x,x - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
1
4.- Dado el problema de programación multiobjetivo:
Min f 1 (x1 , x 2 , x3 ) = 2x1 − x 2 + 3x3
Min f 2 (x1 , x 2 , x3 ) = − x1 + x 2 − 2x3
s.a.
6x1 − 3x 2 + 3x3 ≤ 10
− x1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15
x1 ≤ 13
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
imponemos que f1(x1, x2, x3) = 10, en el primer nivel de prioridad, y que f2(x1, x2, x3) ≤ 0, en
el segundo. Determine el problema Lexmin que tendríamos que resolver indicando qué
problema se plantea en cada uno de los niveles. ¿Sería el punto (0, 11, 7) solución
satisfactoria?
Solución:
La primera meta es 2x1 – x2 + 3x3 = 10, que se transforma en 2x1 – x2 + 3x3 + n1 - p1
= 10, siendo la función de realización correspondiente a este primer nivel de prioridad
h1(n1, p1) = n1 + p1
En segundo lugar, se impone –x1 + x2 – 2x3 ≤ 0, entonces, –x1 + x2 – 2x3 + n2 - p2 = 0
y h2(n2, p2) = p2.
Con estas condiciones el problema de programación por metas resultante es:
lexmin (n 1 + p 1 , p 2 )
s.a.
6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10
− x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15
x 1 ≤ 13
2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10
x 1 + x 2 - 2x 3 + n 2 - p 2 = 0
x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 , n 2 , p 2 ≥ 0
Nivel 1:
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Programación Matemática para Economistas
2
min n 1 + p 1
s.a.
6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10
− x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15
x 1 ≤ 13
2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10
x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 ≥ 0
Nivel 2:
min
p2
s.a.
6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10
− x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15
x 1 ≤ 13
2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10
n1 + p 1 = 0
x 1 + x 2 - 2x 3 + n 2 - p 2 = 0
x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 , n 2 , p 2 ≥ 0
Para que el punto (0, 11, 7) sea solución satisfactoria, debe verificar todas las
restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo, sustituyéndolas
en dicho punto.
Restricciones del problema:
0 – 33 + 21 = -12 ≤ 10
0 + 22 – 7 = 15 ≥ 15
0 ≤ 13
Primera meta:
0 – 11 + 21= 10 = 10
Segunda meta:
0 +11 –14 = -3 ≤ 0
Puesto que se ha comprobado que el punto (0, 11, 7) verifica todas las restricciones
del problema y además satisface las metas, podemos afirmar que es solución satisfactoria.
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz