Técnicas de Integración Integración por Partes

Técnicas de Integración
Integración por Partes (I)
El método de integración por partes es un método que te permite separar una integral (que tiene
un producto de dos funciones) en una integral simple y lista para integrar (o solo más simple).
Derivación de la fórmula de integración por partes:
Si u = u(x) y v = v(x) entonces la derivada del producto uv es
d
du
dv
(uv) =
v+
u
dx
dx
dx
Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x
Z
d
(uv)dx =
dx
Z
Z
du
v dx +
dx
Z
d(uv) =
Z
dv
u dx
dx
Z
v du +
u dv
Despejando
Z
Z
u dv = uv −
v du
Z
(F ?)
Z
u dv = uv −
v du
Al momento de usar este método tendrás una función y podrás escoger una función u y una función
v (se puede decir que separas la función a integrar en dos partes). ¿Cuál debe ser u? ¿Cuál debe
1
ser v? Es difı́cil responder esto, la respuesta más clara: depende del problema. La práctica te
permitirá decidir cual será cual.
Explicaré los pasos del método con un ejemplo.
Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de f (x) = x ln(x)
En otras palabras me dice: ”Integra esto
R
xln(x)dx”. Si intentaras hacer cambio de variable, te
darás cuenta que no lograrás encontrar una sustitución directa (y posiblemente le darás muchas al
problema).
Como este es el primer problema, explicaré cada paso. Primero debes tomar en cuenta que debes
R
R
ver el problema como xln(x)dx = udv. Por eso debo escoger una u y un dv. La u será una
función que vas a derivar y el dv será una función que vas a integrar. Por eso, es bueno
pensar: Mi dv debe ser una función fácil de integrar (No te preocupes tanto por u, debes
poder derivar casi todo).
a.) ¿Cuál debe ser mi dv? Vuelve a leer lo que escribı́ arriba. Si escojo ln(x) como mi función a
integrar, te quedarás al aire por qué no conoces ninguna integral directa para ln(x). Mejor diré
dv = xdx, el diferencial (en este caso dx) debe estar incluido en el diferencial dv, si no
¿como vas a integrar? Necesitas un diferencial para integrar...
Ahora conseguiré v
dv = xdx
Integrando a ambos lados [e ignorando la constante de integración]:
Z
Z
dv =
v=
Confı́a en mi con lo de la constante...
2
xdx
x2
2
b.) Ahora lo único que queda es escoger u. Para este caso u = ln(x).
La u la derivas para obtener du:
u = ln(x) → du =
dx
x
Justo como hacı́amos en sustitución simple.
c.) Ya tenemos todas las partes necesarias para utilizar la fórmula; tenemos u = ln(x), du =
v=
x2
2 ,
dx
x ,
dv = xdx. Aplica la fórmula (1)
Z
Z
u dv = uv −
Z
→
v du
x2 Z x2 dx −
+C
x ln(x) dx = (ln(x))
2
2
x
Colocando la constante de integración ahı́ te liberará de usar otras constantes de integración en la
última integral (confı́a en mı́). Ahora al integrar la última integral encontrarás que la respuesta del
problema es:
Z
x ln(x) dx =
1 2
x2
x2 h
1i
[x ln(x)] −
+C =
ln(x) −
+C
2
4
2
2
Verifica tu respuesta. Una vez tengas todas las partes de la fórmula, lo demás será carpinterı́a.
Ejemplo 2: Encuentra el valor del área bajo la curva f (x) = ln(x2 + 1) (sombreada). Usa la
gráfica de referencia. [PISTA:
x2
x2 +1
=1−
1
x2 +1 ]
Ya que la función (viendo la gráfica) no tiene ninguna discontinuidad (o irregularidad) en el intervalo
[2, 6] (área sombreada), puedo decir que el área sombreada es igual a la siguiente integral:
Z
6
ln(x2 + 1) dx
2
3
Antes de evaluar esta integral, debo resolver la antiderivada. Para esto, usaré integración por
partes. ¿Por qué? Si intentas una sustitución simple (cambio de variables) ó integración directa,
no lograrás llegar a nada razonable.
Volveré a hacer paso por paso:
a.) Primero escogeré mi dv. Si digo dv = ln(x2 + 1)dx será inútil, no se integrar ln(x2 + 1). Por
eso diré dv = dx solamente.
