GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON POTENCIAS.

GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON
POTENCIAS.
POTENCIAS: CONTENIDOS Y EJERCICIOS
1
POTENCIAS.
Definición: Potencia: es un producto de factores iguales
an = a · a · a · a....................
24 =
Ejemplo:
2·2·2·2
Desarrollo
=
a1 = a
16
Valor
a0 = 1
1n = 1
Completar el siguiente cuadro.Potencia
Base
32
3
Exponente
2
Desarrollo
3·3
Valor
9
43
55
77
110
210
42
24
93
Ejercicios:
1) Calcula el cubo de 5 = _____
2) Calcula el cuadrado de 10 = _____
3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes _____
4) El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es _____
5) El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es _____
Si elevas un número a la 2ª potencia, se dice que está elevado al cuadrado.
2
Ejemplo: 52 se dice 5 al cuadrado; 82 se dice 8 al cuadrado etc
Si elevas un número a la 3ª potencia, se dice que está elevado al cubo.
Ejemplo: 23 se dice 2 al cubo; 93 se dice 9 al cubo y así para todos los
casos.
Ejercicios:
Encuentra el producto.1) 103 · 102 · 104 =
2) 2 · 22 · 23 =
3) 30 · 3 · 33 =
Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base,
mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes.
a n · a m = an + m
Ejercicios:
1) 81 · 80 · 82 · 83 =
2) 104 · 101 · 105 · 103 =
3) 22 · 23 · 24 =
4) 50 · 51 · 52 · 53 =
5) 101 · 102 · 103 =
Encuentra los cuocientes:
a) 24 : 23 =
b) 34 : 32 =
c) ( 105 : 103 ) : 102 =
Para dividir potencias de igual base , se eleva la base a la diferencia de los
exponentes.
a n : a m = an - m
Ejercicios:
1) Escribir en forma de potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =
3
2)
“
“
“
5·5·5
=
3)
“
“
“
2·2·2·2
=
4)
“
“
“
5)
“
“
“
10· 10 · 10·10·10 · 10 =
4
=
Desarrollar las potencias:
1) 64 =
2) 73 =
3) 24 =
4) 52 =
Calcular:
1) 32 - 23 =
2) 26 + 43 =
3) 30 + 41 + 23 + 52 =
4) 51 – 22 + 32 – 23 =
Calcula y compara:
Aquí.
Responde
1) 23 y 32
2) 53 y 35
3) 24 y 42
¿Cuál es la diferencia entre ( 16 + 4 )2
y
162?
Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se
suman los exponentes.Calcular sólo expresando el resultado como potencia.1) 24 · 23 =
4
2) 33 · 34 =
3) 52 · 53 =
4) 34
·
33 · 32 · 31 · 30 =
5) 25 · 21 · 24 · 22 · 23 =
Recuerda que para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia
de los exponentes.Calcular:
1) 55 : 53 =
2) 528
:
525 =
3) 211 : 29 =
4) 1012 : 108 =
Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis, luego las
multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.Calcular:
1) 22 + 30 · 41 + ( 52 - 32 ) =
2) 42 - 24 + 53 : 52 + 25 =
3) 26 : 24 + ( 23 + 32 - 42 ) =
4) 20 · 23 · 22 - 42 · 21 =
Más ejercicios del Colegio:
Ejemplo:
1) ( 108 : 106 ) : 100
=
108 – 6 : 100 = 102 – 0 = 102 = 100
En la misma forma realiza los siguientes ejercicios:
2) ( 45 : 43 ) · 46 =
5
3) ( 26 · 28 ) : 25 =
4) ( 47 · 42 ) : 45 =
Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades:
