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La mecánica de Newton
Contenidos del módulo
8.1 Espacio y tiempo
8.2 Ley de la inercia
8.3 Momentum
8.4 Centro de masa de un sistema de partículas
8.5 Momentum de un sistema de partículas
8.6 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento
8.7 La segunda ley de Newton
8.8 El significado físico del concepto de masa
8.9 La tercera ley de Newton
8.10 La medición de la masa
Isaac Newton (1642-1727). La formulación
de la ley de la gravitación universal fue
deducida por Newton a partir de sus tres
leyes sobre el movimiento.
Objetivos del módulo
1. Presentar las leyes de Newton para el movimiento de los cuerpos.
2. Discutir el significado de los conceptos fundamentales de la mecánica.
3. Introducir el concepto de definiciones operativas para la medición de las magnitudes físicas.
Preguntas básicas
1. ¿Qué relación existe entre el concepto de inercia y las características del espacio
y del tiempo absolutos?
2. ¿Qué diferencia hay entre la idea de que el movimiento es el estado de un sistema
físico y la idea de que el movimiento es el resultado de la acción de una fuerza?
3. ¿Qué relación existe entre el concepto de sistema aislado y el estado de movimiento del sistema?
4. ¿Cómo se puede expresar la segunda ley de Newton cuando la masa de un cuerpo
varía durante la acción de la fuerza? Dé un ejemplo de este caso.
5. ¿Qué utilidad puede tener el hecho de que la descripción mecánica de un sistema
de partículas sea equivalente a la de una partícula en el centro de masa?
6. Explique por qué no es lo mismo medir la masa que el peso de un cuerpo.
7. Un burro medianamente ilustrado se niega a arrastrar su carreta argumentando
que la fuerza que él ejerce sobre la carreta es anulada por la fuerza que la carreta
ejerce sobre él, de modo que no se podrán mover. Si la hay, encuentre la falacia en
el argumento del burro.
Vea el módulo 8 del
programa de
televisión Física
Conceptual
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Introducción
En 1687 apareció en Londres la publicación de la obra que habría de constituirse en
la piedra angular y punto de partida de la física y de toda la ciencia moderna: se
trataba de Los principios matemáticos de la filosofía natural, escrita por sir Isaac
Newton. La obra de Newton contiene la solución matemática del problema del movimiento astronómico y en ella se plantea la extensión de las leyes naturales a todo el
universo, dejando atrás la supuesta división entre el mundo celeste y el mundo
sublunar.
Newton se decidió a publicar su obra, alentado por los astrónomos Edmund Halley
y Chistopher Wren, quienes habían solicitado su ayuda para encontrar la trayectoria que debería seguir un cuerpo sobre el cual actuaran fuerzas centrales, tal como
suponían que pasaba con los planetas debido a la atracción del Sol, y,
específicamente, con el cometa que hoy lleva el nombre de uno de ellos.
Portada de la obra máxima de Newton: Los
principios matemáticos de la filosofía
natural .
Es importante destacar que cuando Newton apareció en la escena científica ya no se
discutía si la Tierra rotaba sobre su eje y giraba alrededor del Sol; esto se tomaba
como un hecho, excepto en los países donde tenía influencia la Santa Inquisición,
de modo que el trabajo que asumió Newton, que había nacido el 25 de diciembre de
1642, año de la muerte de Galileo, consistió en plantear y encontrar solución a un
problema de física matemática, cosa que realizó con precisión y elegancia nunca
antes vista en la historia de la ciencia.
Ya en 1666, el año fatídico de la peste y del incendio de Londres, mientras se refugiaba en su casa en el campo, Newton había concebido una solución al problema del
movimiento planetario al suponer que la misma fuerza que hace caer a una manzana
es la responsable de que la Luna sea un satélite de la Tierra; sin embargo, cuando
algunos cálculos que realizó para verificar su suposición no dieron los valores que
esperaba, abandonó el tema, hasta que Halley y Wren volvieron a llamar su atención
sobre él.
Al rehacer los cálculos en los que comparaba la relación entre la aceleración de
caída de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra y la aceleración centrípeta de la
Luna, con el cuadrado de la relación entre la distancia Tierra-Luna con el radio de la
Tierra, descubrió que sus suposiciones habían sido acertadas. El problema estaba
en que el valor que había utilizado inicialmente para el radio de la Tierra era incorrecto, pero por aquel entonces una nueva expedición geográfica había determinado el
radio terrestre con mayor precisión y Newton pudo concluir su trabajo.
