Elementos del Elipsoide 2 - Página DICyG

FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM
INGENIERÍA GEOMÁTICA
M. EN I. ADOLFO REYES PIZANO
Elementos del
elipsoide
Deducción matemática
Se presenta la deducción matemática de cada uno de los elementos del elipsoide
Contenido
DEDUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL ELIPSOIDE...................................................................................... 2
ACHATAMIENTO: ................................................................................................................................ 2
EXCENTRICIDAD: ................................................................................................................................. 2
COORDENADAS CARTESIANAS DE M EN FUNCIÓN DE LA NORMAL MAYOR “N” Y NORMAL MENOR
“N” ....................................................................................................................................................... 3
LATITUD GEOCENTRICA ...................................................................................................................... 4
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELIPSE MERIDIANA ............................................................................ 4
COORDENADAS CARTESIANAS ............................................................................................................ 4
DETERMINACION DE LOS PARAMETROS “N” y ”n”............................................................................... 5
TRANSFORMACIÓN DE LATITUD GEODÉSICA A LATITUD GEOCÉNTRICA ........................................... 7
M. en I. ADOLFO REYES PIZANO
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DEDUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL ELIPSOIDE
P
x
M
a
b
R
E’
f’
a
O
y
n
φ’
MA = n
MB = N
R = radio geocéntrico
N = normal en el punto M
n = normal menor
φ = latitud geodésica
φ’ = latitud geocéntrica
φ
A
N
f
E
B
P’
La tierra tiene forma de geoide por lo tanto requerimos de una figura matemática.
Los paralelos y el ecuador son círculos perfectos.
Los meridianos y los círculos verticales son elípticos(tienen forma de elipse).
ACHATAMIENTO:
Achatamiento
Aplanamiento
Compresión polar
α=
a −b
b
EXCENTRICIDAD:
____
Of '
e=
a
Pero
Of ' = a 2 − b 2
sustituyendo en “e”
e=
a2 − b2
a
ECUACION DE LA ELIPSE MERIDIANA
De la ecuación de la excentricidad despejar b2
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(
)
b 2 = a 2 1 − e 2 K (1)
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La ecuación de la elipse con centro en el origen:
x2 y2
+
= 1K (2)
a2 b2
Sustituyendo (1) en (2):
x2
y2
+
=1
a2 a2 1 − e2
(
)
Despejando y2 Obtenemos:
LA E CUACIÓN DE LA ELIPSE MERIDIANA
(
)(
)
y 2 = a 2 − x 2 1 − e 2 K (3)
COORDENADAS CARTESIANAS DE M EN FUNCIÓN DE LA NORMAL MAYOR
“N” Y NORMAL MENOR “N”
senϕ =
y
n
y = nsenϕ K (4)
cos ϕ =
x
N
En función de φ
x = N cosϕ K (5)
senϕ ' =
y
R
y = Rsenϕ 'K(6)
x
cos ϕ ' =
R
En función de φ’
x = R cosϕ 'K (7 )
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LATITUD GEOCENTRICA
Dividiendo (6) entre (7)
y
= tan ϕ 'K (6')
x
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELIPSE MERIDIANA
tan ϕ = −
dx
K (8)
dy
COORDENADAS CARTESIANAS
FINALMENTE LAS COORDENADAS CARTESIANAS SE OBTIENEN DESARROLLANDO LO SIGUIENTE
Desarrollamos la ecuación (3)
(
)(
y 2 = a 2 − x2 1 − e2
)
y = a − a e − x + e2 x2
2
2
2
2
2
Diferenciando:
2 ydy = −2 xdx + 2e 2 xdx
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Obtenemos
−
dx
dy
−
dx
y
=
K (8')
dy x 1 − e 2
(
)
Sustituyendo (8) en (8’)
tan ϕ =
y
K (9)
x 1 − e2
(
)
Despejamos “x” y “y” de la ecuación (9)
(
)
y = x 1 − e 2 tan ϕ
y
x=
2
1 − e tan ϕ
(
K (10 )
)
Cambiando (10),(4) y (5) tenemos:
(
)
y = N cos ϕ 1 − e 2 tan ϕ K (10')
(
)
y = N 1 − e 2 senϕ K (11)
x=
x=
nsenϕ
1 − e 2 tan ϕ
(
)
n cos ϕ
K (12)
1 − e2
(
)
Nota: las ecuaciones (11) y (12) están en función de “N” y “n”
Por lo anterior falta conocer las normales “N” y “n”
DETERMINACION DE LOS PARAMETROS “N” y ”n”
Si en la ecuación (3) sustituimos (10’) y (5), o sea, en donde aparece N
(
)(
)
y 2 = a 2 − x 2 1 − e 2 K (3)
(
N 2 cos 2 ϕ 1 − e 2
)
2
(
)(
tan 2 ϕ = 1 − e 2 a 2 − N 2 cos 2 ϕ
)
Despejando N:
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N=
K (13)
a
(1 − e sen ϕ )
2
2
1
Normal mayor
2
Por otro lado de la expresión (10)
(
)
y = x 1 − e 2 tan ϕ K (10)
y las expresiones (4) y (5)
y = nsenϕ K (4 )
x = N cos ϕ K (5)
Tenemos:
(
)
n senϕ = N cos ϕ 1 − e 2 tan ϕ
(
)
n = N 1 − e 2 K (13')
Sustituyendo la normal N en (13’)
n=
(
a 1 − e2
)
(1 − e sen ϕ )
2
Si hacemos
2
1
K (14)
Normal menor
2
(
r = 1 − e 2 sen 2ϕ
)
1
2
K (15)
Entonces
a
r
a 1 − e2
n=
r
N=
(
)
Si
φ=0
Si φ = 90
N=a
a2
N=
b
n=
b2
a
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n =b
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TRANSFORMACIÓN DE LATITUD GEODÉSICA A LATITUD GEOCÉNTRICA
De (10)
(
)
y = x 1 − e 2 tan ϕ
(
)
y
= 1 − e 2 tan ϕ
x
De (6’)
y
= tan ϕ '
x
tan ϕ ' = 1 − e 2 tan ϕ K (19)
(
)
Con estas ecuaciones se puede calcular: φ n N x y φ’
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