48.000 = 48 · 1.000 = 48 · 103
Ejemplo:
2.500.000 = 25 · 100.000 = 25 · 105
Ejercicios:
1) 7.500 =
2) 64.000 =
3) 28.000.000 =
4) 3.600.000 =
5) 128.000.000 =
6) 700 =
7) 80 =
8) 9.000.000 =
9) 17.000.000 =
10) 680.000.000 =
Descubre el Número:
Ejemplo: 1) 36 · 103 = 36 · 1.000 = 36.000
2) 2 · 104 = 20.000
6
Ejercicios:
3) 10 · 105 =
4) 7 · 103 =
5) 2 · 7 · 102 · 103 =
6) 3 · 5 · 104 · 105 =
7) 2 · 3 · 4 · 103 · 102 =
8) 102 · 103 · 104 · 105 =
9) 12 · 104 =
10) 3 · 4 · 2 · 103 =
11) 7 · 3 · 102 · 103 · 103 =
12) 4 · 2 · 3 · 104 · 103 107 =
13) 5 · 52 · 10 · 103 =
14) 22 · 23 · 100 · 104 =
15) 40 · 4 · 42 · 103 · 100 · 105 =
Ejercicios de varias clases ( repaso )
Abrevia usando potencias de 10:
1) 28.000 =
7
2) 3.400.000 =
3) 18 · 250.000 =
4) 380.000.000 =
Descubre el número:
1) 28 · 107 =
2) 3 · 2 · 10 · 102 =
3) 4 · 3 · 103 · 104 · 100 =
4) 5 · 2 · 100 · 103 · 105 =
Notación ampliada usando potencias de 10.
Ejemplo: 4.807 = 4 · 103 + 8 · 102 + 7 · 100
Ejercicios:
1) 30.098 =
2) 247.012 =
3) 3.438.205 =
4) 48.007.002 =
5) 3.000.100 =
6) 27.000.000 =
8
PRUEBA .
1) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número
compuesto.
2) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de 5.
3) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 25 y 23.
4)¿Qué número representa esta notación ampliada?
100 + 8 · 103 + 5 · 105
=
5) Escribe usando Notación ampliada el número:
6.00.420
=
6) Qué número representa cada notación siguiente?
a) 4 · 103 =
b) 28 · 105 =
7) ¿Qué número representa cada factorización prima?
a) 22 · 32 =
b) 52 · 23 =
8) Encuentra la factorización prima de cada número.
a)
64
b)
24
9) Encuentra por extensión el conjunto pedido.
A = { x / x ∈ N, 1 ≤ x números primos < 2 }
A = {
9
Solucionario.
10
POTENCIAS.-
( básicas ).
Definición: Potencia: es un producto de factores iguales
an = a · a · a · a....................
24 =
Ejemplo:
2·2·2·2
Desarrollo
=
a1 = a
16
Valor
a0 = 1
1n = 1
Completar el siguiente cuadro.Potencia
Base
Exponente
Desarrollo
Valor
32
3
2
3·3
9
43
4
3
4 . 4 .4
64
55
5
5
5.5.5.5.5
3.125
77
7
7
7.7.7.7.7.7.7
823.543
110
1
10
1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 .1
1
210
2
10
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2
1.024
42
4
2
24
2
4
2.2.2.2.
16
93
9
3
9.9.9
729
4.4
16
Ejercicios:
1) Calcula el cubo de 5 = 53 = 125
2) Calcula el cuadrado de 10 = 102 = 10 . 10 = 100
3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes 24 +
42 = 16 + 16 = 32
4 )El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es 103 .
102
= 1.000 . 32 = 32.000
5)El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es 103 · 25 = 1.000 ·
· 32 = 32.000
Si elevas un número a la 2ª potencia, se dice que está elevado al cuadrado.
11
Ejemplo: 52 se dice 5 al cuadrado; 82 se dice 8 al cuadrado etc
Si elevas un número a la 3ª potencia, se dice que está elevado al cubo.
Ejemplo: 23 se dice 2 al cubo; 93 se dice 9 al cubo y así para todos los
casos.
