Integración numérica

àN
Integración numérica
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
La
C
Versión 1.0
8 de julio de 2011
Índice
1. Conceptos generales
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Clasificación y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
10
10
15
19
19
21
25
27
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31
31
34
35
37
38
40
àN
2. Integración de Newton-Cotes
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Fórmulas cerradas de Newton-Cotes . . . . . . .
2.3. Fórmulas abiertas de Newton-Cotes . . . . . . .
2.4. Técnicas de mejoras de la integración numérica
2.4.1. Combinación de fórmulas simples . . . .
2.4.2. Fórmulas compuestas . . . . . . . . . . .
2.4.3. Extrapolación de Richardson . . . . . . .
2.4.4. Integración de Romberg . . . . . . . . .
3
3
4
7
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La
C
3. Integración de Gauss
3.1. Planteamiento del problema .
3.2. Clasificación . . . . . . . . . .
3.3. Fórmulas de Gauss-Legendre .
3.4. Fórmulas de Gauss-Laguerre .
3.5. Fórmulas de Gauss-Hermite .
3.6. Fórmulas de Gauss-Chebyshev
2
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1.
1.1.
Conceptos generales
Introducción
àN
La integración numérica es de gran importancia en ciencias aplicadas e
ingenierı́a. Sus aplicaciones van desde cálculo de la capacidad de un pantano
a partir de datos topográficos en el ámbito de la ingenierı́a civil, hasta la
estimación de la fuerza total ejercida por el aire sobre las alas de un avión
en ingenierı́a aeronáutica. En todas estas aplicaciones el objetivo es calcular
una integral definida
Z b
I =
f (x) dx,
(1)
a
La
C
con la mayor precisión y el menor coste computacional posibles. A pesar de
este amplio rango de aplicaciones, es lı́cito preguntarse porqué es necesario
realizar numéricamente el cálculo de la integral (1). La respuesta a esta pregunta es muy simple: no siempre es factible calcular analı́ticamente una integral. Por ejemplo, en muchas aplicaciones se desconoce la expresión analı́tica
de la función que se debe integrar y sólo se conoce su valor en unos puntos
{(xi , f (xi )), i = 0, . . . , n}. Es más, existen varios casos en los que, incluso
existiendo una expresión analı́tica de la integral (1), es más eficiente realizarla numéricamente. A continuación se presentan dos ejemplos que muestran
algunas de las limitaciones computacionales de la integración analı́tica.
En determinadas ocasiones el resultado analı́tico de la integral definida
(1) es una expresión bastante complicada, como por ejemplo,
Z
0
x
√
1
1
x2 + x 2 + 1
√
dt = √ log 2
1 + t4
4 2
x −x 2+1
1 x x
√
√
√
+
arctan
+ arctan
.
2−x
2+x
2 2
Nótese que calcular repetidamente esta integral puede ser muy caro
desde el punto de vista computacional, ya que en la expresión anterior aparece una vez la función logaritmo y dos veces la función arco
tangente cuyo coste computacional es muy superior al de una suma o
un producto. Además, en las implementaciones numéricas incluso estas
funciones se calculan aproximadamente. Por último, se debe observar
que las funciones log(x) y arctan(x) pueden estar indeterminadas para
ciertos valores de x. Por lo tanto, en estos casos también será preciso
desarrollar alguna expresión aproximada al valor exacto de la función.
3
A veces el resultado de la integral (1) no admite una representación
analı́tica que pueda expresarse mediante un número finito de términos,
como por ejemplo
Z
0
π/2
1
x
1
1
1
dx = 2 2 − 2 + 2 − 2 + . . . .
sin x
1
3
5
7
1.2.
àN
Obsérvese que si la serie infinita anterior se aproxima mediante la suma de un número finito de términos también se comete un error de
truncamiento que en algunos casos, puede ser muy importante. Por
consiguiente, también es necesario desarrollar un método numérico para calcular este tipo de integrales.
Planteamiento general
La
C
La estrategia usual para obtener fórmulas que permitan calcular numéricamente la integral (1) se fundamenta en la interpolación numérica. Básicamente consiste en aproximar la función a integrar mediante un polinomio que
pasa por una serie de puntos base {(xi , f (xi )), i = 0, . . . , n} y posteriormente
integrar el polinomio. Es decir,
f (x) = Pn (x) + Rn (x),
(2)
donde Pn (x) es el polinomio interpolador de grado n y Rn (x) es el error de
interpolación. En general, el polinomio interpolador puede escribirse como
Pn (x) =
n
X
ci Ni (x),
i=0
donde los coeficientes ci pueden expresarse como una combinación lineal de
los valores de la función en los puntos base, f (xi ), i = 1, . . . , n y Ni (x) representa el i-ésimo término de una base de polinomios (polinomios de Lagrange,
Newton, . . . ). Por lo tanto, la integral (1) puede expresarse como
Z
I=
b
Z
b
f (x) dx =
a
Pn (x) dx +
a
=
Z bX
n
a
=
Z
n
X
b
Rn (x) dx
a
b
Z
ci Ni (x) dx +
i=0
Z
ci
b
Rn (x) dx
a
Z
Ni (x) dx +
a
i=0
4
b
Rn (x) dx.
a
(3)
Concretamente, si se realiza una interpolación de Lagrange, entonces
Pn (x) =
n
X
f (xi )Li (x),
i=0
donde Li (x) es el i-ésimo polinomio de Lagrange
n
Y
x − xj
Li (x) =
x − xj
j=0 i
(4)
àN
i = 0, . . . , n.
j6=i
Es decir,
ci = f (xi )
Ni (x) = Li (x)
i = 0, . . . , n
i = 0, . . . , n.
Además, en este caso el error de interpolación es
Rn (x) =
f n+1) (µ)
L(x) µ ∈ [a, b],
(n + 1)!
La
C
donde L(x) es el polinomio de Lagrange
n
Y
(x − xj ).
L(x) =
(5)
j=0
Recuérdese que en realidad el valor µ depende del punto en que se evalúa el
polinomio interpolador, es decir, µ = µ(x). Sustituyendo estos resultados en
la expresión (3) se obtiene
Z
I=
b
f (x) dx =
a
=
n
X
i=0
n
X
i=0
Z
f (xi )
b
Z
Li (x) dx +
a
1
wi f (xi ) +
(n + 1)!
Z
b
Rn (x) dx
a
b
f n+1) (µ)L(x) dx,
(6)
a
donde los puntos en los que se evalúa la función, {xi , i = 0, . . . , n}, se denominan puntos base de integración y los valores wi , i = 0, . . . , n se denominan
pesos de integración y valen
Z b
wi =
Li (x) dx.
a
5
àN
Figura 1: Representación gráfica del error de integración. En lı́nea continua
se representa la función f (x) mientras que el polinomio interpolador, pn (x),
se representa en lı́nea discontinua.
Observación 1. Nótese que fijado un valor de n, hay n + 1 puntos base de
integración, puesto que se empieza a contar en i = 0.
La
C
Si se define cuadratura como la suma de los productos del valor de la
función en unos puntos por unos pesos
Qn =
n
X
wi f (xi ),
(7)
i=0
y se define el error de la integración numérica como
Z b
Z b
1
f n+1) (µ)L(x) dx,
En =
Rn (x) dx =
(n
+
1)!
a
a
entonces la integral (1) puede expresarse como
Z
I=
b
f (x) dx = Qn + En .
(8)
a
La ecuación (8) visualiza explı́citamente el planteamiento general de la
integración numérica. Es decir, desde el punto de vista numérico la integral
de una función se expresa como una cuadratura más un error de integración.
Obsérvese que la cuadratura representa la aproximación numérica al valor
exacto de la integral. Concretamente, en los apartados siguientes se analizaran las propiedades más importantes de diferentes tipos de cuadraturas. Por
6
el contrario, el error de integración no se puede calcular puesto que se desconoce el valor de µ(x) y en la mayorı́a de casos la expresión de la derivada
n + 1 de la función f (x).
1.3.
àN
Observación 2. El objetivo de la integración numérica es calcular de forma
eficiente una integral definida. Por consiguiente, no interesa que el error de
interpolación, Rn (x), sea pequeño, sino que En sea pequeño. Por ejemplo, en
la figura 1 se aproxima una función f (x) por un polinomio Pn (x). Desde el
punto de vista de la aproximación numérica este resultado podrı́a ser inaceptable debido a las oscilaciones que presenta el polinomio interpolador y a las
grandes diferencias que hay entre éste y la función f (x). Sin embargo, en la
integración numérica de funciones este comportamiento no es relevante y el
objetivo es que la diferencia entre la integral de la función y el polinomio sea
lo menor posible. Obsérvese que en el ejemplo presentado en la figura 1 el
polinomio interpolador sobrevalora e infravalora la función f (x) en diferentes
intervalos del dominio de integración. De forma que existe una compensación
de áreas y el valor de la integral de f (X) y Pn (x) de puede ser muy parecida.
Clasificación y definiciones
La
C
Las cuadraturas de integración usualmente se clasifican a partir de dos
criterios. El primero tiene en consideración los extremos del intervalo de
integración. Una cuadratura se denomina cerrada si los extremos forman
parte de los puntos base de integración, es decir, a = x0 y b = xn (ver figura
2.a). Por el contrario, una cuadratura se denomina abierta si los extremos
del intervalo no forman parte de los puntos base de integración (ver figura
2.b).
(a)
(b)
Figura 2: Clasificación de las cuadraturas de integración de acuerdo con los
extremos de integración: (a) cuadratura cerrada, (b) cuadratura abierta.
El segundo criterio se basa en la elección de los puntos base de integración.
