos límites laterales son de distinto
signo. No es este el caso en y = x12 , que también tiene la misma asíntota.
y
x
fig. 3.6.a.
y=
1
x
fig. 3.6.b.
78
y=
1
x2
3.1. Asíntotas
15. En el ejemplo 7, el eje ”y” es asíntota de y = 1 + x1 y la recta x = −4 lo es de
x2 −3
y = 3x−2
x+4 . En el ejemplo 8 también hay una asíntota vertical de y = 2x−4 : la recta x = 2
y
3.75
2.5
1.25
0
-2.5
0
2.5
5
x
-1.25
figura 3.7.
sin x
16. y = tan x = cos
x tiene infinitas asíntotas verticales: los puntos de la forma
k entero, en los cuales se anula el denominador.
y
π
2
10
5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-5
-10
figura 3.8.
79
y = tan x
+ kπ con
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Ejercicio 4: Encontrar, cuando las haya, asíntotas verticales de las siguientes curvas.
2
1
1.- y = 7x+2
2.- y = x −2x+1
3.- y = √x−2
3x−2
x+3
4.- y =
3.2
1
sin x
5.- y =
sin 2x
x2
Estudio de funciones
Máximos y mínimos
Quizás no haya en la naturaleza una función a la que le prestemos más atención que a
la temperatura ambiente. Pensemos en la descripción de este parámetro en el transcurso de
un día. Supongamos que medimos el tiempo en horas. Estará representado por una variable
t que recorre el intervalo [0, 24]. Los valores correspondientes de la temperatura estarán
representados por otra variable, digamos y, que la mide en cierta unidad: o C, por ejemplo.
y = f (t) ,
0 ≤ t ≤ 24.
Uno puede imaginar cómo, mientras el tiempo recorre de izquierda a derecha el intervalo [0, 24]
sin saltearse ningún punto, la temperatura se mueve, también ella sin saltearse puntos, pero
oscilando, subiendo y bajando, sin salirse de un intervalo. Se puede pensar a la variable y como
las posiciones que va ocupando el punto superior de la columna mercurial de un termómetro.
En sus oscilaciones no puede pasar de un punto a otro sin pasar por los intermedios. Además, en
algún instante pasará por una posición que no es superada en altura por ninguna otra (aunque
si puede ser igualada): M, la temperatura máxima. Y en algún otro (o algunos otros) instante,
pasará por la posición más baja, la temperatura mínima m. En definitiva, los valores f (t)
correspondientes a los valores t ∈ [0, 24] , llenan un intervalo cerrado [m, M ] .¿Qué aspectos
nos interesa conocer de esta función? Sin duda los extremos m y M del intervalo que soporta
los valores de y y a qué horas fueron alcanzados, ya que ellos representan las temperaturas
máxima y mínima de la jornada. Y también los subintervalos de oscilación de f . Cuándo la
temperatura está en aumento y cuándo disminuye. El estudio de estas cuestiones, esto es la
descripción del comportamiento de una función, constituye el objeto de esta sección.
Definición 4. Diremos que una función f alcanza su máximo valor relativo al
conjunto S ⊂ Dom (f ) en el punto a, si f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ S. El
número f (a) es el máximo de f en S [f (a) = max f |S ] . Si S = Dom (f ), el
máximo se llama absoluto1 . La definición de mínimo es idéntica, cambiando ≥ por
≤ . Para decir que f alcanza un máximo o un mínimo en un punto, sin querer
especificar si se trata de uno o de otro, se se dirá que alcanza un extremo.
Los ejemplos que siguen a continuación servirán también como introducción del lenguaje
que usaremos. Debemos advertir que este es un tema en el que se ha generado cierta diversidad
de lenguaje: no todos llaman a las cosas con el mismo nombre y, peor aún, se llama con el
mismo nombre a cosas diferentes. Nosotros haremos nuestro aporte al caos.
1
Como siempre se dispone de cierta libertad para considerar arbitrariamente cuál es el dominio de una función,
esta definición debe tomarse con el valor "relativo" que posee.
80
3.2. Estudio de funciones
Ejemplos:
y
y
1.5
1
0.5
1
0
0
2.5
5
7.5
10
x
0.5
-0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Ejemplo 1
-1
Ejemplo 2
y
y
4
1
2
0.5
0
-1
0
-0.5
0
0.5
1
-2
-1
0
1
2
x
x
-0.5
-2
-1
-4
Ejemplo 3
y
Ejemplo 4
4
3
2
b
1
a
0
-2
-1
0
Ejemplo 5
1
2
x
Ejemplo 6
1. La función y = |x| + 1 alcanza su mínimo absoluto (que vale 1) en x = 0.
2. La función seno, alcanza su máximo absoluto en
forma π2 + 2kπ con k entero.
π
2.
Y también en todos los puntos de la
3. y = x tiene su máximo relativo al intervalo (−1, 1] en x = 1. No tiene mínimo relativo
a ese intervalo, pues el valor −1 ¡no lo¢ toma; Para cualquier a ∈ (−1, 1] , f (a) no es un
= a−1
mínimo, porque, por ejemplo, f a−1
2
2 < a = f (a) . (Piense esto con cuidado)
£ √ √ ¤
4. La función aquí graficada, que tiene dominio en el intervalo − 3, 3 , no alcanza
máximo ni mínimo. Tiene una discontinuidad en la que toma el valor 0, y a sus lados
tiende hacia valores que no alcanza.
¯ ¯
5. f (x) = ¯ x1 ¯ no tiene máximo ni mínimo absolutos. Tiene un mínimo relativo al intervalo
(0, 1] en 1, y un máximo relativo a [1, +∞) en 1.
81
Capítulo 3. El teorema del valor medio
6. El gráfico que se muestra en el ejemplo 6 corresponde a una función que está definida en
(−∞, +∞) y sigue, hacia los "extremos" del intervalo, la tendencia que muestra la figura.
No tiene, en consecuencia, extremos absolutos. Sin embargo..."algo pasa" en los puntos
a y b. También se observa un fenómeno similar en el gráfico del ejemplo 4. La próxima
definición recoge esa peculiaridad.
Definición 5. Una función f tiene en un punto a ∈ Dom (f ) un máximo local
si existe un intervalo abierto I, a ∈ I ⊂ Dom (f ) (esto es un entorno I de a),
respecto del cual f tiene un máximo relativo en a. Análoga definición para mínimo
local .
La existencia del concepto de extremo local provoca el contrapunto de llamar globales a los
extremos definidos anteriormente. Los extremos locales no requieren la mención de un conjunto,
son una propiedad del punto. Un extremo global, en cambio, lo es relativo a un conjunto. O
absoluto si lo es con respecto a todo el dominio de la función.
