Círculo trigonométrico

Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
W. Poveda 1
Círculo trigonométrico
(Ejercicios tomados de pruebas parciales de MA0125)
De…nición. El círculo trigonométrico es un círculo en el plano cartesiano centrado en el
origen cuyo radio mide 1.
Ejemplo Si el lado
terminal del ángulo interseca a la circunferencia trigonométrica en el
p !
3
1
punto
;
. Hallar el valor de las seis razones trigonométricas.
2 2
Solución
p !
3
1
;
se encuentra en el segundo cuadrante, por ello 2 II cuadrante
El punto
2 2
p
3
1
;
e hipotenusa
r es el ángulo de referencia de : Se trabaja con el triángulo con catetos
2 2
1, se obtienen las razones trigonométricas de r ; luego se obtienen los valores de las razones
trigonométricas para ; recordando el signo de cada una de ellas en el II cuadrante.
p
p
3
3
sin ( r ) =
) sen( ) =
2
2
cos (
r)
tan (
r)
1
= ) cos ( ) =
2
p
= 3) tan ( ) =
1
2
p
tan 3
csc (
r)
2
2
= p ) csc ( ) = p
3
3
sec (
r)
= 2 ) sec ( ) =
cot (
r)
1
= p ) cot ( ) =
3
2
1
p
3
16
interseca a la circunferencia
3
trigonométrica en en punto (a; b) ¿Cuál es el valor numérico de a?
EjemploSi el lado terminal de un ángulo de medida
Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
W. Poveda 2
Solución
El ángulo
16
16
2
se ubica en el II cuadrante. Un ángulo coterminal con
es
: El
3
3
3
2
ángulo de referencia para
es ;de manera que se forma un triángulo de referencia con
3
3
p
3
1
hipotenua 1, cateto opuesto a
con medida
y el otro cateto con medida :
3
2
2
Ejemplo. Determinar el valor exacto de
5
6
a. cos
b. sin
23
3
c. tan
4
3
Solución
5
es
y coseno en el II cuadrante es negativo
6
6
p
3
=
2
a. El ángulo de referencia de
5
6
) cos
=
cos
6
23
b. Un ángulo coterminal a
3
cuadrante es negativo
23
3
) sin
5
3
= sin
es
=
sin
4
3
c. El ángulo de referencia para
4
3
) tan
=
tan
4
3
=
5
5
; el ángulo de referencia de
es
y seno en el IV
3
3
3
=
3
es
tan
p
3
2
3
3
=
p
3
Ejemplo 6. Determinar el valor exacto de
a. tan
5
3
b. sin
11
6
c. cos
17
2
Solución
a.
5
se ubica en el IV cuadrante por lo que la tangente es negativa, el ángulo de referencia
3
5
de
es
3
3
tan
b.
sin
5
3
=
tan
3
p
=
3
11
se ubica en el I cuadrante por lo que el seno es positivo, el ángulo de referencia
6
11
para
es de
6
6
11
6
= sin
6
=
1
2
Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
c.
17
2
cos
es coterminal con
17
2
= cos
3
2
W. Poveda 3
3
2
=0
Ejemplo Sea un ángulo en posición estándar, tal que
< <
y su lado terminal es paralelo a la recta y + 2x = 3: Determinar:
2
a. cos
b. sin(2 )
c. tan(
d. cos
)
2
Solución
Como el lado terminal es paralelo a la recta y + 2x = 3, entonces la ecuación del lado
terminal es y = 2x: Se considera cualquier punto sobre el lado terminal que pertenezca al
II cuadrante, por ejemplo ( 1; 2) como se ilustra en la grá…ca
a. Sea
r
el ángulo de refrerencia de : cos
2
b. sin(2 ) = 2 sin cos = 2 p
5
c. tan(
d. cos
)=
2
r
1
= p ; como
5
1
4
p =
5
5
tan = 2
2
2p
= sin = p =
5
5
5
Ejemplo Sea un ángulo en posición estándar, tal que
3
tan =
y cos > 0:
4
Determinar el valor exacto de:
a. sin
b. sin
2
2
i
2
;
h
) cos =
1
p
5
Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
c. sec(
d. cos 2
W. Poveda 4
)
3
Solución
3
Como tan =
y cos > 0; entonces 2 IV por que solo en el IV cuadrante se cumple
4
que tangente es negativa y coseno es positivo. Se dibuja y se obtiene un triángulo formado
con el ángulo de refrencia de con hipotenusa 5.
Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
3
5
a. sin =
b. sin
c. sec(
W. Poveda 5
= cos =
2
) = sec =
4
5
5
4
d. Aplicando las fórmulas cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b,
cos 2 = cos2
sin2 y sin 2 = 2 sin cos
cos 2
3
= cos(2 ) cos
4
3
=
7
+ sin(2 ) sin
sin2
= cos2
=
3
2
cos
2
3
5
!
3
3
+ 2 sin cos sin
1
+2
2
3 4
5 5
3
p
3
2
p
24 3
50
Ejemplo Sean ; dos ángulos en posición estándar. El punto P (2; 4) se encuentra en el
lado terminal de ; cos < 0 y csc = 3: Determinar el valor exacto de:
tan
csc
cos( + )
a. sin ( + )
c.
b. cos (2 )
d. sec (
)
Solución
Para dibujar el ángulo se sabe que el lado terminal pasa por el punto P(2,-4), es decir,
se ubica en el IV cuadrante. Para se sabe que cos < 0 y csc = 3 por lo que se
debe encontrar el cuadrante donde cos < 0 y csc < 0; es decir el III cuadrante. Al ser
csc = 3 esto indica que la hipotenusa es 3 y el cateto opuesto es 1.
Se obtienen los siguientes datos
4
2
p , cos = p ; tan
sin =
2 5
2 5
sin
=
1
, cos
3
=
p
2 2
; tan
3
a. sin ( + ) = sin cos
=
4
2
1
= p
2 2
+ sin cos
=
1
2
p +
3 2 5
4
p
2 5
p
2 2
=
3
p
1+4 2
p
3 5
Círculo trignométrico. ExMa-MA0125
sin2
b. cos (2 ) = cos2
c.
tan
csc
tan
=
cos( + )
cos cos
d. sec (
) = sec
=
3
p
2 2
=
2
p
2 5
W. Poveda 6
2
csc
sin sin
4
p
2 5
=
1
2
=
2
p
2 2
3
3
5
3
0
3
= p
2 2
1
3