7
Si los puntos base de integración están predeterminados, entonces las
cuadraturas se denominan de Newton-Cotes. En estos casos los puntos
de integración, {xi , i = 0, . . . , n}, están fijos y el método de integración
determina cuanto valen los pesos de integración, {wi , i = 0, . . . , n}, y
una expresión para el error, En . Como caso particular y de gran interés
práctico, se analizará el caso de puntos equiespaciados.
àN
Si los puntos base de integración están libres, entonces las cuadraturas
se denominan de Gauss. En este caso se supone que es posible evaluar
la función f (x) en cualquier punto del intervalo de integración. A fin de
mejorar la precisión del cálculo, el método de integración determina: 1.
cuales son los puntos de integración, {xi , i = 0, . . . , n}, 2. cuanto valen
los pesos de integración, {wi , i = 0, . . . , n}, y 3. cual es la expresión
del término del error, En .
Si algunos de los puntos están predeterminados y el resto están libres,
entonces las cuadraturas se denominan mixtas. En general, cuanto mayor sea el número de puntos libres mayor será la precisión de la cuadratura. Es decir, sólo se fijan los puntos estrictamente necesarios.
La
C
Una vez se ha desarrollado un tipo de cuadratura es importante poder
asegurar si al ir añadiendo más puntos de integración mejora el resultado
de la integración numérica. En este sentido, dada la integral definida (1) y
una cuadratura (7) se dice que la cuadratura converge al valor exacto de la
integral si
lı́m Qn = I,
n→∞
o equivalentemente,
lı́m En = 0.
n→∞
Finalmente, es importante definir un criterio para poder comparar el comportamiento de varias cuadraturas. Por consiguiente, se dice que una cuadratura
es de orden n cuando integra exactamente todo polinomio de grado n y no
integra exactamente algún polinomio de grado n + 1.
Observación 3. En la definición de orden de convergencia de una cuadratura se utilizan los polinomios como funciones de referencia. En la práctica,
las cuadraturas se utilizan para aproximar la integral de un función, f (x),
cualquiera.
Observación 4. Si una cuadratura tiene orden de integración superior a otra
cuadratura no implica que siempre proporcione mejores aproximaciones al
valor exacto de una integral. Nótese que el orden de una cuadratura sólo hace
8
La
C
àN
referencia al grado del polinomio que siempre integra exactamente. Es decir,
por muy alto que sea el grado de los polinomios que se integra exactamente
no se tiene porque integrar mejor una función cualquiera. Sin embargo, para
determinadas cuadraturas y funciones, es cierto que un mayor orden de de
integración implica aproximaciones numéricas más exactas.
9
2.
2.1.
Integración de Newton-Cotes
Introducción
La
C
àN
En el ámbito de las ciencias aplicadas y de la ingenieı́a es muy usual tener
que calcular la integral de una función de la cual sólo se conocen sus valores en
unos puntos equiespaciados en el tiempo o en el espacio. Esta caracterı́stica
de los puntos base de integración permite deducir fórmulas generales de fácil
y amplia utilización.
Supóngase que para calcular la integral (1) se dispone de n + 1 puntos
en los que
se conoce
el valor de la función f (x), es decir, se conocen los
valores xi , f (xi ) , i = 0, . . . , n . Como se ha comentado en el apartado
anterior, una de las técnicas más utilizadas consiste en aproximar la función
f (x) por un polinomio que pase por estos n + 1 puntos. Si se utilizan los
resultados obtenidos en la interpolación de Lagrange, entonces el resultado
de la integración numérica de (1) viene dado por la expresión (6). Nótese que
esta ecuación es válida para una distribución cualquiera de n + 1 puntos. Sin
embargo, en este apartado se particulariza la ecuación (6) para puntos base
equiespaciados. Concretamente, primero se deducen las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes y después se analizan las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.
Finalmente se estudian diferentes técnicas para mejorar la precisión de las
aproximaciones obtenidas mediante las fórmulas anteriormente citadas.
2.2.
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
Supóngase que los n + 1 puntos están equiespaciados en el dominio de
integración [a, b], de forma que el primer y el último nodo coinciden con los
lı́mites de integración tal como muestra la figura 3. Entonces,
xi = x0 + ih = a + ih
i = 0, . . . , n
donde
h=
b−a
.
n
Nótese que, con esta notación, un punto x cualquiera del dominio de integración verifica
x = x0 + αh = a + αh
10
α ∈ R.
àN
Figura 3: Discretización general del dominio de integración mediante fórmulas
cerradas de Newton-Cotes.
Por lo tanto, la expresión de los polinomios de Lagrange (4) y del polinomio
de Lagrange (5) es
Li (x) = Li (x0 + αh) =
n
Y
α−j
(9)
i−j
n
Y
(α − j).
La
C
j=0
j6=i
n+1
L(x) = L(x0 + αh) = h
(10)
j=0
En estas condiciones, la expresión (6) puede escribirse en función de α como
Z
I=
b
f (x) dx =
a
=
n
X
i=0
n
X
n
Z
f (xi )h
0
hn+2
Li (α) dα +
(n + 1)!
Z
n
f n+1) (µ)L(α) dα
0
wi f (xi ) + En ,
(11)
i=0
donde los pesos de integración valen
Z
wi = h
0
n
nY
α−j
dα
i
−
j
j=0
i = 0, . . . , n
(12)
n
Y
(α − j) dα.
(13)
j6=i
y el error de integración es
hn+2
En =
(n + 1)!
Z
n
f n+1) (µ)
0
j=0
11
Nótese que en la ecuación (13) µ, depende de α y por tanto no es posible
sacar fuera de la integral el término f n+1) (µ). Sin embargo, la expresión del
error (13) puede simplificarse considerablemente. En particular, se verifica
el siguiente teorema (ver [5] página 313 para una demostración detallada de
este teorema)
Teorema 1. Sea
Qn =
n
X
wi f (xi ),
àN
i=0
una cuadratura cerrada de n + 1 puntos equiespaciados según h = (b − a)/n
que aproxima a la integral
Z b
f (x) dx.
I=
a
La
C
Entonces el error de integración verifica
Z nY
n
hn+2 n+1)
En =
(α − j) dα
f
(µ)
(n + 1)!
0 j=0
Z n
hn+2 n+1)
f
(µ)
α(α − 1) . . . (α − n) dα,
=
(n + 1)!
0
(14)
si n es impar y f (x) ∈ C n+1 [a, b] y
En
hn+3 n+2)
=
f
(µ)
(n + 2)!
n+3
=
h
f n+2) (µ)
(n + 2)!
Z
n
0
Z
n
Y
α (α − j) dα
j=0
n
α2 (α − 1) . . . (α − n) dα,
(15)
0
si n es par y f (x) ∈ C n+2 [a, b].
Observación 5. Nótese que si n es impar, y de acuerdo con la expresión general del error de integración (13), el orden de integración es n (se integran
exactamente todos los polinomios de grado n puesto que el error de integración depende de la derivada n + 2 de la función integrando). Sin embargo,
si n es par el orden de integración aumenta y es n + 1 (se integran exactamente todos los polinomios de grado n + 1). En este sentido, es preferible
utilizar cuadraturas con valores de n par puesto que se obtiene un orden de
integración extra.
Seguidamente, se determinan los pesos y el error de integración para dos
fórmulas cerradas simples de Newton-Cotes. Concretamente, se obtiene la
fórmula simple del trapecio y la fórmula simple de Simpson.
12
Fórmula simple del trapecio
En este caso la función f (x) se aproxima mediante un polinomio de grado
uno (n = 1). Por consiguiente, la ecuación (11) es
àN
I = w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) + E1 .
Figura 4: Interpretación gráfica de la fórmula simple del trapecio.
La
C
De acuerdo con la expresiones (9) y (12) los pesos de integración valen
1 1
Z 1
α−1
α2 h
w0 = h
dα = h α − =
−1
2 0
2
0
0
Z 1
1
α2 h
α
w1 = h
dα = h = .
2 0 2
0 1
Para obtener la expresión del error de integración basta con hacer n = 1 en
la ecuación (14)
1 3 1
Z 1
h3 2)
h3 2)
α α2 h3 2)
α(α − 1) dα = f (µ)
−
=
−
f (µ)
E1 = f (µ)
2!
2
3 0
2 0
12
0
Por lo tanto la fórmula simple del trapecio es
Z b
h3
h
I=
f (x) dx =
f0 + f1 − f 2) (µ)
2
12
a
(16)
En la figura 4 se presenta
la interpretación gráfica de esta fórmula simple.
Rb
Entonces la integral a f (x) dx se aproxima por el área de un trapecio de
base h y alturas f0 y f1 (ver figura 4).
Como en el término del error de integración aparece la derivada segunda
de f (x), la fórmula simple del trapecio integra exactamente cualquier polinomio de grado 1 o menor. Por tanto, es una fórmula de orden 1.
13
Fórmula simple de Simpson
En este caso la función f (x) se aproxima por una parábola (n = 2) y la
ecuación (11) es
àN
I = w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) + w2 f (x2 ) + E2 .
Figura 5: Interpretación gráfica de la fórmula simple de Simpson.
La
C
De acuerdo con la expresiones (9) y (12) los pesos de integración valen
2
2 2
Z 2
(α − 1)(α − 2)
h α3 α2 h
w0 = h
dα =
− 3 + α =
(−1)(−2)
2 3 0
2 0
3
0
0
2 2
Z 2
2
α(α − 2)
α3 α 4h
w1 = h
dα = h 2 − =
2 0
3 0
3
0 (1)(−1)
3 2
Z 2
2
α α(α − 1)
α2 h
dα = h
w2 = h
−
= .