Para expresar sus conceptos sobre la mecánica y poder plantear y encontrar una
solución a los problemas del movimiento de los cuerpos, Newton desarrolló una
nueva área de las matemáticas que denominaba “cálculo de fluxiones” y que hoy en
día conocemos como cálculo infinitesimal, aunque en los Principia, nombre con el
que se conoce su obra, las demostraciones están presentadas en términos
geométricos. De manera independiente el filósofo alemán Wilhelm Leibniz también
desarrolló una teoría matemática equivalente al cálculo infinitesimal –el cálculo diferencial– lo que suscitó una fuerte polémica con Newton por cuestiones de originalidad.
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Módulo 8: La mecánica de Newton
8.1 Espacio y tiempo
En el inicio de su obra Newton establece con toda claridad los términos y conceptos que va a utilizar, y aunque los supone ampliamente conocidos hace algunas
precisiones que considera de importancia sobre los conceptos de espacio y tiempo,
después de haber establecido lo que él considera son las reglas del correcto filosofar en cuestiones de filosofía natural, que era el término genérico que albergaba
entonces a lo que ahora llamamos ciencia. Es importante destacar dos de sus reglas:
primero, la que hace alusión a la no proliferación de las causas: “no se debe atribuir
a muchas causas lo que se puede explicar con una sola”; y en segundo término: “si
no se tiene certeza sobre algo es mejor no hacer hipótesis”. A continuación Newton
aclara lo que entiende por espacio absoluto y establece la distinción con lo que se
suele entender como espacio relativo. Según él, el espacio absoluto es infinito,
existe por siempre y es independiente de su contenido, y desde el punto de vista
geométrico tiene todas las características de la geometría de Euclides, por tanto no
tiene lugares ni direcciones preferidas y podemos decir que es homogéneo e
isotrópico.
El espacio relativo, nos dice Newton, son las medidas sensibles que hacemos para
establecer la distancia entre dos puntos.
Respecto al tiempo absoluto, Newton afirma que fluye de manera uniforme, independientemente de los fenómenos, tal como lo ha hecho desde siempre y lo hará
por siempre. El tiempo relativo, que también se llama duración, son las medidas
sensibles de tiempo que hacemos entre dos fenómenos.
Los conceptos de espacio y tiempo que Newton establece son necesarios para el
establecimiento de las leyes del movimiento que se plantearán a continuación,
aparte de tener un profundo significado filosófico y teológico para su autor.
8.2 Ley de la inercia
Escuche Bicicleta, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
Escuche Cuna de
Newton, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
“Todo cuerpo permanece en su estado
de movimiento uniforme y rectilíneo en
tanto no actúe una fuerza sobre él”.
Ley de la inercia - Newton
(Nota: Adoptamos la
notación de representar
las magnitudes
vectoriales por letras en
itálica y negrilla, y las
magnitudes escalares
en itálica sin negrilla.)
“Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento uniforme y rectilíneo en
tanto no actúe una fuerza sobre él”.
En esta proposición Newton adopta una ley para el movimiento de los cuerpos
similar a la que había propuesto Descartes. Se distingue claramente de la que había
propuesto Galileo por el carácter rectilíneo del movimiento y la posibilidad de que
éste se prolongue de una manera indefinida. La ley de inercia adopta el concepto de
estado de movimiento, que diferencia esta concepción de otras para las que el
movimiento es un efecto producido por causas naturales o violentas.
Escuche El mantel,
un programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia
8.3 Momentum
Del contenido de la ley de inercia se concluye que la fuerza es aquello que cambia
el estado del movimiento, por tanto se necesita hacer una definición matemática y
operativa del concepto y definir una magnitud física que describa el estado de
movimiento. A dicha magnitud se le dará el nombre de “momentum”, o momento
lineal, y se designará por la letra p.
Escuche Coriolis, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
El momentum de un cuerpo o de un sistema físico es proporcional a la velocidad v
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
del cuerpo o del sistema, puesto que se ha definido para describir el estado de
movimiento, pero es posible asumir que diversos cuerpos puedan estar en diferen“Todo cuerpo conserva su
tes estados de movimiento a pesar de tener la misma velocidad, debido a que pocantidad de movimiento p
en tanto no actúen fuerzas
seen una característica física que los diferencia y que vamos a denominar con la
sobre él.”
letra m, por masa, sin que, por ahora, le podamos asignar ningún significado específico. En consecuencia se define el momento lineal de un cuerpo como:
p
mv
(8.1)
A partir de la definición de momentum se puede expresar la ley de inercia en los
siguientes términos: “Todo cuerpo conserva su cantidad de movimiento p en tanto
no actúen fuerzas sobre él”.
