Relaciones metricas mas importantes

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Triángulos: clasificación
Propiedades básicas importantes
En todo triangulo se verifica:
1.- la suma de los ángulos interiores es 180º
2.- la suma de los ángulos exteriores es 360º
3.-un Angulo exterior es siempre igual a la suma de los interiores no
adyacentes.
4.-en un triangulo rectángulo la suma de los dos ángulos agudos es 90º.
5.-en un mismo triangulo a mayor lado se opone mayor Angulo.
6.-la suma de las medidas de dos lados es siempre mayor que el tercer lado.
7.- la diferencia de las medidas de dos lados es siempre menor que el tercer
lado.
Postulados de congruencia de triángulos (igualdad)
Dos o más triángulos son congruentes ssi:
1.- tienen sus tres lados respectivamente congruentes (L.L.L)
2.- dos lados y el Angulo comprendido congruente (L.A.L
3.- dos Angulo y el lado común congruente (A.L.A)
IMPORTANTE:
LA RELACION DE CONGRUENCIA ES UNA RELACION DE
EQUIVALENCIA, esto es porque es
1º reflexiva: todo triangulo es congruente con el mismo.
2º simétrica: si un triangulo es congruente con otro, este ultimo es
congruente con el primero.
3ºtransitiva: si un triangulo es congruente con un segundo, y este es a la
vez congruente con un tercero, entonces este ultimo es congruente con el
primero.
Aplicando la congruencia de triángulos se pueden establecer otras
relaciones métricas en los triángulos y cuadriláteros.
1.-las alturas en un triangulo equilátero son congruentes.
2.- las alturas a los lados iguales en un triangulo isósceles son congruentes.
3.- la altura a la base en un triangulo isósceles divide al triangulo en dos
triángulos rectángulos congruentes.
4.-las tres alturas de un triangulo equilátero divide a este en seis triángulos
rectángulos congruentes.
5.-los ángulos agudos de los triángulos anteriormente mencionados están
en la razón 2:1
6.-las diagonales de un cuadrado son congruentes.miden cada una el lado
por raíz de dos.
7.- las diagonales de un rectángulo son congruentes.
8.-las diagonales de un cuadrado se dimidian perpendicularmente.
9.- las diagonales de un rectángulo solo se dimidian.
10.-las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.
11.-cada una de las diagonales de un rombo divide a la otra en dos trazos
congruentes.
Además se verifica:
12.-Teorema de la mediana.-todo trazo que une los puntos medios de dos
lados en un triangulo es paralelo y equivale a la mitad del lado opuesto.
13.- si en el triangulo anterior se traza la altura al lado sobre el cual se ha
trazado la mediana, entonces la altura se dimidia.
14.-las transversales de gravedad se cortan en la razón 2:1.
15.- EN TODO TRIANGULO SE VERIFICA: el área es igual a la base por
la altura a la base.
A=
a * ha b * hb c * hc
=
=
2
2
2
16.-Las simetrales se cortan o concurren a un mismo punto denominado
circunscentro. Genera la circunferencia circunscrita. (El circunscentro
puede ser un punto interior o exterior al triangulo)
17.- las tres bisectrices concurren o se cortan en un mismo punto
denominado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al
triangulo. (El incentro es siempre un punto interior al triangulo)
18.-las tres transversales de gravedad se cortan o concurren en un mismo
punto siempre interior denominado baricentro.
19.-las rectas notables trazadas a la base de un triangulo isósceles son
congruentes.
20, Las rectas notables trazadas sobre cada uno de los lados de un triangulo
equilatero son todas congruentes.
21.-los puntos notables en el triangulo equilátero son todos coincidentes.
22.-en todo triangulo equilátero las circunferencias inscrita y circunscrita
son concéntricas (de centro común)
Relaciones métricas generales:
Para cualquier tipo de triangulo.
1.- teorema general de Pitágoras: el cuadrado del lado opuesto a un Angulo
agudo equivale a la suma de los otros dos lados menos el doble de uno de
ellos por la proyección del otro sobre el.
Si el Angulo es obtuso la proyección se suma: esto es,
2.- una de las alturas H C =
2
a
p( p − a)( p − b)( p − c) donde p=
a+b+c
2
Y axial cada una de las otras alturas.
3.-el área esta dada por A= p( p − a)( p − b)( p − c) formula de Heron.4.- el radio de la circunferencia inscrita esta dada por:
Ri=
A
p
5.- el radio de la circunferencia circunscrita esta dada por:
Re
a *b*c
4* A
6.-Teorema de los senos:
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
7.-teorema de los cosenos: a 2 = b 2 + c 2 − 2 cos α
8.- el área también se puede calcular atendiendo a la formula
trigonometrica:
1
2
A = b * c * senα y las otras dos variaciones de la misma.
8.- por otro lado también se puede establecer que:
a
b
c
=
=
=2R e
senα senβ senγ
Formulas particulares.
Triangulo rectángulo:
9.- teorema particular de Pitágoras.
A 2 = b2 + c2
Teoremas de Euclides:
h 2 =p*q
a 2 =c*q
b 2 =c*p
h=
a *b
c
además en el triangulo rectángulo:
a
c
sen α = =cos β
b
c
cos α = =sen β
a
c
tag α = =cotg β
edemas :sen 2 +cos 2 =1
10.-teorema de la bisectriz interior (valida para cualquier tipo de triangulo).
b a
=
m n
a+b
a
=
m + nn n
a+b a
=
c
n
11.-Teorema de la bisectriz exterior:
b
a
=
c+ p p
Circulo de Apolonio.
12.-Semejanza.
Dos o mas triángulos son semejantes si se cumple que
1º.los ángulos son respectivamente iguales
2º los lados son respectivamente proporcionales.
a b c
= =
a ' b' c '
13.-teorema general de Thales.
14.- caso particular.
15 en el caso particular de la figura que se indica la proporción correcta es:
16.- un caso especial son las diagonales de un trapecio
Elementos en el círculo.
Distancia entre centros.
Arco: porción de circunferencia: se mide en grados (medida angular)
Se mide en unidades de longitud
(Medida lineal).
Ángulos.
Central: mide lo mismo que el arco.
Inscrito .mide la mitad del arco subtendido
Interior. Mide el promedio de los arcos subtendidos por los lados y las
prolongaciones del mismo
Exterior: mide la sem.-diferencia de los arcos subtendidos por las
intersecciones de los lados del Angulo con la circunferencia-
División de trazos en la circunferencia;
Cuerdas
Secantes.
Tangente (potencia de un punto a una circunferencia)
Espero que esto no se le olvide, memorícelo y discrimine correctamente
cuando lo debe aplicar.
En matemática no es recomendable aprender cosas de memoria, lo
importante es deducir y aplicar, pero hay relaciones que por el uso
frecuente se memorizan y ayudan mucho.
ATTE. MONTOYA.-