(2)(1)
3 0
2 0
3
0
Puesto que en este caso n es par, para obtener la expresión del error de
integración se debe aplicar la ecuación (15) con n = 2
Z 2
h5 4)
E2 =
f (µ)
α2 (α − 1)(α − 2) dα
4!
0
2
2 5 2
5
h 4)
α α4 α3 h5 4)
=
f (µ)
−
3
+
2
=
−
f (µ)
24
5 0
4 0
3 0
90
Por lo tanto la fórmula simple de Simpson es
Z b
h5
h
I=
f (x) dx =
f0 + 4f1 + f2 − f 4) (µ)
3
90
a
14
(17)
2.3.
àN
La figura 5 presenta la interpretación gráfica de la fórmula simple de Simpson. La función f (x) se interpola mediante una parábola. Como el término
del error de integración aparece la derivada cuarta de f (x), la fórmula simple
de Simpson integra exactamente cualquier polinomio de grado 3 o menor.
Por tanto, es una fórmula de orden 3. Obsévese que al ser n par se ha incrementado el orden de integración respecto lo que parece indicar la expresión
general (13).
En el apéndide A se presentan los puntos base y los pesos de integración
para diversas fórmulas simples de Newton-Cotes. Su deducción es parecida a
la realizada en los dos ejemplos anteriores. Como puede observarse, en todos
los casos se verifica que cuando n es impar el orden de integración es n y
cuando n es par el orden de integración es n + 1.
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
La
C
Supóngase que los n + 1 puntos están equiespaciados según una distancia
h en el dominio de integración [a, b], de forma que el primer y el último nodo
también distan h de los lı́mites de integración (los lı́mites del dominio de
integración, a y b, no son puntos base de integración). Es decir, se divide
el dominio de integración en n + 2 intervalos de longitud h (ver figura 6).
Entonces,
xi = x0 + ih
i = 0, . . . , n
donde
h=
b−a
.
n+2
Nótese que a = x0 − h y que b = x0 + (n + 1)h.
Figura 6: Discretización general del dominio de integración mediante fórmulas
abiertas de Newton-Cotes.
15
Como en las cuadraturas cerradas, substituyendo las expresiones (9) y
(10) en la ecuación (6), ésta última puede escribirse en función de α como
Z n+1
Z n+1
n
X
hn+2
Li (α) dα +
I =
f (xi )h
f n+1) (µ)L(α) dα
(n
+
1)!
−1
−1
i=0
=
n
X
wi f (xi ) + En
(18)
i=0
àN
donde los pesos y el error de integración valen, respectivamente,
Z n+1 Y
n
α−j
dα
i = 0, . . . , n
wi = h
i
−
j
−1
j=0
(19)
j6=i
n+2
En
h
=
(n + 1)!
Z
n+1
f
n+1)
n
Y
(µ) (α − j) dα
−1
(20)
j=0
La expresión del error (13) puede simplificarse considerablemente. En particular, se verifica el siguiente teorema (ver [5] página 314 para una demostración detallada de este teorema)
n
X
La
C
Teorema 2. Sea
Qn =
wi f (xi ),
i=0
una cuadratura abierta de n+1 puntos equiespaciados según h = (b−a)/(n+
2) que aproxima a la integral
Z b
I=
f (x) dx.
a
Entonces el error de integración verifica
Z n+1 Y
n
hn+2 n+1)
En =
f
(µ)
(α − j) dα
(n + 1)!
−1
j=0
Z n+1
hn+2 n+1)
=
f
(µ)
α(α − 1) . . . (α − n) dα,
(n + 1)!
−1
(21)
si n es impar y f (x) ∈ C n+1 [a, b] y
En
hn+3 n+2)
=
f
(µ)
(n + 2)!
Z
hn+3 n+2)
f
(µ)
(n + 2)!
Z
=
n+1
−1
n
Y
α (α − j) dα
j=0
n+1
−1
16
α2 (α − 1) . . . (α − n) dα,
(22)
si n es par y f (x) ∈ C n+2 [a, b].
àN
Observación 6. Al igual que sucedı́a con las fórmulas cerradas de NewtonCotes, es importante resaltar que cuando n es impar, y de acuerdo con la
expresión general del error de integración (20), el orden de integración es n
(se integran exactamente todos los polinomios de grado n). Sin embargo, si n
es par el orden de integración aumenta y es n + 1 (se integran exactamente
todos los polinomios de grado n + 1).
A continuación se determinan los pesos y el error de integración para las
fórmulas abiertas de Newton-Cotes con n = 0 y n = 1.
Fórmula simple para n = 0
En este caso la función f (x) se aproxima por un polinomio de grado 0
(n = 1). Por consiguiente, la ecuación (11) es
La
C
I = w0 f (x0 ) + E0 .
Figura 7: Interpretación gráfica de la fórmula abierta con n = 0.
El peso y el error de integración se calculan a partir de las expresiones
(19) y (22) respectivamente y valen
1
Z 1
w0 = h
dα = hα = 2h
−1
3 2)
E0
h f (µ)
=
2!
−1
1
h3 f 2) (µ) α3 h3 2)
α dα =
=
f (µ).
2
3 −1
3
−1
Z
1
2
17
Por lo tanto la fórmula abierta para n = 0 es
Z
I=
b
f (x) dx = 2hf0 +
a
h3 2)
f (µ).
3
(23)
àN
La figura
R b 7 presenta la interpretación gráfica de esta fórmula simple. La
integral a f (x) dx se aproxima por el área del rectángulo de base igual a
la longitud del dominio de integración, 2h, y de altura igual al valor de la
función en el punto medio del dominio.
Nótese que el error de integración de la fórmula abierta (23) está determinado por la ecuación (22) y no por la expresión general (20) por ser n = 0
par. Además el orden de integración es 1 puesto que en el término del error
de integración aparece la derivada segunda de f (x).
Fórmula simple para n = 1
La función f (x) se aproxima por una recta (n = 1) y la ecuación (11) se
reduce a
La
C
I = w0 f (x0 ) + w1 f (x1 ) + E1 .
Figura 8: Interpretación gráfica de la fórmula abierta con n = 1.
Los pesos y el error de integración se calculan a partir de las expresiones
18
(19) y (21) y son
2 2 2
α−1
α 3
= h
dα = h
−
α
= h
2 −1
2
−1 (−1)
−1
Z 1
2
α
α2 3
= h
dα = h = h
2 −1 2
−1 1
2
2
Z
h3 f 2) (µ) 2
h3 f 2) (µ) α3 α2 3h3 2)
=
α(α − 1) dα =
f (µ).
− =
2!
2
3 −1
2 −1
4
−1
w0
w1
E1
1
àN
Z
Por lo tanto la fórmula abierta para n = 1 es
Z
I=
b
f (x) dx =
a
3h3 2)
3h
f0 + f1 +
f (µ).
2
4
Al igual que la fómula abierta con n = 0, la expresión anterior también es
una fórmula de orden 1. En la figura 8 se presenta la interpretación gráfica
de esta fórmula simple.
Técnicas de mejoras de la integración numérica
La
C
2.4.
En este apartado se presentan cuatro técnicas bastante utilizadas para
mejorar el comportamiento de las cuadraturas de Newton-Cotes anteriormente presentadas. Por ejemplo, para las fórmulas compuestas se obtiene
que las cuadraturas desarrolladas son convergentes.
2.4.1.
Combinación de fórmulas simples
La idea básica de esta técnica es combinar dos fórmulas simples del mismo
orden a fin de mejorar el resultado final de la aproximación numérica a la
integral. Con este fin se consideran dos fórmulas del mismo orden mediante
las cuales se aproxima el valor de la integral (1), es decir,
I = I1 + E1 = I2 + E2 ,
(24)
donde I1 y I2 representan las dos cuadraturas y E1 y E2 sus respectivos
errores de integración. Puesto que las dos fórmulas simples son del mismo
orden entonces estos errores pueden escribirse como
E1 = b
k1 hp f q) (µ1 ) = k1 (b − a)p f q) (µ1 )
E2 = b
k2 hp f q) (µ2 ) = k2 (b − a)p f q) (µ2 ),
19
donde b
k1 , b
k2 , k1 y k2 , son unas constantes, h es la distancia entre los puntos
base, y p y q son unos valores caracterı́sticos de las fórmulas de integración
(recuérdese que si en el error de integración aparece la derivada q-ésima,
entonces el orden de integración es q − 1).
Suponiendo que la derivada q-ésima de la función es suficientemente suave, es decir, si f q) (µ1 ) ≈ f q) (µ2 ), entonces
k1
E1
=
E2
k2
E1 =
k1
E2 .
k2
àN
⇒
Substituyendo este resultado en la ecuación (24) se obtiene
I = I1 +
k1
E2 = I2 + E2
k2
⇒
E2 =
I1 − I2
.
1 − k1 /k2
Por lo tanto, la aproximación a la integral (1) puede mejorarse a partir de
los cálculos previamente realizados mediante las cuadraturas I1 y I2 como
I = I2 + k2
I1 − I2
,
k2 − k1
o equivalentemente,
k2 I1 − k1 I2
(25)
k2 − k1
Por ejemplo, supóngase que se ha aproximado una integral definida mediante
la cuadratura cerrada de Simpson, n = 2, y la segunda cuadratura cerrada de
Simpson, n = 3, (ver la tabla de cuadraturas cerradas de Newton-Cotes que
aparece en el apéndice A). Nótese que estas dos cuadraturas son del mismo
orden y que en este caso:
h1 −1 5 4)
f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )
E1 =
h f (µ1 )
I1 =
3
90 1
3h2 −3 5 4)
f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )
E2 =
h f (µ2 ),
I2 =
8
80 2
La
C
I =
es decir,
−1
−3
k2 =
.