¿Cuál es la relación entre extremos locales y extremos globales? El ejemplo 6 muestra una
función que tiene un máximo local en a y un mínimo local en b, que no son absolutos. El
máximo relativo mencionado en el ejemplo 3, no es máximo local. Ni aún considerando a la
función como restringido su dominio a (−1, 1] : la definición de extremo local requiere que el
punto sea interior al dominio. Lo que sí se puede decir es esto:
Teorema 1: Si una función alcanza un extremo global relativo a un conjunto S
en un punto interior a S, entonces la función tiene en ese punto un extremo local.
Digamos de paso que el conjunto S a que se refiere la definición 1 será siempre un intervalo.
Cualquier problema de búsqueda de extremos de una función se puede llevar a una búsqueda
en un intervalo.
La definición 1 no proporciona ninguna pista para encontrar extremos globales de una
función. Si se logra adivinar un punto a en el cual se realiza un extremo de f , la definición
dice cómo probar que en ese punto hay efectivamente un extremo. Los extremos locales de
la definición 2, en cambio, mirados a través de los gráficos en los ejemplos 2, 4 y 6, sugieren
un posible método de búsqueda. En un extremo local, cuando hay recta tangente, ésta es
horizontal (el ejemplo 1 muestra que puede no haber tangente y el 3 que en extremos no locales
la tangente puede no ser horizontal).
Teorema 2: Si f alcanza un extremo local en un punto a y es derivable en ese
punto, entonces f 0 (a) = 0.
Demostración. Si f tiene un máximo local en a, f (a + h) − f (a) ≤ 0 para |h|
chico. Luego,
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
≤ 0 para h > 0 y
≥ 0 para h < 0.
h
h
Tomando límites laterales, se deduce que D− f (a) ≥ 0 y D+ f (a) ≤ 0. Como f
es derivable, debe ser f 0 (a) = 0
Si f tuviera un mínimo en a, −f tendría un máximo y entonces −f 0 = 0 ¥
Nótese que la recíproca no vale y la derivada de una función puede anularse en un punto
sin que en él haya un extremo local. (y = x3 en x = 0). El teorema da candidatos a extremos
locales.
Ayudados por los dos teoremas, si lo que se busca son los extremos globales de una función
relativos a un intervalo, se puede pensar de la siguiente manera: El máximo y el mínimo de la
82
3.2. Estudio de funciones
función relativos al intervalo se pueden alcanzar en los extremos o en el interior del intervalo. Si
un extremo (máximo o mínimo) es alcanzado en el interior del intervalo, entonces es local (teor.
1). Luego, o la función no es derivable o la derivada se anula.(teor. 2) Si llamamos puntos
críticos a aquellos donde no existe derivada o la derivada es nula, un máximo o un mínimo sólo
puede ser alcanzado en los extremos del intervalo o en un punto crítico.
Uno está tentado a seguir este procedimiento para "pescar" extremos: se buscan todos los
puntos críticos. Si son un número finito se calcula el valor de la función en ellos y en los
extremos del intervalo (si es cerrado). El valor más grande es el máximo y el más chico es el
mínimo. Eso está bien si existen máximo y mínimo relativos a ese intervalo!. En los ejemplos
1 a 6 vimos muchos casos en que no.
Ejemplo 4. (revisitado). La función graficada en el ejemplo 4 responde a esta
definición analítica:
¢
£ √ ¢ ¡ √ ¤
½ ¡ 4
x − 4x2 + 3 sg(x) si x ∈ − 3, 0 ∪ 0, 3
f (x) =
0
si x = 0
x
). f es una función definida en
(Recordamos de la sección 2.2. que sg (x) = |x|
£ √ √ ¤
el intervalo cerrado − 3, 3 , derivable en el abierto salvo en el origen, donde ni
siquiera es continua.
¡
¢
¡
¢
f 0 (x) = 4x3 − 8x sg (x) = 4x x2 − 2 sg (x) ,
√
√
se anula
− ª2 y en 2. Según la definición, el conjunto de los puntos críticos
© √ en √
es − 2, 0, 2 (el 0 es P.C. porque f no es derivable). Si calculamos el valor de
f en los P.C. y en los extremos del intervalo:
³ √ ´
³ √ ´
³√ ´
³√ ´
f − 3 = 0, f − 2 = 1, f (0) = 0, f
2 = −1, f
3 = 0.
√
√
Pero en − 2 y 2 sólo hay máximo y mínimo locales. Porque, claramente,
lim f (x) = −3
y
x→0−
lim f (x) = 3,
x→0+
valores que no son alcanzados; pero, cuando
x está cerca del 0, f (x) sobrepasa
√
por arriba el valor 1 alcanzado en − 2 y por abajo el valor −1 alcanzado en
√
2. En este intervalo la función no tiene extremos absolutos, por lo tanto el método
no pudo pescar peces que no estaban en el estanque.
Resulta entonces clara la importancia de saber a-priori si en un intervalo una función alcanza
su máximo y su mínimo. Y aquí conviene recordar el ejemplo de la columna mercurial. La
condición para que la variable dependiente recorra su imagen sin saltear puntos es la continuidad
de la función. El resultado que describe esta situación es un teorema debido a Bolzano2 y
Weierstrass3 .Su demostración se basa en propiedades de la recta real que nosotros no vamos a
estudiar.en este libro, pero mirando los ejemplos, el resultado es convincente:
Teorema 3. (de Bolzano y Weierstrass) Si f es una función continua e I ⊂
Dom (f ) es un intervalo, entonces f (I) es un intervalo. Si además I es cerrado,
entonces f (I) es un intervalo cerrado.
2
Bernard Bolzano (1781-1848), matemático, lógico, filósofo y teólogo checo.
3
Karl Weierstrass (1815-1897), matemático alemán.
83
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Del teorema de B-W surge claramente que una función continua en un intervalo cerrado
alcanza su máximo y su mínimo. Vamos a explicitarlo:
Corolario 1. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza
su máximo y su mínimo en [a, b] .
Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) = [c, d] para ciertos c y d. Como todos
los valores f (x) con x ∈ [a, b] están en [c, d] , resulta, para todo x, c ≤ f (x) ≤ d.
Pero además [c, d] = f ([a, b]) implica la existencia de dos puntos x1 , x2 ∈ [a, b]
tales que f (x1 ) = c y f (x2 ) = d. Entonces
´
´
³
³
y
d = f (x2 ) = max f |[a,b] ¥
c = f (x1 ) = min f |[a,b]
La función continua del ejemplo 3 no alcanza su mínimo porque el intervalo se abre en −1.
La del ejemplo 4 no alcanza ningún extremo a causa de su discontinuidad. La del ejemplo
5, en (−∞, +∞) suma los dos males. Estamos hablando de los fracasos del teorema, pero
disfrutaremos de sus éxitos. Saber que una función alcanza sus valores máximo y mínimo es
importante. Para funciones continuas en intervalos cerrados funciona el método para pescar
extremos.
