Tema 6: Cálculo diferencial.

MATEMÁTICAS II. Tema 6
EJERCICIOS DE PROPIEDADES Y TEOREMAS
BÁSICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Demostrar que la derivada de la función f ( x) = x 3 − x 2 − x + 1 tiene una raíz
real en el intervalo (− 1,1) .
2. Comprobar si la función f ( x) = 3x 2 − 5 satisface el Teorema de los incrementos
finitos de Lagrange en el intervalo [− 2,0] y en caso afirmativo hallar el valor de
x0 .
3. Comprobar si la siguiente función satisface el Teorema de los incrementos
finitos de Lagrange en [0,2] y en caso afirmativo hallar el valor de x0 .
3 - x 2

f(x) =  2
 1
 x
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 < x < +∞
f ( x) = x 2 − 2 x + 3
y
4. Comprobar
si
las
siguientes
funciones
3
2
g ( x) = x − 7 x + 20 x − 5 satisfacen el Teorema del valor medio de Cauchy en
el intervalo [1,4] .
5. Hallar los siguientes límites utilizando la Regla de L`Hopital:
ln x
a) lim 2
x →1 x + x + 2
e) lim+
x→0
ln( x)
ln[sen( x)]
h) lim x
x →0
x
1
2
c) lim x− x
x → +∞ e
ex −1
b) lim
x →0
x
 1
1 
f) lim 
−
x →1 x − 1
ln( x) 

1
i) lim  
x →0 x
 
tg ( x )
d) lim
x → +∞
g) lim e − x ⋅ x
x → +∞
j) limπ [1 + 2 ⋅ cos( x)]cos( x )
1
x→
2
6. Representar gráficamente la siguiente función:
f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4
ln( x)
x
7. Representar gráficamente la siguiente función:
f ( x) =
x3
x2 −1
8. Representar gráficamente la siguiente función:
f ( x) =
4 x − 12
( x − 2) 2
9. Calcular máximos y mínimos de la siguiente función en el intervalo (− 2,5] :
f ( x) =
1
2
⋅ ( x − 1) ⋅ (4 − x )
3
10. Determinar los parámetros a y b para que la función sea derivable en el punto
x0 = 0 y estudiar máximos y mínimos en el intervalo [− 1,2)
a ⋅ 2x - 1
f(x) = 
2bx 2 + 2
si x < 0
si x ≥ 0
11. Hallar extremos absolutos e inflexiones de la siguiente función en el intervalo
[− 4,3) :
 x ⋅ (x - 2 ) ⋅ (x + 3)
f(x) =  2
x + 3
si x ≤ 1
si x > 1