8.4 Centro de masa de un sistema de partículas
Cuando se considera un sistema físico constituido por un conjunto de partículas es
conveniente encontrar propiedades que caractericen al sistema como un todo (figura 8.1); por esta razón vamos a definir el concepto de centro de masa. Si el sistema
está constituido por n partículas caracterizadas por la masa mi y localizadas por un
vector de posición ri, la posición del centro de masa está asociada al vector RCM que
se define por:
RCM
¦ mr ¦ m
i i
i
i
(8.2)
i
y
m2
m1
Ri
2
R
R1
mi
R3
m3
R4
m4
x
z
Figura 8.1. Sistemas de referencia con varias partículas
Puesto que la masa total M del sistema está dada por la expresión
M
¦m
i
i
de (8.2) se llega a la ecuación:
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(8.3)
Módulo 8: La mecánica de Newton
MRCM
¦ mr
(8.4)
i i
i
8.5 Momentum de un sistema de partículas
Si el vector rio indica la posición de una partícula en el momento inicial to, y el vector
ri indica la posición de la partícula después de un tiempo 't (figura 8.2), la velocidad de la partícula está dada por la expresión:
ri rio 't
vi
(8.5)
y
Las leyes de Newton son la piedra angular
sobre la que se basan los viajes espaciales.
m1
m1
R
m2
10
R
1
R
20
m2
R
2
R
m3
30
m3
R
3
x
z
Figura 8.2. Partícula en dos posiciones consecutivas
Si multiplicamos a ambos lados de la expresión (8.4) por mi y realizamos la sumatoria
sobre todos los valores de i desde 1 hasta n, se obtiene que:
¦ m v ¦ m r r i
i i
i
i
i
io
't
(8.6)
El momentum total del sistema está dado por la magnitud P
P = ¦ i mi vi
(8.7)
Si tenemos en cuenta la expresión (8.4), la expresión (8.6) se puede escribir:
P
M R Ri 't
(8.8)
donde la cantidad
V
R Ri 't
(8.9)
corresponde a la velocidad del centro de masa del sistema. La expresión (8.8) queda
entonces:
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
P
MV
(8.10)
A partir de esta expresión se puede concluir que un sistema de partículas se comporta como una sola partícula cuya masa es igual a la masa total del sistema localizada
en el centro de masa y que se desplaza con éste.
8.6 Teorema de conservación de la cantidad
de movimiento
Gaspar Coriolis (1792-1843). Matemático
francés, autor de importantes trabajos
relacionados con la mecánica.
Al igual que para una partícula individual sobre la cual no actúa ninguna fuerza, se
puede establecer que el sistema en su conjunto debe cumplir la condición de que la
cantidad de movimiento total debe permanecer constante, en tanto se pueda considerar como un sistema aislado, esto es, que las únicas fuerzas que actúan sobre él
son las fuerzas que ejercen las partículas entre sí.
8.7 La segunda ley de Newton
A partir de la primera ley de Newton o ley de inercia se puede concluir que si en
ausencia de fuerzas los cuerpos conservan su estado de movimiento, la fuerza es
aquello que cambia el estado de movimiento, de modo que es posible definir la
fuerza que actúa sobre un cuerpo como la rata de cambio en el tiempo del momentum
del cuerpo. De acuerdo con lo anterior, Newton estableció que el cambio en el
estado de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza y al tiempo que actúe
sobre el cuerpo y tiene la misma dirección que la fuerza. Se puede definir que:
'p
F 't
(8.11)
O, de manera equivalente:
F = 'p 't
(8.11a)
En el caso muy generalizado, aunque no exclusivo, de que durante la acción de la
fuerza la masa del cuerpo permanezca invariante, se puede expresar (8.11a) como:
F = m'v 't
(8.12)
Pero 'v 't es la aceleración a que experimenta el cuerpo debido a la fuerza F, de
modo que podemos escribir la definición de fuerza en su forma más conocida:
F
ma
(8.13)
8.8 El significado físico del concepto de masa
A partir de la expresión anterior es posible entender el significado de la magnitud
que hasta ahora hemos denominado masa. Consideremos la situación en que diferentes cuerpos experimentan la misma fuerza; por ejemplo, cuerpos sobre un plano
horizontal sin fricción experimentan la tensión de una cuerda que pasa por una
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Módulo 8: La mecánica de Newton
polea de la que pende un peso fijo (figura 8.3). Puesto que la fuerza que actúa sobre
cada cuerpo es la misma, dos cuerpos diferentes de masas m1 y m2 van experimentar
diferentes aceleraciones a1 y a2, respectivamente, y se cumple que:
m1a1
m2 a2
(8.14)
m
p
Figura 8.3. Cuerpo arrastrado sobre un plano horizontal por una cuerda tensa y una polea con peso
Rescribiendo esta expresión así:
m1 m2
a2 a1
(8.14a)
se puede ver que la aceleración que experimenta un cuerpo sobre el que actúa una
fuerza determinada es inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Resulta
evidente que el concepto de masa está directamente relacionado con el de inercia,
pues mientras mayor es la masa de un cuerpo, mayor es la fuerza que hay que
aplicarle para cambiar su estado de movimiento.