Ejemplos:
7. Le quitamos la discontinuidad al ejemplo 4, simplemente borrando la función£ sg.
√ Ahora
√ ¤
f (x) = x4 − 4x2 + 3, e investigamos por sus extremos en el intervalo cerrado − 3, 3 .
Como ahora f es continua, sabemos, por el teorema de Bolzano - Weiertrass, que alcanza
su máximo y su mínimo en ¡ese intervalo.
Sólo puede alcanzarlos en los extremos o en
¢
0
2
puntos críticos. f (x) = 4x x − 2 , de modo que el conjunto de los puntos críticos es
√ ª
© √
P C = − 2, 0, 2 . La evaluación de f en los candidatos da:
³ √ ´
³√ ´
³√ ´
³ √ ´
2 = −1, f
3 = 0.
f − 3 = 0, f − 2 = −1, f (0) = 3, f
y
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
-1
figura 3.10
No habiendo otros puntos críticos, se concluye que la función alcanza su
valor,
√ máximo √
3, solamente en el punto x = 0 y su mínimo, −1, en los puntos x = − 2 y x = 2, y
en ningún otro.
84
3.2. Estudio de funciones
8. Supongamos ahora que queremos investigar extremos absolutos de la misma función
f (x) = x4 − 4x2 + 3 en su dominio natural R. Como el dominio es un intervalo abierto,
todo extremo absoluto debe ser extremo local. Sólo que ahora, como el intervalo es
abierto, no funciona B - W asegurando la existencia de máximos y mínimos. Observamos
que limx→∞ f (x) = +∞. Esto asegura que no puede haber máximos absolutos, ya que
cualquier valor será superado. La única posibilidad que queda de obtener un extremo es
el mínimo. Y debería
mínimo
√ ¤ local hallado
√ entonces, por ser necesariamente
¡√ ¢ local, ser £el √
2 = −1 en − 3, 3 . ¿Podrá ser
en los puntos ± 2. Sabemos que f (x) ≥ f
f (x) < −1 fuera de este intervalo? No. Porque f (x) > 0 allí. Conclusión:
f no tiene
√
máximo absoluto y alcanza su mínimo absoluto, que vale −1, en ± 2.
Ejercicios:
5. Determinar máximos y mínimos, locales y globales relativos a los intervalos señalados, de
las siguientes funciones.
1.
3.
5.
7.
9.
x2 − 2x + 5
3x2 − x + 1
− 2x2 + 3x − 1
x3 − 3x
sin x + cos x
en
en
en
en
en
£[−1,
¢2]
1
,
1
6
[0,
2] √ ¤
£ √
− 3, 3
(−∞, ∞)
2.
4.
6.
8.
2x2 − 3x − 1
− x2 + 2x + 2
x3 + 2
cos x
en
en
en
en
(−∞, ∞)
(−∞, 0]
[−1,
¡ 3π1]¢
0, 2
6. Probar, usando el teorema 3, y el ejercicio 53 del capítulo 1 que, si f es continua en el
intervalo I, entonces
y1 , y2 ∈ f (I) ⇒ [y1 , y2 ]∗ ⊂ f (I) .
(En la sección 3.4. podrá encontrar este ejercicio resuelto, al igual que el ejercicio 8.)
7. Probar que Rg (sin) = Rg (cos) = [−1, 1] .
8. Probar que si f es una función continua en un intervalo y hay dos puntos x1 , x2 tales
que f (x1 ) < 0 y f (x2 ) > 0, entonces existe por lo menos un punto ξ ∈ (x1 , x2 )∗ tal
que f (ξ) = 0. (este resultado se conoce habitualmente como Teorema de Bolzano).
9. Si f es continua en un intervalo (a, b) y no se anula en ese intervalo, entonces sg (f )
es constante.
Funciones crecientes y decrecientes
Retomando el ejemplo de la temperatura ambiente a lo largo de una jornada, con el que
comenzamos este capítulo, se señaló allí á importancia de identificar los intervalos de tiempo
durante los cuales la temperatura aumenta y aquellos en que la misma disminuye. Es clara la
relación entre ese problema y la siguiente definición.
Definición 6. f es creciente en el intervalo I si a, b ∈ I y a < b, implican
f (a) ≤ f (b) . si bajo las mismas suposiciones la conclusión es f (a) < f (b) , diremos
que f es estrictamente creciente.
85
Capítulo 3. El teorema del valor medio
En un lenguaje más llano: la función f es creciente si cada vez que aumenta la variable
independiente la variable dependiente no disminuye. Si el aumento de la v.i. significa también
un aumento de la v.d. entonces f es estrictamente creciente. Hacemos notar que sólo definimos
(porque sólo nos interesa) función creciente en un intervalo. Análogamente, cuando a < b ⇒
f (a) ≥ f (b) , la función es decreciente. Aunque obvio, no es tan fácil escribir la demostración
de lo siguiente (ver ejercicio 28):
Cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo abierto y continua
en el cerrado, conserva las mismas características en el cerrado. Inclusive si la
monotonía4 es estricta.
Cuando digamos "recorrer el gráfico de una función" supondremos que lo estamos haciendo
en el sentido natural de la variable independiente: de menor a mayor, o sea de izquierda a
derecha. Cuando se recorre el gráfico de una función creciente, no se desciende. Si la función
es estrictamente creciente, se asciende. Con una estrictamente decreciente, por el contrario, se
desciende.
En una función creciente, los incrementos considerados para el cálculo de la derivada son
del mismo signo: ∆x > 0 ⇒ ∆y ≥ 0 y también ∆x < 0 ⇒ ∆y ≤ 0. Por consiguiente, el
cociente incremental es siempre no negativo y así se conservará su límite, si es que existe.
Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto x de
ese intervalo en el que sea derivable será f 0 (x) ≥ 0. Si en cambio f es decreciente,
será f 0 (x) ≤ 0.
La idea de relacionar el carácter creciente o decreciente de la función con el signo de la
derivada es muy interesante. Es generalmente más fácil mirar el signo de la derivada que verificar
la definición de creciente. Pero para que el concepto sea realmente útil, lo que se necesita es un
teorema recíproco que, cuando veamos que la derivada es positiva en un intervalo, nos permita
asegurar que la función es creciente. Tal teorema vale pero la demostración es más difícil. La
dejaremos para otra sección
Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b). Entonces:
f 0 (x) ≥ 0 en (a, b)
⇒
f creciente en (a, b) .
f 0 (x)
⇒
f decreciente en (a, b) .
f 0 (x) > 0 en (a, b)
≤ 0 en (a, b)
f 0 (x) < 0 en (a, b)
⇒
f eatrictamente creciente en (a, b) .
⇒
f estrictamente decreciente en (a, b) .
Corolario. Si f 0 (x) = 0 en (a, b) entonces f es constante en ese intervalo.