Z
dv = dx →
Z
dv =
dx → v = x
b.) Ahora escogeré u. Diré u = ln(x2 + 1), puedo derivar ln(x2 + 1) sin problema.
u = ln(x2 + 1) → du =
2x dx
x2 + 1
c.) Ya tengo todas las partes de la fórmula, ahora la aplicaré.
Z
Z
udv = uv −
4
vdu
Z
→
ln(x2 + 1) dx = [ln(x2 + 1)][x] −
h 2xdx i
[x] 2
x +1
x2 dx
x2 + 1
Z
2
Z
= x ln(x + 1) − 2
Usando la pista al comienzo del problema:
= x ln(x2 + 1) − 2
hZ 1−
x2
1 i
dx
+1
Integrando esto, obtienes la respuesta:
Z
ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) − 2x + 2tan−1 (x) + C
d.) Ahora evaluó la integral de [2, 6]
Z
2
6
ln(x2 + 1) dx = [xln(x2 + 1) − 2x + 2tan−1 (x)]|62
= (6)ln(62 + 1) − 2(6) + 2(tan−1 (6)) − (2)ln(22 + 1) + 2(2) − 2(tan−1 (2))
Con ayuda de una calculadora... encuentras la respuesta:
6
Z
ln(x2 + 1) dx ≈ 11.044
2
Listo.
En general,
Z
a
b
b Z
u dv = uv −
a
5
a
b
v du
Mas ejemplos!
Z
Ejemplo 3: Integra
ln(y) dy
Es lógico decir u = ln(y) → du =
dy
y
y decir dv = dy → v = y. Ahora, aplicando la fórmula:
Z
Z
ln(y) dy = yln(y) −
y
dy y
Z
+ C = y ln(y) −
dy + C
Integrando obtengo la respuesta:
Z
ln(y) dy = y ln(y) − y + C
Recuerda derivar tus respuestas para ver si obtienes lo que está dentro de la integral.
Z
Ejemplo 4: Integra
tan−1 (x) dx
Diré u = tan−1 (x) → du =
dx
x2 +1
(es tu única opción). Por eso, dv = dx → v = x. Con todas las
partes, uso la fórmula:
Z
tan
−1
−1
(x) dx = x tan
Z
(x) −
= x tan−1 (x) −
Z
(x)
dx +K
x2 + 1
xdx
+K
x2 + 1
La integral restante puede hacerse usando cambio de variables y encuentras que la solución es:
Z
Z
Ejemplo 5: Integra
p
tan−1 (x) dx = x tan−1 (x) − ln| x2 + 1| + K
(6x2 )ln[ln(2x3 + 1)] dx
2x3 + 1
Este ejemplo puede parecer desagradable a la viste en una primera instancia, pero prometo que se
reducirá a algo que te hará reı́r.
6
Antes de irte salvajemente a escoger una u y un dv, fı́jate, SIEMPRE, si puedes hacer un cambio
de variables antes de hacer la integración por partes.
Diré t = ln(2x3 + 1) → dt =
6x2 dx
2x3 +1 .
entonces te das cuenta que todo eso está dentro de la integral
que te di, ¡tienes como reemplazar por dt! Al hacerlo, reduces la integral a esto:
Z
(6x2 )ln[ln(2x3 + 1)] dx
=
2x3 + 1
Z
ln(t) dt
Del ejemplo 3, sabes que
Z
ln(t) dt = tln(t) − t + K
Regresando a la variable x encuentras la respuesta:
Z
(6x2 )ln[ln(2x3 + 1)] dx
= [ln(2x3 + 1][ln(ln(2x3 + 1))] − [ln(2x3 + 1] + K
2x3 + 1
Moraleja de la historia: SIEMPRE REVISA SI PUEDES HACER UN CAMBIO DE
VARIABLE ANTES DE USAR INTEGRACIÓN POR PARTES .
Z
Ejemplo 6: Integra
xex dx
(x + 1)2
Recuerda que con práctica podrás decidir cual debe ser u y cual debe ser dv. En este caso lo mejor
será decir u = xex → du = (xex + ex )dx = ex (x + 1)dx (será útil factorizarlo ası́). Recuerda la
derivada de un producto.
Diré entonces dv =
dx
−1
→v=
(x + 1)2
x+1
Aplicando la fórmula:
Z
xex dx
xex
=−
−
2
(x + 1)
x+1
Z −1 [(x + 1)ex ]dx
x+1
xex
+
=−
x+1
7
Z
ex dx
De ahı́ llego a la respuesta:
Z
xex dx
xex
+ ex + K
=−
2
x+1
(x + 1)
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