5
90 2
80 35
Por lo tanto, a partir de los resultados obtenidos con las dos cuadraturas de
Simpson, se puede mejorar la aproximación numérica de la integral utilizando
la expresión (25), que en este caso particular es
k1 =
I =
9
4
I2 − I1 .
5
5
20
2.4.2.
Fórmulas compuestas
àN
La utilización de fórmulas compuestas es uno de los métodos de integración más utilizados en ciencias e ingenierı́a cuando los datos a integrar están
definidos sobre puntos equiespaciados. El método consiste en dividir el dominio de integración en m intervalos y aplicar en cada uno de ellos una fórmula
cerrada de Newton-Cotes de n subintervalos o n + 1 puntos (ver figura 9).
Por lo tanto, el número total de intervalos utilizados es
s = mn
y el número total de puntos de integración es
La
C
p = m(n + 1) − (m − 1) = nm + 1.
Figura 9: Discretización general del dominio de integración mediante fórmulas
compuestas.
Observación 7. Es posible deducir fórmulas compuestas a partir de fórmulas
abiertas de Newton-Cotes. En este caso, el dominio de integración se dividirı́a en m intervalos y en cada uno de ellos se utilizarı́a la fórmula abierta.
Sin embargo, ahora serı́a imposible mantener los puntos base de integración
equiespaciados.
21
En general, es posible deducir fórmulas compuestas para cualquier fórmula simple de Newton-Cotes de n+1 puntos. No obstante, en la práctica, las dos
fórmulas más utilizadas son la fórmula compuesta del trapecio y la fórmula
compuesta de Simpson.
Fórmula compuesta del trapecio
àN
En este caso se subdivide el dominio de integración en m intervalos y
en cada uno de ellos se utiliza la fórmula simple del trapecio (16), es decir,
n = 1 subintervalo, o 2 puntos de integración. Por lo tanto, el número total
de intervalos es s = m y el número total de puntos es p = m + 1. La figura
10 presenta gráficamente tanto la partición del dominio de integración en
δ1 , . . . , δm intervalos como la numeración de los puntos base de integración.
En estas condiciones
Z b
m Z xi
X
f (x) dx =
f (x) dx
I=
a
i=1
m
X
xi−1
La
C
!
h3
hi f (xi−1 ) + f (xi ) − i f 2) (µi )
=
2
12
i=1
m
m
X
X
hi h3i 2)
=
f (xi−1 ) + f (xi ) −
f (µi ).
2
12
i=1
i=1
Si los puntos están equiespaciados, entonces
hi = h =
b−a
,
m
y por lo tanto la integral puede expresarse como
Z
I=
a
b
!
m−1
i=1
X
b−a
(b − a)3 X 2)
f (x) dx =
f (x0 )+2
f (xi )+f (xm ) −
f (µi ).
3
2m
12m
m
i=1
Puesto que existe un µ ∈ [a, b] tal que (ver [5] página 305)
m
X
f 2) (µi ) = mf 2) (µ),
i=1
entonces
!
Z b
m−1
X
(b − a)3 2)
b−a
f (x0 ) + 2
f (xi ) + f (xm ) −
f (µ),
I=
f (x) dx =
2m
12m2
a
i=1
(26)
22
àN
Figura 10: Discretización general del dominio de integración mediante la
fórmula compuesta del trapecio.
que recibe el nombre de fórmula o regla compuesta del trapecio. Nótese que
en la expresión (26) el número total de intervalos coincide con el número de
veces que se aplica la fórmula simple del trapecio, es decir, s = m. Por lo
tanto, el error de integración de la fórmula compuesta del trapecio es
Es = −
(b − a)3 2)
f (µ).
12s2
(27)
La
C
Observación 8. Al contrario de lo que sucede con las fórmulas simples de
Newton-Cotes, al aumentar el número de puntos base de integración en la
expresión anterior el orden de la derivada que aparece en el error de integración permanece constante. Por lo tanto, si dicha derivada está acotada en el
dominio de integración, f 2) (x) < k, ∀x ∈ [a, b], entonces
lı́m Es = 0,
s→∞
y la regla compuesta del trapecio converge al valor exacto de la integral.
Fórmula compuesta de Simpson
La regla compuesta de Simpson se obtiene al dividir el dominio de integración en m intervalos y en cada uno de ellos utilizar la fórmula simple de
Simpson (17) que corresponde a n = 2 subintervalos, o 3 puntos de integración. Por lo tanto, el número total de intervalos es s = 2m y el número total
de puntos es p = 2m + 1. La figura 11 presenta gráficamente tanto la partición del dominio de integración en δ1 , . . . , δm intervalos, los cuales a su vez
se subdividen en dos subintervalos cada uno. Ası́ mismo, esta figura también
muestra la numeración de los puntos base de integración.
23
àN
Figura 11: Discretización general del dominio de integración mediante la
fórmula compuesta de Simpson.
En estas condiciones
Z b
m Z
X
I=
f (x) dx =
a
=
i=1
m
X
i=1
x2i
f (x) dx
x2i−2
!
h5
hi f (x2i−2 ) + 4f (x2i−1 ) + f (x2i ) − i f 4) (µi )
3
90
Si los puntos están equiespaciados, entonces
b−a
,
2m
La
C
hi = h =
y por lo tanto la integral puede expresarse como
Z b
m
b − a X
f (x) dx =
I=
f (x2i−2 ) + 4f (x2i−1 ) + f (x2i )
6m i=1
a
m
(b − a)5 X 4)
−
f (µi )
90(2m)5 i=1
Puesto que existe un µ ∈ [a, b] tal que (ver [5] página 305)
m
X
f 4) (µi ) = mf 4) (µ),
i=1
entonces
Z b
m
m−1
X
X
b − a
I=
f (x) dx =
f (x0 ) + 4
f (x2i−1 ) + 2
f (x2i ) + f (x2m
6m
a
i=1
i=1
(b − a)5 4)
f (µ)
−
2880m4
(28)
24
que recibe el nombre de fórmula o regla compuesta de Simpson. Nótese que
el término del error en la expresión anterior está en función de el número de
veces que se aplica la fórmula de Simpson, m. Si dicho término se expresa en
función del número total de intervalos, s = 2m, entonces:
(b − a)5 4)
f (µ)
(29)
180s4
Observación 9. El número de puntos base de integración utilizados en la
regla compuesta de Simpson, p = 2m + 1, siempre es impar.
àN
Es =
Observación 10. Al igual que la regla compuesta del trapecio, (26), al aumentar el número de puntos base de integración en la expresión (29) el orden
de la derivada que aparece en el error de integración permanece constante.
Por lo tanto, si dicha derivada está acotada en el intervalo de integración,
f 4) (x) < k, ∀x ∈ [a, b], entonces
lı́m Es = 0,
s→∞
y la regla compuesta de Simpson converge al valor exacto de la integral.
2.4.3.
Extrapolación de Richardson
La
C
La extrapolación de Richardson consiste en mejorar la aproximación numérica obtenida mediante la combinación de los resultados obtenidos al aplicar una fórmula compuesta con dos números diferentes de puntos base de
integración. En particular, seguidamente se aplica la extrapolación de Richardson a la fórmula compuesta del trapecio y de Simpson.
Aplicación a la fórmula compuesta del trapecio
Supóngase que se ha calculado el valor de la integral (1) mediante la regla
compuesta del trapecio utilizando s1 y s2 intervalos (s1 + 1 y s2 + 1 puntos).
Por lo tanto se verifica
I = I1 + E1 = I2 + E2 ,
(30)
donde I1 y I2 representan los valores numéricos obtenidos al aplicar la cuadratura compuesta del trapecio con s1 y s2 intervalos respectivamente y E1 y
E2 son los errores de intagración. De acuerdo con la ecuación (27) los errores
de integración son
(b − a)3 2)
f (µ1 )
12s21
(b − a)3 2)
=
f (µ2 )
12s22
E1 =
E2
25
donde µ1 y µ2 son dos puntos pertenecientes al dominio de integración [a, b].
Si la derivada segunda de la función f (x) es suficientemente suave, es decir,
si f 2) (µ1 ) ≈ f 2 )(µ2 ), entonces
s 2
E1 s 2 2
2
=
⇒ E1 =
E2 .
E2
s1
s1
àN
Substituyendo este resultado en la ecuación (30) se obtiene
s 2
I2 − I1
2
E2 = I2 + E2 ⇒ E2 = 2
.
I = I1 +
s1
s2 − 1
s1
La
C
Por lo tanto, la aproximación a la integral (1) puede mejorarse a partir de los
cálculos anteriormente realizados mediante las cuadraturas compuestas I1 y
I2 como
2
s2 − I
I
2 s
1
I2 − I1
1
I = I2 + E2 = I2 + 2
= 2
.
s2 − 1
s2 − 1
s1
s1
Aunque la elección del número de intervalos es arbitraria, en la práctica
es usual tomar s2 = 2s1 (de esta forma, y como se verá en la integración de
Romberg, es posible aprovechar las evaluaciones de la función f (x) realizadas
previamente). Entonces, la ecuación anterior se reduce a
I =
4I2 − I1
3
(31)
Aplicación a la fórmula compuesta de Simpson
La aplicación de la extrapolación de Richardson a la fórmula compuesta
de Simpson es muy similar al desarrollo anterior. De nuevo, supóngase que
se ha calculado el valor de la integral (1) mediante la regla compuesta de
Simpson utilizando s1 y s2 intervalos. Es decir,
I = I1 + E1 = I2 + E2 ,
(32)
donde I1 y I2 representan los valores numéricos obtenidos al aplicar la cuadratura compuesta de Simpson con s1 y s2 intervalos respectivamente y E1
y E2 son los errores de integración que se desconocen. De acuerdo con (29)
estos errores pueden expresarse como
(b − a)5 4)
f (µ1 )
180s21
(b − a)5 4)
=
f (µ2 )
180s22
E1 =
E2
26
donde µ1 y µ2 son dos puntos pertenecientes al dominio de integración [a, b].