Pensando que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico en
ese punto, las relaciones expresadas en los teoremas 4 y 5 se compadecen perfectamente con
la interpretación geométrica de crecimiento y decrecimiento. Todas estas herramientas son
aplicables a mejorar nuestros análisis de máximos y mínimos.
Volviendo sobre la condición f 0 (x0 ) = 0, que es necesaria para la existencia de un extremo
local en un punto de derivabilidad x0 , no tenemos métodos para saber si en ese punto hay
efectivamente un extremo y, en caso de haberlo, si se trata de un máximo o de un mínimo. Si se
tiene un gráfico de la función, estaremos convencidos de que en el punto de tangente horizontal
x0 hay un mínimo si observamos que el gráfico desciende hasta llegar a ese punto y luego
4
Se dice que una función es monótona en un intervalo cuando se quiere decir que es creciente o decreciente,
sin especificar cuál de las dos.
86
3.2. Estudio de funciones
comienza a ascender. Simétricamente, un máximo está precedido por un ascenso y seguido de
un descenso
gráfico
ascendente
Punto de
máximo
gráfico
descendente
gráfico
ascendente
Punto de
mínimo
figura 3.11
Hay cuatro maneras en que la derivada f 0 puede anularse en el punto x0 .
a. Pasando de f 0 (x) < 0 para x < x0 a f 0 (x) > 0 para x > x0 .
b. Pasando de f 0 (x) > 0 para x < x0 a f 0 (x) < 0 para x > x0 .
c. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo positiva a su alrededor.
d. Tocando el 0 en x0 pero permaneciendo negativa a su alrededor.
Cada una de estas maneras conduce, según se acaba de explicar, a cuatro comportamientos
distintos para la función f en x0 :
a. Mínimo local en x0 .
b. Máximo local en x0 .
c. Gr (f ) ascendente en un intervalo con tangente horizontal en x0 .
d. Gr (f ) descendente en un intervalo con tangente horizontal en x0 .
f ' (x > 0)
f ' (x ) < 0
f
a.
b.
figura 3.12
87
c.
d.
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Ejemplos:
9. f (x) = x3 − 3x. Buscamos extremos locales y absolutos e intervalos de crecimiento decrecimiento.
f 0 (x) = 3x2 − 3 = 3 (x + 1) (x − 1). El análisis del signo de f 0 es sencillo: f 0 < 0 en
(−1, 1) y f 0 > 0 en (−∞, −1) y en (1, +∞) . Por lo tanto, el cero de f 0 en −1 es
del tipo b. mientras que el cero en 1 es del tipo a. La función f decrece en el intervalo
(−1, 1) y crece en los intervalos (−∞, −1) y (1, +∞) . En consecuencia, hay un máximo
local en 1 y un mínimo local en −1. No existen extremos absolutos ya que
lim f (x) = −∞
y
x→−∞
lim f (x) = +∞.
x→+∞
El análisis del signo de f 0 en los intervalos que separa sus ceros (esto es (−∞, −1) , (−1, 1)
y (1, +∞), podría hacerse usando el ejercicio 9. En cada uno de los tres intervalos el
signo es constante, por lo tanto, chequeando el valor de f 0 en un punto cualquiera, se
sabe su signo en todo el intervalo. Por ejemplo, f 0 (0) = −3 ⇒ f 0 < 0 en (−1, 1) .
10. y = x3 es el ejemplo clásico de punto crítico del tipo c. La derivada 3x2 se anula en
el origen conservándose positiva a ambos lados. La función es estrictamente creciente en
(−∞, +∞) . ¿Por qué? Por supuesto, y = −x3 es el ejemplo de tipo d.
11. Hemos visto que limx→0
sin x
x
= 1. entonces la función
½ sin x
si x 6= 0
x
f (x) =
1
si x = 0
x
. Si quisiéramos
es continua en R. Además es derivable en R−{0} con f 0 (x) = x cos xx−sin
2
averiguar la derivabilidad en el origen, deberíamos calcular el límite del cociente incremental,
sin h
−1
f (0 + h) − f (0)
sin h − h
= lim h
= lim
.
lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h2
Hasta que aprendamos a calcular este límite, miremos las gráficas de f y f 0 generadas
por el ordenador.
y
6π
z2
z1
π
figura 3.13
Las gráficas parecen indicar que existe f 0 (0) = 0. Pero,
88
x
3.2. Estudio de funciones
i. no sabemos resolver la ecuación de los ceros de f 0 : x cos x − sin x = 0, equivalente a
tan x = x.
ii. Sí sabemos encontrar los ceros de f : sin x = 0 ⇔ x = kπ con k ∈ Z− {0}, y
sabemos que entre dos ceros el signo de f se mantiene constante (ejercicio 9)
iii. Si llamamos ... − z2 , −z1 , z0 = 0, z1 , z2 , ... a los ceros de f 0 , en esos puntos f
tiene extremos locales. Entre dos de ellos consecutivos tendremos un intervalo de
crecimiento o de decrcimiento de f (nuevamente por el ejercicio 9)
iv. ¿Sabemos probar que f es creciente en (−π, 0) y decreciente en (0, π), para concluir
que en 0 hay un máximo local?
v. ¿Sabemos probar que
absoluto en 0?
sin x
x
< 1 para x 6= 0, y por lo tanto f tiene un máximo
Muchas veces es mejor tener preguntas que respuestas.
Ejercicios:
10. Para cada una de las siguientes funciones determinar los intervalos donde es creciente y
aquellos donde es decreciente.
1.
3.
5.
7.
f (x) = x3 + 1
f (x) = x3 + x − 2
f (x) = 2x3 + 5
f (x) = −4x3 − 2x
2.
4.
6.
8.
f (x) = x2 − x + 5
f (x) = −x3 + 2x + 1
f (x) = 5x2 + 1
f (x) = 5x3 + 6x
11. Usar el comportamiento de la función en intervalos contiguos para determinar si los puntos
críticos corresponden a máximos o mínimos locales o ninguno de los dos.
1. y = x3 − 2x2 + 3x + π
3. y = sin x
2. y = 2x4 − 4x2 + 5
4. y = x3 − 3x
12. Para cada una de las funciones siguientes
a) Hallar el máximo y el mínimo en el intervalo dado.
b) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento.
1. (x − 1)1/3 + 12 (x + 1)2/3
2. x2/5 + 1
[−2, 7]
[−1, 1]
13. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada y una superficie constante C.
Determinar los lados de la caja si el volumen ha de ser máximo.
14. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha de tener un área de superficie fija
C. Hallar el radio de su base y su altura si ha de tener un volumen máximo.
15. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja y el recipiente están cerrados por
arriba. (El área de un círculo de radio x es πx2 y su longitud es de 2πx. El volumen de
un cilindro de altura y y cuya base tiene radio x es πx2 y.)
