´Algebra Lineal VI: Combinaciones lineales y conjuntos generadores.

Álgebra Lineal VI: Combinaciones lineales y conjuntos
generadores.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Combinaciones lineales.
Definición de combinaciones lineales. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. Defina el conjunto CL ⊆ V , como
CL = {~v |~v = λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn ,
λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K}
CL se denomina el conjunto de combinaciones lineales del conjunto S. El vector ~v definido como se
indica se denomina una combinación lineal de los vectores en S.
Teorema. El conjunto de combinaciones lineales del conjunto finito de vectores S ⊂ V de un
espacio vectorial V es un subespacio de V . El subespacio vectorial, se denomina [S] o [~v1 , ~v2 , . . . , ~vn ],
donde S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }.
Prueba: Sean w
~ S1 , w
~ S2 ∈ [S] vectores arbitrarios y λ ∈ K un escalar arbitrario, entonces
w
~ S1 = λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn
y w
~ S2 = µ1~v1 + µ2~v2 + . . . + µn~vn
donde λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ K y µ1 , µ2 , . . . , µn ∈ K. Entonces considere
w
~ S1 + w
~ S2
=
(λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn ) + (µ1~v1 + µ2~v2 + . . . + µn~vn )
=
(λ1 + µ1 )~v1 + (λ2 + µ2 )~v2 + . . . + (λn + µn )~vn
Sin embargo, por las propiedades del campo K, se tiene que (λ1 + µ1 ), (λ2 + µ2 ), . . . , (λn + µn ) ∈ K. Por
lo tanto
w
~ S1 + w
~ S2 ∈ [S]
El conjunto [S] está cerrado respecto a la suma.
De manera semejante, considere
λw
~ S1 = λ(λ1~v1 + λ2~v2 + . . . + λn~vn ) = (λλ1 )~v1 + (λλ2 )~v2 + . . . + (λλn )~vn
Sin embargo, por las propiedades del campo K, se tiene que (λλ1 ), (λλ2 ), . . . , (λλn ) ∈ K. Por lo tanto
λw
~ S1 ∈ [S]
El conjunto [S] está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Estos resultados muestran que
[S] ≤ V.
El espacio vectorial [S] se conoce como el espacio generado por el conjunto S o bien que S es el
conjunto generador del espacio [S] y los vectores de S son los generadores del espacio [S]. De manera
formal, un subconjunto S ⊂ V, se dice que es un conjunto generador de V, si cualquier vector ~v ∈ V
puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de S.
1
2.
Ejemplos.
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de combinaciones lineales de espacios vectoriales.
Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo
de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
1.
Considere el conjunto S = {~v1 }, formado por un único vector ~v1 . Entonces, el espacio [S] está dado
por
[S] = {λ~v1 |λ ∈ K}
Geométricamente [S] está formado por una lı́nea que pasa por el origen y tiene la dirección del
vector ~v1 .
2.
Considere el conjunto S = {~v1 , ~v2 }, formado por dos vectores ~v1 , ~v2 . Entonces, el espacio [S] está dado por
[S] = {λ1~v1 + λ2~v2 |λ1 , λ2 ∈ K}
Geométricamente [S] está formado por un plano que pasa por el origen y contiene a los vectores ~v1
y ~v2 . Mas aún, una normal al plano está dada por ~v1 × ~v2 , donde × indica el producto vectorial de
los vectores.
Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial C0 (−∞, +∞) formado por funciones reales, de variable
real, continuas, definidas en el intervalo (−∞, +∞), sobre el campo de los números reales R, con las
operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar. Sea S el conjunto dado por
S = {f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x}, entonces el conjunto generado por S, está dado por
[S] = {a1 cos x + a2 sin x|a1 , a2 ∈ R}
Es importante señalar que [S] contiene todas las soluciones de la ecuación diferencial
d2 f (x)
+ f (x) = 0
dt2
Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial P3 (x) formado por polinomios con coeficientes reales en
la variable x, sobre el campo de los números reales, con las operaciones usuales de suma y multiplicación
por escalar. Describa el espacio generado por el conjunto de polinomios {p1 (x) = x, p2 (x) = x3 }. Verifique
además que el espacio generado es un subespacio de P3 (x).
3.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Determine si el vector w
~ = (2, 3, −1) es un elemento del espacio generado por el conjunto
{~u = (1, 2, 1), ~v = (0, 1, 1)}, en el espacio vectorial vectorial real R3 .
Problema 2. Determine si el polinomio q(x) = 15 + 3 x − 9 x2 , pertenece al espacio generado por el
conjunto {p1 (x) = 3 + x − 2 x2 + x3 , p2 (x) = 1 + x − x2 + 2 x3 } en el espacio vectorial real P3 (x).
Problema 3. Determine si la matriz A pertenece al espacio generado por el conjunto de matrices
{B, C} en el espacio vectorial real M2×2 . Donde las matrices están dadas por
¸
¸
·
¸
·
·
3 2
1 1
8 2
.
, C=
B=
A=
−1 1
0 3
3 −1
Problema 4. Determine si la función g(x) = Cos2 (x) pertenece al espacio generado por el confunto
{f1 (x) = 1, f2 (x) = Cos(2 x)} en el espacio vectorial real C0 (−∞, +∞).
Problema 5. Considere el espacio vectorial P3 (x) formado por polinomios con coeficientes reales en
la variable x, sobre el campo de los números reales, con las operaciones usuales de suma y multiplicación
por escalar. Determine si los siguientes conjuntos
2
1.
2.
3.
©
ª
S1 = p1 (x) = 1 + x, p2 (x) = 1 + x3 , p3 (x) = x3 .
©
ª
S2 = p1 (x) = 1 + x, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = x2 − x3 , p4 (x) = x2 + x3 .
©
ª
S3 = p1 (x) = 1 + x, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = x3 , p4 (x) = 5 + 7x + x3 .
son conjuntos generadores de P3 (x)
Problema 6. Considere el espacio vectorial M2×2 formado por matrices 2 × 2 con coeficientes reales
con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar. Determine si los siguientes conjuntos
1.
2.
El primer conjunto está dado por
¸
·
·
¸
¸
·
½
·
0
1 0
0 −1
1 0
, M4 =
, M3 =
, M2 =
S 1 = M1 =
3
0 3
2 0
0 1
El segundo conjunto está dado por
¸
·
½
·
1
1 2
, M2 =
S 2 = M1 =
2
3 1
son conjuntos generadores de M2×2
3
−1
−3
¸
, M3 =
·
1 3
−2 3
¸¾
1
0
.
¸¾
.