Suponiendo que derivada cuarta de la función f (x) es suficientemente suave
(es decir, f 4) (µ1 ) ≈ f 4 )(µ2 )) es posible expresar E2 en función de E1 de forma
similar a como se ha realizado en la aplicación a la fórmula compuesta del
trapecio. Por tanto, la mejora de la aproximación a la integral (1) a partir
de los cálculos realizados previamente mediante la fórmula compuesta de
Simpson es
àN
4
s2 − I
I
2 s
1
I2 − I1
1
= 4
.
I = I2 + E2 = I2 + 4
s2 − 1
s2 − 1
s1
s1
Si, como en la aplicación a la regla compuesta del trapecio, se toma s2 = 2s1 ,
entonces
16I2 − I1
I =
(33)
15
2.4.4.
Integración de Romberg
La
C
La integración de Romberg no es más que una aplicación recursiva de la
extrapolación de Richardson aplicada a la fórmula compuesta del trapecio.
Con el fin de sistematizar este método de integración el proceso se divide
en varios pasos. En el primer paso se designa por Ti,1 el valor numérico
que se obtiene al aproximar la integral (1) mediante la regla compuesta del
trapecio (26) utilizando m = 2i intervalos, con i = 1, . . . , N siendo N un
valor previamente fijado. Estos resultados se presentan en una columna de
la forma siguiente:
T0,1
T1,1
..
.
⇒ valor obtenido al utilizar m = 20 intervalos
⇒ valor obtenido al utilizar m = 21 intervalos
..
.
TN −1,1 ⇒ valor obtenido al utilizar m = 2N −1 intervalos
TN,1
⇒ valor obtenido al utilizar m = 2N intervalos.
En realidad, el coste computacional de realizar estas integrales puede reducirse considerablemente puesto que es posible reutilizar los cálculos previamente
realizados. Concretamente, primero se calcula la cuadratura compuesta del
trapecio con m = 20 = 1 intervalos, es decir la cuadratura simple del trapecio
!
b − a 1
f (a) + f (b) .
T0,1 =
1
2
27
àN
Seguidamente, se debe calcular la cuadratura compuesta del trapecio con
m = 21 = 2. Sin embargo, esta cuadratura puede expresarse como
!
b − a 1
b−a
T1,1 =
f (a) + f (b) + f (a +
)
2
2
2
!
1
b − a
=
T0,1 + (b − a)f a +
.
2
2
Del mismo modo, al calcular la cuadratura compuesta del trapecio con m =
22 y con m = 23 intervalos se obtiene, respectivamente,
!
3
X
b−a 1
b−a
f (a) + f (b) +
i)
T2,1 =
f (a +
4
2
4
i=1
!
3
X
(b − a)
b−a
1
T1,1 +
i
f a+
=
2
2
4
i=1
∆i=2
La
C
T3,1
7
X
b − a 1
b−a
=
f (a) + f (b) +
f (a +
i)
8
2
8
i=1
!
7
1
(b − a) X
b−a =
T2,1 +
i .
f a+
2
4
8
i=1
!
∆i=2
Es fácil demostrar por inducción que la fórmula general para calcular Ti,1 en
función de Ti−1,1 es
!
i −1
2X
1
(b − a)
b−a
Ti,1 =
Ti−1,1 + i−1
f a+
i .
(34)
2
2
2i
i=1
∆i=2
Es importante resaltar que, de acuerdo con la recurrencia anterior, para calcular la aproximación Ti,1 es preciso evaluar la función f (x) sólo 2i − 1 veces.
Puesto que Ti,1 es el resultado de aproximar la integral mediante la cuadratura compuesta del trapecio con m = 2i intervalos, el error de integración
es, ver ecuación (27),
Ei,1 = −
(b − a)3 2)
f (µ)
12 22i
µ ∈ [a, b].
El segundo paso consiste en, una vez calculadas las aproximaciones mediante
la cuadratura compuesta del trapecio, realizar una extrapolación de Richardson sobre cada pareja de valores Ti,1 y Ti+1,1 , con i = 1, . . . , N − 1. Puesto
28
que por construcción el número de intervalos verifica que si+1 = 2si , entonces
puede utilizarse la expresión (31) de forma que
Ti,2 =
4Ti+1,1 − Ti,1
3
i = 1, . . . , N − 1,
(35)
àN
donde Ti,2 es el valor obtenido al aplicar la extrapolación de Richardson sobre
Ti,1 y Ti+1,1 .
Es fácil comprobar que Ti,2 coincide con la cuadratura compuesta de Simpson cuando m = i (recuérdese que según el subapartado 2.4.2 m es el número
de veces que se utiliza una fórmula simple para obtener una fórmula compuesta). En particular,
!
b−a
(b − a) 4T1,1 − T0,1
=
f (a) + 4f a +
+ f (b) ,
T0,2 =
3
6
2
que coincide con la fórmula simple del trapecio.
Como Ti,2 es el resultado de aproximar la integral mediante la cuadratura
compuesta de Simpson con m = 2i intervalos, y de acuerdo con la expresión
(29), el error de integración es
(b − a)5 4)
f (µ)
2880 24i
La
C
Ei,2 = −
µ ∈ [a, b].
El tercer paso consiste en realizar una extrapolación de Richardson sobre
cada pareja contigua de los valores anteriormente calculados. Es decir, si
Ti,3 , con i = 1, . . . , N − 2 es la extrapolación de Richardson de los valores
Ti,2 y Ti+1,3 , entonces según la ecuación (33) se obtiene
Ti,3 =
16Ti+1,2 − Ti,2
15
i = 1, . . . , N − 1,
(36)
En este caso también se puede demostrar por inducción que Ti,3 coincide con
la fórmula compuesta correspondiente a la fórmula cerrada de cinco puntos,
cuando ésta última se aplica m = 2i veces. Por consiguiente, el error de
integración es
Ei,3 = −
(b − a)7 6)
f (µ)
1935360 26i
µ ∈ [a, b].
Las expresiones (35) y (36) son un caso particular de la fórmula general
Ti,j =
4j−1 Ti+1,j−1 − Ti,j−1
4j−1 − 1
29
i = 1, . . . , N − 1,
(37)
Además, se demuestra que el error correspondiente a Ti,j verifica (ver [1])
Ei,j =
k(a, b, j) 2j)
f (µ)
22ij
µ ∈ [a, b],
àN
donde k(a, b, j) es una constante que depende de los lı́mites de integración
y de j. Es importante resaltar que mientras los valores de Ti,j , con j ≤ 3,
se corresponden con reglas compuestas de integración, esto no es cierto para
Ti,j , con j > 3.
T0,1
T1,1
T2,1
..
.
T0,2
T1,2
T2,2
..
.
T0,3
T1,3
T2,3
..
.
TN −2,1
TN −1,1
TN,1
TN −2,2
TN −1,2
TN −2,3
...
...
...
..
.
T0,M −2
T1,M −2
T2,M −2
T0,M −1
T1,M −1
T0,M
Cuadro 1: Representación mediante una tabla de la integración de Romberg
La
C
La expresión (37) muestra como el proceso de extrapolación de Richardson descrito anteriormente puede aplicarse de forma recurrente para calcular
numéricamente una integral definida. Generalmente, los resultados de este
proceso se presentan por columnas como muestra la tabla 1. Nótese que esta representación muestra claramente como se implementa este método. El
proceso se inicia calculando la primera columna de acuerdo con la expresión
(34). A partir de esta columna se calculan las restantes mediante la expresión
general (37).
Observación 11. La mejor aproximación al valor exacto de la integral que
proporciona la integración de Romberg corresponde al coeficiente T0,M de la
tabla 1. Recuérdese que cada columna de esta tabla corresponde a la aplicación
de una fórmula compuesta. En consecuencia, fijada una columna de la tabla
1, la precisión de la aproximación al valor exacto de la integral aumenta
al descender por dicha columna ya que el número de intervalos utilizados
para realizar el cálculo también se incrementa. Además, cada columna pude
interpretarse como la extrapolación de Richardson de la columna anterior.
Por lo tanto, la precisión de la aproximación también aumenta con el número
de columnas.
30
3.
Integración de Gauss
3.1.
Planteamiento del problema
En el apartado 2 se han deducido fórmulas de integración del tipo
Z
b
f (x) dx =
I=
wi f (xi ) + En ,
àN
a
n
X
i=0
La
C
donde la posición de los n + 1 puntos bases de integración está predefinida de
antemano (puntos equiespaciados). En general, y de acuerdo con las expresiones (13) y (20), estas fórmulas son de orden n, es decir, integran exactamente
todo polinomio de grado n (recuérdese que éste era el resultado general, sin
embargo, para n par se obtenı́a un orden de integración extra). Por tanto,
fijados los n + 1 puntos base de integración y a partir de n + 1 incógnitas (los
pesos de integración wi , con i = 0, . . . , n) se integran exactamente polinomios
de grado n, determinados por n + 1 coeficientes. A partir de esta reflexión
surge de forma natural la siguiente pregunta: ¿es posible integrar polinomios
de grado 2n + 1 (polinomios determinados por 2n + 2 coeficientes si tanto la
posición de los n + 1 puntos base como los n + 1 pesos de integración son
una incógnita? En otras palabras, si se escoge adecuadamente la posición de
los puntos base de integración ¿es posible aumentar el orden de integración?