16. Demostrar que entre todos los triángulos de área dada, el triángulo equilátero es el de
menor perímetro.
89
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Comparación de funciones
Si f (x) < g (x) para todo x en un intervalo I, diremos que f < g en I. Análogamente
se definen el resto de las desigualdades: >, ≤, ≥ . Si f (a) ≤ g (a) en el extremo izquierdo de
un intervalo y f no crece más que g, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo
el intervalo.
Teorema 6. Si f, g son funciones continuas en [a, b) y derivables en (a, b), si
además f (a) ≤ g (a) y f 0 ≤ g 0 en (a, b) entonces f ≤ g en [a, b) . Si f 0 < g 0
en (a, b) entonces f < g en (a, b) .Análogamente,si f (b) ≤ g (b) en el extremo
derecho y g 0 ≤ f 0 en (a, b), entonces f ≤ g en (a, b], con la desiguldad estricta en el
caso correspondiente.
Demostración. Se considera la función g−f. De las hipótesis sigue que (g − f ) (0) ≥
0 y que (g − f )0 = g 0 − f 0 ≥ 0 en (a, b) , luego (g − f ) es creciente en ese intervalo.y por lo tanto también en [a, b) . En consecuencia, para todo x, (g − f ) (x) ≥
(g − f ) (a) ≥ 0. Esto es, f (x) ≤ g (x) para x ∈ [a, b) . La demostración de la
desigualdad estricta queda a cargo del lector. Para la comparación en el extremo
derecho, aplicar el resultado ya probado a f (−x) y g (−x) ¥
g
g
a
f
b
a
f
b
figura 3.14
Ejemplos.
12. Tomar f (x) = sin x y g (x) = x en [0, +∞) . Como sin 0 = 0 y sin0 x = cos x ≤ 1 =
g 0 (x), se deduce que sin x ≤ x para x ≥ 0.
Como una consecuencia, resulta sinx x ≤ 1 para x > 0. Para x < 0 la desigualdad
permanece por tratarse de una función par (luego simétrica). Queda con esto zanjada la
pregunta v. del ejemplo 11.: sinx x tiene un máximo absoluto en x = 1.
d sin x
x
13. Consideremos la función dx
= x cos x−sin
, por cuyo signo en el intervalo (0, π)
x
x2
nos interrogábamos en el ejemplo 11 (iv). Ya que el denominador es positivo, basta
considerar f (x) = x cos x − sin x, y compararla contra g (x) = 0. f (0) = 0 y f 0 (x) =
cos x − x sin x − cos x = −x sin x < 0 en (0, π) . Sigue del teorema 6 que f < 0 en
(0, π) , y de allí que sinx x es decreciente en ese intervalo.
90
3.2. Estudio de funciones
Ejercicios.
17. Probar que tan x > x si 0 < x < π/2.
18. Probar que
t+
1
≥2
t
para t > 0
(Ver qué pasa a ambos lados de 1).
Convexidad - concavidad
Un ingrediente más será útil para hacer el gráfico aproximado de una función. Suponga que
usted viene transitando a lo largo del gráfico de una función, en el sentido natural: según crece
la x. Salvo que se encuentre en un tramo recto, usted estará en una curva que gira hacia la
izquierda o hacia la derecha. Hacia el lado que gira, la carretera va envolviendo una concavidad
y hacia el otro va dejando una convexidad (si estas palabras no son de su lenguaje corriente,
hay un truco para recordarlas: concavidad = con cavidad).
Giro hacia la
izquierda.
Concavidad
hacia arriba
Sentido de
avance
Punto de
inflexión
Giro hacia la
derecha.
Concavidad
hacia abajo.
figura 3.15
Cuando la curva gira hacia la izquierda, las rectas tangentes en los sucesivos puntos también
van girando hacia la izquierda y por lo tanto sus pendientes van creciendo. De igual modo, al
91
Capítulo 3. El teorema del valor medio
girar hacia la derecha las pendientes de las sucesivas tangentes disminuyen.
x1
x2
x1
x2
Concavidad hacia arriba.
x1 < x2 ⇒ pendiente de la tangente en x1
Concavidad hacia abajo.
x1 < x 2 ⇒ pendiente de la tangente en x1
menor que la pendiente de la tangente en x2
mayor que la pendiente de la tangente en x 2
figura 3.16
Por lo tanto, si la función f de quien la curva es el gráfico es derivable en todo el intervalo,
tendremos la siguiente asociación:
• Concavidad hacia arriba = f 0 creciente.
• Concavidad hacia abajo = f 0 decreciente.
Cuando existe derivada segunda, el signo de ésta es un dato para determinar el carácter
creciente o decreciente de la derivada primera. En este caso,
• f 00 ≥ 0 en (a, b) ⇐⇒ f cóncava hacia arriba en (a, b) .
• f 00 ≤ 0 en (a, b) ⇐⇒ f cóncava hacia abajo en (a, b) .
Si f es cóncava hacia arriba y hacia abajo en dos intervalos contiguos y la derivada segunda
existe y es continua en la unión de ambos, ella pasa de positiva a negativa y debe anularse en
el punto fronterizo. En este punto se dice que la función tiene un punto de inflexión. Cuando
existe derivada segunda, ésta se anula en los puntos de inflexión. No es cierto, sin embargo, que
siempre que se anula la derivada segunda hay un punto de inflexión (ver ejemplo )
Ejemplos:
4
2
Ya ´sabemos que
14. Veamos nuevamente la función del ejemplo 8. f (x) =
q 4x
´ ³+ 3. q
³ x −
2
0
3
00
2
f (x) = 4x − 8x. Ahora f (x) = 12x − 8 = 12 x − 3 x + 23 . Usando el
teorema de Bolzano y testeando los valores de f 00 en un punto de cada intervalo,
= f´00 (1) =³q
4 > 0 ´∧ f 00 (0) = −8 < 0 =⇒ f ³
cóncava
f³00 (−1) q
q qhacia
´ arriba en
2
−∞, − 23 y en
− 23 , 23 . En los dos
3 , +∞ , y f cóncava hacia abajo en
puntos de anulación de la derivada segunda la función cambia el sentido de su concavidad
y por lo tanto se trata de puntos de inflexión
92
3.3. El teorema de unicidad
2
dy
d y
2 sin x
= cos12 x , dx
15. Volvamos al ejemplo 16. de la sección 3.1. y = tan x, dx
2 = cos3 x = 0 para
x = kπ con k entero. Es fácil ver que
´
³
³
d2 y
π´
π
d2 y
y
,
kπ
.
