Geometría Analítica - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Forma general
La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas:
horizontales, verticales e inclinadas.
En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación de una recta dada.
Por ejemplo, en el caso de la ecuación de la recta en la forma simétrica, en caso de que cualquiera
de las intersecciones fuera, bien a = 0, bien b = 0, la ecuación simétrica no puede escribirse.
En el caso de la ecuación vertical, no puede escribirse ni en forma punto-pendiente, ni en forma
pendiente-ordenada al origen.
Esto se debe a que la recta vertical no tiene definida la pendiente. (¿Por qué?)
Así que surge la necesidad de estudiar una clase más de forma de la recta.
Considera la ecuación de la recta en su forma simétrica:
x y
+ =1
a
b
Si multiplicamos ambos lados por ab obtenemos:
x
y
ab ·
+ ab ·
a
b
bx+ay
= ab
= ab
b x + a y − ab = 0
Ahora que hemos transformado la ecuación para evitarnos las fracciones, podemos cambiar los
nombres de los coeficientes y escribir:
Ax+By+C = 0
Esta es la ecuación de la recta en su forma general.
Ecuación de la recta en su forma general
La ecuación de la recta en su forma general es:
Definición
1
Ax+By+C = 0
donde A, B, C ∈ R, y los coeficientes A, B no pueden ser cero simultánemente.
Podemos encontrar la ecuación de cualquier recta del plano en su forma general. De ahí viene el
adjetivo «general».
Ejemplo 1
Hallar la ecuación (forma general) de la recta que pasa por los puntos A(7, 1) y B(3, 8).
• Primero encontraremos la pendiente de la recta.
• Después utilizaremos la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.
• Pendiente de la recta:
m=
y2 − y1
8−1
7
=
=
x2 − x1
3−7
−4
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• Ahora sustituimos los datos conocidos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:
y − y1
y−7
4 ( y − 7)
4 y − 28
7 x + 4 y − 28 − 7
7 x + 4 y − 35
= m ( x − x1 )
7
= − ( x − 1)
4
= −7 ( x − 1)
= −7 x + 7
= 0
= 0
• En este caso no nos conviene despejar y, porque eso implicaría tener coeficientes fraccionarios.
Observa que en este caso hemos dejado la ecuación de la recta en la forma A x + B y + C = 0. En
este caso particular, A = 7, B = 4 y C = −35.
Reto 1
Transforma la ecuación de la recta de su forma punto-pendiente a la forma general usando
m = ∆y/∆x.
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación en forma general de la recta que tiene pendiente m = 3 y pasa por el
punto P(−1, 3).
• Empezamos sustituyendo los valores en la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente:
y − y1
y−3
y−3
−3 x + y − 6
3x−y+6
=
=
=
=
=
m ( x − x1 )
3 ( x − (−1))
3x+3
0
0
• Se sugiere que el coeficiente de x sea positivo. Por eso se multiplicó la ecuación por −1 al
final.
Reto 2
Transforma la ecuación de la recta en su forma general a la forma punto-ordenada al origen.
Transforma la ecuación de la recta en forma simétrica:
x y
+ =1
3
7
Ejemplo 3
a la forma general.
• Es muy sencillo hacer la conversión: multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los
denominadores y después expresamos la ecuación en la forma general:
y
x
21
+ 21
= 21
3
7
7 x + 3 y − 21 = 0
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• Grafica la ecuación. Para eso es mejor basarse en la forma simétrica que en la general.
Transforma la ecuación en su forma general a la forma simétrica.
Reto 3
Encuentra la ecuación en su forma general de la recta que pasa por el punto P(5, 4) y es paralela
a la recta: 3 x + 2 y − 5 = 0.
Ejemplo 4
• Ya conocemos un punto por donde pasa la recta.
• Nos falta conocer la pendiente.
• Como ambas rectas son paralelas, la pendiente de la recta que buscamos es igual a la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos.
• Para calcular la pendiente de las rectas, vamos a expresar la ecuación en la forma pendienteordenada al origen:
3x+2y−5
= 0
= −3 x + 5
5
3
y = − x+
2
2
2y
• Ahora sabemos que la pendiente de la recta es: m = −3/2.
• Sustituimos los datos en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:
y − y1
y−4
2 ( y − 4)
2y−8
3 x + 2 y − 23
= m ( x − x1 )
3
= −
( x − 5)
2
= −3 x + 15
= −3 x + 15
= 0
• Ahora se queda como ejercicio que transformes esta ecuación a la forma simétrica y la
grafiques.
En este ejemplo hemos utilizado la condición de paralelismo entre dos rectas:
Si `1 k `2
entonces,
m1 = m2
Al tratar de resolver un problema debes reconocer qué parte de la teoría te ayuda a resolverlo.
El siguiente ejemplo requerirá que recuerdes la condición de perpendicularidad entre dos rectas.
Encuentra la ecuación (forma general) de la recta que es perpendicular a la recta 5 x − 3 y + 21 =
0 y que pasa por el punto P(7, −1).
• Sabemos que las rectas son perpendiculares, entonces sus pendientes son recíproco de signo
cambiado una de la otra.
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Ejemplo 5
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Primero encontramos la pendiente de la recta cuya ecuación conocemos.
• Para eso basta despejar y, así obtenemos la ecuación en la forma pendiente-ordenada al
origen:
5 x − 3 y + 21
= 0
5 x + 21 = 3 y
5
x+7 = y
3
• Entonces, la pendiente de esta recta es m = 5/3.
• Encontramos la pendiente de la recta cuya ecuación deseamos calcular con la condición de
perpendicularidad entre dos rectas:
m2 = −
1
m1
1
3
m2 = − = −
5
5
3
⇒
• Ahora que conocemos su pendiente un punto por el cual pasa, podemos calcular su ecuación:
y − y1
y−7
5 ( y − 7)
5 y − 35
3 x + 5 y − 32
= m ( x − x1 )
3
= − ( x − (−1))
5
= −3 ( x + 1)
= −3 x − 3
= 0
• Esa es la ecuación que necesitabamos calcular.
Supón que deseas encontrar la pendiente de una recta perpendicular al eje x. ¿Qué información
arroja la condición de perpendicularidad entre dos rectas?
Observa que la pendiente del eje x es cero. (¿Por qué?) Cuando aplicamos la condición de
perpendicularidad tenemos una división entre cero. Esto nos indica que la pendiente de una recta
vertical no está definida.
Debes tener cuidado y observar esos casos antes de empezar con los cálculos.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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