La respuesta es, afortunadamente, afirmativa. Con el objetivo de determinar cual es la posición óptima de los puntos base de integración, xi con
i = 0, . . . , n, y posteriormente calcular de forma natural los pesos de integración, wi con i = 0, . . . , n, supóngase que se debe calcular la integral
Z
I =
b
w(x)f (x) dx,
(38)
a
donde w(x) es una función de ponderación arbitraria. Obsérvese que para
w(x) = 1 se obtiene la integral (1). En este sentido, la inclusión de la función
w(x) en la definición de la integral (38) permite hacer más generales los
resultados que seguidamente se obtendrán.
Como en los apartados anteriores, también se supondrá que la función
f (x) se aproxima mediante polinomios de Lagrange (2) de forma que
f (x) = Pn (x) + Rn (x) =
n
X
f (xi )Li (x) +
i=0
31
f n+1) (µ)
L(x).
(n + 1)!
Entonces,
b
Z
I=
w(x)f (x) dx =
n
X
a
b
Z
f (xi )
w(x)Li (x) dx
a
i=0
1
+
(n + 1)!
b
Z
w(x)f n+1) (µ)L(x) dx.
a
àN
Por tanto, un vez se conozcan los puntos base, los pesos de integración se
calcularán como
Z b
w(x)Li (x) dx,
(39)
wi =
a
y el error de integración será
Z
En =
a
b
1
w(x)f (x) dx =
(n + 1)!
Z
b
w(x)f n+1) (µ)L(x) dx.
(40)
a
La
C
Puesto que el objetivo es integrar exactamente cualquier polinomio de grado
2n+1, si la función f (x) fuera un polinomio de grado 2n+1, f (x) = P2n+1 (x),
entonces el error de integración deberı́a ser nulo, En = 0.
En este caso, puesto que la función integrando se aproxima mediante una
interpolación de Lagrange (2) y sólo se dispone de n + 1 puntos base de
integración
P2n+1 (x) = Pn (x) + Rn (x),
donde el resto de integración, Rn (x), debe ser un polinomio de grado 2n + 1
ya que siempre es posible expresar un polinomio de grado 2n + 1 como suma
de un polinomio de grado n más otro de grado 2n + 1. Entonces, en este caso
el error de interpolación puede descomponerse como
Rn (x) =
f n+1) (µ)
L(x) = qn (x) L(x)
(n + 1)!
(41)
donde L( x) es el polinomio de Lagrange (5), de grado n + 1 y qn (x) es forzosamente un polinomio de grado n.
Considérese una familia de polinomios ortogonales de grado n + 1
{Q0 (x), Q1 (x), . . . , Qn−1 (x), Qn (x)},
según el producto escalar definido por
Z
b
< f (x), g(x) >=
w(x)f (x)g(x) dx.
a
32
donde el polinomio Qi (x) es de grado i. Nótese que la función w(x) es la
misma función que aparece en la integral (38).
Puesto que toda familia de polinomios ortogonales de grado n + 1 forman
una base del subespacio vectorial de los polinomios de grado igual o inferior a
n + 1, entonces cualquier polinomio de grado igual o inferior a n + 1 se puede
expresar como combinación lineal de dicha familia de polinomios ortogonales.
En particular,
àN
n+1
X
L(x) =
qn (x) =
i=0
n
X
ci Qi (x)
(42)
bi Qi (x).
(43)
i=0
Por consiguiente, introduciendo las combinaciones lineales (42) y (43) en la
descomposición (41), el error de integración (40) es
En =
n+1 X
n
X
i=0 j=0
Z
ci bj
b
w(x)Qi (x)Qj (x) dx =
a
n
X
ci bi < Qi (x), Qi (x) >
i=0
La
C
por ser {Qi (x)} una familia de polinomios ortogonales. Es decir, si el error
de integración debe ser nulo, entonces existen dos posibilidades:
bi = 0 con i = 0, . . . n. En consecuencia, En = 0, pero debido a la
ecuación (43) también se cumple que qn (x) = 0. Es decir, por la descomposición (41) Rn (x) = 0 lo cual no tiene sentido.
ci = 0 con i = 0, . . . n. En este caso la integral es exacta como se
deseaba.
Además, al cumplirse esta última condición, la ecuación (42) permite
expresar el polinomio de Lagrange como
L(x) =
n+1
X
ci Qi (x) = cn+1 Qn+1 (x).
i=0
Ası́ mismo, por la propia definición del polinomio de Lagrange (5) éste es
n
Y
L(x) =
(x − xj ) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ).
i=0
Por lo tanto, se verifica
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ) = cn+1 Qn+1 .
33
(44)
àN
Es decir, los ceros del polinomio de Lagrange son las raı́ces del polinomio
ortogonal de grado n + 1, Qn+1 (x). Nótese que la ecuación (44) indica exactamente cuáles han de ser los puntos base de integración para que el error de
integración sea nulo: los puntos base de integración han de ser los ceros del
polinomio ortogonal de grado n + 1, Qn+1 (x).
A modo de resumen, el siguiente cuadro presenta el planteamiento general
de la integración gaussiana.
Resumen Sea {Q0 (x), Q0 (x), . . . , Qn−1 (x), Qn (x)} una familia de polinomios ortogonales según el producto escalar
Z b
w(x)f (x)g(x) dx.
< f (x), g(x) > =
a
Entonces, es posible calcular la integral
Z
I =
b
w(x)f (x) dx =
a
n
X
wi f (xi ) + En ,
i=0
La
C
mediante una cuadratura de orden 2n + 1 si los puntos de integración
son los ceros del polinomio ortogonal de grado n + 1, Qn+1 (x). En
este caso, los pesos de integración valen
Z b
wi =
w(x)Li (x) dx,
a
y el error de integración se puede expresar como
En = Ω(a, b, n)f 2n+2 (µ),
µ ∈ [a, b]
(45)
donde Ω(a, b, n) es una función de los lı́mites de integración y de n.
3.2.
Clasificación
De acuerdo con los resultados presentados en el subapartado anterior, la
posición de los puntos base de integración, el valor de los pesos de integración y la expresión del error de integración dependen de la familia (base) de
polinomios ortogonales que se utilice. Es importante resaltar que la elección
de la familia de polinomios ortogonales también define implı́citamente una
función de peso w(x) y unos lı́mites de integración (los lı́mites del intervalo
en el que la familia de polinomios es ortogonal). En este sentido, la relación
entre familias de polinomios ortogonales y fórmulas de integración gaussiana
más importantes es:
34
Pol. ortogonales
Sı́mbolo
Fórmula de integración
w(x)
Pol.
Pol.
Pol.
Pol.
{Pn (x)}
{L̂n (x)}
{Hn (x)}
{Tn (x)}
Gauss-Legendre
Gauss-Leguerre
Gauss-Hermite
Gauss-Chebychev
1
e−x
2
e−x√
1/ 1 − x2
de
de
de
de
Legendre
Laguerre
Hermite
Chebychev
3.3.
àN
Observación 12. Al igual que en la bibliografı́a, los polinomios de Laguerre
se expresan como Li (x), con i = 0, . . . , n. Aunque esta notación coincide con
la utilizada para los polinomios de Lagrange (4), el lector identificará claramente cada familia de polinomios por el contexto.
Fórmulas de Gauss-Legendre
En este tipo de integración gaussiana, se toma como familia de polinomios
ortogonales los polinomios de Legendre. En la tabla 2 se presentan los cinco
primeros polinomios de Legendre. Es importante recordar que los polinomios
de Legendre son ortogonales según el producto escalar
Z
1
f (x)g(x) dx.
< f (x), g(x) >=
La
C
−1
Es decir, la particularización de la ecuación (38) a la integración de GaussLegendre es
w(x) = 1
a = −1
b = 1
Por consiguiente, siempre es posible expresar la integral de una función f (x)
sobre el intervalo [0, 1] como una cuadratura más un error de integración. La
fórmula resultante es conocida como fórmula de Gauss-Legendre
Z
1
I=
f (x) dx =
−1
n
X
wi f (xi ) + En ,
i=0
donde los puntos base de integración son los ceros del polinomio de Lengendre
de grado n+1, Pn+1 (x) y los pesos de integración se calculan según la ecuación
(39)
Z 1
wi =
Li (x) dx,
−1
35
àN
P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1
P2 (x) =
(3x2 − 1)
2
1
P3 (x) =
(5x3 − 3x)
2
1
P4 (x) =
(35x4 − 30x2 + 3)
8
Cuadro 2: Polinomios de Legendre
y el término del error de integración se puede expresar de la forma determinada por la ecuación (45).
Sin embargo, en la mayorı́a de aplicaciones es preciso calcular la integral
en un intervalo cualquiera [a, b]. En este caso también se puede utilizar una
fórmula de Gauss-Legendre mediante el siguiente cambio de variables
2x − (a + b)
.
b−a
La
C
z=
(46)
Por tanto, es posible calcular la integral
Z b
Z
b−a 1
z(b − a) + (a + b)
I =
f (x) dx =
f
dz
2
2
a
−1
n
b−aX
zi (b − a) + (a + b)
wi f
=
+ En ,
2 i=0
2
donde los valores zi están definidos sobre el intervalo [−1, 1].