>
0
en
kπ,
kπ
+
<
0
en
kπ
−
dx2
2
dx2
2
¢
¡
De ¡modo que, ¢para cada k ∈ Z, se distinguen dos intervalos contiguos kπ − π2 , kπ
y kπ, kπ + π2 donde f pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. En los
puntos de frontera kπ hay un ounto de inflexión. En cambio, en la separación entre
dos de estas duplas de intervalo, que son los puntos de la forma kπ + π2 la tangente es
diacontinua con asíntota vertical y no se considera que haya punto de inflexión.
Ejercicios
19. Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavidad - convexidad, puntos de
inflexión y máximos y mínimos locales. Trazar gráficos aproximados.
1.- 3x2 − 3x − 6
2.- −x2 + 2x − 4
3.- −2x3 − 3x + 5
4.- 2x3 − 9x2 + 12x
5.- x4 − x2 + 1
6.- x5 + x
20. Determinar todos los puntos de inflexión de sin x y de cos x.
21. Para la función
f (x) = x4 − 8x2 + 16
(a) Demostrar que f tiene exactamente dos puntos de inflexión.
(b) Trazar la gráfica de f . Deteminar explícitamente los puntos críticos. Determinar las
regiones de convexidad-concavidad.
22. Considerando los siguientes aspectos:
(i) Puntos críticos. Máximos y mínimos locales.
(ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento.
(iii) Puntos de inflexión.
(iv) Intervalos de convexidad - concavidad.
(v) Asíntotas.
(vi) Intersecciones con ejes y asíntotas.
Trazar gráficas de las curvas que se indican a continuación.
x2 +2
x−3
1. −
y=
4. −
y =x+
3
x
2. −
y=
x+1
x2 +1
5. −
y=
2
√x
x+1
7. −
y=
x2 −1
x2 −4
93
3. −
y=
2x−3
3x+1
6. −
y=
x+1
x2 +5
Capítulo 3. El teorema del valor medio
3.3
El teorema de unicidad
Volvemos sobre el corolario del teorema 5. Es claro que si f 0 = g en un intervalo, no es f
la única función con esa propiedad. Basta tomar h (x) = f (x) + c con cualquier constante c
para que h0 (x) = f 0 (x) = g (x) . Pero del corolario del teorema 5 se infiere que esa es la única
manera de tener dos funciones con la misma derivada: una y otra difieren en una constante.
Dada una función g definida en un intervalo, no sabemos si existe alguna f tal que f 0 = g
pero si existe alguna existen infinitas, difiriendo dos cualesquiera de ellas en una constante.
Esto es:
Si y = F (x) y y = G (x) son dos soluciones de la ecuación diferencial
dy
= f (x) ,
dx
a < x < b,
entonces existe una constante C tal que
G (x) = F (x) + C,
a < x < b.
En efecto, (G − F )0 (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0 para todo x ∈ (a, b).
Luego, por el corolario del teorema 5, G − F es constante en el intervalo. Por lo
tanto existe una constante C tal que G − F = C. Esto es, G = F + C.
Ejemplos.
1. Una función constante queda determinada sabiendo su valor en un punto. Por eso en el
PVI1 de la sección 2.6., del cual sabemos encontrar la solución, podemos aseverar que
ésta es única.
½ 0
s (t) = v0 + at,
0<t<∞
PVI1
s (0) = x0
s (t) continua en [0, +∞) .
Si s1 y s2 son dos soluciones, s1 − s2 es constante, digamos s1 − s2 = c. Pero por la
continuidad en 0, limt→0+ [s1 (t) − s2 (t)] = s1 (0) − s2 (0) = x0 − x0 = 0. Por otra parte,
limt→0+ [s1 (t) − s2 (t)] = limt→0+ c = c. Luego c = 0 y s1 = s2 .
2. Consideramos ahora el PVI2 de la sección 2.6 le asociamos el problema homogéneo PH:
 00
 00
 u + ω2 u = 0
 u + ω2 u = 0
u0 (0) = A
PVI2
PH u0 (0) = 0


u (0) = B
u (0) = 0
1.- Si u, v son dos soluciones de PVI2 su diferencia es solución de PH. (verifíquelo)
2.- Pero PH sólo admite la solución trivial u = 0. En efecto, si multiplicamos la ED por
2u0 , obtenemos
i0
h¡ ¢
2
2u0 u00 + 2ω 2 u0 u = u0 + ω 2 u2 = 0.
Luego, (u0 )2 + ω 2 u2 es constante. Para obtener su valor basta calcularla en t = 0, y
usando las CI resulta (u0 )2 + ω 2 u2 = 0 para todo valor de t. Como ambos términos
son no negativos, se deduce que deben ser nulos los dos. En particular, u2 = 0 y, por
consiguiente, u = 0.
3.-Se concluye que PVI2 tiene solución única. (aquella que se encontró en el ejercicio 39
del práctico 4)
94
3.4. Las demostraciones
Ejercicios.
23. Mostrar que la condición f 0 = 0 en un conjunto S no basta para afirmar que f es
constante si S no es un intervalo.
24. Suponer que f es una función diferenciable de t.
(a) Si f 0 (t) = −3 para todo t ∈ R, ¿Qué pueden decir acerca de f (t) ?
(b) Y si f 0 (t) = −3 y f (0) = 1?
25. Supongamos que existen dos soluciones, f y g de la ecuación diferencial
dy
= y,
dx
x ∈ R,
y que f (x) 6= 0 para todo x. Demostrar que existe una constante C tal que g = Cf.
Hint. Diferenciar el cociente g/f .
26. Una partícula se mueve sobre el eje x hacia la derecha a velocidad constante de 7m/seg.
Si al instante t = 9 la partícula está a una distancia de 2m a la dereche del origen, hallar
su posición en función de t.
3.4
Las demostraciones
Teorema de Bolzano
La primera parte del teorema 3 implica que una función continua toma todos los valores
intermedios. Lo explicitaremos como corolario, para facilitar su referencia. Comúnmente este
resultado se menciona como teorema de Bolzano.
Corolario 2 (del teorema 3). Si f es continua en el intervalo [a, b], y c ∈
(f (a) , f (b))∗ , existe ξ ∈ (a, b) tal que f (ξ) = c.
Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) es un intervalo. Además, f (a) , f (b) ∈
f ([a, b]). Sigue del ejercicio 53 en el capítulo 1 que [f (a) , f (b)]∗ ⊂ f ([a, b]). Luego
c ∈ f ([a, b]) y, por lo tanto, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = c. Además, a 6= ξ 6= b
95
Capítulo 3. El teorema del valor medio
porque f (ξ) = c y f (a) 6= c 6= f (b) . Entonces ξ ∈ (a, b) ¥
f (a )
c
f (b )
a
ξ2
ξ1
ξ3
b
figura 3.17
Ejemplos.
1. Una lectura posible de este corolario es la siguiente: si a, b ∈ Dom (f ) con f continua,
entonces [f (a) , f (b)]∗ ⊂ Rg (f ) .