Ejercicios:
Encuentra el producto.1) 103 · 102 · 104 = 1.000 · 100 · 10.000 = 1.000.000.000 = 109
2) 2 · 22 · 23 =
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 = 26
3) 30 · 3 · 33 =
1 . 3 . 3 . 3 . 3 = 34
Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base,
mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes.
a n · a m = an + m
Ejercicios:
1) 81 · 80 · 82 · 83 =
86
2) 104 · 101 · 105 · 103 = 1013
3) 22 · 23 · 24 = 29
4) 50 · 51 · 52 · 53 = 56
5) 101 · 102 · 103 = 106
Encuentra los cuocientes:
a) 24 : 23 = 2 . 2 . 2 . 2 = 21 = 2 b) 34 : 32 = 3 . 3 . 3 . 3 = 32 = 9
2.2.2
3.3
5
3
2
2
c) ( 10 : 10 ) : 10 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 : 10 = 102 = 1
10 . 10 . 10
102
Para dividir potencias de igual base , se eleva la base a la diferencia de los
exponentes.
a n : a m = an - m
Ejercicios:
1) Escribir en forma de potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35
2)
“
“
“
5·5·5
=
53
12
3)
“
“
“
4)
“
“
“
5)
“
“
“
2·2·2·2
=
24
10· 10 · 10·10·10 · 10 = 106
4
=
41
Desarrollar las potencias:
1) 64 = 6 · 6 · 6 · 6
2) 73 =
7·7·7
3) 24 =
2·2·2·2
4) 52 =
5·5
Calcular:
1) 32 - 23 = 9 – 8 = 1
2) 26 + 43 =
64 + 64 = 128
3) 30 + 41 + 23 + 52 = 1 + 4 + 8 + 25 = 38
4) 51 – 22 + 32 – 23 =
5–4+9–8 = 2
Calcula y compara:
Aquí.
Responde
1) 23 y 32
8 y 9
2) 53 y 35
125 y 241
3) 24 y 42
16 y 16
¿Cuál es la diferencia entre ( 16 + 4 )2 y 162?
202
y
162
400 y 256
Recuerda que para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se
suman los exponentes.Calcular sólo expresando el resultado como potencia.1) 24 · 23 = 27
2) 33 · 34 = 37
13
3) 52 · 53 = 55
4) 34
·
33 · 32 · 31 · 30 = 310
5) 25 · 21 · 24 · 22 · 23 = 215
Recuerda que para dividir potencias de igual base, se eleva la base a la diferencia
de los exponentes.Calcular:
1) 55 : 53 = 52
2) 528
:
525 = 53
3) 211 : 29 = 22
4) 1012 : 108 = 104
Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis, luego las
multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.Calcular:
1) 22 + 30 · 41 + ( 52 - 32 ) = 24
4 + 1 · 4 + ( 25 - 9 )
4 +
4
+
16
2) 42 - 24 + 53 : 52 + 25 =
16 - 16 +
5
+ 32
3) 26 : 24 + (
4
+ (
4
+
4) 20 · 23 · 22
1 · 8 · 4
32
Más ejercicios .-
37
23 + 32 - 4 2 ) = 5
8 + 9 - 16)
1
- 42 · 21 = 0
- 16 · 2
32
Ejemplo:
1) ( 108 : 106 ) : 100
=
108 – 6 : 100 = 102 – 0 = 102 = 100
En la misma forma realiza los siguientes ejercicios:
2) ( 45 : 43 ) · 46 =
45 – 3 · 46 = 42 · 46 = 42 + 6 = 48
3) ( 26 · 28 ) : 25 = 26 + 8 : 25 = 214 – 5 =
14
4) ( 47 · 42 ) : 45 = 47 + 2 : 45 = 49 – 5 = 44
Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades:
48.000 = 48 · 1.000 = 48 · 103
Ejemplo:
2.500.000 = 25 · 100.000 = 25 · 105