8.9 La tercera ley de Newton
Consideremos un sistema aislado de toda acción externa compuesto por dos partículas de masas m1 y m2, respectivamente (figura (8.4). Supongamos que las partículas tienen velocidades iniciales u1 y u2, de modo que el momentum total inicial del
sistema está dado por la expresión:
P
m1u1 m2 u2
(8.15)
Escuche Colisiones, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
m1
m1
u1
v2
v1
u2
m2
m2
Figura 8.4. Diagrama de la colisión de dos partículas
Si las partículas chocan y después de la colisión se separan con velocidades finales
v1 y v2, el momentum total final del sistema será:
P = m1v1 + m2v2
(8.16)
Si tenemos en cuenta que el sistema compuesto por las dos partículas es un sistema
aislado el momentum total se debe conservar y las expresiones (8.15) y (8.16) deben
ser iguales, por tanto podemos escribir:
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2
(8.17)
Esta expresión se puede reescribir así:
m1v1 m1u1 = (m2v2 m2u2)
(8.18)
El lado izquierdo de la expresión (8.18) corresponde al cambio de momentum de la
partícula de masa m1, que resulta ser igual al negativo del cambio de momentum de
la partícula de masa m2. Esto nos dice que cuando dos cuerpos chocan intercambian
momentum, o, de manera equivalente, que el momentum que gana un cuerpo lo
pierde el otro.
Si dividimos ambos miembros de (8.18) por 't , el tiempo que duró la colisión, la
ecuación se puede escribir como:
'P1 't
'P2 't
(8.19)
O sea que:
F12 = F21
(8.20)
Si F12 es la fuerza que la partícula de masa m1 experimenta al chocar con la partícula
de masam2, y, recíprocamente, F21 es la fuerza que la partícula de masa m2 experimenta al chocar con la partícula de masa m1, podemos expresar la tercera ley de Newton
en los siguientes términos:
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Módulo 8: La mecánica de Newton
“Cuando dos cuerpos chocan las fuerzas que experimentan son iguales y de sentido contrario”.
Esta ley también es conocida como ley de “acción y reacción”, porque de ella se
deduce que a toda acción de un cuerpo sobre otro corresponde una reacción igual
y de sentido contrario. Independientemente de la forma como se exprese la ley, no
es más que una consecuencia del teorema de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema aislado, en el cual, para cumplir la condición de que fuerza
neta sobre el sistema sea nula, es decir que la suma de fuerzas sobre el sistema sea
cero, se debe cumplir que la suma de las fuerzas internas del sistema se cancelen
mutuamente.
8.10 La medición de la masa
Es muy importante al definir una magnitud física, especificar el procedimiento utilizado para medirla. En el caso de la masa se puede proponer un procedimiento de
medición a partir de la tercera ley de Newton. Consideremos la interacción de dos
cuerpos de masas m y ms. Supongamos que inicialmente los dos cuerpos se encuentran en reposo, que comprimen un resorte y que están atados por una cuerda.
Si la cuerda se rompe, cada uno de los cuerpos experimenta una fuerza que le
produce una aceleración, de tal modo que se cumple la relación
ma
ms as
Escuche Aviones, un
programa de la serie
radial Historias de la
Ciencia.
(8.21)
En la relación anterior sólo nos interesa la magnitud de las fuerzas y las aceleraciones, de modo que podemos prescindir del signo menos que indica que las fuerzas y
las aceleraciones tienen sentidos opuestos. Si decidimos, de manera arbitraria y
conveniente, que la masa ms sea el patrón de referencia para la medición de la masa,
entonces la masa m que consideramos inicialmente desconocida queda especificada en términos de las aceleraciones que se midan durante la interacción de la masa
m con la masa patrón ms, así:
m
ms as a (8.22)
La proporcionalidad inversa entre la masa y la aceleración para una fuerza determinada destaca, nuevamente, el carácter de la masa como medida de la inercia de los
cuerpos.
Resumen
La mecánica de Newton se construye a partir del concepto de inercia. Una vez
establecida la inercia como la ley fundamental del movimiento, se introduce la
definición de fuerza a partir de la cual es posible definir procedimientos de medición de las magnitudes físicas involucradas en la mecánica. Aparece el concepto
de conservación de la cantidad de movimiento y se definen los criterios para
establecer cuándo un sistema físico se puede considerar aislado. El concepto de
masa adquiere pleno significado físico como medida de la inercia de los cuerpos a
partir del concepto de fuerza y de la tercera ley de Newton.
“Cuando dos cuerpos chocan las fuerzas
que experimentan son iguales y de
sentido contrario.”
Ley de acción y reacción
Física Conceptual
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Capítulo 2: Los fundamentos de la mecánica
Bibliografía
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Sepúlveda A. 2003. Los conceptos de la física. Evolución histórica. Medellín:
Editorial Universidad de Antioquia.