2. Si f es continua en [a, c) y limx→c− f (x) = +∞ entonces [f (a) , +∞) ⊂ Rg (f ) .
Para probar esta afirmación, bastará ver que, para todo M > f (a) , [f (a) , M ] ⊂ Rg (f ).
Pero si f (x) → +∞ es posible encontrar b ∈ (a, c) tal que f (b) > M (ver ejercicio
27). Ahora, usando el ejemplo 1,
[f (a) , M ] ⊂ [f (a) , f (b)] ⊂ Rg (f ) .
3. Existencia de raíces n−ésimas. f (x) = xn es continua en [0, +∞) y además, f (0) =
0, limx→+∞ f (x) = +∞. Sigue del ejemplo 2. que [0, +∞) ⊂ Rg (f ) . Esto es, que para
cada número no negativo y, existe x ≥ 0 tal que xn = y. Si n es impar es fácil ver
que también existen raíces n-ésimas de números negativos.
4. Si f es continua en [a, b] y, digamos, f (a) < 0 mientras que f (b) > 0, el teorema
de¡ Bolzano
puede ser usado para aproximar una raíz de la ecuación f (x) = 0. Se evalúa
¢
a+b
y:
f 2
• f
• f
¡ a+b ¢
2
¡ a+b ¢
2
¡ a+b ¢
2 ,b
¡ a+b ¢
> 0 =⇒ f tiene un cero en a, 2
< 0 =⇒ f tiene un cero en
En ambos casos hemos encerrado una raíz en un intervalo de longitud mitad que el inicial.
Iterando n veces el procedimiento encerraremos una raíz en un intervalo de longitud b−a
2n .
El teorema del valor medio
Si se considera una curva descripta paramétricamente (ver vector tangente en sección 2.5):
½
x = f (t)
, a ≤ t ≤ b,
y = g (t)
96
3.4. Las demostraciones
los extremos de la misma tienen coordenadas (f (a) , g (a)) , (f (b) , g (b)) . Luego, la pendiente
de la cuerda que los une es
g (b) − g (a)
.
m1 =
f (b) − f (a)
Por su parte, el vectoe tangente en un punto interior de la curva, (f (t) , g (t)) , es (f 0 (t) , g 0 (t)).
En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en ese punto será
m2 =
g 0 (t)
.
f 0 (t)
g (b ) − g (a )
g ' (τ )
f ' (τ )
f (b ) − f (a )
figura 3.18
Decir ahora que la cuerda es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva es
postular la existencia de un número τ ∈ (a, b) para el cual se verifica la igualdad
g 0 (τ )
g (b) − g (a)
= 0
.
f (b) − f (a)
f (τ )
(13)
La prueba de este resultado es el objeto de esta sección.
Ya que de paralelas entre cuerdas y tangentes se trata, comenzaremos con el resultado básico
en esa dirección. En realidad, toda la dificultad técnica está en demostrar que hay una tangente
paralela a la cuerda en alguna situación simple. Luego los trucos son sencillos.
Teorema 7 (Rolle5 )
Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) . Supongamos además que
la cuerda entre los extremos del gráfico de f es horizontal, esto es, que f (a) = f (b) .
Entonces existe un punto interior ξ ∈ (a, b) tal que f 0 (ξ) = 0 (O sea que la tangente
5
Michel Rolle (1652-1716), matemático francés
97
Capítulo 3. El teorema del valor medio
al gráfico es horizontal)
tangente
Gr(f)
f (a ) = f (b )
cuerda
a ξ
b
figura 3.19
Demostración. Según el corolario 1 del teorema 3 (Bolzano - Weierstrass),.la
función f alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo cerrado [a, b] . Si alguno
de los dos es alcanzado en un punto interior entonces la derivada en ese punto debe
anularse (teoremas 1 y 2). Caso contrario, el máximo y el mínimo son alcanzados en
los extremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos extremos,
se deduce que el máximo y el mínimo son iguales. Esto sólo es posible si f es
constante. Pero en tal caso f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) ¥
La fórmula 13 es el centro del teorema del valor medio. Pero, para tener sentido, requiere
que f (a) 6= f (b) . Con un pasaje de términos se evita el problema.
Teorema 8. (del valor medio de Cauchy6 )
Sean f y g funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) . Entonces existe
un punto ξ ∈ (a, b) tal que
[g (b) − g (a)] f 0 (ξ) = [f (b) − f (a)] g 0 (ξ)
(14)
Demostración. Bastará considerar la función
Φ (x) = [g (b) − g (a)] f (x) − [f (b) − f (a)] g (x) .
y verificar que cumple con las hipótesis del teorema de Rolle:
Φ (a) = g (b) f (a) − g (a) f (a) − f (b) g (a) + f (a) g (a) = f (a) g (b) − f (b) g (a) .
Φ (b) = g (b) f (b) − g (a) f (b) − f (b) g (b) + f (a) g (b) = f (a) g (b) − f (b) g (a) .
Luego, Φ (a) = Φ (b) . Obviamente Φ es continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Por lo tanto, para algún punto ξ ∈ (a, b) , debe ser Φ0 (ξ) = 0. Pero Φ0 (ξ) =
[g (b) − g (a)] f 0 (ξ) − [f (b) − f (a)] g 0 (ξ) = 0 ⇒(14) ¥
Para obtener (13) a partir de (14) es necesario que no se anulen los denominadores. Para
ello se debe agregar una hipótesis:
Corolario 1. Con las hipótesis del teorema, si además f 0 no se anula en (a, b),
entonces existe un punto τ ∈ (a, b) para el cual se verifica (13).
Demostración. Sólo se debe verificar que tampoco se anula f (b) − f (a) . Pero si
esto ocurriera, por el teorema de Rolle habría un punto donde se anula la derivada,
cosa que estamos suponiendo que no ocurre.
6
Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés.
98
3.4. Las demostraciones
Tomando f (x) = x, la curva se convierte en (x, g (x)) , que es el gráfico de la función g.
En ese caso, el teorema toma una forma más sencilla y también la interpretación geométrca.
f (b )
f (a )
a
ξ
b
figura 3.20
Corolario 2. (Lagrange7 ) Si g es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces
existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que
g (b) − g (a)
= g 0 (ξ) .
b−a
El teorema del valor medio de Lagrange es la herramienta que necesitamos para completar
la demostración del teorema 4.
Demostración del teorema 4. Bajo la hipótesis de que f 0 ≥ 0 en (a, b) debemos
demostrar que f es creciente en ese intervalo. Sean a < x1 < x2 < b. Debemos
probar que f (x1 ) ≤ f (x2 ) . Como f es derivable en (a, b) , verifica las hipótesis
del teorema de Lagrange en [x1 , x2 ] . Luego,
f (x2 ) − f (x1 )
= f 0 (ξ) ≥ 0
x2 − x1
para algún ξ ∈ (x1 , x2 ) . Como x2 − x1 > 0, debe ser f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0. Si f 0
fuera estrictamente positiva en el intervalo, sería f 0 (ξ) > 0. Entonces la conclusión
sería f (x2 ) − f (x1 ) > 0, de donde sigue que f es estrictamente creciente.