Ejercicios:
75 · 100 = 75 · 102
1) 7.500 =
2) 64.000 = 64 · 1.000 = 64 · 103
3) 28.000.000 = 28 · 1.000.000 = 28 · 106
36 · 100.000 = 36 · 105
4) 3.600.000 =
5) 128.000.000 = 128 · 1.000.000 = 128 · 106
7 · 100 = 7 · 102
6) 700 =
8 · 10 =
7) 80 =
8 · 101
8) 9.000.000 = 9 · 1.000.000 =
9) 17.000.000 =
9 · 106
17 · 1.000.000 = 17 · 106
10) 680.000.000 = 68 · 10.000.000 = 68 · 107
Descubre el Número:
Ejemplo: 1) 36 · 103 = 36 · 1.000 = 36.000
2) 2 · 104 = 20.000
Ejercicios:
3) 10 · 105 = 106 = 1.000.000
4) 7 · 103 =
7 · 1.000 = 7.00
15
5) 2 · 7 · 102 · 103 = 14 · 105 = 14 · 100.000 = 1.400.000
6) 3 · 5 · 104 · 105 = 15 · 109 = 15 · 1.000.000.000 = 15.000.000.000
7) 2 · 3 · 4 · 103 · 102 =
24 · 105 = 24 · 100.000 =
8) 102 · 103 · 104 · 105 =
1014 = 100.000.000.000.000
2.400.000
9) 12 · 104 = 12 · 10.000 = 120.000
10) 3 · 4 · 2 · 103 =
24 · 1.000 =
11) 7 · 3 · 102 · 103 · 103 =
24.000
21 · 108 = 21 · 100.000.000 = 2.100.000.000
12) 4 · 2 · 3 · 104 · 103 107 = 24 · 1014 = 24 · 100.000.000.000.000 =
2.400.000.000.000.000
13) 5 · 52 · 10 · 103 = 125 · 104 = 125 · 10.000 = 1.250.000
14) 22 · 23 · 100 · 104 = 25 · 1 · 104 = 32 · 10000 = 320.000
15) 40 · 4 · 42 · 103 · 100 · 105 = 1 · 43 · 108 = 64 · 100.000.000 =
6.400.000.000
Ejercicios de varias clases ( repaso )
Abrevia usando potencias de 10:
1) 28.000 = 28 · 1.000 = 28 · 103
2) 3.400.000 = 34 · 100.000 = 34 · 105
3) 18 · 250.000 = 18 · 25 · 10.000 = 450 · 104 = 45 · 105
4) 380.000.000 = 38 · 10.000.000 = 38 · 10
16
Descubre el número:
1) 28 · 107 = 28 · 10.000.000 = 280.000.000
2) 3 · 2 · 10 · 102 = 6 · 103 = 6 · 1000 = 6.000
3) 4 · 3 · 103 · 104 · 100 = 12 · 107 = 12 · 10.000.000 = 120.000.000
4) 5 · 2 · 100 · 103 · 105 = 10 · 1 · 108 = 109 = 1.000.000.000
Notación ampliada usando potencias de 10.
Ejemplo: 4.807 = 4 · 103 + 8 · 102 + 7 · 100
Ejercicios:
1) 30.098 = 3 · 104 + 9 · 101 + 8 · 100
2) 247.012 = 2 · 105 + 4 · 104 + 7 · 103 + 1 · 101 + 2 · 100
no se pone
3) 3.438.205 = 3 · 106 + 4 · 105 + 3 · 104 + 8 · 10 3 + 2 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100
4) 48.007.002 = 4 · 107 + 8 · 106 + 7 · 103 + 2 · 100
5) 3.000.100 =
3 · 106 + 1 · 102
6) 27.000.000 = 2 · 107 + 7 · 106
También debes saber que existen las potencias de exponente negativo, que
conocerás más adelante. La más importante es:
10-1
=
1
101
=
1
10
17
PRUEBA .
4) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número
compuesto.
44
5) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de 5.
23 + 52 = 8 + 25 = 33
6) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 25 y 23.
25 : 23 = 25-3 = 22
4)¿Qué número representa esta notación ampliada?
