27.6 Un electrón se traslada a 2.5 106 m/s a través de una región en la que hay un campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7.4 10-2 T. a)¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrón debida al campo magnético? b) Si la aceleración real del electrón es de ¼ de la magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? r r a) F = ma = qvB sin(ϕ ) amax qvB (1.6 10 −19 C )(2.5 10 6 m / s )(0.074T ) 16 2 = = = 3 . 25 10 m / s m 9.11 10 −31 kg amin = 0 b) a = 0.812 1016 m / s 2 a= qvB sin(φ ) ma ⇒ sin(φ ) = m qvB (9.11 10 −31 kg )(0.812 1016 m / s 2 ) o sin(φ ) = 0 . 25 14 . 4 = φ = (1.6 10 −19 C )(2.5 10 6 m / s )(0.074T ) 27.14 Una partícula con una carga de 6.4 10-19 C recorre una órbita circular de 4.68 mm de radio debido a la fuerza que sobre ella ejerce un campo magnético uniforme B=1.65 T y perpendicular a la órbita. a)¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento lineal p=mv de la partícula? b)¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento angular L de la partícula? a) R = mv qB ⇒ mv = RqB = (0.00468m)(6.4 10 −19 C )(1.65T ) = 0.0494 10 −19 kg (m / s ) b) L = R(mv) = 2.3110 −23 kg (m 2 / s ) 27.21 El deuterón (el núcleo de un isótopo de hidrógeno) tiene una masa de 3.34 10-27 kg y una carga de +1.6 10-19 C. Un deuterón recorre una trayectoria circular de 6.96 mm de radio en un campo magnético cuya magnitud es de 2.5 T. a) Halle la rapidez del deuterón; b) Halle el tiempo que requiere para completar media revolución; c) ¿A través de qué diferencia de potencial habría que acelerar el deuterón para que adquiriese esta rapidez? v2 qBR (1.6 10 −19 C )(2.5T )(0.0069m) 5 a ) qvB = m ⇒ v = = = 8 . 33 10 m/s − 27 R m 3.34 10 kg 2πm 2π (3.34 10 −27 kg ) −8 b) T = = = = 5 . 24 10 s −19 qB (1.6 10 C )(2.5T ) ω 2π T t = = 2.62 10 −8 s 2 c) 1 2 K = mv = q∆V 2 1 mv 2 1 (3.34 10 − 27 kg )(8.33 105 m / s ) 2 ∆V = = = 7242V −19 2 q 2 1.6 10 C APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CON CARGA SELECTOR DE VELOCIDAD Fuente +q X- X X X - v X- X X - +X + + X B +X + X + X E Fe=qE Fm=qvB v En un haz de partículas con carga producido por un cátodo caliente o un material radioactivo no todas las partículas se trasladan con la misma rapidez. En muchas aplicaciones se requiere un haz en que la rapidez de todas las partículas sea la misma. Se pueden seleccionar partículas del haz con una rapidez específica mediante una configuración de campos eléctricos y magnéticos llamada selector de velocidad. Para magnitudes de campo dadas E y B, con respecto a un valor particular de v las fuerzas eléctrica y magnética serán de igual magnitud: qE = qvB E v= B EXPERIMENTO DE THOMSON J.J. Thomson logró medir la relación e/m de carga a masa del electrón en 1897. En un recipiente de vidrio al alto vacío, se aceleran electrones provenientes del cátodo C y se reúnen en un haz mediante una diferencia de potencial V entre los ánodos A y A’. La rapidez v de los electrones está determinada por el potencial V: 1 2 mv = qV 2 v= 2qV m Los electrones pasan entre las placas P y P’ en inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas cuando: E 2qV v= = B m q E2 = m 2VB 2 Thomson encontró un solo valor de esta magnitud, no dependía ni del material del cátodo, ni del gas residual presente en el tubo, ni de ningún otro aspecto del experimento. Esta independencia demostró que las partículas del haz (electrones) son un componente de toda la materia. q = 1.758820174 1011 C / kg m ESPECTRÓMETROS DE MASAS Se pueden emplear técnicas similares al experimento de Thomson para medir masas de iones, y de este modo, medir masas atómicas y moleculares. S1 S2 - + + v - + B + Placa + fotográfica m2 E - Los iones entran en una región con campo magnético donde se trasladan en arcos circulares de radio R: - m1 R2 R1 Los iones positivos provenientes de una fuente pasa a través de las ranuras S1 y S2, y forman un haz estrecho. Los iones atraviesan un selector de velocidad para bloquear todos los iones salvo aquellos con rapidez v=E/B. B R= mv qB Los iones con masas diferentes inciden en la placa fotográfica en puntos diferentes y se pueden medir los valores de R. 27.28 a) ¿Cuál es la rapidez de un haz de electrones cuando la influencia simultánea de un campo eléctrico de 1.56 104 V/m y un campo magnético de 4.62 10-3 T, con ambos campos normales al haz y entre sí, no desvían los electrones? b) Cuando se elimina el campo eléctrico, ¿cuál es el radio de la órbita del electrón? ¿Cuál es el periodo de la órbita? a ) qE = qvB E 1.56 10 4 V / m 6 = 3 . 3 10 m/s v= = −3 B 4.62 10 T v2 b) qvB = m R mv (9.1 10 −31 kg )(3.3 106 m / s) −3 R= = = 4 . 06 10 m −19 −3 qB (1.6 10 C )(4.62 10 T ) 2πm 2π (9.1 10 −31 kg ) −9 T= = = = 7 . 73 10 s −19 −3 ω qB (1.6 10 C )(4.62 10 T ) 2π 27.29 Un selector de velocidad se compone de un campo eléctrico y uno magnético. a) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para que sólo los iones con una rapidez de 2000 km/s emerjan sin desviación, si el campo eléctrico es 2 105 V/m? ¿Se separarán los iones positivos de los iones negativos? b) En cierto selector de velocidad, el campo eléctrico se produce mediante una batería de voltaje variable, conectada a dos placas metálicas paralelas grandes separadas 3.25 cm, y el campo magnético proviene de un electroimán de intensidad de campo variable. Si el voltaje de la batería puede fluctuar entre 120 V y 560 V, y el campo magnético entre 0.054 T y 0.18 T, ¿cuál es el intervalo de velocidades de iones que puede producir este selector con los ajustes correspondientes? a) b) E E 2 105V / m =v B= = = 0.1T 6 B v 2 10 m / s E= V d 120V 560V = 36.9 10 2 V / m Emax = = 172.3 10 2 V / m 0.0325m 0.0325m = 0.054T , Bmax = 0.18T Emin = Bmin No se separan vmax Emax 172.3 10 2 V / m = = = 3190.8 10 2 m / s Bmin 0.054T vmin Emin 36.9 10 2 V / m = = = 2.05 10 4 m / s Bmax 0.18T 27.32 En un espectrómetro de masas, la magnitud del campo magnético del selector de velocidad es de 0.650 T y los iones cuya rapidez es 1.82 106 m/s lo atraviesan sin desviarse. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico del selector de velocidad? b) ¿Cuál es el cociente entre la masa y la carga de los iones cuyo radio de la trayectoria circular hacia la placa fotográfica es de 0.2 mm, si el campo magnético es B=0.8 T? E = Bv = (0.65T )(1.82 106 m / s ) = 1.18 106 V / m mv R= qB m RB (0.2 10 −3 m)(0.8T ) −9 0 . 29 10 = = = kg / C 6 1.82 10 m / s q v