La prueba de los casos f 0 ≤ 0, f 0 < 0 es totalmente análoga ¥
Funciones convexas
Retomamos el tema concavidad - convexidad de la sección 3.2. Por razones que no viene al
caso profundizar, en el lenguaje matemático se llama convexas a las funciones cóncavas hacia
arriba. Este concepto no requiere derivabilidad, por ejemplo la función |x| es convexa. Pero a
nosotros sólo nos interesa estudiar la convexidad en relación con las propiedades de la derivada.
Por eso adoptaremos una definición en este contexto.
Recordamos de la sección 2.3. (fórmula (3)) que la recta tangente al gráfico de la función
f en el punto x0 es el gráfico del polinomio de grado 1
x0
Naturalmente,
7
x0
(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) .
(x0 ) = f (x0 ) .
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), matemático francés.
99
(15)
Capítulo 3. El teorema del valor medio
Definición 7. La función f , derivable en (a, b) , es convexa (estrictamente convexa) en ese intervalo si dado x0 ∈ (a, b), x0 (x) ≤ f (x) para todo x ∈ (a, b)
(respectivamente, x0 (x) < f (x) para todo x ∈ (a, b) , x 6= x0 ).
Gr f
x0
Gr l x0
figura 3.21
Teorema 9. Si la función derivable f es convexa en un intervalo, entonces f 0 es
creciente en ese intervalo. Si la convexidad es estricta, f 0 es estrictamente creciente.
Demostración. Dados dos puntos x1 , x2 en el intervalo, f (x2 ) ≥
f (x1 ) ≥ x2 (x1 ) . Usando (15),
x1
(x2 ) y
f (x2 ) ≥ f (x1 ) + f 0 (x1 ) (x2 − x1 ) ,
(16)
de donde − f (x2 ) ≥ −f (x1 ) − f 0 (x2 ) (x2 − x1 ) .
(17)
y f (x1 ) ≥ f (x2 ) + f 0 (x2 ) (x1 − x2 ) ,
Sumando (16) con (17) viene
o, lo que es lo mismo,
¤
£
0 ≥ f 0 (x1 ) − f 0 (x2 ) (x2 − x1 ) ,
¤
£ 0
f (x2 ) − f 0 (x1 ) (x2 − x1 ) ≥ 0.
Esta es la condición para que f 0 sea creciente. Para la convexidad estricta, la
cuenta es la misma cambiando adecuadamente las desigualdades ¥
Si la derivada segunda de la función convexa existe, será no negativa (No se puede asegurar
positividad estricta en todos los puntos aún en el caso en que la función sea estrictamente
convexa, por ejemplo y = x4 ). Recíprocamente, derivada segunda positiva en todo el intervalo
implica convexidad.
Teorema 10. Si existe la derivada segunda en el intervalo (a, b) ,
f 00 ≥ 0 en (a, b) =⇒ f convexa en (a, b)
f 00 > 0 en (a, b) =⇒ f estrictamente convexa en (a, b) .
Demostración. Fijado un punto x0 ∈ (a, b), debemos comparar f con x0
para establecer la desigualdad x0 ≤ f . Esto se hace en dos pasos, en los intervalos
(x0 , b) y (a, x0 ), usando las técnicas de comparación del teorema 6.ya que x0 (x0 ) =
f (x0 ) . Para establecer que x0 ≤ f en (x0 , b), se requiere que 0x0 ≤ f 0 en ese
intervalo. Pero, de acuerdo con la definición (15), 0x0 (x) = f 0 (x0 ) . Ahora, f 00 ≥ 0
en (a, b) implica que f 0 es creciente y, para x > x0 , será f 0 (x) ≥ f 0 (x0 ) =
0 (x) . Para probar que
x0 ≤ f en (a, x0 ) se usa la otra mitad del teorema
x0
6. Las desigualdades estrictas necesarias para la convexidad estricta también están
previstas en el citado teorema ¥
100
3.5. Complementos
3.5
Complementos
Notas
En la sección 2.2. se presentó el concepto de límite y se lo caracterizó con seis propiedades
básicas. En el ejemplo 5 se presentaron un par de funciones que no tenían límite (en realidad
ahora diríamos que se trata de límites infinitos) y el ejemplo 6 mostró a la función sin x1 , que
no tiene en el origen límites ni infinitos ni laterales. Nada parecido puede pasar con una función
monótona en un intervalo. En este caso siempre existen límites laterales y las discontinuidades
sólo pueden ser de "salto finito". Una prueba de esta afirmación requiere una definición formal
de límite y alguna descripción de propiedades de los números reales que en este nivel no estamos
manejando. Pero se trata de un hecho intuitivamente evidente y lo aceptaremos como la séptima
propiedad del límite:
7. Si f es una función monótona en un intervalo (a, b), entonces existen los límites laterales
lim f (x)
y
x→a+
lim f (x) .
x→b−
Ejercicios
*27. Demostrar:
(a) Si la función f es creciente en (a, b) entonces, para todo c ∈ (a, b), limx→a+ f (x) ≤
f (c) ≤ limx→b− f (x). Si f es decreciente las desigualdades se invierten y si f es
estrictamente monótona las desigualdades son estrictas.
(b) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces limx→c− f (x) ≤ f (c) ≤
limx→c+ f (x) . Para f decreciente valen desigualdades inversas.
(c) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces, para a < x1 < c < x2 < b,
f (x1 ) ≤ lim f (x) ≤ f (c) ≤ lim f (x) ≤ f (x2 ) .
x→c−
x→c+
Y si f es estrictamente creciente,
f (x1 ) < lim f (x) ≤ f (c) ≤ lim f (x) < f (x2 ) .
x→c−
x→c+
Obvias modificaciones para el caso decreciete.
*28. Si f es creciente en (a, b) y continua en [a, b] , entonces f es creciente en [a, b]. Esto
es, ∀x ∈ (a, b) , f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Si el crecimiento de f en (a, b) es estricto, el
crecimiento en [a, b] también resulta estricto: ∀x ∈ (a, b) , f (a) < f (x) < f (b) .
*29. Si limx→c f (x) = ∞, dado M > 0, en cualquier entorno reducido de c es posible
encontrar un x tal que |f (x)| > M .
Hint. Usar ejercicio 30 del capítulo 2.
30. Si f es una función convexa y en algún intervalo es creciente o en algún punto es
f 0 (x) > 0, entonces limx→+∞ f (x) = +∞. Estudiar propiedades similares en −∞ y
para funciones cóncavas.
101