100 + 8 · 103 + 5 · 105 =
1 + 8 · 1.000 + 5 · 100.000 = 1 + 8.000 + 500.000 = 508.001
5) Escribe usando Notación ampliada el número:
6.00.421
= 6 · 105 + 4 · 102 + 2 · 101 + 1 · 100
6) Qué número representa cada notación siguiente?
a) 4 · 103 = 4 · 1.000 = 4.000
b) 28 · 105 = 28 · 100.000 = 2.800.000
7) ¿Qué número representa cada factorización prima?
a) 22 · 32 =
4
y
9
b) 52 · 23 = 25 y 8
Atención! Para efectuar el siguiente ejercicio, tendrías que conocer los NUMEROS
PRIMOS.
10) Encuentra la factorización prima de cada número.
a)
64 = 26
|
2 · 32
|
2 · 16
|
2·8
|
2·4
|
2·2
b)
24 =
|
12 · 2
|
6·2
|
3·2
23 · 3
18
Ejercicios de repaso de la materia de 7º año.
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO.
Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado
al exponente positivo.
Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por
la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1.
4
b-n = 1 = 1
bn
b
n
Ejercicios:
a) 2-3 =
k) ( 0,25 )-3 =
b) 3-4 =
l) 104 : 104 =
c) 5-2 =
m) 52 : 52 =
d) 6-3 =
n) 80 =
e) 2-2 =
ñ) 0º =
f) 1
2
-2
=
Calcular el valor de los 5 ej. siguientes
o) ( -2)4 =
g)
2
3
-3
=
p) ( -3 )5
h) 3
4
-2
i)
3
5
-3
=
q) ( -1 )125 =
=
r) ( -4 )5 =
j) ( 0,8 )-2 =
s) ( -10 )5 =
19
Solucionario.-
1
23
1
34
1
52
1
63
1
22
a) 2-3 =
b) 3-4 =
c) 5-2 =
d) 6-3 =
e) 2-2 =
f) 1
-2
=
2
3
-3
h) 3
4
-2
i)
3
5
2
1
m) 52 : 52 =
1
n) 80 =
1
ñ) 0º =
0
Calcular el valor de los 5 ej. Siguientes
16
3
2
3
p) ( -3 )5
- 243
=
4
3
2
q) ( -1 )125 =
- 1
=
5
3
3
r) ( -4 )5 =
- 1.024
=
-3
-2
j) ( 0,8 )
1
(0,25)3
l) 104 : 104 =
o) ( -2)4 =
1
2
h)
2
k) ( 0,25 )-3 =
1
= (0,8)2
s) ( -10 )5
- 100.000
20
Potencias II parte.- Correspondiente a 8º (Materia Básica).
POTENCIAS.Definición:
POTENCIA es un producto de factores iguales.
Ejemplos:
a·a·a·a
se escribe abreviadamente a4
5·5··
“
53
“
b · b · b · b · b .............( n veces) se escribe bn
se lee “b elevado a n” o “enésima potencia”.
En toda potencia debemos distinguir la base, que es el factor que se repite y el
exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor.
Ejemplo
n
b
exponente
base
con n ∈ N0
Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe.
Ejercicios: Calcular:
1) 25 =
2) 33 =
3) 54 =
4) ( 0,3)2 =
5) 106 =
6) 24 + 42 =
7) 52 + 25 =
8) 3
4
9) ¿Es cierto que 43 + 82 = 27?.....................
2
=
10) ( 0,2 )3 =
21
MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Se conserva la base y se suman los exponentes.
Ejemplo:
Al multiplicar a3 · a2 se obtiene a · a · a · a · a = a5
bm · bn = bm + n
En general
Ejercicios:
1) c4 · c5 =
2) d9 · d =
3) 23 · 24 =
4) a-5 · a6 =
5) a2 b3c · a b4 c2 =
6) b0 · b2 =
7) ac · b · a1 · 5 =
8) m2x + y · mx – 3y =
9) ax – y · ay – x
11) bm – n · bn =
12) a-2 · a3 · a-4 =
=
10) x3n + 1 · x6 – 2n =
DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Se conserva la base y se restan los exponentes.
( el exponente del dividendo menos el exponente del divisor).