En el apéndice A se presenta de forma tabulada los valores de los puntos
base y sus correspondientes pesos de integración para diferentes valores de
n. Para todos los valores de n, los puntos base de integración (las raı́ces de
los polinomios ortogonales de Legendre de grado n + 1) siempre están en el
intervalo [−1, 1] y que son simétricos respecto el origen (x = 0). Por este
motivo, en la tabla del apéndice A, los puntos base con valores diferentes de
cero se deben interpretar siempre como valores positivos y negativos, ±zi .
Por ejemplo, para n = 1 se cumple:
±zi
wi
0,577350269189626
1,00000000000000
36
Entonces, los puntos base de integración son: x0 = −0,577350269189626
y x1 = 0,577350269189626, mientras que los pesos de integración son w0 =
w1 = 1,00000000000000.
3.4.
Fórmulas de Gauss-Laguerre
àN
En muchas aplicaciones es necesario aproximar el valor de una integral
definida sobre un dominio infinito. Dado que los polinomios de Laguerre son
ortogonales bajo el producto escalar
Z ∞
e−x f (x)g(x) dx,
< f (x), g(x) >=
0
su utilización para el cálculos de integrales definidas sobre el intervalo [0, ∞)
es ampliamente utilizada. Es decir, las fórmulas de Gauss-Laguerre son de la
forma
Z ∞
n
X
−x
I=
e f (x) dx =
wi f (xi ) + En ,
0
i=0
donde, los puntos base de integración son los ceros del polinomio de Laguerre
de grado n+1, Ln+1 (x), los pesos de integración se calculan según la ecuación
(39)
Z
∞
e−x Li (x) dx,
La
C
wi =
0
y el término del error de integración se puede expresar de la forma (45). En
la tabla 3 se presentan los primeros cinco polinomios de Laguerre.
L̂0 (x)
L̂1 (x)
L̂2 (x)
L̂3 (x)
L̂4 (x)
=
=
=
=
=
1
1−x
2 − 4x + x2
6 − 18x + 9x2 − x3
24 − 96x + 72x2 − 16x3 + x4
Cuadro 3: Polinomios de Laguerre
Nótese que la expresión de la integración de Gauss-Laguerre se ha obtenido al hacer
w(x) = e−x
a = 0
b = ∞
37
en la ecuación (38). Para calcular la integral sobre un dominio [a, ∞), siendo
a un valor finito, basta con aplicar el cambio de variable
z = x − a,
de forma que
Z
Z ∞
f (x) dx =
I=
∞
−z z
e e f (z + a) dz =
0
wi ezi f (zi + a) + En .
i=0
àN
a
n
X
En el apéndice A se presentan tabulados los valores de los puntos base y
de los pesos de integración para diferentes fórmulas de Gauss-Laguerre. Los
valores que aparecen entre paréntesis delante de los pesos de integración
deben interpretarse de la siguiente manera. Sea a dicho número y b el valor
que aparece en la columna asociada al peso de integración. Entonces el valor
real del peso de integración es b · 10a . Adicionalmente, también se muestran
los valores del producto wi ezi para las aplicaciones al cálculo de integrales
sobre un dominio [a, ∞]. Por ejemplo, para n = 1 se cumple:
wi
wi ezi
0,585786437627
3,414213562373
(−1) 8,53553390593
(−1) 1,46446609407
1,53332603312
4,45095733505
La
C
zi
Entonces, los puntos base de integración son x0 = 0,585786437627 y
x1 = 3,414213562373; los pesos de integración son w0 = 0,853553390593
y w1 = 0,146446609407; y los productos w0 ez0 = 1,53332603312 y w1 ez1 =
4,45095733505.
3.5.
Fórmulas de Gauss-Hermite
También es posible utilizar una familia de polinomios ortogonales para
evaluar integrales en el dominio [−∞, ∞]. En este caso particular son especialmente indicados los polinomios de Hermite ya que son ortogonales según
el producto escalar
Z ∞
2
< f (x), g(x) >=
e−x f (x)g(x) dx.
−∞
En la tabla 4 se presentan los primeros cinco polinomios de Hermite.
Por lo tanto, si en la ecuación (38) se hace
2
w(x) = e−x
a = −∞
b = ∞
38
=
=
=
=
=
1
2x
4x2 − 2
8x3 − 12x
16x4 − 48x2 + 12
àN
H0 (x)
H1 (x)
H2 (x)
H3 (x)
H4 (x)
Cuadro 4: Polinomios de Hermite
se obtiene la expresión para las fórmulas de Gauss-Hermite
Z ∞
n
X
−x2
I=
e f (x) dz =
wi f (xi ) + En .
−∞
i=0
Como en las fórmulas gaussianas anteriores, los pesos de integración se calculan según la ecuación (39)
Z ∞
2
wi =
e−x Li (x) dx,
−∞
La
C
y el término del error de integración se puede expresar de la forma (45).
Obsérvese que la fórmula de Gauss-Hermite puede aplicarse al cálculo de la
integral de una función f (x) cualquiera puesto que
Z ∞
Z ∞
n
X
2
−z 2 z 2
e e f (z) dz =
f (z) dz =
I=
wi ezi f (zi ) + En .
−∞
−∞
i=0
En el apéndice A se presentan tabulados los valores de los puntos base y de
los pesos de integración para diferentes fórmulas de Gauss-Hermite. Como
en la integración de Gauss-Laguerre, el valor real de los pesos de integración
se obtiene multiplicando b · 10a , donde a representa los valores que aparecen
entre paréntesis delante de los pesos de integración y b el valor que aparece
en la columna de los pesos de integración. Ası́ mismo, también se muestran
2
los valores del producto wi ezi para las aplicaciones al cálculo de la integral
de una función cualquiera. Concretamente, para n = 1 se verifica:
2
±zi
wi
±wi ezi
0,707106781166548
(−1) 8,862269254528
1,4611411826611
Entonces, los puntos base de integración son x0 = −0,707106781166548 y
x1 = 0,707106781166548; los pesos de integración son w0 = w1 = 0,886226922
2
54528; y los productos w0 ez0 = −1,4611411826611 y w1 ez1 = 1,4611411826611.
39
3.6.
Fórmulas de Gauss-Chebyshev
àN
Los polinomios de Chebyshev también son ampliamente utilizados en las
fórmulas gaussianas de integración. En la tabla 5 se presentan los primeros
cinco polinomios de Chebyshev. Estos polinomios son ortogonales bajo el
producto escalar
Z 1
1
√
< f (x), g(x) >=
f (x)g(x) dx.
1 − x2
−1
Es decir, su utilización permite calcular integrales de la forma (38) cuando
w(x) = √
1
1 − x2
a = −1
b = 1
=
=
=
=
=
1
x
2x2 − 2
4x3 − 3x
8x4 − 8x + 1
La
C
T0 (x)
T1 (x)
T2 (x)
T3 (x)
T4 (x)
Cuadro 5: Polinomios de Chebyshev
Por consiguiente, mediante la integración de Gauus-Chebyshev se obtiene
Z 1
n
X
1
√
f (x) dx =
wi f (xi ) + En ,
I=
1 − x2
−1
i=0
donde los n + 1 puntos base de integración son las raı́ces de los polinomios de
Chebyshev de grado n + 1, Tn+1 (x). Es importante recordar que estos ceros
pueden calcularse de forma explı́cita como
(2i + 1)π
xi = cos
i = 0, . . . , n
2n + 2
Además, los pesos de integración también se pueden calcular analı́ticamente
puesto que
Z 1
1
π
√
wi =
Li (x) dx =
i = 0, . . . , n
2
n+1
1−x
−1
40
La
C
àN
y el error de integración se puede expresar de la forma (45).
La integración de Gauss-Chebyshev también se puede extender a un dominio de integración [a, b] cualquiera mediante el cambio de variable (46). Es
decir,
Z b
Z
b−a 1
z(b − a) + (a + b)
f (x) dx =
f
dz
I =
2
2
a
−1
Z
√
b−a 1
z(b
−
a)
+
(a
+
b)
1
√
=
1 − z2 f
dz
2
2
1 − z2
−1
n
q
b−aX
zi (b − a) + (a + b)
2
=
wi 1 − zi f
+ En .
