cos =π− x c) d) 10. Resuelve las siguientes ecuaciones

1
UAH. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS.
ACTUALIZACIÓN DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICAS PARA…
Trigonometría y geometría
HOJA 5
1. Utilizando la calculadora en el modo DEG halla el valor de:
a) sin 45º; cos 45º; tan 45º b) sin 27º, cos 63º; tan 27º
c) sin 80º; cos 10º; tan 80º
d) sin 25º; sin 155º; sin 205º e) cos 70º; cos 110º; cos 290º f) tan 20º; tan 200º; tan 340º
2. Utilizando la calculadora en el modo RAD halla el valor de:
a) sin 0,7; cos 0,7; tan 0,7
b) sin (0,7 − π); cos (0,7 − π); tan (0,7 − π)
c) sin (0,7 + π/2); cos (0,7 + π/2); tan (0,7 + π/2)
3. Sin utilizar las funciones trigonométricas de la calculadora halla sin α y tan α, sabiendo
que cos α = 0,5 y que α está entre 0º y 90º.
4. Utilizando las funciones trigonométricas de la calculadora halla α, sin α y tan α, sabiendo
que cos α = 0,5 y que α está entre 0º y 90º.
5. Utilizando las funciones trigonométricas de la calculadora halla:
a) α, sin α y tan α, sabiendo que cos α = −0,5 y que α está entre 180º y 270º.
b) α, cos α y tan α, sabiendo que sin α = 0,8 y que α está entre 90º y 180º.
c) α, sin α y cos α, sabiendo que tan α = 2 y α está entre 180º y 270º.
6. Halla dos ángulos α, en grados, sabiendo que:
a) sin α = 0,6
b) cos α = −0,5
c) tan α = −2
7. Halla dos ángulos α, en radianes, sabiendo que:
3
c) tan α = 2
a) sin α = 0,3
b) cos α =
2
d) sin α = 0
d) cos α = −1
8. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
3
x
a) sin 2x = 0,5
b) sin (x + 45º) = 0 c) sin =
3
2
π

d) 2 sin  x −  = −1
6

9. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
x
b) cos( x − π) = 0,5 c) 2 cos = − 3
a) cos 4 x = 0,5
4
π

d) cos x −  = 0
6

10. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
x
a) tan x = −1 b) tan (x − 30º ) = 3
c) 2 tan = 0
4
π

d) tan x −  = 1
6

11. Aplica las razones trigonométricas para hallar:
a) La pendiente media del montículo y la distancia real entre A y B;
b) La altura de la torre;
c) La anchura del río.
Utiliza los datos de los ejemplos dados en el resumen teórico del tema.
José María Martínez Mediano
2
r
r
12. Dados a = (3, 2) y b = (1, −3), representa gráficamente y calcula las coordenadas de los
vectores:
r
r
r r
r
r
1r 1r
a) a + b
b) a − 2b
c) 3b − a
d) a + b
2
2
r
r
13. Dados a = (3, 2) y b = (1, −3), halla:
a) su producto escalar;
b) el módulo de cada uno de ellos y vectores unitarios en la dirección de cada uno de ellos;
r r
c) otros dos vectores que sean, respectivamente, paralelos a a y b .
r r
d) otros dos vectores que sean, respectivamente, perpendiculares a a y b .
14. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las siguientes rectas:
a) r1 : 4 x − 2 y + 2 = 0
b) r2 : x − 2 y − 4 = 0
c) r3 : −3x − 2 y + 6 = 0
15. Halla una recta paralela y otra perpendicular:
a) A 4 x − 2 y + 2 = 0 , por el punto (2, −1)
1
b) A y = − x − 1 , por el punto (2, 2).
2
16. Halla la ecuación de la recta que cumple:
a) Pasa por los puntos A(1, 3) y B( 5, −1).
b) Pasa por P(−1, 2) y tiene pendiente −1.
c) Corta a los ejes en los puntos (3, 0) y (0, −2).
17. Determina (y dibújalas) el centro y el radio de las circunferencias:
a) ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 = 9
b) x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 1 = 0
18. Identifica las siguientes curvas del plano:
x2 y2
x2 y2
a)
+
=1
b)
−
=1
c) x 2 + 4 y 2 = 4
16 9
25 9
e) x 2 + y 2 − 2 x = 0 f) x 2 + 4 y = 4
g) x − y 2 = 0
d) xy = 10
h) x 2 − y 2 = 4
José María Martínez Mediano
3
Soluciones:
1. a) 0,7071; 0,7071; 1. b) 0,454; 0,454; 0,5095. c) 0,9848; 0,9848; 5,6713. d) 0,4226;
0,4226; −0,4226. e) 0,3420; −0,3420; 0,3420. f) 0,3640; 0,3640; −0,3640.
2. a) 0,6442; 0,7648; 0,8423. b) −0,6442; −0,7648; 0,8423. c) 0,7648; −0,6442; 2,2708.
3
3.
; 3.
2
4. 60º; 0,8660; 1,7321.
5. a) 240º; −0,8660; 1,7321. b) 126,87º; −0,6; −1,3333.c) 243,43º; −0,8944; −0,4472.
6. a) 36,87º; 143,13. b) 120º; 240º. c) −63,43º; 116,57. d) 0º; 180º.
7. a) 0,3047; π − 0,3047. b) 0,5236; −0,5236. c) 1,1071; 1,1071 + π. d) π; 3π.
π
12 + kπ
 π + 6 kπ
8. a) x = 
. b) x = 135º + k ·180º . c) x = 
. d) x = kπ .
2π + 6kπ
 5 π + kπ
 12
π
10π
π 1
 3 + 2kπ
 3 + 8kπ
12 + 2 kπ
x
π
9. a) x = 
2 cos = − 3 . d) x = + kπ .
. b) x = 
. c) x = 
4
3
 5π + 1 kπ
 8π + 2kπ
14π + 8kπ
 12 2
 3
 3
 5π
+ 2kπ
3π
 6
.
10. a) x =
+ kπ . b) x = 90º + k ·180º . c) x = 4kπ . d) x = 
4
11π + 2kπ
 6
11. a) 21,80º; 807,8 m. b) 29,06 m. c) 41,95 m.
12. a) (4, −1). b) (1, 8). c) (0, −11). d) (2, −1/2).
1
13. a) −3. b) 13 ; 10 ; ±
(3, 2) ; ± 1 (1, − 3) . c) (6, 4); (2, −6). d) (2, −3); (3, 1).
13
10
14. a) 2 y 1. b) 1/2 y −2. c) −3/2 y 3.
1
1
15. a) y = 2 x − 5 ; y = − x . b) y = − x + 3 ; y = 2 x − 2 .
2
2
16. a) x + y − 4 = 0 . b) y = − x + 1 . c) 2 x − 3 y = 6 .
17. a) (3, −2); 3. b) (1, 4); 4.
18. a) Elipse centrada en el origen y de semiejes 4 y 3. b) Hipérbola centrada en el origen y
de semiejes 5 y 3. c) Elipse centrada en el origen y de semiejes 2 y 1. d) Hipérbola equilátera,
con asíntotas los ejes cartesianos. e) Circunferencia con centro en (1, 0) y radio 1. f) Parábola
de eje vertical. g) Parábola de eje horizontal. h) Hipérbola equilátera de semiejes igual a 2.
José María Martínez Mediano