Ejemplo: Al dividir bm : bn se obtiene:
bm = bm - n
bn
Ejercicios:
1) 29 : 26 =
2) bx : b =
3) c2n + 2 : c
5) a4
a7
6) c6 =
c2
=
4) d3a – 5b : da – 3b =
=
22
SIGNOS DE UNA POTENCIA.
I Las potencias de números positivos son positivas.
Ejemplo: ( + 5 )2 = ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 25
( + 5 )3 = ( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = 125
II En las potencias de números negativos, pueden presentarse dos casos.
A) Las que tienen exponente par, son siempre positivas.
Ejemplos: ( -7 )2 = ( -7 ) · ( -7 ) = + 49
( -3 )4 = ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) = + 81
B) Las que tienen exponente impar, son siempre negativas.
Ejemplos: ( -2 )5 = ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) =
-32
( -4 )3 = ( -4 ) · ( -4 ) · ( -4 ) = -64
Ejercicios: Calcular
1) ( -2 )1 + ( -2 )2 + (-2 )3 + ( -2 )4 + ( -2 )5 =
2) ( -0,5 )3 + ( -0,25 )2 =
3) ( -4 )3 · ( -0,25 )2 =
4) Si x = -1, calcula el valor de la expresión
10x5 + 9x4 + 8x3 + 7x2 + 6x + 5 =
5) Lo mismo si x = -3
23
POTENCIAS DE EXPONENTE CERO.Toda potencia de exponente 0, vale 1.
b0 = 1
Ejercicios:
1) 40 + 50 + 280 =
2) an-1 · b3-n · a1-n · bn-3 =
3) ( a + b )0 =
4) 3( x + 2y )2 – 5(7x + 4y )3 + 28
0
=
MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE
. Se multiplican las bases y se conserva el exponente.
an · bn = ( ab )n
Ejercicios:
1) 23 · 53 =
2) 48 · ( 0,25 )8 =
3) 85 · ( 0,125 )5 =
4) 64 · 1 4 · 1 4 =
3
4
2
5) ( x + y ) · ( x – y )2 =
6) ( 2 a )3 · b
4ª
3
24
ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO.
Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente.
( a·b )n = an · bn
Ejercicios:
1) ( 2·a )3 =
2)
8( a – b )
2
=
3) ( 5x )3 · ( 2ab )3 =
( 100 bx )5
4) 222
= ( 11 · 2 )2 = 121 · 4 = 484
Calcula del mismo modo 242;
362;
442.
DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE.
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
an =
bn
a
b
n
Ejercicios:
1) 484 : 164 =
2) 506 : 256 =
3) 4003 : ( 66 2 )3 =
3
2
4) ( 12,5 ) : ( 2½ )2 =
5) ( ¾ )2 : ( ¼ )2 =
25
ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE.
Se eleva cada uno de sus términos al exponente común.
a
b
n
= an
bn
Ejercicios:
1)
2)
5
6
3
=
12
4
=
3
3) ( -0,75 )4 =
4) ( -2,5 )2 =
5) ( 0,5 )6 + ( 0,25 )3 + ( 0,125 )2 =
6)
6x
8y
3
-4y
· 3x
4
=
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO.
Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado
al exponente positivo.
Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por
la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1.
4
b-n = 1 = 1
bn
b
n
26
Ejercicios:
1) 2-3 =
2) ( 0,5 )-4 + ( 0,4 )-2 =
3) 2-6 + 4-3 + 8-2 =
4) ( 0,5 )-4 + ( 0,25 )-3 + ( 0,125 )-3 =
5) ( 0,75 )-3 · (
11 )3
=
3
6) 1 : ( 0,375 )-2 =
7) ( 0,0375 )-3 =
8) ( 0,75 )-3 : (
11 )3
=
3
27
Potencias II parte.- Correspondiente a 8º (Materia Básica).
POTENCIAS.Definición:
POTENCIA es un producto de factores iguales.
Ejemplos:
a·a·a·a
se escribe abreviadamente a4
5·5··
“
53
“
b · b · b · b · b .............( n veces) se escribe bn
se lee “b elevado a n” o “enésima potencia”.