2 i=0
2
41
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
Z
b
Za b
f (x) dx
n=2
Za b
f (x) dx
n=3
àN
Za b
n=4
f (x) dx
Za b
n=5
f (x) dx
a
Z
n=6
b
f (x) dx
a
Z
n=7
h
1 3 2)
f0 + f1 −
h f (µ)
2
12
h
1 5 4)
=
f0 + 4f1 + f2 −
h f (µ)
3
90
3h 3 5 4)
=
f0 + 3f1 + 3f2 + f3 −
h f (µ)
8
80
8 7 6)
2h 7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 −
h f (µ)
=
45
945
5h =
19f0 + 75f1 + 50f2 + 50f3 + 75f4 + 19f5
288
275 7 6)
h f (µ)
−
12096
h =
41f0 + 216f1 + 27f2 + 272f3 + 27f4
140
9
+216f5 + 41f6 −
h9 f 8) (µ)
1400
7h 751f0 + 3577f1 + 1323f2 + 2989f3
=
1728
8183 9 8)
+2989f4 + 1323f5 + 3577f6 + 751f7 −
h f (µ)
518400
4h
989f0 + 5888f1 − 928f2 + 10496f3
=
14175
−4540f4 + 10496f5 − 928f6 + 5888f7 + 989f8
2368 11 10)
−
h f (µ)
467775
9h =
2857(f0 + f9 ) + 15741(f1 + f8 )
89600
+1080(f2 + f7 ) − 19344(f3 + f6 ) + 5778(f4 + f5 )
173 11 10)
−
h f (µ)
14620
5h =
16067(f0 + f10 ) + 106300(f1 + f9 )
299376
−48525(f2 + f8 ) + 272400(f3 + f7 ) − 260550(f4 + f6 )
1346350 13 12)
+427368f5 −
h f (µ)
326918592
f (x) dx =
n=1
b
f (x) dx
La
C
a
Z
b
n=8
f (x) dx
a
Z
b
n=9
f (x) dx
a
Z
n = 10
b
f (x) dx
a
42
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes
Z
b
1 3 2)
h f (µ)
3
3
3h =
f0 + f1 + h3 f 2) (µ)
2
4
28
4h 2f0 − f1 + 2f2 +
h5 f 4) (µ)
=
3
90
5h 95 5 4)
=
11f0 + f1 + f2 + 11f3 +
h f (µ)
24
144
6h =
11f0 − 14f1 + 26f2 − 14f3 + 11f4
20
41 7 6)
+
h f (µ)
140
7h =
611f0 − 453f1 + 562f2 + 562f3 − 453f4
1440
5257 7 6)
+611f5 +
h f (µ)
8640
8h =
460f0 − 954f1 + 2196f2 − 2459f3 + 2196f4
945
3956 9 8)
h f (µ)
−954f5 + 460f6 +
14175
f (x) dx = 2hf0 +
n=0
a
Z
b
f (x) dx
n=1
a
Z
b
a
Z
b
àN
f (x) dx
n=2
f (x) dx
n=3
a
Z
b
f (x) dx
n=4
a
Z
b
f (x) dx
n=5
a
Z
b
f (x) dx
La
C
n=6
a
43
Cuadraturas de Gauss- Legendre
±zi
±zi
wi
wi
n=15
àN
n=1
0.57735 02691 89626
1.00000 00000 00000
n=2
0.00000 00000 00000
0.77459 66692 41483
0.88888 88888 88889
0.55555 55555 55556
n=3
0.33998 10435 84856
0.86113 63115 94053
0.65214 51548 62546
0.34785 48451 37454
0.09501
0.28160
0.45801
0.61787
0.75540
0.66563
0.94457
0.96940
25098
35507
67776
62444
44083
12023
50230
09349
37637
79258
57227
02643
55003
87831
73232
91649
440165
913230
386342
748447
033895
743880
576078
932596
0.07652
0.22778
0.37370
0.51086
0.63605
0.74633
0.83911
0.91223
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0.99312
65211
58511
60887
70019
36807
19064
69718
44282
19272
85991
33497
41645
15419
50827
26515
60150
22218
51325
77913
65094
333755
076080
560673
098004
025453
792614
823395
905868
791268
924786
0.06405
0.19111
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0.88641
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0.99518
68928
88674
26796
35C76
14713
36519
41915
19859
55270
45520
85559
72199
62605
73616
96163
26045
68839
36975
78554
73902
04401
02732
71309
97021
626065
309159
374387
138487
535658
569252
364244
921954
034213
758524
498198
360180
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0.18260
0.16915
0.14959
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0.09515
0.06225
0.02715
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34150
65193
59688
89712
85116
35239
24594
55068
44923
95002
16576
55533
82492
38647
11754
496285
588867
538189
732081
872052
764810
892663
094852
0.15275
0.14917
0.14209
0.13168
0.11819
0.10193
0.08327
0.06267
0.04060
0.01761
33BT1
29864
61093
86384
45319
01198
67415
20463
14296
40071
30725
72603
18382
49176
61518
17240
76704
34109
00386
39152
850698
746788
051329
626898
417312
435037
746725
063570
941331
118312
0.12793
0.12583
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0.11550
0.10744
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81953
74563
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56680
42701
86521
01615
64814
65649
74388
13886
12297
46752
46828
27803
53725
15965
04113
31953
11080
15436
17419
28933
99987
156974
296121
391204
661353
634783
888270
275917
305734
760746
806169
663181
199547
n=19
n=4
0.00000 00000 00000
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n=5
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n=6
0.00000
0.40584
0.74153
0.94910
00000
51513
11855
79123
00000
77397
99394
42759
46424
24099
64774
98564
95650
16329
13627
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0.00000
0.32425
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34234
14327
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95682
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34085
14989
79542
26741
72563
06342
11469
98180
86617
94305
70475
46719
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91836
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53914
49661
73469
05119
89277
68870
0.36268
0.31370
0.22238
0.10122
37833
66458
10344
85362
78362
77887
53374
90376
0.33023
0.31234
0.26061
0.16064
0.03127
93550
70770
06964
81606
43883
01260
40003
02935
94857
61574
0.29552
0.26926
0.21908
0.14945
0.06667
42247
67193
63625
13491
13443
14753
09996
15982
50581
08688
0.24914
0.23349
0.20316
0.16007
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70458
25365
74267
83285
93259
53363
13403
38355
23066
43346
95318
86512
n=7
La
C
0.18343
0.52553
0.79666
0.96028
n=23
n=8
n=9
n=11
44
Cuadraturas de Gauss-Laguerre
zi
wi
zi
wi exp(zi)
wi
0.58578 64376 27
3.41421 35623 73
wi exp(zi)
n=8
n=1
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(-1) 1.46446 609407
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603312
733505
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3.78347
22277
00227
51556
39733
32
42
19
31
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
3.36126
4.11213
1.99287
4.74605
421798
980424
525371
627657
0.39143
0.92180
1.48012
2.08677
1124316
5028529
790994
080755
6.20495
9.37298
13.46623
18.83359
26.37407
67778
52516
69110
77889
18909
77
88
92
92
27
(-3)
(-4)
(-6)
(-8)
(-11)
5.59962
3.05249
6.59212
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302608
933035
403035
2.77292
3.59162
4.64876
6.21227
9.36321
138971
606809
600214
541975
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0.13779
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5.55249
34705
45495
29017
36978
61400
40
03
40
55
64
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-3)
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6.20874
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115765
929155
287612
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0.35400
0.83190
1.33028
1.86306
2.45025
9738607
230144
856175
390311
555808
27467
58379
78313
58119
70122
64
00
78
81
74
(-4)
(-5)
(-7)
(-9)
(-13)
7.53008
2.82592
4.24931
1.83956
9.91182
388588
334960
398496
482398
721961
3.12276
3.93415
4.99241
6.57220
9.78469
415514
269556
487219
248513
584037
àN
n=2
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296190
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01
(-1)
(-1)
(-2)
(-4)
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18
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41
59
76
(-1)
(-1)
(-2)
(-3)
(-5)
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7.59424
3.61175
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496817
867992
723B58
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1.63848
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4.31565
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4042208
787360
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635435
8.33015
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59
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83
02
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-4)
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458236
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4.59922
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8.18215
12.73418
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36765
48953
67449
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34445
02917
78622
60
39
51
26
63
98
63
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-3)
(-5)
(-8)
4.09318
4.21831
1.47126
2.06335
1.07401
1.58654
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951701
277862
348658
144687
014328
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547900
0.49647
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1.91824
2.77184
3.84124
5.38067
8.40543
7597540
306086
978166
863623
912249
820792
248683
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0.09330
0.49269
1.21559
2.26994
3.66762
78120
17403
54120
95262
27217
17
02
71
04
51
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
2.18234
3.42210
2.63027
1.26425
4.02068
885940
177923
577942
818106
649210
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0.88700
1.22366
1.57444
8170311
0842793
8262919
440215
872163
0.17027
0.90370
2.25108
4.26670
7.04590
10.75851
15.74067
22.86313
96323
17767
66298
01702
54023
60101
86412
17368
05
99
66
88
93
81
78
89
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-3)
(-5)
(-7)
(-9)
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4.18786
1.75794
3.33434
2.79453
9.07650
8.48574
1.04800
589342
780814
986637
922612
623523
877336
671627
117487
0.43772
1.03386
1.66970
2.37692
3.20854
4.26857
5.81808
8.90622
3410493
934767
976566
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091335
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n=14
La
C
n=7
45
Cuadraturas de Gauss-Hermite
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(-1)
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àN
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721
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175
486
644
525
914
769
532
Referencias
[1] Bauer F.L., Rutishauser H. y Stiefel, E., (1963), New Aspects in Numerical Quadrature, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics,
XV, American Mathematical Society, Providence, pp. 199-218.
àN
[2] Burden, R.L. y Faires, J.D., (1998), Análisis Numérico, International
Thomson Editores, México.
[3] Davis, P.J. y Rabinowitz, P. (1984), Methods of Numerical Integration
(second edition), Academic Press.
[4] Huerta A., Sarrate, J. y Rodrı́guez-Ferran, A., (2001), Métodos Numéricos. Introducción, Aplicaciones y Programación (tercera edición), Colección Aula Polit‘ecnica. Edicions UPC. Barcelona.
[5] Isaacson, E. y Keller, H.B. (1966), Analysis of Numerical Methods, John
Wiley and Sons.
La
C
[6] Kincaid, D. y Cheney, W. (1994), Análisis numérico. Las matemáticas
del cálculo cientı́fico, Addison-Wesley Iberoamericana. Wilmington, Delaware.
[7] Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A. y Vetterling, W.T. (1996),
Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing (second edition),
Cambridge University Press. Cambridge.
[8] Ralston, A. y Rabinowitz, P. (1978), A First Course in Numerical Analysis (second edition), McGraw-Hill. New York.
[9] Stoer, J. y Bulirsch, R. (1993), Introduction to Numerical Analysis,
Springer-Verlag. New York
47