En toda potencia debemos distinguir la base, que es el factor que se repite y el
exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor.
Ejemplo
b
n
exponente
base
con n ∈ N0
Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe.
Ejercicios: Calcular:
3) 54 =
32
2) 33 =
32
4) ( 0,3)2 =
625
6) 24 + 42 =
16 16
1) 25 =
7) 52 + 25 =
25 32
9) ¿Es cierto que 43 + 82 = 27? Si porque 27
64 + 64 =
128
27
5) 106 = 1.000.000
0,09
8) 3
4
= 128
2
= 32 = 9
42
16
10) ( 0,2 )3 = 0,008
28
MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Se conserva la base y se suman los exponentes.
( para continuar los ejercicios, es indispensable conocer las operaciones con Números
Negativos ( Conjunto Z )
Ejemplo:
Al multiplicar a3 · a2 se obtiene a · a · a · a · a = a5
En general
bm · bn = bm + n
Ejercicios:
1) c4 · c5 = c9
2) d9 · d = d10
3) 23 · 24 = 27
4) a-5 · a6 = a1 = a
5) a2 b3c · a b4 c2 = a3b7c3
6) b0 · b2 = b2
7) ac · b · a1 · 5 = acb + 5
8) m2x + y · mx – 3y = m3x – 2y
9) ax – y · ay – x = a0 = 1
10) x3n + 1 · x6 – 2n = xn + 7
11) bm – n · bn =
12) a-2 · a3 · a-4 = a-3
bm
DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Se conserva la base y se restan los exponentes.( el exponente del dividendo menos el
exponente del divisor).
Ejemplo: Al dividir bm : bn se obtiene:
bm = bm - n
bn
Ejercicios:
1) 29 : 26 = 23
2) bx : b =
4) d3a – 5b : da – 3b = d2a – 2b
5) a4
a7
= a-3
bx - 1
3) c2n + 2 : c = c2n + 1
6) c6 = c4
29
SIGNOS DE UNA POTENCIA.
I Las potencias de números positivos son positivas.
Ejemplo: ( + 5 )2 = ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 25
( + 5 )3 = ( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = 125
II En las potencias de números negativos, pueden presentarse dos casos.
C) Las que tienen exponente par, son siempre positivas.
Ejemplos: ( -7 )2 = ( -7 ) · ( -7 ) = + 49
( -3 )4 = ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) = + 81
D) Las que tienen exponente impar, son siempre negativas.
Ejemplos: ( -2 )5 = ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) =
-32
( -4 )3 = ( -4 ) · ( -4 ) · ( -4 ) = -64
Ejercicios: Calcular
1) ( -2 )1 + ( -2 )2 + (-2 )3 + ( -2 )4 + ( -2 )5 =
-2 + 4 + -8
+ 16 + -32 = -22
2) ( -0,5 )3 + ( -0,25 )2 =
- 0,125 + 0,0625
= -0,0625
3) ( -4 )3 · ( -0,25 )2 =
-64 · +0,0625
= -4
4) Si x = -1, calcula el valor de la expresión
10x5 + 9x4 + 8x3 + 7x2 + 6x + 5 = 10(-1)5 + 9(-1)4 + 8(-1)3 + 7(-1)2 + 6(-1) + 5
5) Lo mismo si x = -3
10 · -1 + 9 · 1 + 8 · -1 + 7 · 1 + 6 · -1 + 5
- 10 + 9
- 8
+ 7 - 6 +5=
-3
5) Repetir lo mismo si x = -3
30
POTENCIAS DE EXPONENTE CERO.Toda potencia de exponente 0, vale 1.
b0 = 1
Ejercicios:
1) 40 + 50 + 280 = 1 + 1 + 1 = 3
2) an-1 · b3-n · a1-n · bn-3 =
aº · bº = 1 · 1 = 1
3) ( a + b )0 = 1
4) 3( x + 2y )2 – 5(7x + 4y )3 + 28
0
= 1
MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE.
Se multiplican las bases y se conserva el exponente.
an · bn = ( ab )n
Ejercicios:
1) 23 · 53 =
( 2 · 5 )3 = 103 = 1.000
2) 48 · ( 0,25 )8 = ( 4 · 0,25 )8 = ( 1 )8 = 1
3) 85 · ( 0,125 )5 = ( 8 · 0,125)5 = ( 1 )
1
2
4) 64 · 1 4 · 1 4 = 6 · 1 · 1 4 = 1
3
4
1 3 4
2
1 2
5) ( x + y )2 · ( x – y )2 = [ (x + y)(x – y)]2
6) ( 2 a )3 · b
4a
3
=
2a · b
4ª
2
3
= b
2
4
= 1
16
= [ x2 - y2 ]2
3
31
ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO.
Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente.
( a·b )n = an · bn
Ejercicios:
1) ( 2·a )3 =
2)
8( a – b )
23 · a3 = 8a3
2
=
82 · (a – b)2
3) ( 5x )3 · ( 2ab )3 =
( 100 bx )5
4) 222
55 · x3 · 23 ·a3 · b3
1005 · b5 ·x5
= ( 11 · 2 )2 = 121 · 4 = 484
Calcula del mismo modo
242 = ( 12 · 2 )2 = 144 · 4
362 = ( 12 · 3 )2 = 144 · 9
442 = ( 22 · 2 )2 = 484 · 4
242; 362;
= 576
= 1.296
= 1.936
442.
DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE.
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
an =
bn
n
a
b
Ejercicios:
1) 484 : 164 =
(48 : 16)4
= 34
=
81
2) 506 : 256 =
(50 : 25)6
= 26
0
64
4) 4003 : ( 66 2 )3 =
3
400 : 200 3
3
4) ( 12,5 )2 : ( 2½ )2 =
5) ( ¾ )2 : ( ¼ )2 =
=
400 ·
1
( 12,5 : 2,5 )2
= 52
( 0,75 : 0,25 )2 =
3
200
=
3
=
63 =
216
25
( 3 )2 = 9
32
ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE.
Se eleva cada uno de sus términos al exponente común.
a
b
n
= an
bn
Ejercicios:
1)
5
6
3
53
63
=
12
54
3
34
3
4
3) ( -0,75 ) = - 75
100
4
5
4) ( -2,5 )2 =
- 25
10
2
3)
4
=
4
2
=
=
-34
44
-52
22
5) ( 0,5 )6 + ( 0,25 )3 + ( 0,125 )2 =
5 6
25 3
125 2
=
10
100
1.000
6)
6x
8y
3
-4y
· 3x
4
=
56 + 253 + 1252
106 1003 1.0002
63 · x5 · -44 · y4
83 · y3 ·34 · x4
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO.
Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado
al exponente positivo.
Recuerda que el valor recíproco de una cantidad, es igual a la unidad dividida por
la cantidad. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1.
4
b-n = 1 = 1
bn
b
n
33
Ejercicios:
1) 2-3
1
23
=
1 + 1
2) ( 0,5 )-4 + ( 0,4 )-2 = (0,5)4
(0,4)2
3) 2
-6
+ 4
-3
+ 8
-2
1
26
=
+
1
43
=
+
1
+ 1
= 16 + 6,25 = 22,25
0,0625
0,16
1
82
= 1
64
+ 1 + 1 = 0,015625 · 3 =
64
64
0,046875
4) ( 0,5 )-4 + ( 0,25 )-3 + ( 0,125 )-3 =
1
+
1
+
1
(0,5)4
(0,25)3
(0,125)3
5 ( 0,75 )-3 · (
11 )3
3
6) 1 : ( 0,375 )-2 =
7) ( 0,0375 )-3 =
=
1 ·
(0,75)3
4
3
3
= 1 · 43
=
64
= 64
3
3
3
(0,75) · 3
(0,75 · 3)
(2,25)3
1
=
1
=
2
(0,375)
0,140625
7,111111111...........
1
.
(0,0375)3
34